ظاهرة جيبس

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 97 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف ظاهرة جيبس ​​بأنها السلوك التذبذبي لسلسلة فورييه لدالة دورية قابلة للتفاضل بشكل مستمر على أجزاء حول نقطة انقطاع مفاجئة .شمال{\textstyle N}متسلسلة فورييه الجزئية للدالة (المكونة من مجموعشمال{\textstyle N}تُنتج الدوال الجيبية المكونة الأدنى لمتسلسلة فورييه للدالة قممًا كبيرة حول نقطة القفزة، تتجاوز قيم الدالة أو تقل عنها. ومع استخدام المزيد من الدوال الجيبية، يقترب خطأ التقريب هذا من حدٍّ يبلغ حوالي 9% من قيمة القفزة، على الرغم من أن مجموع متسلسلة فورييه اللانهائية يتقارب في النهاية في كل مكان تقريبًا . [ 1 ]

لاحظ الفيزيائيون التجريبيون ظاهرة جيبس، وكان يُعتقد أنها ناتجة عن عيوب في أجهزة القياس، [ 2 ] لكنها في الواقع نتيجة رياضية. وهي أحد أسباب تشوهات الرنين في معالجة الإشارات . سُميت هذه الظاهرة نسبةً إلى جوزيا ويلارد جيبس .

وصف

التقريب الوظيفي للموجة المربعة باستخدام 5 توافقيات
التقريب الوظيفي للموجة المربعة باستخدام 25 توافقية
التقريب الوظيفي للموجة المربعة باستخدام 125 توافقية

ظاهرة جيبس ​​هي سلوك لسلسلة فورييه لدالة ذات انقطاع قفزي ، ويتم وصفها على النحو التالي:

مع أخذ المزيد من مكونات أو عناصر سلسلة فورييه، تُظهر سلسلة فورييه أول تجاوز في السلوك التذبذبي حول نقطة القفزة التي تقترب من ~ 9٪ من القفزة (الكاملة)، وهذا التذبذب لا يختفي ولكنه يقترب من النقطة بحيث يقترب تكامل التذبذب من الصفر.

عند نقطة القفز، تعطي متسلسلة فورييه متوسط ​​حدود كلا جانبي الدالة باتجاه النقطة.

مثال على الموجة المربعة

تُظهر الصور الثلاث على اليمين ظاهرة جيبس ​​لموجة مربعة (بسعة ذروة إلى ذروة تبلغج{\textstyle c}من-ج/2{\textstyle -c/2}لج/2{\textstyle c/2}والدوريةل{\textstyle L}) لمنشمال{\textstyle N}متسلسلة فورييه الجزئية هي 2جπ(الخطيئة⁡(ωx)+13الخطيئة⁡(3ωx)+⋯+12شمال-1الخطيئة⁡((2شمال-1)ωx)){\displaystyle {\frac {2c}{\pi }}\left(\sin(\omega x)+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega x)+\cdots +{\frac {1}{2N-1}}\sin((2N-1)\omega x)\right)}

أينω=2π/ل{\textstyle \omega =2\pi /L}وبشكل أدق، فإن هذه الموجة المربعة هي الدالةو(x){\textstyle f(x)}وهو ما يساويج2{\displaystyle {\tfrac {c}{2}}}بين2ن(ل/2){\textstyle 2n(L/2)}و(2ن+1)(ل/2){\textstyle (2n+1)(L/2)}و-ج2{\textstyle -{\tfrac {c}{2}}}بين(2ن+1)(ل/2){\textstyle (2n+1)(L/2)}و(2ن+2)(ل/2){\textstyle (2n+2)(L/2)}لكل عدد صحيحن{\textstyle n}وبالتالي، فإن هذه الموجة المربعة تحتوي على انقطاع قفزي بارتفاع قمة إلى قمةج{\textstyle c}عند كل مضاعف صحيح لـل/2{\textstyle L/2}.

مع إضافة المزيد من الحدود الجيبية (أي، زيادةشمال{\textstyle N}يتقارب خطأ متسلسلة فورييه الجزئية إلى ارتفاع ثابت. ولكن نظرًا لأن عرض الخطأ يستمر في التناقص، فإن مساحة الخطأ - وبالتالي طاقة الخطأ - تتقارب إلى الصفر. [ 3 ] يكشف تحليل الموجة المربعة أن الخطأ يتجاوز الارتفاع (من الصفر).ج2{\displaystyle {\tfrac {c}{2}}}من الموجة المربعة بواسطة جπ∫0πالخطيئة⁡(ت)ت دت-ج2=ج⋅(0.089489872236...).{\displaystyle {\frac {c}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(t)}{t}}\ dt-{\frac {c}{2}}=c\cdot (0.089489872236\dots ).}( OEIS : A243268  )

