مجموعة دائرية

في الرياضيات ، تُعرف مجموعة الدائرة بالرمز التالي:${\displaystyle \mathbb {T} }$أو​${\displaystyle S^{1}}$، هي المجموعة الضربية لجميع الأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة 1، أي دائرة الوحدة في المستوى المركب أو ببساطة الأعداد المركبة الوحدوية ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C}$ :|z|=1\}.}

تلعب مجموعة الدائرة دورًا أساسيًا في العديد من مجالات الرياضيات.

عندما يكون عدد الوحدة المركب المعطى${\displaystyle u}$يؤدي ضرب النقاط الأخرى في الدائرة إلى تدويرها بزاوية تحددها${\displaystyle u}$وبهذه الطريقة، تصبح مجموعة الدائرة مجموعة تناظرات الدائرة التي تحافظ على اتجاهها (لا تقلبها). تركيب دورتين هو الضرب العادي للأعداد المركبة . الضرب عملية تبديلية .${\displaystyle z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}}$مما يجعل زمرة الدائرة تبديلية ( زمرة تبديلية )؛ وبناءً على ذلك، يمكن تركيب عدة دورانات للمستوى بأي ترتيب مع الحصول على النتيجة نفسها. ويمكن تمثيل الدورانات بمعامل قياس الزاوية .${\displaystyle \theta }$، وهو ما يرتبط بـ${\displaystyle z}$باستخدام الدالة الأسية المركبة : $${\displaystyle \theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

يُشار أحيانًا إلى مجموعة الدائرة بـ${\displaystyle U(1)}$، وهي المجموعة الموحدة لـ${\displaystyle 1\times 1}$المصفوفات المركبة. وهي متماثلة بنيوياً مع مجموعة مصفوفات الدوران ثنائية الأبعاد ، أي المجموعة المتعامدة الخاصة .${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$⁠ . يوفر قياس الزاوية تمثيلاً دورياً لمجموعة الدوائر، لذا غالباً ما تُعامل المجموعة على أنها فترة دورية${\displaystyle [0,2\pi ]}$مع لصق النهايات معًا، وعملية المجموعة كعملية جمع بتردد${\displaystyle 2\pi }$: الجمع المعتاد للزوايا. الترميز${\displaystyle \mathbb {T} }$ينبع مفهوم مجموعة الدائرة من حقيقة أن الدائرة عبارة عن سطح حلقي أحادي البعد . وبشكل أعم،${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$( الناتج المباشر لـ${\displaystyle \mathbb {T} }$مع نفسه${\displaystyle n}$(أوقات) هو هندسيًا${\displaystyle n}$-الحلقة. الترميز ⁠${\displaystyle S^{1}}$يرمز إلى الكرة أحادية البعد .

تُستخدم زمرة الدائرة في مختلف فروع الرياضيات، وخاصةً في الرياضيات المتقدمة. فهي الزمرة الأساسية لمتسلسلات فورييه الكلاسيكية ، وهي ثنائية الزمرة الجمعية للأعداد الصحيحة . كما تُستخدم في علم الطوبولوجيا والفيزياء الرياضية ، وهي الزمرة الأساسية للكهرومغناطيسية . ويمكن صياغة النظرية الكهرومغناطيسية كنظرية للحزم المرتبطة بزمرة الدائرة، والتي تُعدّ من أهمّ عناصر الدراسة في نظرية التماثل الطوبولوجي والطوبولوجيا الجبرية .

يمكن اعتبار عناصر مجموعة الدائرة بمثابة تمثيل لدورانات المستوى الإقليدي حول نقطة معينة، وهي التحويلات الهندسية التي تُبقي تلك النقطة ثابتة مع الحفاظ على المسافة بين النقاط المختلفة، بالإضافة إلى اتجاه الأشكال. ^{[ 2 ]} وتُقابل عملية المجموعة تركيب الدورانات، أي دمج دورانين ناتجين عن تطبيق أحدهما ثم الآخر.

