الانحراف (رياضيات)

في الرياضيات ، انحراف المقطع المخروطي هو عدد حقيقي غير سلبي يميز شكله بشكل فريد.

يمكننا أن نفكر في الانحراف باعتباره مقياسًا لمدى انحراف المقطع المخروطي عن كونه دائريًا. على وجه الخصوص:

• انحراف الدائرة يساوي 0.
• إن انحراف القطع الناقص الذي ليس دائرة يكون بين 0 و 1.
• انحراف القطع المكافئ يساوي 1.
• تكون مركزية القطع الزائد أكبر من 1.
• الانحراف في زوج من الخطوط هو${\displaystyle \infty }$

مقطعان مخروطيان لهما نفس الانحراف متشابهان .

يمكن تعريف أي مقطع مخروطي بأنه موضع النقاط التي تكون مسافاتها إلى نقطة (البؤرة) وخط (الدليل) بنسبة ثابتة. تسمى هذه النسبة الانحراف، ويشار إليها عادة بالرمز e .

يمكن أيضًا تعريف الانحراف من حيث تقاطع المستوى والمخروط ذي القمتين المرتبطين بالمقطع المخروطي. إذا كان المخروط موجهًا بحيث يكون محوره رأسيًا، فإن الانحراف يكون ^[1]

${\displaystyle e={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }},\ \ 0<\alpha <90^{\circ },\ 0\leq \beta \leq 90^{\circ }\ ,}$

حيث β هي الزاوية بين المستوى والأفقي وα هي الزاوية بين مولد ميل المخروط والأفقي. بالنسبة للمستوي، المقطع عبارة عن دائرة، بالنسبة للمكافئ. (يجب ألا يلتقي المستوى برأس المخروط.) ${\displaystyle \beta =0}$${\displaystyle \beta =\alpha }$

الانحراف الخطي للقطع الناقص أو القطع الزائد، والذي يُشار إليه بالرمز c (أو أحيانًا f أو e )، هو المسافة بين مركزه وأي من بؤرتيه . يمكن تعريف الانحراف بأنه نسبة الانحراف الخطي إلى شبه المحور الرئيسي a : أي (في حالة عدم وجود مركز، لا يتم تعريف الانحراف الخطي للقطع المكافئ). تجدر الإشارة إلى أنه يمكن التعامل مع القطع المكافئ على أنه قطع ناقص أو قطع زائد، ولكن مع وجود نقطة بؤرية واحدة في اللانهاية . ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$

يُطلق على الانحراف أحيانًا اسم الانحراف الأول لتمييزه عن الانحراف الثاني والانحراف الثالث المحددين للقطع الناقص (انظر أدناه). يُطلق على الانحراف أحيانًا أيضًا اسم الانحراف العددي .

في حالة القطع الناقص والقطع الزائد، يُطلق على الانحراف الخطي أحيانًا اسم الفصل نصف البؤري .

هناك ثلاثة اتفاقيات تدوين شائعة الاستخدام:

1. e للانحراف و c للانحراف الخطي.
2. ε للانحراف و e للانحراف الخطي.
3. e أو ϵ< للانحراف و f للانحراف الخطي (اختصار للفصل نصف البؤري ).

تستخدم هذه المقالة التدوين الأول.

مقطع مخروطي	معادلة	الانحراف ( هـ )	الانحراف الخطي ( ج )
دائرة	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
القطع الناقص	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$أو أين${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}+\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}$${\displaystyle أ>ب}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
القطع المكافئ	${\displaystyle x^{2}=4ay}$	${\displaystyle 1}$	غير محدد ( ) ${\displaystyle \infty }$
القطع الزائد	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$أو${\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

هنا، بالنسبة للقطع الناقص والقطع الزائد، a هو طول شبه المحور الرئيسي و b هو طول شبه المحور الثانوي.

عندما يتم إعطاء المقطع المخروطي في الشكل التربيعي العام

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

تعطي الصيغة التالية الانحراف e إذا لم يكن المقطع المخروطي قطعًا مكافئًا (الذي له انحراف يساوي 1)، وليس قطعًا زائدًا منحطًا أو قطعًا ناقصًا منحطًا ، وليس قطعًا ناقصًا وهميًا: ^[2]

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}}}}}$

أين إذا كان محدد المصفوفة 3×3 ${\displaystyle \eta =1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}}$

هو سلبي أو إذا كان هذا المحدد إيجابيا. ${\displaystyle \eta =-1}$

إن انحراف القطع الناقص يكون أقل تمامًا من 1. وعندما يتم حساب الدوائر (التي لها انحراف 0) على أنها قطع ناقصة، فإن انحراف القطع الناقص يكون أكبر من أو يساوي 0؛ وإذا تم منح الدوائر فئة خاصة وتم استبعادها من فئة القطع الناقص، فإن انحراف القطع الناقص يكون أكبر تمامًا من 0.