أو حوالي 9% من القفزة الكاملةج{\textstyle c}وبشكل أعم، عند أي انقطاع في دالة قابلة للتفاضل بشكل متصل جزئيًا مع قفزة مقدارهاج{\textstyle c}، الشمال{\textstyle N}ستكون متسلسلة فورييه الجزئية للدالة (لعدد كبير جدًا)شمال{\textstyle N}(القيمة) تتجاوز هذه القفزة بخطأ يقتربج⋅(0.089489872236...){\textstyle c\cdot (0.089489872236\dots )}عند أحد طرفي المتسلسلة، وتقل عنها بنفس المقدار عند الطرف الآخر؛ وبالتالي، ستكون "القفزة الكاملة" في متسلسلة فورييه الجزئية أكبر بنحو 18% من القفزة الكاملة في الدالة الأصلية. عند نقطة عدم الاتصال، ستتقارب متسلسلة فورييه إلى منتصف القفزة (بغض النظر عن القيمة الفعلية للدالة الأصلية عند نقطة عدم الاتصال) كنتيجة لنظرية ديريشليه . [ 4 ] الكمية ∫0πالخطيئة⁡تت دت=(1.851937051982...)=π2+π⋅(0.089489872236...){\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {\sin t}{t}}\ dt=(1.851937051982\dots )={\frac {\pi }{2}}+\pi \cdot (0.089489872236\dots )}( OEIS : A036792  ) يُعرف أحيانًا باسم ثابت ويلبراهام -جيبس . [ 5 ]

تاريخ

لاحظ هنري ويلبرهام ظاهرة جيبس ​​وحللها لأول مرة في بحث نُشر عام 1848. [ 6 ] لم يحظَ البحث باهتمام يُذكر حتى عام 1914، حين ذُكر في مراجعة هاينريش بوركهارت للتحليل الرياضي في موسوعة كلاين . [ 7 ] في عام 1898، طوّر ألبرت أ. ميكلسون جهازًا قادرًا على حساب وإعادة تركيب متسلسلة فورييه. [ 8 ] تقول إحدى الروايات الشائعة إنه عند إدخال معاملات فورييه لموجة مربعة إلى الجهاز، كان الرسم البياني يتذبذب عند نقاط الانقطاع، ولأن الجهاز كان ماديًا وعرضة لعيوب التصنيع، فقد اقتنع ميكلسون بأن هذا التذبذب ناتج عن أخطاء في الجهاز. في الواقع، لم تكن الرسوم البيانية التي أنتجها الجهاز جيدة بما يكفي لإظهار ظاهرة جيبس ​​بوضوح، وربما لم يلاحظها ميكلسون لأنه لم يذكر هذا التأثير في ورقته البحثية ( ميكلسون وستراتون 1898 ) حول جهازه أو في رسائله اللاحقة إلى مجلة نيتشر . [ 9 ]

استلهامًا من مراسلاتٍ نُشرت في مجلة Nature بين ميكلسون وإيه إي إتش لوف حول تقارب متسلسلة فورييه لدالة الموجة المربعة ، نشر جيه ويلارد جيبس ​​ملاحظةً عام 1898 تُشير إلى الفرق الجوهري بين نهاية رسوم بيانية للمجاميع الجزئية لمتسلسلة فورييه لموجة سن المنشار ورسم بياني لنهاية تلك المجاميع الجزئية. في رسالته الأولى، أغفل جيبس ​​ظاهرة جيبس، وكانت النهاية التي وصفها لرسوم بيانية المجاميع الجزئية غير دقيقة. في عام 1899، نشر تصحيحًا وصف فيه التجاوز عند نقطة الانقطاع ( Nature ، 27 أبريل 1899، ص  606). في عام 1906، قدّم ماكسيم بوشيه تحليلًا رياضيًا مُفصّلًا لهذا التجاوز، مُصاغًا مصطلح "ظاهرة جيبس" [ 10 ] ومُعمّمًا استخدامه. [ 9 ]

بعد أن أصبح وجود ورقة هنري ويلبرهام معروفًا على نطاق واسع، لاحظ هوراشيو سكوت كارزلو في عام 1925 : "لا يزال بإمكاننا أن نسمي هذه الخاصية لمتسلسلة فورييه (وبعض المتسلسلات الأخرى) ظاهرة جيبس؛ ولكن يجب ألا ندعي بعد الآن أن جيبس ​​هو أول من اكتشف هذه الخاصية." [ 11 ]

توضيح

بصورة غير رسمية، تعكس ظاهرة جيبس ​​الصعوبة الكامنة في تقريب دالة غير متصلة بسلسلة محدودة من الموجات الجيبية المتصلة . من المهم التأكيد على كلمة "محدودة" ، لأنه على الرغم من أن كل مجموع جزئي لمتسلسلة فورييه يتجاوز نقطة الانقطاع التي يُقاربها، فإن حد جمع عدد لا نهائي من الموجات الجيبية لا يتجاوزها. تقترب ذروة التجاوز أكثر فأكثر من نقطة الانقطاع مع زيادة عدد الحدود المجمعة، مما يجعل التقارب ممكنًا.

لا يوجد تناقض (بين تقارب خطأ التجاوز إلى ارتفاع غير صفري رغم أن المجموع اللانهائي لا يتجاوز القيمة المطلوبة)، لأن قمم التجاوز تتحرك باتجاه نقطة الانقطاع. وبالتالي، تُظهر ظاهرة جيبس ​​تقاربًا نقطيًا ، وليس تقاربًا منتظمًا . بالنسبة لدالة قابلة للتفاضل بشكل متصل جزئيًا ( من الفئة C1 ) ، تتقارب متسلسلة فورييه إلى الدالة عند كل نقطة باستثناء نقاط الانقطاع المفاجئ. عند نقاط الانقطاع المفاجئ، تتقارب المتسلسلة إلى منتصف نقطة الانقطاع (أي متوسط ​​القيم الحدية للدالة على جانبي الانقطاع)، كنتيجة لنظرية ديريشليه . [ 4 ]