إذا كانت النقطة${\displaystyle p}$بإحداثيات مستطيلة ​​${\displaystyle (x_{p},y_{p})}$يُمثَّل العدد في المستوى الإقليدي بعدد مركب .${\displaystyle z_{p}=x_{p}+y_{p}i}$( انظر المستوى المركب )، ثم الضرب في عدد مركب يساوي 1${\displaystyle z_{R}}$ينتج عنه العدد المركب${\displaystyle z_{R}\cdot z_{p}}$والتي تمثل النقطة${\displaystyle R(p)}$، نتيجة الدوران${\displaystyle p}$حول نقطة الأصل​${\displaystyle (0,0)}$عن طريق بعض الدوران${\displaystyle R}$كل عدد مركب يساوي واحدًا يقابله دوران مختلف، والعكس صحيح. لذا فإن العدد المركب يساوي واحدًا .${\displaystyle z_{R}}$يمكن استخدامها لتمثيل الدوران المقابل${\displaystyle R}$إذا كان هناك دورانان مختلفان${\displaystyle R_{1}}$و​​${\displaystyle R_{2}}$يتم تمثيلها بواسطة الأعداد المركبة الوحدوية${\displaystyle z_{1}}$و​​${\displaystyle z_{2}}$ثم تركيبها ​${\displaystyle R_{2}\circ R_{1}}$يُمثل بضرب الأعداد المركبة${\displaystyle z_{2}\cdot z_{1}}$⁠ .

هناك طريقة شائعة أخرى لتمثيل الدوران وهي الزاوية المقاسة بالدرجات أو الراديان ، والتي غالباً ما يُرمز لها بالحرف اليوناني ⁠${\displaystyle \theta }$. جرت العادة على اعتبار الزاوية الموجبة دلالة على الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة . زاويتان تختلفان بمقدار ⁠${\displaystyle 360^{\circ }}$أو​​${\displaystyle 2\pi }$تمثل الراديان نفس الدوران، لذلك من الشائع اختيار الزاوية التمثيلية للدوران لتكون بين${\displaystyle 0^{\circ }}$و​​${\displaystyle 360^{\circ }}$( أو​${\displaystyle [0,2\pi )}$( راديان) أو، بشكل أكثر تناظرًا، بين${\displaystyle -180^{\circ }}$و​​${\displaystyle +180^{\circ }}$( أو​${\displaystyle (-\pi ,+\pi ]}$( بالراديان). يمكن تكوين دورتين ممثلتين بقياس الزاوية ببساطة عن طريق جمعهما معًا؛ في بعض الأحيان تقع الزاوية الجديدة خارج الفترة المحددة للزوايا التمثيلية - لقد أكملنا دورة حول الدائرة - ويمكننا حينها إضافة أو طرح مضاعف من${\displaystyle 360^{\circ }}$(​​${\displaystyle 2\pi }$( راديان) للعودة إلى الفترة.

دوران نقطة في المستوى المركب بزاوية${\displaystyle \theta }$حول نقطة الأصل (مقاسة بالراديان) يتوافق مع الضرب في العدد المركب${\displaystyle e^{\theta i}=\cos \theta +i\sin \theta }$، حيث​${\displaystyle e^{z}}$⁠ هي الدالة الأسية المركبة و ⁠${\displaystyle \sin }$و​​${\displaystyle \cos }$هي دوال مثلثية ). جمع الزوايا يقابله ضرب الأعداد المركبة الوحدوية: $${\displaystyle e^{(\theta _{1}+\theta _{2})i}=e^{\theta _{1}i}e^{\theta _{2}i}.}$$

في بعض السياقات، بدلاً من استخدام الدرجات في الفترة ⁠${\displaystyle [0,360)}$أو راديان في الفترة${\displaystyle [0,2\pi )}$، يتم تمثيل الزوايا بأجزاء من دورة كاملة في الفترة${\displaystyle [0,1)}$تُسهّل هذه الصيغة العمليات الحسابية، إذ يُمكن إعادة الزاوية التي تقع خارج الفترة إلى داخلها بأخذ الجزء الكسري منها : بالنسبة لعدد موجب، يُعادل هذا حذف أي أرقام قبل الفاصلة العشرية. على سبيل المثال، لتكوين${\displaystyle 0.75}$دوران و​${\displaystyle 0.5}$قم بتدويرها، ثم اجمع الرقمين ،${\displaystyle 0.75+0.5=1.25}$ثم تخلص من الرصاص${\displaystyle 1}$، مما ينتج عنه${\displaystyle 0.25}$قم بتدويرها.

