جزء كسري

الجزء الكسري أو الجزء العشري ^{[1] من} عدد حقيقي غير سالب هو الزيادة عن الجزء الصحيح من ذلك العدد . يتم تعريف الأخير على أنه أكبر عدد صحيح لا يزيد عن x ، ويسمى الحد الأدنى لـ x أو . بعد ذلك، يمكن صياغة الجزء الكسري على أنه فرق : ${\displaystyle x}$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor ,\;x>0}$.

الجزء الكسري من اللوغاريتمات ، ^[2] على وجه التحديد، يُعرف أيضًا باسم الجزء العشري ؛ وعلى النقيض من الجزء العشري، يُطلق على الجزء الصحيح من اللوغاريتم اسم خاصيته . [ ^{3] [4]} تم تقديم كلمة الجزء العشري بواسطة هنري بريجز . ^[5]

بالنسبة للعدد الموجب المكتوب بنظام عددي موضعي تقليدي (مثل الثنائي أو العشري )، فإن الجزء الكسري منه يتوافق بالتالي مع الأرقام التي تظهر بعد النقطة الأساسية ، مثل النقطة العشرية في اللغة الإنجليزية. والنتيجة هي عدد حقيقي في الفاصلة نصف المفتوحة [0، 1).

ومع ذلك، في حالة الأرقام السالبة، توجد طرق متضاربة مختلفة لتوسيع دالة الجزء الكسري إليها: إما أن يتم تعريفها بنفس الطريقة كما هو الحال بالنسبة للأرقام الموجبة، أي بواسطة (جراهام، كنوث وباتاشنيك 1992)، ^[6] أو كجزء من الرقم إلى يمين نقطة الأساس (دانتيث 2004)، ^[7] أو بواسطة الدالة الفردية : ^[8]${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=|x|-\lfloor |x|\rfloor }$

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &x<0\end{cases}}}$

مع أصغر عدد صحيح لا يقل عن x ، ويسمى أيضًا سقف x . ونتيجة لذلك، قد نحصل، على سبيل المثال، على ثلاث قيم مختلفة للجزء الكسري من x واحد فقط: دعه يكون −1.3، وسيكون الجزء الكسري منه 0.7 وفقًا للتعريف الأول، و0.3 وفقًا للتعريف الثاني، و−0.3 وفقًا للتعريف الثالث، ويمكن الحصول على نتيجته أيضًا بطريقة مباشرة من خلال ${\displaystyle \lceil x\rceil }$

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)}$.

تسمح تعريفات "الدالة الفردية" و"الدالة الفردية" بالتحليل الفريد لأي عدد حقيقي x إلى مجموع أجزائه الصحيحة والكسرية، حيث يشير "الجزء الصحيح" إلى أو على التوالي. يوفر هذان التعريفان للدالة ذات الجزء الكسري أيضًا القدرة على التماثل . ${\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)}$

الجزء الكسري المحدد من خلال الفرق من ⌊ ⌋ عادة ما يتم الإشارة إليه بأقواس متعرجة :

${\displaystyle \{x\}:=x-\lfloor x\rfloor .}$

يمكن تمثيل كل عدد حقيقي بشكل فريد في الأساس ككسر مستمر بسيط ، أي كمجموع جزئه الصحيح ومقلوب جزئه الكسري الذي يُكتب كمجموع جزئه الصحيح ومقلوب جزئه الكسري ، وهكذا.

• مجموعة الدائرة
• تسلسل التوزيع المتساوي
• مجموعة ذات معلمة واحدة
• رقم بيسوت-فيجاياراجافان
• دليل على بوسين
• ذات دلالة