ترتبط ظاهرة جيبس ​​ارتباطًا وثيقًا بمبدأ أن سلاسة الدالة تتحكم في معدل اضمحلال معاملات فورييه الخاصة بها. تتلاشى معاملات فورييه للدوال الأكثر سلاسة بسرعة أكبر (مما يؤدي إلى تقارب أسرع)، بينما تتلاشى معاملات فورييه للدوال غير المتصلة ببطء (مما يؤدي إلى تقارب أبطأ). على سبيل المثال، للموجة المربعة غير المتصلة معاملات فورييه...(11،0،13،0،15،0،17،0،19،0،...){\displaystyle ({\tfrac {1}{1}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{3}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{5}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{7}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{9}},{\scriptstyle {\text{0}}},\dots )}التي تتحلل فقط بمعدل1ن{\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}بينما تحتوي الموجة المثلثية المستمرة على معاملات فورييه(112،0،-132،0،152،0،-172،0،192،0،...){\displaystyle ({\tfrac {1}{1^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {-1}{3^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{5^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {-1}{7^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{9^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},\dots )}يتحلل بمعدل أسرع بكثير من1ن2{\displaystyle {\tfrac {1}{n^{2}}}}.

لا يُقدّم هذا سوى تفسير جزئي لظاهرة جيبس، إذ أن متسلسلات فورييه ذات معاملات فورييه المتقاربة تقاربًا مطلقًا ستكون متقاربة بانتظام وفقًا لاختبار فايرشتراس إم، وبالتالي لن تُظهر السلوك التذبذبي المذكور أعلاه. وبالمثل، يستحيل أن تمتلك دالة غير متصلة معاملات فورييه متقاربة تقاربًا مطلقًا، لأن الدالة ستكون حينها النهاية المنتظمة لدوال متصلة، وبالتالي ستكون متصلة، وهذا تناقض. انظر تقارب متسلسلات فورييه §  التقارب المطلق .

الحلول

بما أن ظاهرة جيبس ​​تنشأ من التقليل من القيمة، فإنه يمكن التخلص منها باستخدام نواة لا تكون سالبة أبدًا، مثل نواة فيجير . [ 12 ] [ 13 ]

عمليًا، يمكن التخفيف من الصعوبات المرتبطة بظاهرة جيبس ​​باستخدام طريقة أكثر سلاسة لجمع متسلسلات فورييه، مثل جمع فيير أو جمع ريز ، أو باستخدام تقريب سيجما . عند استخدام تحويل المويجات المستمر ، لا تتجاوز ظاهرة جيبس ​​في المويجات ظاهرة جيبس ​​في فورييه. [ 14 ] كذلك، عند استخدام تحويل المويجات المتقطع مع دوال أساس هار ، لا تحدث ظاهرة جيبس ​​إطلاقًا في حالة البيانات المستمرة عند نقاط الانقطاع المفاجئة، [ 15 ] وتكون ضئيلة في الحالة المتقطعة عند نقاط التغير الكبيرة. في تحليل المويجات، يُشار إلى هذا عادةً بظاهرة لونجو . في سياق الاستيفاء متعدد الحدود ، يمكن التخفيف من ظاهرة جيبس ​​باستخدام خوارزمية إس-جيبس. [ 16 ]

الوصف الرياضي الرسمي لظاهرة جيبس

يتركو:R→R{\textstyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}لتكن دالة قابلة للتفاضل بشكل متصل على أجزاء ، وهي دالة دورية ذات دورة معينة.ل>0{\textstyle L>0}لنفترض أنه في مرحلة ماx0{\textstyle x_{0}}الحد الأيسرو(x0-){\textstyle f(x_{0}^{-})}والحدود اليمنىو(x0+){\textstyle f(x_{0}^{+})}من الوظيفةو{\textstyle f}يختلفان بقفزة غير صفرية قدرهاج{\textstyle c}: و(x0+)-و(x0-)=ج≠0.{\displaystyle f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})=c\neq 0.}

لكل عدد صحيح موجبشمال{\textstyle N}≥ 1، ليكنSشمالو(x){\textstyle S_{N}f(x)}كنشمال{\textstyle N}متسلسلة فورييه الجزئية (Sشمال{\textstyle S_{N}}يمكن التعامل معها كعامل رياضي على الدوال. Sشمالو(x):=∑-شمال≤ن≤شمالو^(ن)هـأنا2πنxل=12أ0+∑ن=1شمال(أنكوس⁡(2πنxل)+بنالخطيئة⁡(2πنxل))،{\displaystyle S_{N}f(x):=\sum _{-N\leq n\leq N}{\widehat {f}}(n)e^{\frac {i2\pi nx}{L}}={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\right),}

حيث معاملات فورييهو^(ن)،أن،بن{\textstyle {\widehat {f}}(n),a_{n},b_{n}}للأعداد الصحيحةن{\textstyle n}يتم تحديدها بالصيغ المعتادة و^(ن):=1ل∫0لو(x)هـ-أنا2πنxلدx{\displaystyle {\widehat {f}}(n):={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(x)e^{-{\frac {i2\pi nx}{L}}}\,dx}أ0:=1ل∫0لو(x) دx{\displaystyle a_{0}:={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\ dx}أن:=2ل∫0لو(x)كوس⁡(2πنxل)دx{\displaystyle a_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\,dx}بن:=2ل∫0لو(x)الخطيئة⁡(2πنxل)دx.{\displaystyle b_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\,dx.}