الفاصل الدوري​${\displaystyle [0,1)}$يمكن اعتبارها مجموعة خارج القسمة للأعداد الحقيقية بتردد الأعداد الصحيحة ، والتي تُكتب رمزياً على النحو التالي :${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$هذه هي مجموعة فئات التكافؤ للأعداد الحقيقية، حيث يُعتبر أي عددين حقيقيين يختلفان بعدد صحيح متكافئين. تتضمن كل فئة تكافؤ عددًا حقيقيًا واحدًا في الفترة المحدودة .${\displaystyle [0,1)}$والتي يمكن استخدامها لتمثيلها. كمجموعة تحت عملية الجمع ،${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$متماثل مع مجموعة الدائرة​${\displaystyle \mathbb {T} }$من الأعداد المركبة الوحدوية تحت الضرب، مما يعني أن المجموعتين متماثلتان من الناحية الهيكلية.

تظهر مجموعة الدائرة بأشكال متنوعة في الرياضيات. نذكر هنا بعضًا من أكثر الأشكال شيوعًا. على وجه التحديد، نوضح أن $${\displaystyle \mathbb {T} \cong {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong \mathrm {SO} (2),}$$ حيث الشرطة المائلة ( ⁠${\displaystyle ~\!/~\!}$يرمز ) إلى حاصل قسمة المجموعة و${\displaystyle \cong }$وجود تماثل بين المجموعات.

إنّ مجموعة الدائرة ليست مجرد كائن جبري مجرد، بل لها بنية طوبولوجية طبيعية عند اعتبارها فضاءً جزئيًا من المستوى المركب. إنها فضاء متري ذو مفهومين طبيعيين (على الأقل) للمسافة بين العناصر: القيمة المطلقة للفرق بين عددين مركبين من نوع الوحدة (طول الوتر بين نقطتين في المستوى المركب)، أو القيمة المطلقة للفرق بين أقرب زاويتين تمثيليتين ( طول أقصر قوس بين نقطتين على دائرة الوحدة المركبة). الكرات المفتوحة هي أقواس دائرية. وبما أن الضرب والانعكاس دالتان متصلتان على${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$تتمتع مجموعة الدائرة ببنية مجموعة طوبولوجية . علاوة على ذلك ، بما أن دائرة الوحدة هي مجموعة جزئية مغلقة من المستوى المركب، فإن مجموعة الدائرة هي مجموعة جزئية مغلقة من${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$(تُعتبر في حد ذاتها مجموعة طوبولوجية). وهي مجموعة متراصة ومتصلة، ولكنها ليست متصلة ببساطة . مجموعتها الأساسية هي المجموعة الجمعية للأعداد الصحيحة، حيث يتوافق كل عدد صحيح مع عدد مرات التفاف مسار مغلق حول الدائرة.

المقاييس الثابتة

تُعطي المقاييس الوترية والطولية المُعرّفة سابقًا زوجًا من المقاييس الثابتة على مجموعة الدائرة. وهي ثابتة بمعنى أن المسافة بين نقطتين لا تتغير إذا دُورت النقطتان بنفس الزاوية. هذه المقاييس متكافئة، بمعنى وجود ثابت موجب.${\displaystyle C}$مع $${\displaystyle {\frac {1}{C}}d_{\text{chord}}(x,y)\leq d_{\text{length}}(x,y)\leq Cd_{\text{chord}}(x,y)}$$ لكل زوج من النقاط${\displaystyle x,y\in \mathbb {T} }$. مقياس طول القوس هو المقياس الريماني الثابت الوحيد على الدائرة، وفي الواقع هو مقياس الطول الثابت الوحيد ، ^{[ 10 ]} حتى التطبيع الثابت.

يمكن أيضًا تعريف دوال مسافة ثابتة أخرى تُحدد بنية فضاء متري ثابتة على مجموعة الدائرة. وبشكل عام، يُحدد المقياس الثابت بتحديد المسافة من نقطة ما.${\displaystyle 1}$لكل نقطة${\displaystyle x\in \mathbb {T} }$،${\displaystyle \lambda (x)=d(1,x)}$. لو${\displaystyle \lambda$ الدالة `:\mathbb {T} \to [0,\infty )` متصلة، وتحقق الشرط التالي: ${\displaystyle \lambda (1)=0}$،${\displaystyle \lambda (x)>0}$ل ${\displaystyle x\neq 1}$،${\displaystyle \lambda (x)=\lambda (x^{-1})}$، و ${\displaystyle \lambda (xy)\leq \lambda (x)+\lambda (y)}$، ثم ${\displaystyle d(x,y)=\lambda (x^{-1}y)}$يُعرّف مقياسًا ثابتًا متوافقًا على${\displaystyle \mathbb {T} }$.

