العدد الترتيبي

تتطلب عملية بناء المتتاليات المتسامية أن تكون الأعداد الترتيبية المستخدمة لترقيم عناصرها مرتبة ترتيبًا جيدًا . ^{[ 5 ]} وهذا يعني ما يلي:

كل مجموعة غير فارغة من الأعداد الترتيبية${\displaystyle T}$له عنصر أصغر فريد.

بشكل بديهي، أقل عدد ترتيبي في${\displaystyle T}$⁠ هو العدد الترتيبي "التالي" الذي يتم تقديمه بعد جميع الأعداد الترتيبية الأصغر من كل عدد ترتيبي في ⁠${\displaystyle T}$تم استخدامها. في المقابل ،${\displaystyle T}$ليس بالضرورة أن يكون له عنصر أعظم، على سبيل المثال عندما${\displaystyle T}$هي مجموعة جميع الأعداد الطبيعية.

إن كون الشيء مرتبًا ترتيبًا جيدًا أقوى من مجرد كونه مرتبًا ترتيبًا خطيًا . على سبيل المثال، الأعداد الحقيقية مرتبة ترتيبًا خطيًا بطبيعتها، ولكن أي فترة مفتوحة ليس لها عنصر أصغر.

تكمن أهمية الترتيب الجيد في أنه يُمكّن من الاستقراء المتسامي . إذا كانت العبارة${\displaystyle P(\alpha )}$حول عدد ترتيبي${\displaystyle \alpha }$هذا ليس صحيحًا بشكل عام للجميع${\displaystyle \alpha }$أي ، إذا كان لها أي أمثلة مضادة، فلا بد أن يكون لها أقل عدد ممكن من الأمثلة المضادة. وعلى العكس من ذلك، إذا أمكن إثبات أن${\displaystyle P(\alpha )}$يكون صحيحًا كلما${\displaystyle P(\beta )}$ينطبق هذا على الجميع${\displaystyle \beta <\alpha }$إذن ، لا يمكن أن يكون لها أي مثال مضاد على الإطلاق، وبالتالي لا يمكن أن يكون لها أي مثال مضاد على الإطلاق، أي أنها صحيحة بشكل عام. ^{[ 6 ]}

في الصيغة الرسمية المعتادة لنظرية المجموعات وفقًا لزيرميلو-فرانكل (ZF)، تُعتبر المجموعة المرتبة جيدًا مجموعة مرتبة كليًا .${\displaystyle (S,\leq )}$بحيث تكون كل مجموعة جزئية غير فارغة${\displaystyle T\subseteq S}$يحتوي على عنصر أصغر.هنا، تعني كلمة "مجموعة" مجموعة هي نفسها كائن من ZF، على عكس فئة مناسبة .

يمكن كتابة مجموعة مرتبة جيدًا على شكل متتالية متسامية عن طريق إسناد تسميات ترتيبية لعناصرها بطريقة تحافظ على الترتيب :${\displaystyle a_{\alpha }\leq a_{\beta }}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \alpha \leq \beta }$( يُطلق على هذا التناظر الأحادي بين مجموعتين مرتبتين اسم تماثل الترتيب ). تُشكّل الرموز المستخدمة في هذا التعداد جزءًا أوليًا من الأعداد الترتيبية، بمعنى أنه إذا استُخدم رمز ما، فسيتم استخدام كل رمز ترتيبي أصغر منه. وبحسب الترتيب الجيد، يوجد عدد ترتيبي أصغر وحيد لا يُستخدم كرمز؛ يُحدد هذا العدد الترتيبي "طول" المتتالية، ويُسمى نوع ترتيب الترتيب الجيد. بفضل الفهرسة التي تبدأ من الصفر ، يتطابق نوع الترتيب مع عدد العناصر للمجموعات المنتهية، بما في ذلك المجموعة الفارغة. ^{[ 1 ]} ومع ذلك، بالنسبة للمجموعات غير المنتهية، توجد علاقات ترتيب جيد مختلفة .${\displaystyle \leq }$يمكن أن يكون لها أنواع طلبات مختلفة.

يمكن تعريف أنواع الترتيب دون الحاجة إلى مفهوم مسبق للأعداد الترتيبية، وذلك بالتعامل مباشرةً مع تماثلات الترتيب بين المجموعات العامة المرتبة ترتيبًا جيدًا، تمامًا كما يمكن تعريف العددية من خلال التقابلات بين المجموعات العامة (غير المرتبة). وكما هو الحال مع التقابلات، فإن كون المجموعة متماثلة الترتيب هو علاقة تكافؤ على المجموعات المرتبة ترتيبًا جيدًا؛ وتتوافق فئات التكافؤ الخاصة بها مع أنواع الترتيب (الأعداد الترتيبية).