ثم لدينا ليمشمال→∞Sشمالو(x0+ل2شمال)=و(x0+)+ج⋅(0.089489872236...){\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{+})+c\cdot (0.089489872236\dots )} و ليمشمال→∞Sشمالو(x0-ل2شمال)=و(x0-)-ج⋅(0.089489872236...){\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}-{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{-})-c\cdot (0.089489872236\dots )} لكن ليمشمال→∞Sشمالو(x0)=و(x0-)+و(x0+)2.{\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f(x_{0})={\frac {f(x_{0}^{-})+f(x_{0}^{+})}{2}}.}

وبشكل أعم، إذاxشمال{\textstyle x_{N}}هي أي متتالية من الأعداد الحقيقية التي تتقارب إلىx0{\textstyle x_{0}}مثلشمال→∞{\textstyle N\to \infty }وإذا قفزتج{\textstyle c}إذا كانت النتيجة موجبة ليم سوبشمال→∞Sشمالو(xشمال)≤و(x0+)+ج⋅(0.089489872236...){\displaystyle \limsup _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\leq f(x_{0}^{+})+c\cdot (0.089489872236\dots )} و الحد الأقصى غير محدودشمال→∞Sشمالو(xشمال)≥و(x0-)-ج⋅(0.089489872236...).{\displaystyle \liminf _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\geq f(x_{0}^{-})-c\cdot (0.089489872236\dots ).}

أما إذا كانت قفزةج{\textstyle c}إذا كانت القيمة سالبة، فيجب تبديل الحد الأعلى (ليم سوب{\textstyle \limsup }) مع حد أدنى (الحد الأقصى غير محدود{\textstyle \liminf })، وكذلك تبادل≤{\textstyle \leq }و≥{\textstyle \geq }الإشارات، في المتباينتين أعلاه.

إثبات ظاهرة جيبس ​​في حالة عامة

كما ذكرنا مجدداً، دعو:R→R{\textstyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}لتكن دالة قابلة للتفاضل بشكل متصل على أجزاء، وهي دالة دورية ذات دورة معينة.ل>0{\textstyle L>0}وهذه الدالة لها نقاط انقطاع قفز متعددة يُشار إليها بـxأنا{\textstyle x_{i}}أينأنا=0،1،2،{\textstyle i=0,1,2,}وهكذا دواليك. عند كل انقطاع، تكون قيمة القفزة العمودية الكاملة هيجأنا{\textstyle c_{i}}.

ثم،و{\textstyle f}يمكن التعبير عنها كمجموع دالة متصلةوج{\textstyle f_{c}}ووظيفة متعددة الخطواتوs{\textstyle f_{s}}وهو مجموع دوال الخطوة مثل [ 17 ]

و=وج+وs،{\displaystyle f=f_{c}+f_{s},}وs=وs1+وs2+وs3+⋯،{\displaystyle f_{s}=f_{s_{1}}+f_{s_{2}}+f_{s_{3}}+\cdots ,}وsأنا(x)={0لو x≤xأنا،جأنا،لو x>xأنا.{\displaystyle f_{s_{i}}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq x_{i},\\c_{i},&{\text{if }}x>x_{i}.\end{cases}}}

Sشمالو(x){\textstyle S_{N}f(x)}كما هو الحالشمال{\textstyle N}متسلسلة فورييه الجزئية لـو=وج+وs=وج+(وs1+وs2+وs3+...){\textstyle f=f_{c}+f_{s}=f_{c}+\left(f_{s_{1}}+f_{s_{2}}+f_{s_{3}}+\ldots \right)}سوف يتقاربون بشكل جيد على الإطلاقx{\textstyle x}النقاط باستثناء النقاط القريبة من نقاط الانقطاعxأنا{\textstyle x_{i}}حول كل نقطة انقطاعxأنا{\textstyle x_{i}}،وsأنا{\textstyle f_{s_{i}}}لن يكون لها سوى ظاهرة جيبس ​​الخاصة بها (أقصى خطأ تقارب تذبذبي يبلغ حوالي 9٪ من القفزة)جأنا{\displaystyle c_{i}}(كما هو موضح في تحليل الموجة المربعة ) لأن الدوال الأخرى متصلة (وج{\displaystyle f_{c}}) أو الصفر المطلق (وsج{\displaystyle f_{s_{j}}}أينج≠أنا{\displaystyle j\neq i}) حول تلك النقطة. وهذا يثبت كيف تحدث ظاهرة جيبس ​​عند كل انقطاع.

شرح معالجة الإشارات

دالة sinc ، وهي استجابة النبضة لمرشح تمرير منخفض مثالي . يؤدي تغيير المقياس إلى تضييق الدالة، وبالتالي زيادة سعتها (وهو أمر غير موضح هنا)، ولكنه لا يقلل من مقدار الانخفاض، وهو تكامل الذيل.

