تصميم العامل الجزئي

في الإحصاء ، يُعدّ التصميم العاملي الجزئي طريقةً لإجراء التجارب بعدد أقل من الجولات التجريبية مقارنةً بالتصميم العاملي الكامل . فبدلاً من اختبار كل توليفة من العوامل، يختبر هذا التصميم جزءًا مُختارًا بعناية. ^{[ 1 ]} يُختار هذا "الجزء" من التصميم الكامل للكشف عن أهم المعلومات حول النظام قيد الدراسة ( مبدأ قلة التأثيرات )، مع تقليل عدد الجولات المطلوبة بشكل ملحوظ. ويستند هذا التصميم إلى فكرة أن العديد من الاختبارات في التصميم العاملي الكامل قد تكون زائدة عن الحاجة. مع ذلك، يأتي هذا التقليل في عدد الجولات على حساب تحليل أكثر تعقيدًا، إذ قد تتداخل بعض التأثيرات، مما يجعل من المستحيل عزل تأثيراتها الفردية. لذا، يجب اختيار التوليفات المراد اختبارها في التصميم العاملي الجزئي بعناية فائقة.

قدّم الإحصائي البريطاني ديفيد جون فيني تصميم العوامل الجزئية عام 1945، موسعًا بذلك عملًا سابقًا لرونالد فيشر حول تجربة العوامل الكاملة في محطة روثامستيد التجريبية. ^{[ 2 ]} طُوّر هذا التصميم في الأصل للتطبيقات الزراعية، ثمّ استُخدم لاحقًا في مجالات أخرى من الهندسة والعلوم والأعمال. ^{[ 3 ]}

على غرار التجربة العاملية الكاملة ، تبحث التجربة العاملية الجزئية في تأثيرات المتغيرات المستقلة، المعروفة بالعوامل، على متغير الاستجابة. يُدرس كل عامل عند قيم مختلفة، تُعرف بالمستويات. يُقاس متغير الاستجابة باستخدام توليفة من العوامل عند مستويات مختلفة، وتُعرف كل توليفة فريدة بالتجربة. ولتقليل عدد التجارب مقارنةً بالتجربة العاملية الكاملة، تُصمم التجارب بحيث تُدمج التأثيرات والتفاعلات المختلفة، فلا يمكن تمييز تأثيراتها. إذا كانت التفاعلات من الرتبة العليا بين التأثيرات الرئيسية ضئيلة، يُمكن اعتبارها طريقة مناسبة لدراسة التأثيرات الرئيسية. هذا هو مبدأ ندرة التأثيرات . ويتم التحكم في الدمج من خلال اختيار منهجي للتجارب من جدول التجربة العاملية الكاملة. ^{[ 4 ]}

تُعبّر التصاميم الجزئية باستخدام الرمز l ^{k  −  p} ، حيث يُمثل l عدد مستويات كل عامل، و k عدد العوامل، و p حجم الجزء المستخدم من التصميم العاملي الكامل. وبصورة رسمية، يُمثل p عدد المولدات؛ وهي علاقات تُحدد التأثيرات المُربكة عمدًا والتي تُقلل عدد التجارب المطلوبة. يُقلل كل مولد عدد التجارب المطلوبة إلى النصف. التصميم الذي يحتوي على p من هذه المولدات يُمثل جزءًا مقداره 1/( l ^p )= l ^−p من التصميم العاملي الكامل. ^{[ 3 ]}

على سبيل المثال، يُمثل تصميم ^{2⁵⁻² ربع}   تصميم عاملي ثنائي المستوى بخمسة عوامل. فبدلاً من 32 تجربة مطلوبة في التجربة العاملية الكاملة 2⁵⁻² ^{، تتطلب هذه التجربة ثماني تجارب فقط. وباستخدام مولدين} ، انخفض عدد التجارب إلى النصف مرتين.

عمليًا، نادرًا ما يُصادف المرء تصميمات عاملية جزئية ذات مستويات أكثر من اثنين، نظرًا لتعقيد منهجية توليد هذه التصميمات لأكثر من مستويين. في الحالات التي تتطلب ثلاثة مستويات لكل عامل، تشمل التصميمات الجزئية المحتملة المربعات اللاتينية ، والمربعات اللاتينية المتعامدة ، وطرق تاغوشي . كما تُعد منهجية سطح الاستجابة طريقةً أكثر كفاءةً من الناحية التجريبية لتحديد العلاقة بين الاستجابة التجريبية والعوامل على مستويات متعددة، ولكنها تتطلب أن تكون المستويات متصلة. عند تحديد الحاجة إلى أكثر من مستويين، ينبغي على الباحثين مراعاة ما إذا كانوا يتوقعون أن تكون النتيجة غير خطية بإضافة مستوى ثالث. ومن الاعتبارات الأخرى عدد العوامل، الذي قد يُغير بشكل كبير من متطلبات العمل التجريبية. ^{[ 5 ]}

