الفئة (نظرية المجموعات)

في نظرية المجموعات وتطبيقاتها في مختلف فروع الرياضيات ، تُعرَّف الفئة بأنها مجموعة من الكائنات الرياضية (غالبًا مجموعات ) التي يمكن تعريفها بدقة من خلال خاصية مشتركة بين جميع عناصرها. تُتيح الفئات إمكانية الحصول على مجموعات شبيهة بالمجموعات مع اختلافها عنها لتجنب المفارقات، وخاصة مفارقة راسل (انظر قسم  المفارقات ). يعتمد التعريف الدقيق لـ "الفئة" على السياق الأساسي. ففي نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، يُستخدم مفهوم الفئة بشكل غير رسمي، بينما تُرسّخ نظريات مجموعات أخرى، مثل نظرية فون نيومان-بيرنايز-غودل ، مفهوم "الفئة الحقيقية"، أي الكيانات التي لا تنتمي إلى كيان آخر.

يُطلق على الصنف الذي لا يُمثل مجموعة (بشكل غير رسمي في نظرية زيرميلو-فرانكل) اسم الصنف الفعلي ، بينما يُطلق على الصنف الذي يُمثل مجموعة اسم الصنف الصغير . على سبيل المثال، يُعد صنف جميع الأعداد الترتيبية ، وصنف جميع المجموعات، من الأصناف الفعلية في العديد من الأنظمة الرسمية.

في كتابات كواين المتعلقة بنظرية المجموعات، غالبًا ما يتم استخدام عبارة "الفئة النهائية" بدلاً من عبارة "الفئة المناسبة" للتأكيد على أنه في الأنظمة التي يعتبرها، لا يمكن أن تكون فئات معينة أعضاء، وبالتالي فهي الحد النهائي في أي سلسلة عضوية تنتمي إليها.

خارج نطاق نظرية المجموعات، يُستخدم مصطلح "الفئة" أحيانًا كمرادف لمصطلح "المجموعة". يعود هذا الاستخدام إلى فترة تاريخية لم يكن فيها التمييز بين الفئات والمجموعات واضحًا كما هو الحال في المصطلحات الحديثة لنظرية المجموعات. ^{[ 1 ]} العديد من المناقشات حول "الفئات" في القرن التاسع عشر وما قبله كانت في الواقع تشير إلى المجموعات، أو ربما دارت دون مراعاة أن بعض الفئات قد لا تُصنَّف كمجموعات.

عادةً ما تُشكّل مجموعة جميع البنى الجبرية من نوعٍ مُحدد فئةً حقيقية. ومن الأمثلة على ذلك فئة جميع الزمر ، وفئة جميع الفضاءات المتجهة ، وغيرها الكثير. في نظرية الفئات ، تُسمى الفئة التي تُشكّل مجموعة عناصرها فئةً حقيقية (أو التي تُشكّل مجموعة تشاكلاتها فئةً حقيقية) فئةً كبيرة .

الأعداد السريالية هي فئة مناسبة من الكائنات التي لها خصائص الحقل .

في نظرية المجموعات، تبين أن العديد من مجموعات المجموعات هي فئات حقيقية. ومن الأمثلة على ذلك فئة جميع المجموعات (الفئة الشاملة)، وفئة جميع الأعداد الترتيبية، وفئة جميع الأعداد الأصلية .

إحدى طرق إثبات أن فئة ما هي فئة حقيقية هي وضعها في تقابل مع فئة جميع الأعداد الترتيبية. تُستخدم هذه الطريقة، على سبيل المثال، في إثبات عدم وجود شبكة كاملة حرة على ثلاثة مولدات أو أكثر .

يمكن تفسير مفارقات نظرية المجموعات البسيطة من خلال الافتراض الضمني غير المتسق القائل بأن "جميع الفئات هي مجموعات". لكن مع أساس متين، تُشير هذه المفارقات إلى براهين تُثبت أن بعض الفئات هي فئات حقيقية (أي أنها ليست مجموعات). على سبيل المثال، تُشير مفارقة راسل إلى برهان على أن فئة جميع المجموعات التي لا تحتوي على نفسها هي فئة حقيقية، وتُشير مفارقة بورالي-فورتي إلى أن فئة جميع الأعداد الترتيبية هي فئة حقيقية. لا تنشأ هذه المفارقات مع الفئات لأنه لا يوجد مفهوم للفئات التي تحتوي على فئات أخرى. وإلا، لكان من الممكن، على سبيل المثال، تعريف فئة لجميع الفئات التي لا تحتوي على نفسها، مما سيؤدي إلى مفارقة راسل للفئات. من ناحية أخرى، يمكن أن تحتوي المجموعة المُدمجة على فئات حقيقية كأعضاء. ^{[ 2 ]}