من منظور معالجة الإشارات ، تُعرف ظاهرة جيبس ​​بأنها استجابة الخطوة لمرشح تمرير منخفض ، وتُسمى التذبذبات الناتجة عنها بالرنين أو تشوهات الرنين . يُقابل اقتطاع تحويل فورييه لإشارة ما على خط الأعداد الحقيقية، أو متسلسلة فورييه لإشارة دورية (أو إشارة على دائرة)، ترشيح الترددات العالية باستخدام مرشح تمرير منخفض مثالي ( مرشح ذو استجابة حادة ). ويمكن تمثيل ذلك بعملية التفاف للإشارة الأصلية مع استجابة النبضة للمرشح (المعروفة أيضًا بالنواة ) ، وهي دالة sinc . وبالتالي، يمكن اعتبار ظاهرة جيبس ​​نتيجة لعملية التفاف لدالة هيفسايد الخطوية (إذا لم تكن الدورية مطلوبة) أو موجة مربعة (إذا كانت دورية) مع دالة sinc: حيث تُسبب التذبذبات في دالة sinc التموجات في الخرج.

التكامل الجيبي ، الذي يُظهر ظاهرة جيبس ​​لدالة متدرجة على الخط الحقيقي

في حالة الالتفاف مع دالة هيفسايد المتدرجة، تكون الدالة الناتجة هي بالضبط تكامل دالة sinc، أي تكامل الجيب ؛ أما بالنسبة للموجة المربعة، فالوصف ليس بهذه البساطة. بالنسبة للدالة المتدرجة، يكون مقدار الانخفاض هو بالضبط تكامل الذيل الأيسر حتى أول صفر سالب: بالنسبة لدالة sinc المعيارية ذات فترة أخذ عينات تساوي واحدًا، يكون هذا هو∫-∞-1الخطيئة⁡(πx)πxدx.{\textstyle \int _{-\infty }^{-1}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx.}وبالتالي فإن التجاوز يكون من نفس الحجم: تكامل الذيل الأيمن أو (بصورة مكافئة) الفرق بين التكامل من اللانهاية السالبة إلى الصفر الموجب الأول ناقص 1 (القيمة غير المتجاوزة).

يمكن فهم التجاوز والنقص على النحو التالي: تُعايَر النوى عادةً بحيث يكون مجموع قيمها 1، مما ينتج عنه تحويل الدوال الثابتة إلى دوال ثابتة - وإلا فإن لها كسبًا . قيمة الالتفاف عند نقطة ما هي توليفة خطية لإشارة الإدخال، بمعاملات (أوزان) تمثل قيم النواة.

إذا كانت دالة النواة غير سالبة، كما هو الحال في دالة النواة الغاوسية ، فإن قيمة الإشارة المُرشَّحة ستكون توليفة محدبة من قيم الإدخال (معاملات دالة النواة تُكامل إلى 1، وهي غير سالبة)، وبالتالي ستقع بين الحد الأدنى والحد الأقصى لإشارة الإدخال - لن تتجاوزها أو تقل عنها. أما إذا كانت دالة النواة سالبة، كما هو الحال في دالة sinc، فإن قيمة الإشارة المُرشَّحة ستكون توليفة خطية من قيم الإدخال، وقد تقع خارج نطاق الحد الأدنى والحد الأقصى لإشارة الإدخال، مما يؤدي إلى تجاوزها أو انخفاضها، كما في ظاهرة جيبس.

يُقابل التوسع الأطول - أي القطع عند تردد أعلى - في مجال التردد توسيع نطاق دالة sinc، وهو ما يُقابله في مجال الزمن تضييق دالة sinc وزيادة ارتفاعها بنفس النسبة، مع بقاء التكاملات بين النقاط المتناظرة دون تغيير. هذه سمة عامة لتحويل فورييه: فالتوسع في أحد المجالين يُقابله تضييق وزيادة في الارتفاع في المجال الآخر. ينتج عن ذلك تذبذبات في دالة sinc أضيق وأعلى، وفي الدالة المُفلترة بعد الالتفاف، ينتج تذبذبات أضيق (وبالتالي ذات مساحة أصغر ) ولكن دون انخفاض في السعة : فالقطع عند أي تردد محدود ينتج عنه دالة sinc، مهما كانت ضيقة، بنفس تكاملات الذيل. وهذا يُفسر استمرار التجاوز والنقصان.

وبالتالي، يتم تفسير خصائص ظاهرة جيبس ​​على النحو التالي:

  • يرجع الانخفاض إلى أن استجابة النبضة لها تكامل ذيل سالب، وهو أمر ممكن لأن الدالة تأخذ قيمًا سالبة؛
  • يعوض التجاوز هذا عن طريق التناظر (التكامل الكلي لا يتغير تحت الترشيح)؛
  • إن استمرار التذبذبات يرجع إلى أن زيادة القطع تضيق استجابة النبضة ولكنها لا تقلل من تكاملها - وبالتالي تتحرك التذبذبات نحو عدم الاستمرارية، ولكنها لا تنخفض في الحجم.

تحليل الموجة المربعة

رسم متحرك لعملية التركيب الجمعي لموجة مربعة (بدورية 1 وسعة ذروة إلى ذروة 2 من -1 إلى 1) مع تزايد عدد التوافقيات. تظهر ظاهرة جيبس ​​على شكل تذبذبات حول نقاط انقطاع القفزة، خاصةً عندما يكون عدد التوافقيات كبيرًا.

