بنك الفلتر

One can define a narrow lowpass filter as a lowpass filter with a narrow passband. In order to create a multirate narrow lowpass FIR filter, one can replace the time-invariant FIR filter with a lowpass antialiasing filter and a decimator, along with an interpolator and lowpass anti-imaging filter. In this way, the resulting multirate system is a time-varying linear-phase filter via the decimator and interpolator. The lowpass filter consists of two polyphase filters, one for the decimator and one for the interpolator.^[4]

A filter bank divides the input signal ${\displaystyle x\left(n\right)}$ into a set of signals ${\displaystyle x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...}$. In this way each of the generated signals corresponds to a different region in the spectrum of ${\displaystyle x\left(n\right)}$. In this process it can be possible for the regions overlap (or not, based on application).

The generated signals ${\displaystyle x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...}$ can be generated via a collection of set of bandpass filters with bandwidths ${\displaystyle {\rm {BW_{1},BW_{2},BW_{3},...}}}$ and center frequencies ${\displaystyle f_{c1},f_{c2},f_{c3},...}$(respectively). A multirate filter bank uses a single input signal and then produces multiple outputs of the signal by filtering and subsampling. In order to split the input signal into two or more signals, an analysis-synthesis system can be used.

The signal would split with the help of four filters ${\displaystyle H_{k}(z)}$بالنسبة لـ k = 0، 1، 2، 3، يتم تقسيمها إلى 4 نطاقات بنفس عرض النطاق (في بنك التحليل)، ثم يتم تقليل كل إشارة فرعية بمعامل 4. في كل نطاق، من خلال تقسيم الإشارة في كل نطاق، سنحصل على خصائص إشارة مختلفة.

في قسم التركيب، يقوم المرشح بإعادة بناء الإشارة الأصلية: أولاً، عن طريق زيادة معدل أخذ العينات للإشارات الفرعية الأربع عند مخرج وحدة المعالجة بمعامل 4، ثم ترشيحها باستخدام 4 مرشحات تركيب.${\displaystyle F_{k}(z)}$بالنسبة لـ k = 0، 1، 2، 3. وأخيرًا، يتم جمع مخرجات هذه المرشحات الأربعة.

يُتيح إطار عمل بنك المرشحات ذي الزمن المتقطع إمكانية تضمين خصائص مُعتمدة على إشارة الإدخال المطلوبة في التصميم، بالإضافة إلى خاصية إعادة البناء المثالية التقليدية. وتُدمج الخصائص النظرية للمعلومات، مثل ضغط الطاقة المُعظّم، وإزالة الارتباط التام بين إشارات النطاقات الفرعية، وغيرها من الخصائص لبنية التغاير/الارتباط المُعطاة للإدخال، في تصميم بنوك المرشحات المثلى. ^{[ 5 ]} تُشبه بنوك المرشحات هذه تحويل كارونين-لوف (KLT) المُعتمد على الإشارة، وهو تحويل الكتلة الأمثل حيث يكون طول L لدوال الأساس (المرشحات) وبُعد الفضاء الفرعي M متساويين.

يمكننا استخدام التمثيل متعدد الأطوار، لذا إشارة الإدخال${\displaystyle x[n]}$يمكن تمثيلها بواسطة متجه من مكوناتها متعددة الأطوار${\displaystyle x(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}(X_{0}(z),...,X_{|M|-1}(z))^{T}}$. يدل${\displaystyle y(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}(Y_{0}(z),...,Y_{|N|-1}(z))^{T}.}$ لذلك كنا سنمتلك${\displaystyle y(z)=H(z)x(z)}$، أين${\displaystyle H_{i,j}(z)}$يشير إلى المكون متعدد الأطوار رقم j للمرشح${\displaystyle H_{i}(z)}$.

وبالمثل، بالنسبة لإشارة الخرج، سيكون لدينا${\displaystyle {\hat {x}}(z)=G(z)y(z)}$، أين${\displaystyle {\hat {x}}(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}({\hat {X}}_{0}(z),...,{\hat {X}}_{|M|-1}(z))^{T}}$. كذلك، G هي مصفوفة حيث${\displaystyle G_{i,j}(z)}$يشير إلى المكون متعدد الأطوار رقم i لمرشح التركيب رقم j Gj(z).

تتمتع مجموعة المرشحات بإعادة بناء مثالية إذا${\displaystyle x(z)={\hat {x}}(z)}$لأي مدخلات، أو ما يعادلها${\displaystyle I_{|M|}=G(z)H(z)}$وهذا يعني أن G(z) هو معكوس يساري لـ H(z).