في منهج برينسيبيا ماثيماتيكا ، نوع ترتيب المجموعة المرتبة ترتيبًا جيدًا ⁠${\displaystyle (S,\leq )}$يتم تعريفها بفئة التشاكل الخاصة بها، أي مجموعة جميع المجموعات المرتبة ترتيبًا جيدًا .${\displaystyle (S',\leq ')}$متماثل الترتيب مع${\displaystyle (S,\leq )}$بما أن عناصر${\displaystyle S'}$يُسمح بأن تكون المجموعات أي شيء ، وهذا التعريف يحمل طابع " مجموعة جميع المجموعات "، وفي ZF، تكون هذه المجموعات عمومًا كبيرة جدًا بحيث لا يمكن اعتبارها مجموعات. لا يزال من الممكن استخدام هذا التعريف في نظرية الأنواع وفي نظرية المجموعات البديهية لكواين، والأسس الجديدة ، والأنظمة ذات الصلة. ^{[ أ ]}

في نظرية المجموعات البديهية ZF والأنظمة ذات الصلة ، تكون فئات التكافؤ هذه كبيرة جدًا بحيث لا يمكن تشكيل مجموعات. وبالتالي، من الضروري اختيار ممثل فريد وقانوني من كل فئة - مجموعة واحدة تجسد بنية الترتيب الجيد. بما أن العلاقة الأساسية في نظرية المجموعات هي انتماء المجموعة ( ⁠${\displaystyle \in }$التمثيل الأمثل هو التمثيل الذي تكون فيه علاقة الترتيب المجردة${\displaystyle <}$يتم ترجمة ذلك مباشرة إلى علاقة العضوية${\displaystyle \in }$⁠ .

تحديد علاقة الترتيب الصارمة${\displaystyle <}$كعلاقة عضوية​${\displaystyle \in }$يقتصر التوصيف التكراري على فئة جميع الأعداد الترتيبية .${\displaystyle \gamma =\{\alpha \mid \alpha <\gamma \}}$يُختزل إلى العبارة التالية:

• إذا​${\displaystyle \alpha \in \beta }$و​​${\displaystyle \beta }$إذا كان ترتيبيًا، فإن${\displaystyle \alpha }$هو عدد ترتيبي: خاصية التعدي لـ${\displaystyle \alpha }$يتم إيجاد المجموعة من خلال إيجاد أن جميع الأعداد الترتيبية ذات الصلة هي عناصر من${\displaystyle \beta }$ثم باستخدام خاصية التعدي لـ${\displaystyle \in }$العلاقة داخل​${\displaystyle \beta }$⁠ ; حسن تنظيم ⁠${\displaystyle \alpha }$⁠ يتبع مباشرة من حسن تنظيم ⁠${\displaystyle \beta }$[ ⁸ ]^​​

علاقة الترتيب غير الصارمة${\displaystyle \leq }$له وصف بديل :${\displaystyle \alpha \leq \beta }$إذا وفقط إذا${\displaystyle \alpha \subseteq \beta }$بالنسبة للأعداد الترتيبية${\displaystyle \alpha ,\beta }$. يتبع اتجاه "إذا" من خاصية التعدي لـ${\displaystyle \beta }$، ويتبع اتجاه "فقط إذا" من:

• إذا​${\displaystyle \alpha \neq \beta }$كلاهما أعداد ترتيبية و${\displaystyle \alpha \subset \beta }$ثم​​${\displaystyle \alpha \in \beta }$⁠ : let ⁠${\displaystyle \gamma =\min\{\beta \setminus \alpha \}}$.​​${\displaystyle \alpha }$⁠ فعل متعدٍ لذا ⁠${\displaystyle \alpha =\{\xi \in \beta \mid \xi <\gamma \}=\gamma \in \beta }$[ ⁹ ]^​​

وهذا يعني أن${\displaystyle \leq }$هو ترتيب جزئي . إنه في الواقع ترتيب كلي ، وترتيب جيد :

• إذا​${\displaystyle \alpha }$و​​${\displaystyle \beta }$إذا كان كلاهما أعدادًا ترتيبية، فإن${\displaystyle \alpha \subseteq \beta }$أو​​${\displaystyle \beta \subseteq \alpha }$⁠ : ⁠${\displaystyle \gamma =\alpha \cap \beta }$هو عدد ترتيبي، لذا${\displaystyle \gamma =\alpha }$أو​​${\displaystyle \gamma =\beta }$أو غير ذلك${\displaystyle \gamma \in \gamma }$، مما يناقض اللاانعكاسية. ^{[ 9 ]}
• إذا​${\displaystyle A}$إذا كانت مجموعة غير فارغة من الأعداد الترتيبية، فإن${\displaystyle \min A=\bigcap A}$يجب أن يكون في${\displaystyle A}$وبمنطق مماثل. ^{[ 10 ]}

إذن، تشكل جميع الأعداد الترتيبية فئة مرتبة ترتيباً جيداً .${\displaystyle \mathrm {ON} }$وبالتالي ، أي مجموعة غير فارغة من الأعداد الترتيبية مزودة بـ${\displaystyle \leq }$هي مجموعة مرتبة ترتيباً جيداً.