بالنسبة لأي قطع ناقص، دع a يكون طول نصف محوره الرئيسي و b يكون طول نصف محوره الثانوي . في نظام الإحداثيات مع الأصل في مركز القطع الناقص ومحور x محاذي للمحور الرئيسي، فإن النقاط على القطع الناقص تحقق المعادلة

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

مع بؤر في الإحداثيات لـ${\displaystyle (\pm c,0)}$${\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}.}$

نحن نحدد عددًا من المفاهيم الإضافية ذات الصلة (للنقاط فقط):

اسم	رمز	من حيث أ و ب	من حيث هـ
أول انحراف	${\displaystyle e}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle e}$
الانحراف الثاني	${\displaystyle e'}$	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1}}}$	${\displaystyle {\frac {e}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$
الانحراف الثالث	${\displaystyle e''={\sqrt {m}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {e}{\sqrt {2-e^{2}}}}}$
الانحراف الزاوي	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \cos ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)}$	${\displaystyle \sin ^{-1}e}$

إن انحراف القطع الناقص هو ببساطة نسبة الانحراف الخطي c (المسافة بين مركز القطع الناقص وكل بؤرة) إلى طول شبه المحور الرئيسي a .

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}.}$

الانحراف هو أيضًا نسبة شبه المحور الرئيسي a إلى المسافة d من المركز إلى الدليل:

${\displaystyle e={\frac {a}{d}}.}$

يمكن التعبير عن الانحراف من حيث التسوية f (المعرفة بالنسبة للمحور شبه الرئيسي a والمحور شبه الثانوي b ): ${\displaystyle f=1-b/a}$

${\displaystyle e={\sqrt {1-(1-f)^{2}}}={\sqrt {f(2-f)}}.}$

(يمكن الإشارة إلى التسطيح بالرمز g في بعض مجالات الموضوع إذا كان f هو الانحراف الخطي.)

حدد أقصى وأدنى نصف قطر و باعتبارهما أقصى وأدنى مسافة من أي من البؤرتين إلى القطع الناقص (أي المسافة من أي من البؤرتين إلى طرفي المحور الرئيسي). ثم مع شبه المحور الرئيسي أ ، يتم إعطاء الانحراف بواسطة ${\displaystyle r_{\text{الحد الأقصى}}}$${\displaystyle r_{\text{دقيقة}}}$

${\displaystyle e={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{2a}},}$

وهو المسافة بين البؤرتين مقسومة على طول المحور الرئيسي.

يمكن أن يكون انحراف القطع الزائد أي عدد حقيقي أكبر من 1، بدون حد أعلى. انحراف القطع الزائد المستطيلي هو . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

إن الانحراف المركزي لمربع ثلاثي الأبعاد هو انحراف قسم معين منه. على سبيل المثال، في شكل بيضاوي ثلاثي المحاور، يكون الانحراف المركزي الزوالي هو انحراف القطع الناقص الذي يتكون من قسم يحتوي على كل من أطول وأقصر محورين (أحدهما سيكون المحور القطبي)، والانحراف المركزي الاستوائي هو انحراف القطع الناقص الذي يتكون من قسم يمر عبر المركز، عموديًا على المحور القطبي (أي في المستوى الاستوائي). ولكن: قد تحدث المقاطع المخروطية على أسطح من مرتبة أعلى أيضًا (انظر الصورة).

في ميكانيكا السماوات ، بالنسبة للمدارات المقيدة في جهد كروي، يتم تعميم التعريف أعلاه بشكل غير رسمي. عندما تكون مسافة مركز الدائرة قريبة من مسافة مركز الدائرة ، يقال إن المدار له انحراف منخفض؛ عندما يكونان مختلفين للغاية، يقال إن المدار له انحراف قريب من الواحد. يتطابق هذا التعريف مع التعريف الرياضي للانحراف للقطع الناقص، في نظرية كيبلر، أي الجهد. ${\displaystyle 1/r}$

هذا القسم يحتاج إلى التوسعة . يمكنك المساعدة بإضافة المزيد إليه. ( مارس 2009 )

يستخدم عدد من التصنيفات في الرياضيات مصطلحات مشتقة من تصنيف المقاطع المخروطية حسب الانحراف:

• تصنيف عناصر SL ₂ (R) إلى إهليلجي، ومكافئ ، وقطع زائدي - وعلى نحو مماثل لتصنيف عناصر PSL _{2 (R)،} تحويلات موبيوس الحقيقية .
• تصنيف التوزيعات المنفصلة حسب نسبة التباين إلى المتوسط ؛ راجع تراكمات بعض توزيعات الاحتمالات المنفصلة للحصول على التفاصيل.
• يتم تصنيف المعادلات التفاضلية الجزئية عن طريق القياس مع تصنيف المقاطع المخروطية؛ انظر المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية والمكافئة والزائدية . ^[3 ]

• مدارات كيبلر
• متجه الانحراف
• الانحراف المداري
• الاستدارة (الجسم)
• ثابت مخروطي

• عالم الرياضيات: الانحراف