فيما يلي عدة مناهج لتصميم بنوك المرشحات متعددة الأبعاد. لمزيد من التفاصيل، يرجى مراجعة المراجع الأصلية .

عندما يكون من الضروري إعادة بناء الإشارة المقسمة إلى الإشارة الأصلية، يمكن استخدام بنوك مرشحات إعادة البناء المثالية (PR).

لنفترض أن H( z ) هي دالة نقل مرشح. يُعرَّف حجم المرشح بأنه رتبة متعددة الحدود المناظرة له في كل بُعد. يحدد تناظر أو عدم تناظر متعددة الحدود خاصية الطور الخطي للمرشح المناظر، ويرتبط ذلك بحجمه. كما هو الحال في البُعد الواحد، فإن حد التداخل A(z) ودالة النقل T(z) لمجموعة مرشحات ثنائية القنوات هما: ^{[ 9 ]}

A( z )=1/2(H ₀ (- z ) F ₀ ( z )+H ₁ (- z ) F ₁ ( z )); T( z )=1/2(H ₀ ( z ) F ₀ ( z )+H ₁ ( z ) F ₁ ( z )), حيث H ₀ و H ₁ هما مرشحات التفكيك، و F ₀ و F ₁ هما مرشحات إعادة البناء.

يمكن إعادة بناء إشارة الإدخال بشكل مثالي إذا تم إلغاء الحد المستعار وكان T( z ) يساوي حدًا أحاديًا. لذا فإن الشرط الضروري هو أن يكون T'( z ) متناظرًا بشكل عام وأن يكون حجمه فرديًا.

تُعدّ مرشحات الطور الخطي PR مفيدة جدًا في معالجة الصور. ويُعتبر تنفيذ بنك المرشحات ثنائي القنوات هذا سهلًا نسبيًا. لكن في بعض الأحيان، لا تكفي قناتان. لذا، يمكن ربط بنوك المرشحات ثنائية القنوات على التوالي لإنشاء بنوك مرشحات متعددة القنوات.

تُعدّ بنوك المرشحات الاتجاهية متعددة الأبعاد (MDFB) فئةً من بنوك المرشحات التي تُتيح تحليل الإشارات متعددة الأبعاد (M) إلى اتجاهاتها باستخدام بنية شجرية بسيطة وفعّالة. تتميز هذه البنوك بخصائص عديدة، منها: التحليل الاتجاهي، والبنية الشجرية الفعّالة، والدقة الزاوية، وإعادة البناء المثالية. في الحالة العامة متعددة الأبعاد (M)، تُعتبر الأهرامات الفائقة القائمة على المكعبات الفائقة هي دعامات التردد المثالية لبنوك المرشحات الاتجاهية متعددة الأبعاد (MDFB). يتم تحقيق المستوى الأول من التحليل في بنوك المرشحات الاتجاهية متعددة الأبعاد (MDFB) بواسطة بنك مرشحات غير مُخفّض عدد القنوات (N)، حيث تكون مرشحاته المكونة عبارة عن مرشحات متعددة الأبعاد (MD) على شكل "ساعة رملية" مُحاذية للمحاور w1 _، ...، wM _على التوالي. بعد ذلك، تُحلل إشارة الإدخال بشكل إضافي بواسطة سلسلة من بنوك مرشحات رقعة الشطرنج ثنائية الأبعاد المُعاد تشكيلها بشكل تكراري IRC _li ^{( Li )} (حيث i=2,3,...,M)، حيث تعمل IRC _li ^{( Li )} على شرائح ثنائية الأبعاد من إشارة الإدخال المُمثلة بزوج الأبعاد (n1 _, ni _{) ، ويشير الرمز العلوي (Li) إلى مستويات التحليل لبنك المرشحات ذي المستوى} ⁱ . تجدر الإشارة إلى أنه بدءًا من المستوى الثاني، نُلحق بنك مرشحات IRC بكل قناة إخراج من المستوى السابق، وبالتالي يحتوي المرشح بأكمله على 2 ^{( L1 ₊ ... + LN ₎} قناة إخراج. ^{[ 10 ]}