يمكن بناء الأعداد الترتيبية المحددة بشكل صريح وفقًا للمبادئ التالية:

• ⁠${\displaystyle 0=\emptyset }$هو عدد ترتيبي.
• لأي عدد ترتيبي${\displaystyle \alpha }$،​​${\displaystyle \mathrm {succ} \;\alpha =\alpha \cup \{\alpha \}}$هو عدد ترتيبي و${\displaystyle \mathrm {succ} \;\alpha =\min\{\beta \mid \beta >\alpha \}}$[ ¹⁰ ]^​​
• إذا كانت A مجموعة من الأعداد الترتيبية، فإن${\displaystyle \sup A=\bigcup A}$هو عدد ترتيبي. ^{[ 10 ]}

الأشكال الصريحة لـ ⁠${\displaystyle \mathrm {succ} }$و​​${\displaystyle \sup }$يعني ذلك أنه لأي مجموعة من الأعداد الترتيبية، يوجد عدد ترتيبي آخر أكبر منها جميعًا. بعبارة أخرى،

• ( مفارقة بورالي فورتي ) فئة جميع الترتيبات ⁠${\displaystyle \mathrm {ON} }$ليست مجموعة؛ وإلا${\displaystyle \mathrm {succ} \sup \mathrm {ON} }$سيكون ترتيبًا وليس في${\displaystyle \mathrm {ON} }$[ ¹⁰ ]^​​

كل مجموعة مرتبة بشكل جيد${\displaystyle S}$تكون المجموعة متماثلة ترتيبيًا مع عدد ترتيبي واحد فقط، يُعرف بنوع ترتيبها . ويُضمن التفرد لأن المجموعة المرتبة جيدًا لا يمكن أن تكون متماثلة مع جزء أولي صحيح منها، مما يمنع التماثل مع عددين ترتيبيين مختلفين. ويُثبت وجود هذا العدد الترتيبي بتعريف دالة تربط كل مجموعة بآخر.${\displaystyle x\in S}$حيث يمثل الرقم الترتيبي نوع ترتيب الجزء الأولي${\displaystyle S_{x}=\{y\in S\mid y<x\}}$بحسب مخطط الاستبدال البديهي ، فإن مدى هذه الخريطة هو مجموعة من الأعداد الترتيبية. ولأن هذا المدى مغلق تنازليًا (نوع ترتيب جزء من جزء آخر هو عدد ترتيبي أصغر)، فإن المدى نفسه هو عدد ترتيبي.${\displaystyle \gamma }$يجب أن يكون مجال التشاكل هو كل${\displaystyle S}$وإلا، العنصر الأصغر${\displaystyle z\in S}$خارج النطاق يعني${\displaystyle S_{z}\cong \gamma }$، وهو ما يشمل فعلياً${\displaystyle z}$في هذا المجال، ثمة تناقض. وهكذا،${\displaystyle S\cong \gamma }$[ ^{11 ]​}

يمكن استخدام الاستقراء المتسامي ليس فقط لإثبات النظريات، بل أيضاً لتعريف الدوال على الأعداد الترتيبية. وهذا ما يُعرف بالاستدعاء المتسامي .

بصورة رسمية، تُعرَّف الدالة F بالاستدعاء الذاتي المتسامي على الأعداد الترتيبية إذا كانت القيمة لكل عدد ترتيبي α${\displaystyle F(\alpha )}$يتم تحديدها باستخدام مجموعة القيم${\displaystyle \{F(\beta )\mid \beta <\alpha \}}$.

في كثير من الأحيان، عند تعريف دالة F عن طريق الاستدعاء الذاتي المتسامي على جميع الأعداد الترتيبية، يتم فصل التعريف إلى حالات بناءً على نوع العدد الترتيبي:

1. الحالة الأساسية : تعريف${\displaystyle F(0)}$.
2. الخطوة التالية : تحديد${\displaystyle F(\alpha +1)}$بافتراض${\displaystyle F(\alpha )}$تم تعريفها.
3. خطوة الحد : بالنسبة للترتيب الحدي${\displaystyle \lambda }$، يُعرِّف${\displaystyle F(\lambda )}$كحد لـ${\displaystyle F(\beta )}$للجميع${\displaystyle \beta <\lambda }$(سواء بمعنى الحدود الترتيبية أو أي مفهوم آخر للحدود إذا سمح المجال المقابل بذلك).