تُرمز مستويات العامل عادةً بـ +1 للمستوى الأعلى، و -1 للمستوى الأدنى. بالنسبة لعامل ثلاثي المستويات، تُرمز القيمة المتوسطة بـ  0. ^{[ 4 ]}

لتوفير المساحة، غالبًا ما تُختصر النقاط في تجربة عاملية بسلاسل من علامات الجمع والطرح. تحتوي هذه السلاسل على عدد من الرموز يساوي عدد العوامل، وتحدد قيمها مستوى كل عامل: تقليديًا،${\displaystyle -}$للمستوى الأول (أو الأدنى)، و${\displaystyle +}$بالنسبة للمستوى الثاني (أو الأعلى). يمكن تمثيل النقاط في تجربة ذات مستويين وعاملين على النحو التالي:${\displaystyle --}$،${\displaystyle +-}$،${\displaystyle -+}$، و${\displaystyle ++}$[ ^{4 ]​}

يمكن اختصار نقاط المضروب أيضًا إلى (1)، a، b، وab، حيث يشير وجود حرف إلى أن العامل المحدد في مستواه الأعلى (أو الثاني)، بينما يشير عدم وجود حرف إلى أن العامل المحدد في مستواه الأدنى (أو الأول) (على سبيل المثال، يشير الحرف "a" إلى أن العامل A في أعلى مستوى له، بينما جميع العوامل الأخرى في أدنى مستوى لها (أو الأول)). يُستخدم (1) للإشارة إلى أن جميع العوامل في أدنى قيمها (أو الأولى). تُرتّب نقاط المضروب عادةً في جدول باستخدام ترتيب ييتس القياسي: 1، a، b، ab، c، ac، bc، abc، والذي يتم إنشاؤه عندما يتناوب مستوى العامل الأول مع كل تشغيل. ^{[ 5 ]}

عمليًا، يعتمد الباحثون عادةً على المراجع الإحصائية لتوفير التصاميم العاملية الجزئية "القياسية"، والتي تتكون من الجزء الرئيسي . الجزء الرئيسي هو مجموعة تركيبات المعالجة التي تُقيّم فيها المولدات إلى + وفقًا لجبر تركيبات المعالجة. مع ذلك، في بعض الحالات، قد يتولى الباحثون بأنفسهم مهمة توليد تصميمهم الجزئي الخاص.

تُنشأ تجربة عاملية جزئية من تجربة عاملية كاملة باختيار بنية بديلة . تحدد هذه البنية البديلة التأثيرات التي يتم دمجها مع بعضها. على سبيل المثال، يمكن إنشاء التجربة ذات الخمسة عوامل 2 ^{5  −  2} باستخدام تجربة عاملية كاملة بثلاثة عوامل (مثلاً A و B و C )، ثم اختيار دمج العاملين المتبقيين D و E مع التفاعلات الناتجة عن D = A * B و E = A * C. يُطلق على هذين التعبيرين اسم مولدات التصميم. لذا، على سبيل المثال، عند إجراء التجربة وتقدير الباحث لتأثيرات العامل D ، فإن ما يتم تقديره فعلياً هو مزيج من التأثير الرئيسي لـ D والتفاعل الثنائي الذي يشمل A و B.

من الخصائص المهمة للتصميم الجزئي العلاقة المحددة ، التي تجعل مجموعة أعمدة التفاعل في مصفوفة التصميم مساوية لعمود من علامات الجمع، ويرمز لها بـ I. في المثال أعلاه، بما أن D = AB و E = AC ، فإن ABD و ACE كلاهما عمودان من علامات الجمع، وبالتالي فإن BDCE كذلك .

D*D = AB*D = I

E*E = AC*E = I

I = ABD*ACE = A*ABCDE = BCDE

في هذه الحالة، العلاقة المحددة للتصميم الجزئي هي I = ABD = ACE = BCDE . تسمح هذه العلاقة بتحديد نمط التداخل للتصميم، وتشمل 2p ^كلمة . تجدر الإشارة إلى أنه في هذه الحالة، لا يمكن دراسة تأثيرات التفاعل ABD و ACE و BCDE على الإطلاق. مع ازدياد عدد المولدات ودرجة التجزئة، تتداخل المزيد من التأثيرات. ^{[ 5 ]}

يمكن تحديد نمط التداخل من خلال الضرب في كل عمود من أعمدة العوامل. ولتحديد مدى تداخل التأثير الرئيسي A، اضرب جميع الحدود في العلاقة المحددة في A.