مثال على ذلك هو${\displaystyle d(x,y)=d_{\text{chord}}(x,y)^{\alpha }}$أين${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$يُطلق عليه اسم مقياس ندفة الثلج . وهو لا يُعادل مقياس الوتر (أو الطول) إلا إذا${\displaystyle \alpha =1}$باستخدام هذا المقياس، يكون بُعد هاوسدورف لـ${\displaystyle \mathbb {T} }$يكون${\displaystyle 1/\alpha }$وبالتالي، يمنح ذلك المجموعة بنية منحنى كسري . وتتوسط ندفة الثلج بين مقياس الطول المعتاد${\displaystyle \alpha =1}$وهو أحادي البعد، ومقاييس ذات بُعد هاوسدورف غير محدود. مقياس ندفة الثلج مع${\displaystyle \alpha =\log(3)/\log(4)}$يمكن تضمينها في المستوى في منحنى كوخ المستوي للندفة الثلجية، والذي يكون مقياسه الوتر مكافئًا. ^{[ 11 ]}

تُستخدم مقاييس ثابتة أخرى على الدائرة في مجالات تحليل البيانات والتعلم الآلي ، وتُظهر خصائص قياس مماثلة لمقاييس ندفة الثلج. إحدى هذه المقاييس مشتقة من دراسة الانتشار على الدائرة، أو بشكل مكافئ، تُعطى بواسطة مسافة سوبوليف بين دوال ديراك دلتا على مجموعة الدائرة: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle d_{s}(x,y)^{2}=\|\delta _{x}-\delta _{y}\|_{H^{-s}}^{2}=\sum _{n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}|n|^{-2s}|x^{n}-y^{n}|^{2},\quad s>1/2.}$$

تحتوي مجموعة الدائرة على العديد من المجموعات الفرعية ، لكن مجموعاتها الفرعية المغلقة الفعلية الوحيدة تتكون من جذور الوحدة : لكل عدد صحيح${\displaystyle n>0}$، هناك​${\displaystyle n}$متميز​${\displaystyle n}$الجذور النونية للوحدة، والتي تشكل مجموعة دورية من الرتبة ⁠ ${\displaystyle n}$، وهي المجموعة الفرعية الفريدة من نوعها.

جميع المجموعات الفرعية الأخرى لمجموعة الدائرة تحتوي على عدد لا نهائي من العناصر وهي كثيفة . ومن الأمثلة على ذلك:

• مجموعة جميع جذور الوحدة. هذه هي المجموعة${\displaystyle \{e^{2\pi iq}\mid q\in \mathbb {Q} \}}$، أين${\displaystyle \mathbb {Q} }$هي مجموعة الأعداد النسبية . وهي كثيفة بنفس الطريقة التي تكون بها الأعداد النسبية كثيفة في مجموعة الأعداد الحقيقية.

• هناك مجموعة فرعية كثيفة مختلفة وهي مجموعة النقاط العقلانية على دائرة الوحدة ، أي الأزواج${\displaystyle (x,y)}$من الأعداد النسبية التي تحقق${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$وذلك لأن الأعداد النسبية يتم تعيينها إلى نقاط نسبية على الدائرة تحت الإسقاط المجسم ، وهو نفس التحديد البارامتري الذي ينتج عنه ثلاثيات فيثاغورس الأولية .

• متى${\displaystyle p}$هو عدد أولي ، وهو المجموعة الفرعية لجميع جذور الوحدة التي رتبتها قوة من .${\displaystyle p}$وهي كثيفة أيضًا. وبالمثل، في ظل التشاكل${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong \mathbb {T} }$هذه هي المجموعة الفرعية التي تتكون من أعداد نسبية يكون مقامها قوة لـ${\displaystyle p}$تُسمى هذه المجموعة الفرعية بـ "المُدقِّق"${\displaystyle p}$-مجموعة .

• بالنسبة لعدد غير نسبي${\displaystyle a}$في${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$مضاعفات${\displaystyle a}$،${\displaystyle \{na|n\in \mathbb {Z} \}}$هي مجموعة فرعية كثيفة سيتم مناقشتها بمزيد من التفصيل أدناه .