الخطوة المهمة في التعريف عادةً ما تكون الخطوة اللاحقة. إذا${\displaystyle F(\alpha )}$بالنسبة للأعداد الترتيبية الحدية${\displaystyle \alpha }$يُعرَّف بأنه الجزء العلوي من${\displaystyle F(\beta )}$ل${\displaystyle \beta <\alpha }$و${\displaystyle F}$تأخذ قيمًا ترتيبية وهي غير متناقصة، الدالة${\displaystyle F}$ستكون متصلة كما هو مُعرّف أعلاه. الجمع والضرب والأسس الترتيبية هي دوال متصلة بالنسبة لمتغيرها الثاني.

يتم إثبات وجود هذه الدالة وتفردها من خلال بنائها كاتحاد لتقريبات جزئية. ويتم البرهان على ثلاث خطوات:

1. الوجود المحلي: لأي عدد ترتيبي محدد δ ، يتم إثبات وجود "قطعة تكرارية" فريدة - دالة معرفة على δ تحقق قاعدة التكرار لجميع ⁠${\displaystyle \beta <\delta }$⁠ .
2. التفرد والتوافق: يُثبت المرء أن أي جزأين من أجزاء التكرار يتفقان على نطاقهما المشترك. إذا${\displaystyle g_{1}}$⁠ هو جزء من ⁠${\displaystyle \delta _{1}}$و​​${\displaystyle g_{2}}$⁠ هو جزء من ⁠${\displaystyle \delta _{2}}$مع​​${\displaystyle \delta _{1}<\delta _{2}}$ثم​​${\displaystyle g_{2}}$يقتصر على​${\displaystyle \delta _{1}}$⁠ مطابق لـ ⁠${\displaystyle g_{1}}$⁠ .
3. التعريف العام: تُعرَّف دالة الفئة العامة F على أنها اتحاد جميع أجزاء الاستدعاء الذاتي الفريدة هذه. لأي عدد ترتيبي α ، تكون القيمة${\displaystyle F(\alpha )}$⁠ هي القيمة المعينة لـ α بواسطة أي جزء تكراري معرف على مجال أكبر من α .

يعتمد التبرير الصارم للوجود المحلي على مخطط البديهية للاستبدال لخطوة الترتيبات الحدية من أجل تجميع أجزاء التكرار في مجموعة.

يُتيح هذا التركيب تعريفات دقيقة لعمليات مثل الجمع الترتيبي والضرب والرفع إلى الأسس. على سبيل المثال، الرفع إلى الأسس${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$يتم تعريفها بشكل متكرر على β :

• ${\displaystyle \alpha ^{0}=1}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta +1}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha }$(للأعداد الترتيبية اللاحقة)
• ${\displaystyle \alpha ^{\lambda }=\bigcup _{0<\beta <\lambda }\alpha ^{\beta }}$(للأعداد الترتيبية الحدية λ )

يشير مبدأ الاستدعاء المتكرر غير المنتهي أيضًا إلى أنه يمكن إجراء الاستدعاء المتكرر حتى ترتيب محدد${\displaystyle \delta }$(تعريف مجموعة بدلاً من فئة محددة). يُستخدم هذا غالبًا لتعريف متواليات ذات طول معين.${\displaystyle \omega }$على سبيل المثال، لإثبات أن الدالة الطبيعية${\displaystyle f}$إذا كان لدينا نقاط ثابتة كبيرة بشكل تعسفي ، فيمكننا إنشاء متتالية تبدأ بأي ترتيب.${\displaystyle \gamma _{0}}$ويحدد${\displaystyle \gamma _{n+1}=f(\gamma _{n})}$عن طريق التكرار على${\displaystyle n<\omega }$ثم الحد${\displaystyle \delta =\sup _{n<\omega }\gamma _{n}}$هي نقطة ثابتة لـ${\displaystyle f}$لأن الاستمرارية تضمن${\displaystyle f(\delta )=f(\sup \gamma _{n})=\sup f(\gamma _{n})=\sup \gamma _{n+1}=\delta }$.