أ*ط = أ*أبد = أ*أج = أ*بجد أ = بج = جه = أبجد

وبالتالي، فإن التأثير الرئيسي A يتداخل مع تأثيرات التفاعل BC وCE وABCDE. ويمكن حساب التأثيرات الرئيسية الأخرى باتباع طريقة مماثلة. ^{[ 4 ]}

من الخصائص المهمة للتصميم الجزئي دقته، أو قدرته على فصل التأثيرات الرئيسية والتفاعلات منخفضة الرتبة عن بعضها. بصورة رسمية، إذا كانت العوامل ثنائية، فإن دقة التصميم هي أقصر طول للكلمة في العلاقة المحددة باستثناء ( I ). يُرمز للدقة بالأرقام الرومانية، وتزداد مع الرقم. ^{[ 4 ]} أهم التصاميم الجزئية هي تلك ذات الدقة III و IV و V: الدقة الأقل من III غير مفيدة، والدقة الأعلى من V مُهدرة (مع العوامل الثنائية) حيث أن التجربة الموسعة لا تُحقق فائدة عملية في معظم الحالات، إذ يُبذل الجزء الأكبر من الجهد الإضافي في تقدير التفاعلات عالية الرتبة التي نادرًا ما تحدث في الواقع. التصميم 2 ^{5  −  2} المذكور أعلاه هو من الدقة III لأن علاقته المحددة هي I  =  ABD  =  ACE  =  BCDE.

يُستخدم نظام تصنيف الدقة الموصوف هنا فقط للتصاميم العادية. تتميز هذه التصاميم بحجم تشغيل يساوي قوة العدد اثنين، ولا يوجد فيها سوى التداخل الكامل. أما التصاميم غير العادية، والمعروفة أحيانًا بتصاميم بلاكيت-بورمان ، فهي تصاميم يكون فيها حجم التشغيل من مضاعفات العدد 4؛ وتُدخل هذه التصاميم تداخلًا جزئيًا، وتُستخدم فيها الدقة المعممة كمعيار تصميم بدلًا من الدقة الموصوفة سابقًا.

يمكن استخدام تصميمات القرار من النوع الثالث لإنشاء تصميمات مشبعة، حيث يمكن دراسة N-1 عاملاً في N تجربة فقط. يمكن استخدام هذه التصميمات المشبعة للفحص السريع عند وجود العديد من العوامل. ^{[ 3 ]}

يقدم مونتغمري ^{[ 3 ]} المثال التالي لتجربة عاملية جزئية. أجرى مهندس تجربة لزيادة معدل الترشيح (الناتج) لعملية إنتاج مادة كيميائية، ولتقليل كمية الفورمالديهايد المستخدمة في هذه العملية. تم وصف التجربة العاملية الكاملة في صفحة ويكيبيديا " التجربة العاملية" . تم النظر في أربعة عوامل: درجة الحرارة (أ)، والضغط (ب)، وتركيز الفورمالديهايد (ج)، وسرعة التحريك (د). أظهرت نتائج هذا المثال أن التأثيرات الرئيسية أ، ج، د، والتفاعلات بين أ، ج، د كانت ذات دلالة إحصائية. يمكن استخدام نتائج هذا المثال لمحاكاة تجربة عاملية جزئية باستخدام نصف جزء من تصميم التجربة الأصلي المكون من 16 تجربة (2 ^{× 4} = 16). يوضح الجدول تصميم التجربة بنصف جزء (2 × ^{4 - 1} = 8) ومعدل الترشيح الناتج، المستخرج من جدول التجربة العاملية الكاملة المكونة من 16 تجربة .

في هذا التصميم الجزئي، يرتبط كل تأثير رئيسي بتفاعل ثلاثي العوامل (مثلاً، A = BCD)، ويرتبط كل تفاعل ثنائي العوامل بتفاعل ثنائي العوامل آخر (مثلاً، AB = CD). يوضح الجدول علاقات الارتباط. هذا تصميم من النوع الرابع، أي أن التأثيرات الرئيسية ترتبط بتفاعلات ثلاثية، والتفاعلات الثنائية ترتبط بتفاعلات ثنائية.

تُظهر الجداول أدناه تقديرات تحليل التباين للتأثيرات. من خلال معاينة الجدول، يبدو أن هناك تأثيرات كبيرة ناتجة عن العوامل A وC وD. معامل التفاعل AB صغير جدًا. ما لم يكن للتفاعلين AB وCD تأثيرات متساوية تقريبًا ولكن متعاكسة، فإن هذين التفاعلين يبدوان ضئيلين. إذا كان للعوامل A وC وD تأثيرات كبيرة، بينما كان تأثير B ضئيلاً، فمن المرجح أن يكون التفاعلان AC وAD ذوي دلالة إحصائية. تتوافق هذه الاستنتاجات مع نتائج التجربة الكاملة ذات 16 جولة.

نظرًا لأن المتغير B وتفاعلاته تبدو غير ذات دلالة إحصائية، يمكن حذفه من النموذج. يؤدي حذف B إلى تصميم عاملي كامل 2× ³ للعوامل A وC وD. وبإجراء تحليل التباين باستخدام العوامل A وC وD، بالإضافة إلى تفاعلات A:C وA:D، نحصل على النتائج الموضحة في الجدول، وهي نتائج مشابهة جدًا لنتائج التجربة العاملية الكاملة ، ولكنها تتميز بميزة الحاجة إلى 8 تجارب فقط بدلًا من 16.

• التصاميم العاملية الجزئية (المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا)

• تصميمات المعلمات القوية