يسهل وصف التمثيلات المستمرة ذات الأبعاد المحدودة لمجموعة الدائرة. ويترتب على مبرهنة شور أن التمثيلات العقدية المستمرة غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد المحدودة لمجموعة أبيلية متراصة هي جميعها أحادية البعد. وبما أن مجموعة الدائرة متراصة، فإن أي تمثيل مستمر لها يكون قابلاً للوصف. $${\displaystyle \rho \colon \mathbb {T} \to \mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} ^{\times }}$$ يجب أن تأخذ القيم في${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T} }$لذلك ، فإن التمثيلات المعقدة المستمرة غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد المحدودة لمجموعة الدائرة هي مجرد التشاكلات المستمرة من مجموعة الدائرة إلى نفسها.

لكل عدد صحيح${\displaystyle n}$يمكننا تعريف تمثيل${\displaystyle \phi _{n}}$من مجموعة الدائرة بواسطة${\displaystyle \phi _{n}(z)=z^{n}}$هذه التمثيلات جميعها غير متكافئة. التمثيل${\displaystyle \phi _{-n}}$هو مرافق لـ​${\displaystyle \phi _{n}}$⁠ : $${\displaystyle \phi _{-n}={\overline {\phi _{n}}}.}$$

هذه التمثيلات ليست سوى الأحرف المتصلة لمجموعة الدائرة. مجموعة الأحرف المتصلة لـ${\displaystyle \mathbb {T} }$، والتي تسمى أيضًا ثنائيتها بونترياجين ، هي مجموعة دورية لانهائية مولدة بواسطة${\displaystyle \phi _{1}}$⁠ : $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathrm {cts} }(\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z} .}$$

التمثيلات الحقيقية غير القابلة للاختزال والمتصلة ذات الأبعاد المحدودة لمجموعة الدائرة هي التمثيل التافه (وهو أحادي البعد) والتمثيلات $${\displaystyle \rho _{n}{\bigl (}e^{i\theta }{\bigr )}={\begin{bmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{bmatrix}},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+},}$$ أخذ القيم في${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$هنا لدينا فقط أعداد صحيحة موجبة .${\displaystyle n}$، منذ التمثيل${\displaystyle \rho _{-n}}$يعادل ⁠${\displaystyle \rho _{n}}$بعد التعقيد ،${\displaystyle \rho _{n}}$يتحلل إلى المجموع المباشر للخاصيتين المركبتين${\displaystyle \phi _{n}}$و${\displaystyle \phi _{-n}}$.

تلعب تمثيلات زمرة الدائرة دورًا في بناء تمثيلات جميع زمر لي المدمجة . ^{[ 13 ]} كل زمرة لي مدمجة لها طارة عظمى ، وهي حاصل ضرب${\displaystyle n}$نسخ من مجموعة الدائرة. العدد${\displaystyle n}$يُطلق على هذا اسم رتبة زمرة لي. تحدد تمثيلات الطارة شبكة الوزن ، ويمكن إيجاد تمثيلات الزمرة الكاملة باستخدام نظرية الوزن الأعلى .

تُعدّ مجموعة الدائرة نقطة انطلاق أساسية في دراسة نظرية الإرجودية والأنظمة الديناميكية . لكل${\displaystyle a\in \mathbb {T} =\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$، ضع في اعتبارك عملية الترجمة بواسطة${\displaystyle a}$في المجموعة الدائرية${\displaystyle \mathbb {T} }$،${\displaystyle R_{a}\colon \mathbb {T} \to \mathbb {T} }$،${\displaystyle R_{a}(x)=a+x}$تتضمن بعض الأسئلة الطبيعية ما يلي:

• ما بنية مدار نقطة ما؟ على سبيل المثال، هل هو كثيف في المجموعة؟ هل مدار نقطة ما متساوي التوزيع ؟
• ما هو تأثير حساب متوسط ​​الدوال على الدائرة عند تطبيق المؤثر عدة مرات؟${\displaystyle R_{a}}$؟

تتوقف الإجابات على ما إذا كان${\displaystyle a}$هل هو عقلاني أم غير عقلاني، أي ما إذا${\displaystyle a\in \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$أو لا.