أي مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا تكون مشابهة (متماثلة الترتيب) لعدد ترتيبي فريد${\displaystyle \alpha }$بمعنى آخر، يمكن فهرسة عناصرها بشكل تصاعدي بواسطة الأعداد الترتيبية الأقل من${\displaystyle \alpha }$ينطبق هذا ، على وجه الخصوص، على أي مجموعة من الأعداد الترتيبية: أي مجموعة من الأعداد الترتيبية يتم فهرستها بشكل طبيعي بواسطة الأعداد الترتيبية الأقل من عدد معين .${\displaystyle \alpha }$وينطبق الأمر نفسه ، مع تعديل طفيف، على فئات الأعداد الترتيبية (مجموعة من الأعداد الترتيبية، قد تكون كبيرة جدًا بحيث لا تشكل مجموعة، تُعرَّف بخاصية معينة): يمكن فهرسة أي فئة من الأعداد الترتيبية بواسطة الأعداد الترتيبية (وعندما تكون الفئة غير محدودة في فئة جميع الأعداد الترتيبية، فإن هذا يضعها في تقابل فئوي مع فئة جميع الأعداد الترتيبية). لذا فإن${\displaystyle \gamma }$يمكن التحدث بحرية عن العنصر رقم n في الفئة (مع مراعاة أن العنصر رقم 0 هو الأصغر، والعنصر رقم 1 هو الأصغر التالي، وهكذا). ويتم التعريف رسميًا بالاستقراء عبر المنتهي:${\displaystyle \gamma }$يتم تعريف العنصر رقم -th من الفئة (بشرط أن يكون قد تم تعريفه بالفعل للجميع)${\displaystyle \beta <\gamma }$)، باعتباره أصغر عنصر أكبر من${\displaystyle \beta }$العنصر رقم -th لجميع ⁠${\displaystyle \beta <\gamma }$⁠ .

يمكن تطبيق ذلك، على سبيل المثال، على فئة الأعداد الترتيبية الحدية:${\displaystyle \gamma }$العدد الترتيبي رقم -th، والذي يمثل إما نهاية أو صفرًا، هو${\displaystyle \omega \cdot \gamma }$(انظر الحساب الترتيبي لتعريف ضرب الأعداد الترتيبية). وبالمثل، يمكن اعتبار الأعداد الترتيبية غير القابلة للتحليل الجمعي (أي عدد ترتيبي غير صفري لا يساوي مجموع عددين ترتيبيين أصغر منه تمامًا):${\displaystyle \gamma }$يتم فهرسة العدد الترتيبي غير القابل للتحليل الجمعي رقم -th على النحو التالي :${\displaystyle \omega ^{\gamma }}$تُعدّ تقنية فهرسة فئات الأعداد الترتيبية مفيدةً في سياق النقاط الثابتة: على سبيل المثال،${\displaystyle \gamma }$الترتيب -th${\displaystyle \alpha }$بحيث${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$مكتوب​${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }}$. وتسمى هذه الأرقام " أرقام إبسيلون ".

يرتبط كل عدد ترتيبي بعدد أصلي واحد ، وهو عدده الأصلي. إذا وُجد تقابل بين عددين ترتيبيين (مثل ω = 1 + ω و ω + 1 > ω )، فإنهما يرتبطان بنفس العدد الأصلي. أي مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا، يكون نوع ترتيبها عددًا ترتيبيًا، يكون لها نفس عدد ذلك العدد الترتيبي الأصلي. يُسمى أصغر عدد ترتيبي مرتبط بعدد أصلي معين بالعدد الترتيبي الابتدائي لذلك العدد الأصلي. كل عدد ترتيبي منتهٍ (عدد طبيعي) هو عدد ابتدائي، ولا يرتبط أي عدد ترتيبي آخر بعدده الأصلي. لكن معظم الأعداد الترتيبية غير المنتهية ليست أعدادًا ابتدائية، لأن العديد من الأعداد الترتيبية غير المنتهية ترتبط بنفس العدد الأصلي. بديهية الاختيار تُكافئ القول بأن كل مجموعة يمكن أن تكون مرتبة ترتيبًا جيدًا، أي أن لكل عدد أصلي عددًا ترتيبيًا ابتدائيًا. في النظريات التي تتضمن بديهية الاختيار، يكون للعدد الأصلي لأي مجموعة عدد ترتيبي ابتدائي، ويمكن استخدام تعيين فون نيومان للعدد الأصلي كتمثيل لهذا العدد. (مع ذلك، يجب علينا حينها التمييز بدقة بين الحساب الأصلي والحساب الترتيبي). أما في نظريات المجموعات التي لا تتضمن بديهية الاختيار، فيمكن تمثيل العدد الأصلي بمجموعة المجموعات التي يكون لها هذا العدد الأصلي أدنى رتبة (انظر خدعة سكوت ).

