معضلة النقطة الثابتة للدوال العادية

تُعدّ مبرهنة النقطة الثابتة للدوال الطبيعية نتيجةً أساسيةً في نظرية المجموعات البديهية، وتنص على أن أي دالة طبيعية لها نقاط ثابتة كبيرة كيفما كانت (ليفي 1979: ص  117). وقد أثبتها أوزوالد فيبلين لأول مرة عام 1908.

الدالة العادية هي دالة من فئة${\displaystyle f}$من فئة الأعداد الترتيبية Ord إلى نفسها بحيث:

• ${\displaystyle f}$يتزايد بشكل حاد :${\displaystyle f(\alpha )<f(\beta )}$حينما${\displaystyle \alpha <\beta }$.
• ${\displaystyle f}$متصلة : لكل حد ترتيبي${\displaystyle \lambda }$(أي${\displaystyle \lambda }$(ليس صفرًا ولا خلفًا)،${\displaystyle f(\lambda )=\sup\{f(\alpha ):\alpha <\lambda \}}$.

يمكن إثبات أنه إذا${\displaystyle f}$هذا طبيعي إذن${\displaystyle f}$يتبادل مع القيم العليا ؛ لأي مجموعة غير فارغة${\displaystyle A}$من الأعداد الترتيبية،

${\displaystyle f(\sup A)=\sup f(A)=\sup\{f(\alpha ):\alpha \in A\}}$.

في الواقع، إذا${\displaystyle \sup A}$إذا كان 0 أو ترتيبيًا لاحقًا،${\displaystyle \sup A}$هو عنصر من${\displaystyle A}$وتنتج المساواة من خاصية التزايد لـ${\displaystyle f}$. لو${\displaystyle \sup A}$إذا كان عددًا ترتيبيًا حديًا، فإن المساواة تتبع من خاصية الاستمرارية لـ${\displaystyle f}$.

النقطة الثابتة للدالة الطبيعية هي عدد ترتيبي${\displaystyle \beta }$بحيث${\displaystyle f(\beta )=\beta }$.

تنصّ مبرهنة النقطة الثابتة على أن فئة النقاط الثابتة لأي دالة طبيعية غير فارغة، بل هي في الواقع غير محدودة: بالنظر إلى أي عدد ترتيبي${\displaystyle \alpha }$يوجد ترتيبي${\displaystyle \beta }$بحيث${\displaystyle \beta \geq \alpha }$و${\displaystyle f(\beta )=\beta }$.

إن استمرارية الدالة الطبيعية تعني أن فئة النقاط الثابتة مغلقة (أي أن أعلى قيمة لأي مجموعة جزئية من فئة النقاط الثابتة هي نقطة ثابتة). وبالتالي، فإن مبرهنة النقطة الثابتة تُكافئ القول بأن النقاط الثابتة للدالة الطبيعية تُشكل فئة مغلقة وغير محدودة .

تتمثل الخطوة الأولى في البرهان في التحقق من أن${\displaystyle f(\gamma )\geq \gamma }$لجميع الأعداد الترتيبية${\displaystyle \gamma }$وذلك${\displaystyle f}$يتبادل مع القيم العليا. بناءً على هذه النتائج، حدد استقرائيًا متتالية متزايدة${\displaystyle \langle \alpha _{n}\rangle _{n<\omega }}$عن طريق الضبط${\displaystyle \alpha _{0}=\alpha }$، و${\displaystyle \alpha _{n+1}=f(\alpha _{n})}$ل${\displaystyle n\in \omega }$. يترك${\displaystyle \beta =\sup _{n<\omega }\alpha _{n}}$، لذا${\displaystyle \beta \geq \alpha }$علاوة على ذلك، لأن${\displaystyle f}$يتنقل مع سوبريما،

${\displaystyle f(\beta )=f(\sup _{n<\omega }\alpha _{n})}$

${\displaystyle \qquad =\sup _{n<\omega }f(\alpha _{n})}$

${\displaystyle \qquad =\sup _{n<\omega }\alpha _{n+1}}$

${\displaystyle \qquad =\beta }$

تنتج المساواة الأخيرة من حقيقة أن المتتالية${\displaystyle \langle \alpha _{n}\rangle _{n}}$يزداد. ${\displaystyle \square }$

على سبيل المثال، يمكن إثبات أن${\displaystyle \beta }$يتم إيجاد أصغر نقطة ثابتة أكبر من أو تساوي بهذه الطريقة${\displaystyle \alpha }$.

الدالة f  : Ord → Ord، f ( α ) = ωα _، هي دالة طبيعية (انظر الترتيب الأولي ). بالتالي، يوجد ترتيب θ بحيث θ = ωθ . في الواقع، تُبين اللمة وجود فئة مغلقة وغير محدودة من هذه القيم _θ .