نقوم بدراسةشمال{\textstyle N}متسلسلة فورييه الجزئيةSشمالو(x){\textstyle S_{N}f(x)}موجة مربعةو(x){\textstyle f(x)}مع الدوريةل{\textstyle L}وعدم استمرارية القفزة العمودية "الكاملة"ج{\textstyle c}منy=y0{\textstyle y=y_{0}}فيx=x0{\textstyle x=x_{0}}بسبب حالة الغرابةشمال{\textstyle N}الأمر مشابه جداً، فلنتعامل مع الحالة عندماشمال{\textstyle N}زوجي:

Sشمالو(x)=(y0+ج2)+2جπ(الخطيئة⁡(ω(x-x0))+13الخطيئة⁡(3ω(x-x0))+⋯+1شمال-1الخطيئة⁡((شمال-1)ω(x-x0))){\displaystyle S_{N}f(x)=\left(y_{0}+{\frac {c}{2}}\right)+{\frac {2c}{\pi }}\left(\sin(\omega (x-x_{0}))+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega (x-x_{0}))+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin((N-1)\omega (x-x_{0}))\right)}

معω=2πل{\textstyle \omega ={\frac {2\pi }{L}}}. (شمال=2شمال′{\textstyle N=2N'}أينشمال′{\textstyle N'}يمثل عدد مكونات متسلسلة فورييه الجيبية غير الصفرية، لذا توجد مراجع تستخدمشمال′{\textstyle N'}بدلاً منشمال{\textstyle N}.) الاستبدالx=x0{\textstyle x=x_{0}}(نقطة انقطاع)، نحصل على Sشمالو(x0)=(y0+ج2)=و(0-)+و(0+)2=y0+(y0+ج)2{\displaystyle S_{N}f(x_{0})=\left(y_{0}+{\frac {c}{2}}\right)={\frac {f(0^{-})+f(0^{+})}{2}}={\frac {y_{0}+(y_{0}+c)}{2}}} كما هو مذكور أعلاه. (الحد الأول الذي يبقى هو متوسط ​​متسلسلة فورييه.)

بعد ذلك، نجد القيمة العظمى الأولى للتذبذب حول نقطة الانقطاعx=x0{\textstyle x=x_{0}}عن طريق التحقق من المشتقات الأولى والثانية لـSشمالو(x){\textstyle S_{N}f(x)}الشرط الأول للقيمة القصوى هو أن المشتقة الأولى تساوي صفرًا عندما

ددxSشمالو(x)=2جπ(كوس⁡(ω(x-x0))+كوس⁡(3ω(x-x0))+⋯+كوس⁡((شمال-1)ω(x-x0)))=جπالخطيئة⁡(شمالω(x-x0))الخطيئة⁡(ω(x-x0))=0{\displaystyle {\frac {d}{dx}}S_{N}f(x)={\frac {2c}{\pi }}\left(\cos(\omega (x-x_{0}))+\cos(3\omega (x-x_{0}))+\cdots +\cos((N-1)\omega (x-x_{0}))\right)={\frac {c}{\pi }}{\frac {\sin(N\omega (x-x_{0}))}{\sin(\omega (x-x_{0}))}}=0}

حيث أن المساواة الثانية مستمدة من إحدى متطابقات لاغرانج المثلثية . حل هذا الشرط يعطيx-x0=كπ/(شمالω)=كل/(2شمال){\textstyle x-x_{0}=k\pi /(N\omega )=kL/(2N)}للأعداد الصحيحةك{\textstyle k}باستثناء مضاعفاتشمالω{\textstyle N\omega }لتجنب المقام الصفري، لذلكك=1،2،...،شمالω-1،شمالω+1،...{\textstyle k=1,2,\ldots ,N\omega -1,N\omega +1,\ldots } ويُسمح بصورهم السلبية.

المشتقة الثانية لـSشمالو(x){\textstyle S_{N}f(x)}فيx-x0=كل/(2شمال){\textstyle x-x_{0}=kL/(2N)}يكون

د2دx2Sشمالو(x)=جωπ(شمالكوس⁡(شمالω(x-x0))الخطيئة⁡(ω(x-x0))-الخطيئة⁡(شمالω(x-x0))كوس⁡(ω(x-x0))الخطيئة2⁡(ω(x-x0)))،{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}S_{N}f(x)={\frac {c\omega }{\pi }}\left({\frac {N\cos(N\omega (x-x_{0}))\sin(\omega (x-x_{0}))-\sin(N\omega (x-x_{0}))\cos(\omega (x-x_{0}))}{\sin ^{2}(\omega (x-x_{0}))}}\right),}د2دx2Sشمالو(x)|x0+كل/(2شمال)={2جلشمالالخطيئة⁡(كπ/شمال)،لو ك زوجي،2جل-شمالالخطيئة⁡(كπ/شمال)،لو ك هذا غريب.{\displaystyle \left.{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}S_{N}f(x)\right\vert _{x_{0}+kL/(2N)}={\begin{cases}{\frac {2c}{L}}{\frac {N}{\sin(k\pi /N)}},&{\text{if }}k{\text{ is even,}}\\[4pt]{\frac {2c}{L}}{\frac {-N}{\sin(k\pi /N)}},&{\text{if }}k{\text{ is odd.}}\end{cases}}}

وبالتالي، تحدث القيمة العظمى الأولى عندx=x0+ل/(2شمال){\textstyle x=x_{0}+L/(2N)}(ك=1{\textstyle k=1}) وSشمالو(x){\textstyle S_{N}f(x)}في هذاx{\textstyle x}القيمة هي Sشمالو(x0+ل2شمال)=(y0+ج2)+2جπ(الخطيئة⁡(πشمال)+13الخطيئة⁡(3πشمال)+⋯+1شمال-1الخطيئة⁡((شمال-1)πشمال)){\displaystyle S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=\left(y_{0}+{\frac {c}{2}}\right)+{\frac {2c}{\pi }}\left(\sin \left({\frac {\pi }{N}}\right)+{\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {3\pi }{N}}\right)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin \left({\frac {(N-1)\pi }{N}}\right)\right)}