إحدى المشكلات في خدعة سكوت هي أنها تحدد العدد الأصلي${\displaystyle 0}$مع​${\displaystyle \{\emptyset \}}$، وهو في بعض الصيغ العدد الترتيبي${\displaystyle 1}$قد يكون من الأوضح تطبيق طريقة فون نيومان لتخصيص الأعداد الأصلية على الحالات المنتهية، واستخدام حيلة سكوت للمجموعات غير المنتهية أو التي لا تقبل ترتيبات جيدة. تجدر الإشارة إلى أن الحساب الأصلي والترتيبي يتطابقان للأعداد المنتهية.

يُكتب العدد الترتيبي الأولي اللانهائي من الرتبة α على النحو التالي :${\displaystyle \omega _{\alpha }}$، فهو دائمًا عدد ترتيبي نهائي. يُكتب عدد عناصره ⁠${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$على سبيل المثال ، عدد عناصر ω₀ ₌ ω هو${\displaystyle \aleph _{0}}$وهو أيضًا عدد عناصر ω ² أو ε ₀ (جميعها أعداد ترتيبية قابلة للعد). لذا يمكن تعريف ω بـ${\displaystyle \aleph _{0}}$، باستثناء أن الترميز${\displaystyle \aleph _{0}}$يُستخدم الرمز ω عند كتابة الأعداد الأصلية، ويُستخدم الرمز ω عند كتابة الأعداد الترتيبية (وهذا مهم لأنه، على سبيل المثال،${\displaystyle \aleph _{0}^{2}}$=${\displaystyle \aleph _{0}}$بينما${\displaystyle \omega ^{2}>\omega }$). أيضًا،${\displaystyle \omega _{1}}$هو أصغر عدد ترتيبي غير قابل للعد (لإثبات وجوده، انظر إلى مجموعة فئات التكافؤ للترتيبات الجيدة للأعداد الطبيعية: كل ترتيب جيد من هذا القبيل يُعرّف عددًا ترتيبيًا قابلًا للعد، و${\displaystyle \omega _{1}}$(نوع ترتيب تلك المجموعة)${\displaystyle \omega _{2}}$هو أصغر عدد ترتيبي يكون عدد عناصره أكبر من ⁠${\displaystyle \aleph _{1}}$وهكذا دواليك، و${\displaystyle \omega _{\omega }}$هو الحد الأقصى لـ${\displaystyle \omega _{n}}$بالنسبة للأعداد الطبيعية n (أي نهاية للأعداد الأصلية هي عدد أصلي، لذا فإن هذه النهاية هي بالفعل أول عدد أصلي بعد كل${\displaystyle \omega _{n}}$).

النهاية المشتركة لعدد ترتيبي${\displaystyle \alpha }$هو أصغر عدد ترتيبي${\displaystyle \delta }$هذا هو نوع ترتيب مجموعة فرعية نهائية مشتركة من${\displaystyle \alpha }$لاحظ أن عدداً من المؤلفين يُعرّفون خاصية التطابق النهائي أو يستخدمونها فقط للأعداد الترتيبية الحدية. إن التطابق النهائي لمجموعة من الأعداد الترتيبية أو أي مجموعة أخرى مرتبة ترتيباً جيداً هو التطابق النهائي لنوع ترتيب تلك المجموعة.

وبالتالي، بالنسبة لعدد ترتيبي حدي، يوجد${\displaystyle \delta }$متتالية متزايدة تمامًا ذات فهرسة مع حد${\displaystyle \alpha }$على سبيل المثال، النهاية المشتركة لـ ω² ^هي ω ، لأن المتتالية ω· m (حيث m تتراوح على الأعداد الطبيعية) تؤول إلى ω² ^؛ ولكن، بشكل عام، أي عدد ترتيبي حدي قابل للعد له نهاية مشتركة ω. قد يكون للعدد الترتيبي الحدي غير القابل للعد نهاية مشتركة ω، كما هو الحال مع${\displaystyle \omega _{\omega }}$أو سلسلة لا تُحصى من النهايات المشتركة.

النهاية المشتركة للصفر هي صفر. والنهاية المشتركة لأي عدد ترتيبي لاحق هي واحد. والنهاية المشتركة لأي عدد ترتيبي نهائي هي على الأقل${\displaystyle \omega }$⁠ .