لو${\displaystyle a}$عدد نسبي ذو مقام (أصغر)${\displaystyle n}$ثم يكون لدى المرء${\displaystyle R_{a}^{n}=1}$وبالتالي فإن المدارات دورية. وإذا لم تكن كذلك، فإن المدار يكون كثيفاً، بل ومتساوي التوزيع.

وبالمثل، فإن المجموعة النصفية من الترجمات${\displaystyle R_{a},R_{a}^{2},\dots }$يكون في حده الأدنى ويتصرف بشكل إرجودي إذا وفقط إذا${\displaystyle a}$غير نسبي. ^{[ 8 ]} وهو فريد في خاصية الإرجودية في هذه الحالة. ^{[ 16 ]} تنص إحدى صيغ الإرجودية على أنه، بالنظر إلى أي دالة قابلة للتكامل هار${\displaystyle f}$على${\displaystyle \mathbb {T} }$، القيمة المتوسطة لـ${\displaystyle f}$يساوي متوسط ​​الدالة المحسوبة على عائلة الترجمات القابلة للعد على كامل الدائرة${\displaystyle f(R_{a}x),f(R_{a}^{2}x),\dots }$، بالنسبة لكل شيء تقريبًا${\displaystyle x}$بصورة أكثر رسمية، ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(R_{a}^{n}x)\to \int _{\mathbb {T} }f(x)\,dx}$$ لكل شيء تقريبًا${\displaystyle x}$وكذلك في${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$.

تظهر مجموعة الدائرة بشكل طبيعي في نظرية حزم الخطوط المعقدة الهرميتية فوق المشعبات والأصناف الجبرية مثل أسطح ريمان . إذا${\displaystyle L\to X}$هي حزمة خطية معقدة ذات مقياس هيرميتي، ومتجهات الوحدة في الألياف من رئيسي${\displaystyle U(1)}$-حزمة . على العكس من ذلك، رئيسي${\displaystyle U(1)}$تحدد الحزمة -bundle حزمة الخطوط المعقدة المرتبطة بها.

بالنسبة للفضاءات المناسبة، فئات التشاكل الرئيسية${\displaystyle U(1)}$يتم تصنيف الحزم حسب فئة تشيرن الأولى ،${\displaystyle c_{1}\in H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$. وبالمثل، فإن فضاء التصنيف لـ${\displaystyle U(1)}$،${\displaystyle BU(1)}$، هو فضاء إسقاطي معقد لانهائي${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$من الأشعة في فضاء هيلبرت المركب القابل للفصل ، والذي يتم توليد مجموعة التماثل الثانية الخاصة به بواسطة فئة تشيرن الأولى. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

في نظرية القياس ،${\displaystyle U(1)}$هي مجموعة البنية الكهرومغناطيسية . اتصال على أساس رئيسي${\displaystyle U(1)}$يمكن تمثيل الحزمة محليًا بواسطة شكل أحادي القيمة التخيلي${\displaystyle A}$، وهو ما يتوافق مع الجهد الكهرومغناطيسي ، الذي يكون انحناؤه ثنائي الشكل${\displaystyle F=dA}$يمثل المجال. ^{[ 19 ]}

إن المجموعة الثنائية لبونترياجين لمجموعة الدائرة متماثلة طبيعياً مع المجموعة الجمعية للأعداد الصحيحة. الخاصية المقابلة لـ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$هو التشاكل${\displaystyle \chi _{n}\colon \mathbb {T} \to \mathbb {T} }$مقدم من${\displaystyle \chi _{n}(z)=z^{n}}$. وعلى العكس من ذلك، فإن ثنائي بونترياجين للمجموعة المنفصلة${\displaystyle \mathbb {Z} }$متماثل الشكل بشكل طبيعي مع${\displaystyle \mathbb {T} }$لأن كل حرف من حروف الأعداد الصحيحة له الشكل${\displaystyle n\to z^{n}}$لبعض الأعداد المركبة الوحدة${\displaystyle z}$.