تُعرف بنوك المرشحات ذات معدل أخذ العينات الزائد بأنها بنوك مرشحات متعددة المعدلات، حيث يكون عدد عينات الإخراج في مرحلة التحليل أكبر من عدد عينات الإدخال. وقد تم اقتراحها للتطبيقات التي تتطلب قدرة عالية على التحمل. ومن بين أنواع بنوك المرشحات ذات معدل أخذ العينات الزائد، بنوك المرشحات غير المُقلَّلة، والتي لا تخضع لعملية تقليل أو زيادة معدل أخذ العينات. ويمكن صياغة شرط إعادة البناء الأمثل لبنك مرشحات ذي معدل أخذ عينات زائد على أنه مسألة معكوسة مصفوفية في مجال متعدد الأطوار. ^{[ 11 ]}

بالنسبة لمجموعة مرشحات IIR ذات أخذ العينات الزائدة، دُرست إعادة البناء المثالية في بحثي وولوفيتش ^{[ 12 ]} وكايلاث ^{[ 13 ]} في سياق نظرية التحكم. أما بالنسبة لمجموعة مرشحات FIR ذات أخذ العينات الزائدة، فيجب استخدام استراتيجية مختلفة للبعد الواحد والبعد المتعدد. تُعد مرشحات FIR أكثر شيوعًا لسهولة تطبيقها. بالنسبة لمجموعة مرشحات FIR ذات أخذ العينات الزائدة أحادية البعد، تلعب خوارزمية إقليدس دورًا رئيسيًا في مسألة معكوس المصفوفة ^{[ 14 ]} . مع ذلك، تفشل خوارزمية إقليدس مع المرشحات متعددة الأبعاد. بالنسبة للمرشحات متعددة الأبعاد، يمكننا تحويل تمثيل FIR إلى تمثيل متعدد الحدود ^{[ 15 ]} ، ثم استخدام الهندسة الجبرية وقواعد غروبنر للحصول على الإطار وشرط إعادة بناء مجموعة مرشحات أخذ العينات الزائدة متعددة الأبعاد ^{[ 11 ] .}

تُعدّ بنوك المرشحات غير المُعاد أخذ عينات منها بنوك مرشحات مُفرطة أخذ العينات دون تقليل أو زيادة معدل أخذ العينات. ويؤدي شرط إعادة البناء المثالي لبنوك مرشحات FIR غير المُعاد أخذ عينات منها إلى مشكلة معكوسة متجهة: مرشحات التحليل${\displaystyle \{H_{1},...,H_{N}\}}$يتم إعطاء مرشحات FIR، والهدف هو إيجاد مجموعة من مرشحات توليف FIR${\displaystyle \{G_{1},...,G_{N}\}}$مُرضٍ. ^{[ 11 ]}

بما أن بنوك المرشحات متعددة الأبعاد يمكن تمثيلها بواسطة مصفوفات نسبية متعددة المتغيرات، فإن هذه الطريقة أداة فعالة للغاية يمكن استخدامها للتعامل مع بنوك المرشحات متعددة الأبعاد. ^{[ 15 ]}

في بحث شارو ^{[ 15 ]} ، تم تقديم ومناقشة خوارزمية تحليل المصفوفات متعددة الحدود. وتتمثل المشكلة الأكثر شيوعًا في بنوك المرشحات متعددة الأبعاد لإعادة بناء مثالية. تتناول هذه الورقة البحثية طريقة لتحقيق هذا الهدف مع مراعاة شرط الطور الخطي.

بحسب وصف الورقة البحثية، تُناقش بعض النتائج الجديدة في مجال التحليل وتُطبّق على مسائل إعادة بناء الطور الخطي متعدد الأبعاد باستخدام بنوك مرشحات الاستجابة النبضية المحدودة. وقد ورد المفهوم الأساسي لقواعد غروبنر في مرجع آدامز ^{[ 16 ] .}

يمكن استخدام هذا النهج القائم على تحليل المصفوفات متعددة المتغيرات في مجالات مختلفة. ويمكن تعديل النظرية الخوارزمية للمثاليّات والوحدات متعددة الحدود لمعالجة مشاكل معالجة وضغط ونقل وفك تشفير الإشارات متعددة الأبعاد.