يُطلق على العدد الترتيبي الذي يساوي مجموعته النهائية اسم العدد الترتيبي المنتظم ، وهو دائمًا عدد ترتيبي ابتدائي. أي نهاية للأعداد الترتيبية المنتظمة هي نهاية للأعداد الترتيبية الابتدائية، وبالتالي فهي أيضًا ابتدائية حتى لو لم تكن منتظمة، وهو ما يحدث عادةً. إذا تحققت بديهية الاختيار، فإن${\displaystyle \omega _{\alpha +1}}$يكون منتظمًا لكل α . في هذه الحالة، تكون الأعداد الترتيبية 0، 1، ⁠${\displaystyle \omega }$،​​${\displaystyle \omega _{1}}$، و${\displaystyle \omega _{2}}$منتظمة، بينما 2، 3، ⁠${\displaystyle \omega _{\omega }}$⁠ و ω _ω·2 هي أعداد ترتيبية أولية غير منتظمة.

إنّ النهاية المشتركة لأي عدد ترتيبي α هي عدد ترتيبي منتظم، أي أن النهاية المشتركة للنهاية المشتركة لـ α هي نفسها النهاية المشتركة لـ α . لذا فإن عملية النهاية المشتركة هي عملية متطابقة .

تُصاغ مفاهيم المجموعات المغلقة وغير المحدودة عادةً للمجموعات الجزئية من عدد أصلي منتظم${\displaystyle \kappa }$هذا غير قابل للعد. مجموعة جزئية${\displaystyle C\subseteq \kappa }$يقال إنها غير محدودة (أو نهائية مشتركة) في${\displaystyle \kappa }$إذا كان لكل عدد ترتيبي${\displaystyle \alpha <\kappa }$يوجد بعض${\displaystyle \beta \in C}$بحيث${\displaystyle \alpha <\beta }$لتعريف خاصية الانغلاق، يتم أولاً تعريف نقطة النهاية: وهي عدد ترتيبي غير صفري${\displaystyle \delta <\kappa }$هي نقطة حدية لـ${\displaystyle C}$لو${\displaystyle \sup(C\cap \delta )=\delta }$المجموعة${\displaystyle C}$مغلق في​${\displaystyle \kappa }$إذا احتوى على جميع نقاطه الحدية أدناه${\displaystyle \kappa }$. تُعرف المجموعة المغلقة وغير المحدودة عادةً باسم مجموعة النادي .

تُعد أمثلة مجموعات النوادي أساسية في نظرية المجموعات. مجموعة جميع الأعداد الترتيبية الحدية الأقل من${\displaystyle \kappa }$هي مجموعة نادي، حيث يوجد دائمًا حد ترتيبي أكبر من أي ترتيب معين أدنى منه${\displaystyle \kappa }$، وحد الأعداد الترتيبية الحدية هو في حد ذاته عدد ترتيبي حدي. إذا${\displaystyle \kappa }$هو عدد أصلي محدود، مجموعة جميع الأعداد الأصلية أدناه${\displaystyle \kappa }$هي مجموعة غير محدودة، ومجموعة نقاطها الحدية - الأعداد الأصلية الحدية - تشكل مجموعة مغلقة غير محدودة. علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle \kappa }$هو عدد أصلي ذو حد قوي (مثل عدد أصلي غير قابل للوصول )، ومجموعة الأعداد الأصلية ذات الحد القوي أدناه${\displaystyle \kappa }$وهي أيضًا مجموعة نوادي. مثال آخر مهم ينشأ من الدوال الطبيعية (الدوال).${\displaystyle f:\kappa \to \kappa }$التي تكون متزايدة تمامًا ومتصلة)؛ مدى أي دالة طبيعية هو مجموعة فرعية مغلقة وغير محدودة من${\displaystyle \kappa }$.

تمتلك مجموعات الأندية خصائص هيكلية تسمح لها بإنشاء مرشح . لأن${\displaystyle \kappa }$إذا كانت المجموعة منتظمة وغير قابلة للعد، فإن تقاطع أي مجموعتين من النوادي هو أيضًا مجموعة من النوادي. وبشكل عام، فإن تقاطع عدد أقل من${\displaystyle \kappa }$مجموعة النوادي هي مجموعة نوادي. وبالتالي، فإن مجموعة جميع المجموعات الجزئية من${\displaystyle \kappa }$التي تحتوي على مجموعة نادي تشكل${\displaystyle \kappa }$- مرشح غير رئيسي كامل، يُعرف باسم المرشح المغلق غير المحدود (أو مرشح النادي ).

مجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq \kappa }$يُطلق عليها اسم مجموعة ثابتة إذا كان لها تقاطع غير فارغ مع كل مجموعة مغلقة غير محدودة في${\displaystyle \kappa }$بشكل بديهي، تكون المجموعات الثابتة "كبيرة" بما يكفي بحيث لا يمكن تجنبها بواسطة أي مجموعة نادي. باستخدام ترميز المرشحات، تكون المجموعة ثابتة إذا وفقط إذا لم تكن تنتمي إلى المثالي الثنائي لمرشح النادي (مثال المجموعات غير الثابتة). في حين أن كل مجموعة نادي ثابتة، إلا أن ليس كل مجموعة ثابتة ناديًا؛ على سبيل المثال، مجموعة ثابتة${\displaystyle S}$قد لا تكون المجموعة مغلقة. علاوة على ذلك، فبينما يكون تقاطع مجموعة ثابتة ومجموعة من النوادي ثابتًا، قد يكون تقاطع مجموعتين ثابتتين فارغًا.