إذا أدخلنا دالة sinc المعياريةمنذ⁡(x)=الخطيئة⁡(πx)πx{\textstyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}لx≠0{\textstyle x\neq 0}يمكننا إعادة صياغة هذا على النحو التالي: Sشمالو(x0+ل2شمال)=(y0+ج2)+ج[2شمالمنذ⁡(1شمال)+2شمالمنذ⁡(3شمال)+⋯+2شمالمنذ⁡((شمال-1)شمال)].{\displaystyle S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+c\left[{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{N}}\right)+{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {3}{N}}\right)+\cdots +{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {(N-1)}{N}}\right)\right].}

لحجم كبير بما فيه الكفايةشمال{\textstyle N}التعبير الموجود بين قوسين مربعين هو تقريب مجموع ريمان للتكامل∫01منذ⁡(x) دx{\textstyle \int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\ dx}(بشكل أدق، هو تقريب لقاعدة نقطة المنتصف مع تباعد)2شمال{\displaystyle {\tfrac {2}{N}}}بما أن دالة sinc متصلة، فإن هذا التقريب يتقارب إلى التكامل عندماشمال→∞{\displaystyle N\to \infty }وبالتالي، لدينا

ليمشمال→∞Sشمالو(x0+ل2شمال)=(y0+ج2)+ج∫01منذ⁡(x)دx=(y0+ج2)+جπ∫x=01الخطيئة⁡(πx)πxد(πx)=(y0+ج2)+جπ∫0πالخطيئة⁡(ت)ت دت=(y0+ج)+ج⋅(0.089489872236...)،{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)&=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+c\int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\,dx\\[8pt]&=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+{\frac {c}{\pi }}\int _{x=0}^{1}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,d(\pi x)\\[8pt]&=(y_{0}+{\frac {c}{2}})+{\frac {c}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(t)}{t}}\ dt\quad =\quad (y_{0}+c)+c\cdot (0.089489872236\dots ),\end{aligned}}}

وهو ما تم ذكره في القسم السابق. وتُظهر عملية حسابية مماثلة

ليمشمال→∞Sشمالو(x0-ل2شمال)=-ج∫01منذ⁡(x)دx=y0-ج⋅(0.089489872236...).{\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}-{\frac {L}{2N}}\right)=-c\int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\,dx=y_{0}-c\cdot (0.089489872236\dots ).}

عواقب

تُعدّ ظاهرة جيبس ​​غير مرغوب فيها لأنها تُسبب تشوهات، وتحديدًا تشوهات ناتجة عن تجاوزات وانخفاضات الإشارة، وتشوهات رنين ناتجة عن التذبذبات. في حالة الترشيح الترددي المنخفض، يُمكن تقليل هذه التشوهات أو إزالتها باستخدام مرشحات ترددية منخفضة مختلفة.

في التصوير بالرنين المغناطيسي ، تتسبب ظاهرة جيبس ​​في ظهور تشوهات في الصور عند وجود مناطق متجاورة ذات شدة إشارة مختلفة بشكل ملحوظ. ويُلاحظ هذا بشكل شائع في صور الرنين المغناطيسي للعمود الفقري، حيث قد تُحاكي ظاهرة جيبس ​​مظهر التكهف النخاعي .

تتجلى ظاهرة جيبس ​​كتشوه نمطي متقاطع في تحويل فورييه المنفصل للصورة، [ 18 ] حيث تتميز معظم الصور (مثل الصور المجهرية أو الفوتوغرافية) بانقطاع حاد بين الحدود في أعلى/أسفل الصورة ويسارها/يمينها. عند فرض شروط حدودية دورية في تحويل فورييه، يُمثَّل هذا الانقطاع المفاجئ بسلسلة متصلة من الترددات على طول المحاور في الفضاء المتبادل (أي نمط متقاطع للشدة في تحويل فورييه).