يمكن تمثيل بنك المرشحات متعدد الأبعاد العام (الشكل 7) بواسطة زوج من مصفوفات التحليل والتركيب متعددة الأطوار.${\displaystyle H(z)}$و${\displaystyle G(z)}$من الحجم${\displaystyle N\times M}$و${\displaystyle M\times N}$، حيث N هو عدد القنوات و${\displaystyle M{\stackrel {\rm {def}}{=}}|M|}$هي القيمة المطلقة لمحدد مصفوفة المعاينة.${\displaystyle H(z)}$و${\displaystyle G(z)}$تمثل هذه القيم تحويل z للمكونات متعددة الأطوار لمرشحات التحليل والتركيب. ولذلك، فهي عبارة عن كثيرات حدود لوران متعددة المتغيرات ، والتي تأخذ الشكل العام التالي:

${\displaystyle F(z)=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{d}}f[k]z^{k}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{d}}f[k_{1},...,k_{d}]z_{1}^{k_{1}}...z_{d}^{k_{d}}}$.

يجب حل معادلة مصفوفة لوران متعددة الحدود لتصميم بنوك مرشحات إعادة البناء المثالية:

${\displaystyle G(z)H(z)=I_{|M|}}$.

في الحالة متعددة الأبعاد مع كثيرات الحدود متعددة المتغيرات، نحتاج إلى استخدام نظرية وخوارزميات قواعد غروبنر. ^{[ 17 ]}

يمكن استخدام قواعد غروبنر لتوصيف بنوك المرشحات متعددة الأبعاد لإعادة البناء المثالية، ولكن يلزم أولاً توسيعها من المصفوفات متعددة الحدود إلى مصفوفات لوران متعددة الحدود . ^{[ 18 ] [ 19 ]}

يمكن اعتبار حساب أساس غروبنر مكافئًا لعملية حذف غاوس لحل معادلة المصفوفة متعددة الحدود ${\displaystyle G(z)H(z)=I_{|M|}}$إذا كان لدينا مجموعة من متجهات متعددة الحدود

${\displaystyle \mathrm {Module} \left\{h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\}{\stackrel {\rm {def}}{=}}\{c_{1}(z)h_{1}(z)+...+c_{N}(z)h_{N}(z)\}}$

أين${\displaystyle c_{1}(z),...,c_{N}(z)}$هي كثيرات الحدود.

الوحدة النمطية تُشابه مدى مجموعة المتجهات في الجبر الخطي. وتُشير نظرية قواعد غروبنر إلى أن للوحدة النمطية قاعدة غروبنر مُختزلة فريدة لرتبة مُعينة من جداءات القوى في كثيرات الحدود.

إذا عرّفنا أساس غروبنر على النحو التالي${\displaystyle \left\{b_{1}(z),...,b_{N}(z)\right\}}$ويمكن الحصول عليه من${\displaystyle \left\{h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\}}$من خلال سلسلة محدودة من خطوات الاختزال (القسمة).

باستخدام الهندسة العكسية، يمكننا حساب متجهات الأساس${\displaystyle b_{i}(z)}$بدلالة المتجهات الأصلية${\displaystyle h_{j}(z)}$من خلال${\displaystyle K\times N}$مصفوفة التحويل${\displaystyle W_{ij}(z)}$مثل:

${\displaystyle b_{i}(z)=\sum _{j=1}^{N}W_{ij}(z)h_{j}(z),i=1,...,K}$

يُعدّ تصميم المرشحات ذات الاستجابات الترددية الجيدة تحديًا باستخدام منهجية قواعد غروبنر. ويُستخدم التصميم القائم على التعيين على نطاق واسع لتصميم بنوك مرشحات متعددة الأبعاد غير قابلة للفصل ذات استجابات ترددية جيدة. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

تفرض أساليب التخطيط قيودًا معينة على أنواع المرشحات؛ ومع ذلك، فإنها توفر العديد من المزايا المهمة، مثل التنفيذ الفعال عبر هياكل الرفع/السلم. نقدم هنا مثالًا على بنوك مرشحات ثنائية القنوات ثنائية الأبعاد مع مصفوفة أخذ العينات. ${\displaystyle D_{1}=\left[{\begin{array}{cc}2&0\\0&1\end{array}}\right]}$ سيكون لدينا عدة خيارات ممكنة للاستجابات الترددية المثالية لمرشح القناة${\displaystyle H_{0}(\xi )}$و${\displaystyle G_{0}(\xi )}$(لاحظ أن المرشحين الآخرين${\displaystyle H_{1}(\xi )}$و${\displaystyle G_{1}(\xi )}$(مدعومة على مناطق تكميلية.) يمكن أخذ عينات دقيقة من جميع نطاقات التردد في الشكل بواسطة الشبكة المستطيلة الممتدة بواسطة${\displaystyle D_{1}}$لنفترض أن مجموعة المرشحات تحقق إعادة بناء مثالية باستخدام مرشحات FIR. من خلال توصيف مجال متعدد الأطوار، يتضح أن المرشحين H1(z) و G1(z) محددان بالكامل بواسطة H0(z) و G0(z) على التوالي. لذلك ، نحتاج إلى تصميم H0(z) و G0(z) بحيث يكون لهما استجابات ترددية مطلوبة ويحققان شروط مجال متعدد الأطوار. ${\displaystyle H_{0}(z_{1},z_{2})G_{0}(z_{1},z_{2})+H_{0}(-z_{1},z_{2})G_{0}(-z_{1},z_{2})=2}$ توجد تقنيات رسم خرائط مختلفة يمكن استخدامها للحصول على النتيجة المذكورة أعلاه. ^{[ 22 ]}