يُعد التمييز بين مجموعات النوادي والمجموعات الثابتة أمراً أساسياً في تعريفات بعض الأعداد الكبيرة .${\displaystyle \kappa }$هو أصغر عدد أصلي غير قابل للوصول ، مجموعة الأعداد الأصلية ذات الحد القوي المفردة أدناه${\displaystyle \kappa }$تشكل مجموعة مغلقة غير محدودة. ولأن هذه المجموعة لا تحتوي على أعداد أصلية منتظمة، فإن مجموعة الأعداد الأصلية المنتظمة أسفل أول عدد غير قابل للوصول ليست ثابتة. ويبقى هذا صحيحًا إذا${\displaystyle \kappa }$هو${\displaystyle n}$-th عدد أساسي غير قابل للوصول إليه بالنسبة للبعض${\displaystyle n<\kappa }$لن تشكل الأعداد الأصلية المنتظمة التي تليها مجموعة ثابتة. العدد الأصلي${\displaystyle \kappa }$يُعرَّف العدد بأنه عدد ماهلو إذا كانت مجموعة الأعداد المنتظمة التي تليه ثابتة. وبتخفيف الشرط المتعلق بالأعداد الحدية، يُعرَّف العدد بأنه ماهلو ضعيف إذا كان غير قابل للوصول ضعيفًا وكانت مجموعة الأعداد المنتظمة التي تليه ثابتة.

لا يُعدّ المرشح المغلق غير المحدود مرشحًا فائقًا وفقًا لنظرية زيرميلو-فرانكل القياسية للمجموعات مع بديهية الاختيار (ZFC). والسبب في ذلك هو إمكانية إيجاد مجموعتين ثابتتين منفصلتين، مما يمنع المرشح من تحديد انتماء كل مجموعة جزئية. لأي عدد أصلي منتظم${\displaystyle \kappa >\omega _{1}}$، مجموعة الأعداد الترتيبية ذات النهاية المشتركة${\displaystyle \omega }$ومجموعة الأعداد الترتيبية ذات النهاية المشتركة${\displaystyle \omega _{1}}$هي مجموعات فرعية ثابتة منفصلة من${\displaystyle \kappa }$في الحالة المحددة لـ${\displaystyle \kappa =\omega _{1}}$يعتمد عدم وجود مرشح فائق على بديهية الاختيار . في ظل نظرية ZFC، فإن مجموعة الأعداد الترتيبية الحدية في${\displaystyle \omega _{1}}$يمكن تقسيمها إلى${\displaystyle \omega _{1}}$المجموعات الثابتة المنفصلة (نتيجة مرتبطة بمبرهنة فودور ). ومع ذلك، في نماذج نظرية المجموعات التي لا تتضمن بديهية الاختيار، مثل تلك التي تحقق بديهية الحتمية ، فإن مرشح النادي على${\displaystyle \omega _{1}}$يمكن أن يكون مرشحًا فائقًا، وهي خاصية مرتبطة بـ${\displaystyle \omega _{1}}$كونه عددًا أساسيًا قابلًا للقياس في تلك السياقات.

تُعمَّم هذه التعريفات لتشمل فئاتٍ مناسبة من الأعداد الترتيبية. فئة${\displaystyle C}$تكون مجموعة الأعداد الترتيبية غير محدودة إذا احتوت على أعداد ترتيبية كبيرة كيفما كانت، وتكون مغلقة إذا كانت نهاية أي متتالية من الأعداد الترتيبية في${\displaystyle C}$وهو أيضًا في${\displaystyle C}$هذا التعريف الطوبولوجي مكافئ لافتراض دالة فئة الفهرسة لـ${\displaystyle C}$متصلة. من الأمثلة البارزة على الفئات المغلقة غير المحدودة فئة جميع الأعداد الأصلية اللانهائية، وفئة الأعداد الأصلية الحدية ، وفئة النقاط الثابتة لـ${\displaystyle \aleph }$دالة. في المقابل، فئة الأعداد الأصلية المنتظمة غير محدودة ولكنها ليست مغلقة. وتكون الفئة ثابتة إذا تقاطعت مع كل فئة مغلقة غير محدودة.