نواة فيجر

في الرياضيات ، تُعرف نواة فيير بأنها نواة قابلة للجمع تُستخدم للتعبير عن تأثير جمع سيزارو على متسلسلات فورييه . وهي نواة غير سالبة، مما يُنتج متطابقة تقريبية . سُميت هذه النواة نسبةً إلى عالم الرياضيات المجري ليبوت فيير ( 1880-1959 ).

تحتوي نواة فيجير على العديد من التعريفات المكافئة. فيما يلي ثلاثة من هذه التعريفات:

1) التعريف التقليدي يعبر عن نواة Fejér${\displaystyle F_{n}(x)}$من حيث نواة ديريشليه

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)}$

أين

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{s=-k}^{k}{\rm {e}}^{isx}}$

هو${\displaystyle k}$نواة ديريشليه من الرتبة th .

2) نواة فيجير${\displaystyle F_{n}(x)}$ويمكن كتابتها أيضًا في صيغة مغلقة على النحو التالي ^{[ 1 ]}

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\left({\frac {\sin({\frac {nx}{2}})}{\sin({\frac {x}{2}})}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\left({\frac {1-\cos(nx)}{1-\cos(x)}}\right)}$

يمكن اشتقاق هذه الصيغة المغلقة من التعريفات المستخدمة أعلاه. ويكون برهان هذه النتيجة كما يلي.

باستخدام حقيقة أن نواة ديريشليه يمكن كتابتها على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle D_{k}(x)={\frac {\sin((k+{\frac {1}{2}})x)}{\sin {\frac {x}{2}}}}}$،

يمكن استنتاج ذلك من تعريف نواة فيجير أعلاه:

$${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin((k+{\frac {1}{2}})x)}{\sin({\frac {x}{2}})}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}\sin((k+{\frac {1}{2}})x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}{\big [}\sin((k+{\frac {1}{2}})x)\cdot \sin({\frac {x}{2}}){\big ]}}$$

باستخدام المتطابقة المثلثية:${\displaystyle \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))}$، لدى المرء

$${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}[\sin((k+{\frac {1}{2}})x)\cdot \sin({\frac {x}{2}})]={\frac {1}{n}}{\frac {1}{2\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}[\cos(kx)-\cos((k+1)x)],}$$

مما يسمح بتقييم${\displaystyle F_{n}(x)}$كمجموع متداخل :

$${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}}{\frac {1-\cos(nx)}{2}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}}\sin ^{2}\left({\frac {nx}{2}}\right)={\frac {1}{n}}\left({\frac {\sin({\frac {nx}{2}})}{\sin({\frac {x}{2}})}}\right)^{2}.}$$

3) يمكن أيضًا التعبير عن نواة Fejér على النحو التالي:

${\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{|k|\leq n-1}\left(1-{\frac {|k|}{n}}\right)e^{ikx}}$

نواة Fejér هي نواة قابلة للجمع الإيجابي. من الخصائص المهمة لنواة Fejér${\displaystyle F_{n}(x)\geq 0}$بمتوسط ​​قيمة ${\displaystyle 1}$.

• نظرية فيجير
• نواة ديريشلي
• ظاهرة جيبس
• شارل جان دي لا فالي بوسان