عندما لا تكون إعادة البناء المثالية ضرورية، يمكن تبسيط مشكلة التصميم بالعمل في مجال التردد بدلاً من استخدام مرشحات FIR. ^{[ 23 ] [ 24 ]} تجدر الإشارة إلى أن طريقة مجال التردد لا تقتصر على تصميم بنوك المرشحات غير المُعاد أخذ عينات منها (انظر ^{[ 25 ]} ).

تعتمد العديد من الطرق الحالية لتصميم بنوك مرشحات ثنائية القنوات على تقنية تحويل المتغيرات. على سبيل المثال، يمكن استخدام تحويل ماكليلان لتصميم بنوك مرشحات أحادية البعد ثنائية القنوات. ورغم أن بنوك المرشحات ثنائية الأبعاد تشترك في العديد من الخصائص مع النموذج الأولي أحادي البعد، إلا أنه من الصعب توسيع نطاقها ليشمل حالات أكثر من قناتين. ^{[ 26 ]}

في بحث نغوين ^{[ 26 ]،} يتناول المؤلفون تصميم بنوك مرشحات متعددة الأبعاد من خلال التحسين المباشر في مجال التردد. تركز الطريقة المقترحة هنا بشكل أساسي على تصميم بنوك مرشحات ثنائية الأبعاد ذات M قناة. وتتميز هذه الطريقة بمرونتها في التعامل مع مختلف تكوينات دعم التردد. وقد استُخدمت بنوك مرشحات ثنائية الأبعاد مصممة بالتحسين في مجال التردد في بحثي وي ^{[ 27 ]} ولو ^{[ 28 ]} . في بحث نغوين ^{[ 26 ]،} لا تقتصر الطريقة المقترحة على تصميم بنوك مرشحات ثنائية الأبعاد ذات قناتين، بل تُعمم لتشمل بنوك مرشحات ذات M قناة مع أي مصفوفة أخذ عينات فرعية حرجة. ووفقًا للتطبيق الوارد في البحث، يمكن استخدامها لتصميم بنوك مرشحات ثنائية الأبعاد تصل إلى 8 قنوات.

(6) مصفوفة الغلاف العكسي ^{[ 29 ]}

في ورقة لي البحثية لعام 1999، ^{[ 29 ]،} يتحدث المؤلفون عن تصميم بنك مرشحات متعدد الأبعاد باستخدام مصفوفة غلاف معكوسة . لنفترض أن H مصفوفة هادامارد من الرتبة n ، فإن منقولة H ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمعكوسها. الصيغة الصحيحة هي:${\displaystyle HH^{T}=I_{n}}$حيث تمثل I _{_n} مصفوفة الوحدة من الرتبة n×n، و H_^T منقولة H. في ورقة بحثية نُشرت عام 1999، ^{[ 29 ]،} عمّم المؤلفون مصفوفة الغلاف العكسي [RJ]_{_N} باستخدام مصفوفات هادامارد ومصفوفات هادامارد الموزونة. ^{[ 30 ] [ 31 ]}

في هذه الورقة البحثية، اقترح الباحثون استخدام مرشح FIR ذي 128 نقطة كمرشح أساسي، وحُسب عامل التخفيض لمصفوفات RJ. وقد أجروا محاكاة بناءً على معايير مختلفة، وحققوا أداءً جيدًا عند استخدام عامل تخفيض منخفض.

• هاريس، فريدريك ج. (2004). معالجة الإشارات متعددة المعدلات لأنظمة الاتصالات . أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول بي تي آر. رقم ISBN 0-13-146511-2.