عملية الانتشار

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، تُعدّ عمليات الانتشار فئة من عمليات ماركوف ذات الزمن المستمر ، وتتميز بمسارات عينة متصلة شبه مؤكدة . تتسم عمليات الانتشار بطبيعتها العشوائية ، ولذا تُستخدم لنمذجة العديد من الأنظمة العشوائية في الحياة الواقعية. ومن أمثلة عمليات الانتشار: الحركة البراونية ، والحركة البراونية المنعكسة ، وعمليات أورنستين-أولينبيك . ويُستخدم هذا المفهوم على نطاق واسع في الفيزياء الإحصائية ، والتحليل الإحصائي ، ونظرية المعلومات ، وعلم البيانات ، والشبكات العصبية ، والتمويل ، والتسويق .

يمثل مسار نموذجي لعملية الانتشار مسار جسيم مغمور في سائل متدفق ويتعرض لإزاحات عشوائية نتيجة تصادمه مع جسيمات أخرى، وهو ما يُعرف بالحركة البراونية . ويكون موضع الجسيم عشوائيًا في هذه الحالة؛ وتخضع دالة كثافة احتماله ، كدالة للمكان والزمان، لمعادلة الحمل الحراري والانتشار .

عملية الانتشار هي عملية ماركوف ذات مسارات عينة مستمرة والتي تكون معادلة كولموغوروف الأمامية لها هي معادلة فوكر-بلانك . ^{[ 1 ]}

تُعرَّف عملية الانتشار بالخصائص التالية. ليكن${\displaystyle a^{ij}(x,t)}$أن تكون المعاملات متصلة بشكل منتظم و${\displaystyle b^{i}(x,t)}$تكون حدود الانحراف قابلة للقياس وفقًا لبوريل. هناك عائلة فريدة من مقاييس الاحتمالية${\displaystyle \mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau }}$(ل${\displaystyle \tau \geq 0}$،${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d}}$) على الفضاء المتعارف عليه${\displaystyle \Omega =C([0,\infty ),\mathbb {R} ^{d})}$، مع بوريل${\displaystyle \sigma }$الجبر، بحيث:

1. (الشرط الابتدائي) تبدأ العملية عند${\displaystyle \xi }$في ذلك الوقت${\displaystyle \tau }$:${\displaystyle \mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau }[\psi \in \Omega$ :\psi (t)=\xi {\text{ for }}0\leq t\leq \tau ]=1.}

2. (ملكية مارتينجال المحلية) لكل${\displaystyle f\in C^{2,1}(\mathbb {R} ^{d}\times [\tau ,\infty ))}$العملية

${\displaystyle M_{t}^{[f]}=f(\psi (t),t)-f(\psi (\tau ),\tau )-\int _{\tau }^{t}{\bigl (}L_{a;b}+{\tfrac {\partial }{\partial s}}{\bigr )}f(\psi (s),s)\,ds}$ هو مارتينجال محلي تحت${\displaystyle \mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau }}$ل${\displaystyle t\geq \tau }$، مع${\displaystyle M_{t}^{[f]}=0}$ل${\displaystyle t\leq \tau }$.

هذه العائلة${\displaystyle \mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau }}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle {\mathcal {L}}_{a;b}}$-انتشار.

من الواضح أنه إذا كان لدينا${\displaystyle {\mathcal {L}}_{a;b}}$الانتشار، أي${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$على${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau })}$، ثم${\displaystyle X_{t}}$يفي بمعايير SDE${\displaystyle dX_{t}^{i}={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{d}\sigma _{k}^{i}(X_{t})\,dB_{t}^{k}+b^{i}(X_{t})\,dt}$على النقيض من ذلك، يمكن للمرء أن يبني هذا الانتشار من تلك المعادلة التفاضلية العشوائية إذا${\displaystyle a^{ij}(x,t)=\sum _{k}\sigma _{i}^{k}(x,t)\,\sigma _{j}^{k}(x,t)}$و${\displaystyle \sigma ^{ij}(x,t)}$،${\displaystyle b^{i}(x,t)}$هي متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز. لإثبات ذلك، لنفترض${\displaystyle X_{t}}$حل المعادلة التفاضلية العشوائية بدءًا من${\displaystyle X_{\tau }=\xi }$. ل${\displaystyle f\in C^{2,1}(\mathbb {R} ^{d}\times [\tau ,\infty ))}$، تطبيق صيغة إيتو:${\displaystyle df(X_{t},t)={\bigl (}{\frac {\partial f}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{d}b^{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+v\sum _{i,j=1}^{d}a^{ij}\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\bigr )}\,dt+\sum _{i,k=1}^{d}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,\sigma _{k}^{i}\,dB_{t}^{k}.}$إعادة الترتيب تعطي${\displaystyle f(X_{t},t)-f(X_{\tau },\tau )-\int _{\tau }^{t}{\bigl (}{\frac {\partial f}{\partial s}}+L_{a;b}f{\bigr )}\,ds=\int _{\tau }^{t}\sum _{i,k=1}^{d}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,\sigma _{k}^{i}\,dB_{s}^{k},}$والتي يمثل طرفها الأيمن مارتينجالًا محليًا، وهو ما يتوافق مع خاصية المارتينجال المحلي في تعريف الانتشار. قانون${\displaystyle X_{t}}$يُعرّف${\displaystyle \mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau }}$على${\displaystyle \Omega =C([0,\infty ),\mathbb {R} ^{d})}$مع الشرط الابتدائي الصحيح وخاصية المارتينجال المحلية. وتنتج الخاصية الفريدة من استمرارية ليبشيتز لـ${\displaystyle \sigma \!,\!b}$. في الحقيقة،${\displaystyle L_{a;b}+{\tfrac {\partial }{\partial s}}}$يتطابق مع المولد المتناهي الصغر${\displaystyle {\mathcal {A}}}$من هذه العملية. إذا.${\displaystyle X_{t}}$يحل المعادلة التفاضلية العشوائية، ثم لـ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)\in C^{2}(\mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{+})}$المولد${\displaystyle {\mathcal {A}}}$يكون${\displaystyle {\mathcal {A}}f(\mathbf {x} ,t)=\sum _{i=1}^{d}b_{i}(\mathbf {x} ,t)\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+v\sum _{i,j=1}^{d}a_{ij}(\mathbf {x} ,t)\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}$

• معادلة تفاضلية عشوائية
• حساب التفاضل والتكامل إيتو
• معادلة فوكر-بلانك
• عملية ماركوف
• انتشار
• انتشار إيتو
• انتشار القفز
• عملية أخذ العينات المستمرة