تنعكس هذه الازدواجيات في جبر باناخ التبادلي المرتبط بها . جبر المجموعة${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$، مع الالتفاف، يكون تحويل جيلفاند الخاص به معطى بتحويل فورييه، ويتم فهرسة خصائصه بواسطة${\displaystyle \mathbb {Z} }$أو بعبارة أخرى، فضاء المُثُل العليا الخاص بها هو${\displaystyle \mathbb {Z} }$في الاتجاه المعاكس، جبر المجموعة${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {Z} )}$يحتوي على فضاء مثالي أقصى متماثل بشكل طبيعي مع${\displaystyle \mathbb {T} }$. يقوم تحويل جيلفاند الخاص به برسم سلسلة قابلة للجمع${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$إلى الوظيفة${\displaystyle \textstyle z\mapsto \sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}z^{n}}$[ ^{20 ]} الصورة هي ^جبر وينر${\displaystyle A(\mathbb {T} )}$، جبر الدوال المتصلة على الدائرة ذات متسلسلات فورييه المتقاربة تقاربًا مطلقًا. ^{[ 21 ]} هذا جبر فرعي مناسب، تحت الضرب النقطي، لجبر باناخ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$.

تظهر الازدواجية نفسها بالنسبة للمجموعة${\displaystyle C^{*}}$الجبر - المجموعة${\displaystyle C^{*}}$الجبر المنفصل${\displaystyle \mathbb {Z} }$هو الوحدة العالمية${\displaystyle C^{*}}$الجبر - الذي يولده عنصر وحدوي واحد، وهو متماثل بشكل طبيعي مع${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$يتوافق المولد مع دالة الإحداثيات${\displaystyle z\mapsto z}$وفي الاتجاه المعاكس، المجموعة${\displaystyle C^{*}}$جبر المجموعة الدائرية، المُشكَّل باستخدام الالتفاف على${\displaystyle \mathbb {T} }$يتم تحديدها بواسطة تحويل فورييه مع${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$، فضاء المتتاليات الثنائية اللانهائية من الأعداد المركبة التي تؤول إلى الصفر عند${\displaystyle \pm \infty }$[ ^{22 ]} يشفر البيان ليمّا ^ريمان -ليبيغ لسلسلة فورييه.

تظهر مجموعة الدوائر أيضًا كوحدة بناء أساسية للملفات اللولبية . إذا${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$هي أعداد صحيحة${\displaystyle |n_{i}|>1}$، النهاية العكسية${\displaystyle {\vphantom {\Bigg |}}\mathbb {T} \xleftarrow {z~\!\mapsto z^{n_{1}}} \mathbb {T} \xleftarrow {z~\!\mapsto z^{n_{2}}} \cdots }$هي مجموعة أبيلية متصلة ومتراصة. ثنائيتها البونترياجينية هي النهاية المباشرة${\displaystyle {\vphantom {\bigg |}}\mathbb {Z} \xrightarrow {\!\times n_{1}\,} \mathbb {Z} \xrightarrow {\!\times n_{2}\,} \cdots }$والتي يمكن تحديدها كمجموعة فرعية من الرتبة الأولى من${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 23 ] : 403–404} وبهذه الطريقة تكون الملفات اللولبية عبارة عن مجموعات أبيلية متصلة مضغوطة أحادية البعد يتم الحصول عليها من الدائرة عن طريق الحدود العكسية للتشاكلات التغطية.

كل ثنائي بونترياجيني لمجموعة أبيلية منفصلة من الرتبة الأولى خالية من الالتواء يكون إما دائرة أو ملف لولبي. ^{[ 23 ] : 407-409} هنا مجموعة أبيلية خالية من الالتواء${\displaystyle A}$يحتل المرتبة الأولى إذا${\displaystyle A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \mathbb {Q} }$أو بعبارة أخرى،${\displaystyle A}$متماثل مع مجموعة فرعية غير صفرية من${\displaystyle \mathbb {Q} }$المجموعة الدورية من الرتبة الأولى${\displaystyle \mathbb {Z} }$يحتوي على ميزتين${\displaystyle \mathbb {T} }$; مجموعات فرعية غير دورية من الرتبة الأولى${\displaystyle \mathbb {Q} }$أعطِ الملفات اللولبية أحادية البعد.

مجموعة الدائرة${\displaystyle \mathbb {T} }$يمكن اعتبارها مجموعة مجردة دون مراعاة طوبولوجيتها، أو بشكل مكافئ كمجموعة طوبولوجية (غير مضغوطة) مزودة بالطوبولوجيا المنفصلة .

