التباين الجزئي

التباين الجزئي (FA) هو قيمة عددية تتراوح بين الصفر والواحد ، تصف درجة تباين عملية الانتشار . تشير القيمة صفر إلى أن الانتشار متساوي الخواص، أي أنه غير مقيد (أو مقيد بالتساوي) في جميع الاتجاهات. أما القيمة واحد فتشير إلى أن الانتشار يحدث على طول محور واحد فقط، ومقيد تمامًا في جميع الاتجاهات الأخرى. يُستخدم التباين الجزئي (FA) كمقياس شائع في تصوير الانتشار، حيث يُعتقد أنه يعكس كثافة الألياف ، وقطر المحاور العصبية ، والتغليف المياليني في المادة البيضاء . يُعد التباين الجزئي (FA) امتدادًا لمفهوم اللامركزية في القطوع المخروطية ثلاثية الأبعاد، مُقسَّمًا إلى نطاق الوحدة.

يُمثَّل شكل القطع الناقص للانتشار تمثيلاً كاملاً بواسطة موتر الانتشار، D. ويتم حساب FA من القيم الذاتية.${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}}$من موتر الانتشار . ^{[ 1 ]} تعطي المتجهات الذاتية الاتجاهات التي يكون للقطع الناقص محاور رئيسية، وتعطي القيم الذاتية المقابلة مقدار الذروة في كل اتجاه من اتجاهات المتجهات الذاتية.

${\displaystyle {\text{FA}}={\sqrt {{\frac {3}{2}}\left({\frac {(\lambda _{1}-{\hat {\lambda }})^{2}+(\lambda _{2}-{\hat {\lambda }})^{2}+(\lambda _{3}-{\hat {\lambda }})^{2}}{\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}}}\right)}}}$

مع${\displaystyle {\hat {\lambda }}=(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})/3}$كونها القيمة المتوسطة للقيم الذاتية.

الصيغة المكافئة لـ FA هي

${\displaystyle {\text{FA}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left({\frac {(\lambda _{1}-\lambda _{2})^{2}+(\lambda _{2}-\lambda _{3})^{2}+(\lambda _{3}-\lambda _{1})^{2}}{\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}}}\right)}},}$

وهو ما يعادل أيضًا ما يلي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\text{FA}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(3-{\frac {1}{{\text{trace}}({\text{R}}^{2})}}\right)}}}$

حيث R هو موتر الانتشار "المُعَيَّر":

${\displaystyle {\text{R}}={\frac {\text{D}}{{\text{trace}}({\text{D}})}}}$

لاحظ أنه إذا كانت جميع القيم الذاتية متساوية، وهو ما يحدث في الانتشار المتساوي الخواص (الكروي)، كما هو الحال في الماء الحر، فإن معامل الانتشار يساوي صفرًا . يمكن أن يصل معامل الانتشار إلى قيمة قصوى تساوي 1 (وهذا نادر الحدوث في البيانات الحقيقية)، وفي هذه الحالة يكون للمصفوفة D قيمة ذاتية واحدة غير صفرية فقط، ويتحول القطع الناقص إلى خط مستقيم في اتجاه تلك القيمة الذاتية. هذا يعني أن الانتشار يقتصر على ذلك الاتجاه فقط.

يمكن تمثيل ذلك باستخدام شكل بيضاوي، يُحدد بواسطة المتجهات الذاتية والقيم الذاتية لموتر الانتشار. معامل الانتشار (FA) للكرة يساوي صفرًا لأن الانتشار متساوي الخواص، وبالتالي فإن احتمالية الانتشار متساوية في جميع الاتجاهات. تُعطي المتجهات الذاتية والقيم الذاتية لموتر الانتشار تمثيلًا كاملًا لعملية الانتشار . يُحدد معامل الانتشار (FA) مدى دقة شكل الشكل البيضاوي، ولكنه لا يُحدد الاتجاه الذي يُشير إليه.

لاحظ أن معامل التباين الكسري (FA) لمعظم السوائل، بما في ذلك الماء، يساوي صفرًا ما لم تكن عملية الانتشار مقيدة بهياكل مثل شبكة من الألياف. قد يعتمد معامل التباين الكسري المقاس على المقياس الفعال لقياس الانتشار. إذا لم تكن عملية الانتشار مقيدة على المقياس المقاس (أي أن القيود متباعدة جدًا) أو إذا غيرت القيود اتجاهها على مقياس أصغر من المقياس المقاس، فإن معامل التباين الكسري المقاس سينخفض. على سبيل المثال، يمكن اعتبار الدماغ سائلًا تتخلله العديد من الألياف (محاور الأعصاب). ومع ذلك، في معظم أجزائه، تتجه الألياف في جميع الاتجاهات، وبالتالي على الرغم من أنها تقيد الانتشار، فإن معامل التباين الكسري يساوي صفرًا . في بعض المناطق، مثل الجسم الثفني، تصطف الألياف على نطاق واسع بما يكفي (في حدود المليمتر) بحيث تتفق اتجاهاتها في الغالب ضمن عنصر الدقة في صورة الرنين المغناطيسي ، وهذه المناطق هي التي تبرز في صورة معامل التباين الكسري. يمكن أن تُظهر البلورات السائلة أيضًا انتشارًا غير متجانس لأن الأشكال الإبرية أو الصفيحية لجزيئاتها تؤثر على كيفية انزلاقها فوق بعضها البعض. عندما تكون قيمة FA تساوي صفرًا، غالبًا ما يتم تجاهل الطبيعة الموترية لـ D، ويُطلق عليها اسم ثابت الانتشار.

• 
  قيمة FA هي 0.7698، ومصفوفة DT قطرية ([10 2 2]).
• 
  إذا كانت قيمة FA تساوي 0، فإن مصفوفة DT تكون قطرية ([4 4 4]).
• 
  قيمة FA هي 0.6030، ومصفوفة DT قطرية ([4 4 2])

من عيوب نموذج موتر الانتشار أنه يقتصر على عمليات الانتشار الغاوسي ، وهو ما تبين أنه غير كافٍ لتمثيل عملية الانتشار الحقيقية في الدماغ البشري بدقة. ولذلك، استُخدمت نماذج ذات رتبة أعلى تعتمد على التوافقيات الكروية ودوال توزيع الاتجاه (ODF) لتعريف تقديرات أحدث وأكثر دقة لتباين الخواص، تُعرف باسم تباين الخواص الجزئي المعمم (GFA). تستخدم حسابات GFA عينات من دالة توزيع الاتجاه لتقييم تباين الخواص في الانتشار. ويمكن حسابها بسهولة باستخدام معاملات التوافقيات الكروية لنموذج دالة توزيع الاتجاه. ^{[ 3 ]}