لا تُضفي نظرية المجموعات ZF طابعًا رسميًا على مفهوم الفئات، لذا يجب اختزال كل صيغة تحتوي على فئات نحويًا إلى صيغة لا تحتوي على فئات. ^{[ 3 ]} على سبيل المثال، يمكن اختزال الصيغة${\displaystyle A=\{x\mid x=x\}}$ل${\displaystyle \forall x(x\in A\leftrightarrow x=x)}$لفصل دراسي${\displaystyle A}$ورمز متغير المجموعة${\displaystyle x}$من الضروري أن تكون قادراً على توسيع كل صيغة من الصيغ.${\displaystyle x\in A}$،${\displaystyle x=A}$،${\displaystyle A\in x}$، و${\displaystyle A=x}$في صيغة دون ظهور أي فئة. ^{[ 4 ] ص 339}

من الناحية الدلالية، في لغة وصفية ، يمكن وصف الفئات بأنها فئات تكافؤ للصيغ المنطقية : إذا${\displaystyle {\mathcal {A}}}$هو بنية تفسر ZF، ثم تعبير "بناء الفئة" في لغة الكائن${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$يُفسَّر في${\displaystyle {\mathcal {A}}}$من خلال جمع جميع العناصر من نطاق${\displaystyle {\mathcal {A}}}$على أي${\displaystyle \phi (x)}$ينطبق؛ وبالتالي، يمكن وصف الفئة بأنها مجموعة جميع المسندات المكافئة لـ${\displaystyle \phi }$(والذي يشمل${\displaystyle \phi }$(نفسها). على وجه الخصوص، يمكن تعريف "فئة جميع المجموعات" بأنها مجموعة جميع المسندات المكافئة لـ${\displaystyle x=x}$.

لأن الفئات لا تتمتع بأي وضع رسمي في نظرية ZF، فإن بديهيات ZF لا تنطبق مباشرة على الفئات. ومع ذلك، إذا كان عدد أصلي غير قابل للوصول${\displaystyle \kappa }$إذا افترضنا ذلك، فإن مجموعات الرتبة الأصغر تشكل نموذجًا لـ ZF ( عالم غروتينديك )، ويمكن اعتبار مجموعاتها الفرعية بمثابة "فئات".

في ZF، يمكن تعميم مفهوم الدالة ليشمل الفئات. دالة الفئة ليست دالة بالمعنى المعتاد، لأنها ليست مجموعة؛ بل هي بالأحرى صيغة.${\displaystyle \Phi (x,y)}$مع الخاصية التي لأي مجموعة${\displaystyle x}$لا يوجد أكثر من مجموعة واحدة${\displaystyle y}$بحيث يكون الزوج${\displaystyle (x,y)}$يرضي${\displaystyle \Phi }$على سبيل المثال، يمكن التعبير عن دالة الفئة التي تربط كل مجموعة بمجموعة القوى الخاصة بها بالصيغة التالية:${\displaystyle y={\mathcal {P}}(x)}$حقيقة أن الزوج المرتب${\displaystyle (x,y)}$يرضي${\displaystyle \Phi }$يمكن التعبير عنها باستخدام الترميز المختصر${\displaystyle \Phi (x)=y}$.

يُتّبع نهجٌ آخر من خلال بديهيات فون نيومان-بيرنايز-غودل (NBG)؛ حيث تُعدّ الأصناف الكائنات الأساسية في هذه النظرية، ويُعرَّف أيّ مجموعة بأنها صنفٌ ينتمي إلى صنفٍ آخر. مع ذلك، فإن بديهيات وجود الأصناف في NBG محدودةٌ بحيث تُطبَّق فقط على المجموعات، وليس على جميع الأصناف. وهذا ما يجعل NBG امتدادًا مُحافظًا لنظرية ZFC.

تقبل نظرية مورس-كيلي للمجموعات الأصناف الفعلية ككائنات أساسية، مثل نظرية NBG، ولكنها تسمح أيضًا بالتكميم على جميع الأصناف الفعلية في بديهيات وجود الأصناف. وهذا ما يجعل نظرية مورس-كيلي للمجموعات أقوى من حيث القوة المطلقة من كلٍّ من نظرية NBG ونظرية ZFC.

تُنتج نظريات المجموعات الأخرى، مثل نظرية الأسس الجديدة أو نظرية أنصاف المجموعات ، ما يُعرف بـ"الفئات الحقيقية" (بمعنى أنها تتطلب فئات ليست مجموعات)، لأنها لا تفترض أن جميع الفئات الفرعية لمجموعة ما هي مجموعات بحد ذاتها. على سبيل المثال، أي نظرية مجموعات تتضمن مجموعة شاملة يجب أن تشمل فئات حقيقية تُعد فئات فرعية من مجموعات.

• جيتش، توماس (2003)، نظرية المجموعات ، سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات (  طبعة الألفية الثالثة)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، رقم ISBN 978-3-540-44085-7
• ليفي، أ. (1979)، نظرية المجموعات الأساسية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ
• سموليان، ريموند م .؛ فيتينغ، ملفين (2010)، نظرية المجموعات ومسألة الاستمرارية ، منشورات دوفر، ISBN 978-0-486-47484-7
• مونك، دونالد ج. (1969)، مقدمة في نظرية المجموعات ، شركة ماكجرو هيل للنشر، رقم ISBN 9780070427150

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "فئة المجموعة" ، عالم الرياضيات