وعلى الرغم من أن هذه المقالة ركزت بشكل أساسي على صعوبة محاولة إنشاء انقطاعات دون تشوهات في المجال الزمني باستخدام متسلسلة فورييه جزئية فقط، فمن المهم أيضًا مراعاة أنه نظرًا للتشابه الكبير بين تحويل فورييه العكسي وتحويل فورييه ، فإن هناك صعوبة مماثلة في محاولة إنشاء انقطاعات في المجال الترددي باستخدام متسلسلة فورييه جزئية فقط. فعلى سبيل المثال، نظرًا لأن مرشحات جدار الطوب والمرشحات المستطيلة المثالية تحتوي على انقطاعات في المجال الترددي ، فإن تمثيلها الدقيق في المجال الزمني يتطلب بالضرورة استجابة نبضية لمرشح sinc لا نهائية الطول ، حيث أن الاستجابة النبضية المحدودة ستؤدي إلى تموج جيبس ​​في الاستجابة الترددية بالقرب من ترددات القطع ، على الرغم من إمكانية تقليل هذا التموج عن طريق تطبيق نافذة على مرشحات الاستجابة النبضية المحدودة (على حساب نطاقات انتقال أوسع). [ 19 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ إتش إس كارزلو (1930). "الفصل التاسع" . مقدمة في نظرية متسلسلات وتكاملات فورييه (  الطبعة الثالثة). نيويورك: منشورات دوفر.
  2. ↑ Vretblad 2000 القسم 4.7.
  3. ↑ "6.7: ظواهر جيبس" . نصوص هندسية حرة . 24-05-2020 . تم الاسترجاع في 03-03-2022 .
  4. 1 2 م. بينسكي (2002). مقدمة في تحليل فورييه والمويجات . الولايات المتحدة الأمريكية: بروكس/كول. ص 27 . 
  5. ↑ ستيفن ر. فينش، الثوابت الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، 2003، القسم 4.1 ثابت جيبس-ويلبراهام، ص 249.
  6. ↑ ويلبراهام، هنري (1848) "حول دالة دورية معينة" ، مجلة كامبريدج ودبلن الرياضية ، 3  : 198-201.
  7. ^ Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen (PDF) . المجلد. II T. 1 H 1. فيسبادن: Vieweg+Teubner Verlag. 1914. ص. 1049 . تم الاسترجاع في 14 سبتمبر 2016 .  
  8. ↑ هاماك، بيل؛ كرانز، ستيف؛ كاربنتر، بروس (29-10-2014). محلل التوافقيات لألبرت ميكلسون: جولة بصرية في آلة من القرن التاسع عشر تُجري تحليل فورييه . دار نشر أرتيكوليت نويز. رقم ISBN 978-0-9839661-7-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 سبتمبر 2016 .
  9. 1 2 هيويت، إدوين؛ هيويت، روبرت إي. (1979). "ظاهرة جيبس-ويلبرهام: حلقة في تحليل فورييه". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 21 (2): 129-160 . doi : 10.1007/BF00330404 . S2CID 119355426 . متاح عبر الإنترنت على: جامعة تشياو تونغ الوطنية: موارد تعليمية مفتوحة: هيويت وهيويت، 1979. مؤرشف بتاريخ 4 مارس 2016 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
  10. ↑ بوشيه، ماكسيم (أبريل 1906) "مقدمة في نظرية متسلسلات فورييه" ، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 7 (3) : 81-152. تمت مناقشة ظاهرة جيبس ​​في الصفحات 123-132؛ وتم ذكر دور جيبس ​​في الصفحة 129.
  11. ↑ كارزلو، إتش إس (1 أكتوبر 1925). "ملاحظة تاريخية حول ظاهرة جيبس ​​في متسلسلات وتكاملات فورييه" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 31 (8): 420-424 . doi : 10.1090/s0002-9904-1925-04081-1 . ISSN 0002-9904 . تاريخ الاسترجاع: 14 سبتمبر 2016 . 
  12. ↑ غوتليب، ديفيد؛ شو، تشي وانغ (يناير 1997). "حول ظاهرة غيبس وحلها" . مجلة SIAM . 39 (4): 644-668 . Bibcode : 1997SIAMR..39..644G . doi : 10.1137/S0036144596301390 . ISSN 0036-1445 . 
  13. ↑ غوتليب، سيغال؛ جونغ، جاي هون؛ كيم، سايجا (مارس 2011). "مراجعة لأعمال ديفيد غوتليب حول حل ظاهرة غيبس" . مجلة الاتصالات في الفيزياء الحاسوبية . 9 (3): 497-519 . Bibcode : 2011CCoPh...9..497G . doi : 10.4208/cicp.301109.170510s . ISSN 1815-2406 . 
  14. ↑ راسموسن، هنريك أو. "ظاهرة جيبس ​​للمويجات". في المويجات والكسور وتحويلات فورييه ، تحرير إم. فارج وآخرون، مطبعة كلارندون، أكسفورد، 1993.
  15. ↑ كيلي، سوزان إي. (1995). "ظاهرة جيبس ​​للمويجات" (ملف PDF) . التحليل التوافقي التطبيقي والحسابي (3). مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 9 سبتمبر 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 مارس 2012 .
  16. ^ دي مارشي، ستيفانو ؛ ماركيتي، فرانشيسكو؛ بيراكيوني، إيما؛ بوجيالي، دافيد (2020). "استيفاء متعدد الحدود عبر القواعد المعينة دون إعادة التشكيل" . جي كومبيوتر. تطبيق. الرياضيات . 364 112347. دوى : 10.1016/j.cam.2019.112347 . ردمك 0377-0427 . S2CID 199688130 .  
  17. ↑ فاي، تمبل هـ.؛ كلوبيرز، ب. هندريك (2001). "ظاهرة جيبس" . المجلة الدولية للتعليم الرياضي في العلوم والتكنولوجيا . 32 (1): 73-89 . doi : 10.1080/00207390117151 .
  18. ↑ ر. هوفدين، ي. جيانغ، هـ. ل. شين، ل. ف. كوركوتيس (2015). "تقليل التشوهات الدورية في تحويلات فورييه لصور المجال الكامل بدقة ذرية" . المجهر والتحليل المجهري . 21 (2): 436-441 . arXiv : 2210.09024 . Bibcode : 2015MiMic..21..436H . doi : 10.1017/S1431927614014639 . PMID: 25597865. S2CID : 22435248 .  {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  19. ↑ "ظاهرة جيبس ​​| مدونات التسجيل" . www.recordingblogs.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 مارس 2022 .

مراجع