مجموعة الدائرة هي مجموعة قابلة للقسمة . وتُعطى مجموعة الالتواء الخاصة بها بمجموعة جميع${\displaystyle n}$جذور الوحدة للجميع${\displaystyle n}$وهو متماثل مع ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$تُخبرنانظرية البنية للمجموعات القابلة للقسمة وبديهية الاختيار معًا بما يلي :${\displaystyle \mathbb {T} }$متماثل، كمجموعة مجردة، مع المجموع المباشر لـ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$مع عدد من نسخ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$[ ²⁴ ]^​​

عدد نسخ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$يجب أن يكون${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$( عدد عناصر المتصل ) لكي يكون عدد عناصر المجموع المباشر صحيحًا. لكن المجموع المباشر لـ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$نسخ من ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ متماثل مع ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$، كما${\displaystyle \mathbb {R} }$هو فضاء متجهي ذو بُعد${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$أكثر من${\displaystyle \mathbb {Q} }$وبالتالي ، بهذا المعنى، $${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).}$$

تماثل المجموعات المجردة $${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$$ ويمكن إثبات ذلك بنفس الطريقة، لأن${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$⁠ هي أيضًا زمرة أبيلية قابلة للقسمة، وزمرتها الالتوائية هي نفسها الزمرة الالتوائية لـ ⁠${\displaystyle \mathbb {T} }$⁠ .

يمكن أيضًا اعتبار مجموعة الدائرة بمثابة طارة جبرية . معيار الحقل من${\displaystyle \mathbb {C} }$ل${\displaystyle \mathbb {R} }$يكون $${\displaystyle N_{\mathbb {C} /\mathbb {R} }(z)=z{\bar {z}}=|z|^{2},}$$ ومجموعة الدائرة هي نواة تشاكل المعيار $${\displaystyle N_{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\colon \mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {R} ^{\times }.}$$ وبعبارة أخرى، $${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} ^{\times }:z{\bar {z}}=1\}.}$$ في مصطلحات الزمر الجبرية ، هذه هي زمرة النقاط الحقيقية للسطح الحلقي ذي المعيار الواحد المرتبط بامتداد الحقل${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$[ ^{25 ]​}

في التحليل غير القياسي ، يُعدّ استبدال مجموعة الدائرة بمجموعة دورية فائقة الانتهاء هو البديل الأكثر طبيعية لها$${\displaystyle C_{N}={}^{*}\mathbb {Z} /N{}^{*}\mathbb {Z} ,}$$ أين${\displaystyle N}$هو عدد فائق غير منتهٍ ، أي عدد أكبر من كل عدد طبيعي قياسي. الجزء القياسي يُمثل${\displaystyle C_{N}}$إلى مجموعة الدائرة${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$علاوة على ذلك، فهو يحمل مقياس عد طبيعي معياري${\displaystyle \mu _{N}(A)=|A|/N}$، والذي يُعطي مقياس لوب المرتبط به ( مقياس الدفع الأمامي تحت الجزء القياسي) مقياس هار المعتاد على مجموعة الدائرة. يتم استعادة الطوبولوجيا على الجزء القياسي عن طريق فرض مقياس ثابت على${\displaystyle C_{N}}$[ ^{26 ]​}

المجموعة${\displaystyle C_{N}}$يُعدّ هذا الإطار طبيعيًا لتحليل فورييه غير القياسي. أحد الأسباب هو أنه، لكونه زمرة دورية، فهو متماثل مع زمرته الثنائية (داخليًا). متسلسلات فورييه غير القياسية هي مجاميع (أو مجاميع فائقة) محدودة عادية، يستعيد جزؤها القياسي متسلسلات فورييه التقليدية على زمرة الدائرة.

يوجد تضمين لـ${\displaystyle C_{N}}$في الدائرة غير القياسية${\displaystyle {}^{*}S^{1}}$لكن صورتها هي زمرة جزئية فعلية. الزمرة الثنائية لـ${\displaystyle {}^{*}S^{1}}$هي المجموعة الكاملة للأعداد الصحيحة غير القياسية${\displaystyle {}^{*}\mathbb {Z} }$، وهو ليس فائق الضيق، وبالتالي فإن نظرية فورييه على مجموعة الدائرة غير القياسية الكاملة أقل ضيقًا.

• مجموعة فرعية ذات معلمة واحدة
• كرة من النوع n
• المجموعة المتعامدة
• عامل الطور (تطبيق في ميكانيكا الكم)
• رقم الدوران
• فيرسور

• التشاكل المتماثل وبنية المجموعة على دائرة