الإشارة (الرياضيات)

في إطار الاصطلاح القائل بأن الصفر ليس موجبًا ولا سالبًا، يمكن إسناد قيمة إشارة محددة 0 إلى القيمة العددية 0. ويتم استغلال ذلك في${\displaystyle \operatorname {sgn} }$الدالة - كما هو مُعرَّف للأعداد الحقيقية. ^{[ 1 ]} في الحساب، يُشير كلٌّ من +0 و -0 إلى العدد نفسه 0. لا يوجد عمومًا خطر الخلط بين القيمة وإشارتها، على الرغم من أن اصطلاح إسناد كلتا الإشارتين إلى 0 لا يسمح مباشرةً بهذا التمييز.

في بعض الدول الأوروبية، مثل بلجيكا وفرنسا، يعتبر الصفر موجباً وسالباً على حد سواء وفقاً للاتفاقية التي وضعها نيكولاس بورباكي . ^{[ 2 ]}

في بعض السياقات، مثل تمثيلات الفاصلة العائمة للأعداد الحقيقية داخل أجهزة الكمبيوتر، من المفيد النظر في الإصدارات الموقعة للصفر، حيث تشير الأصفار الموقعة إلى تمثيلات مختلفة ومنفصلة للأعداد (انظر تمثيلات الأعداد الموقعة لمزيد من المعلومات).

نادرًا ما يُستخدم الرمزان +0 و -0 كبديلين عن 0+ و 0- ^، المُستخدمين في حساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي للدلالة على النهايات من جانب واحد (النهاية اليمنى والنهاية اليسرى، على التوالي). يشير هذا الترميز إلى سلوك الدالة عندما يقترب متغيرها الحقيقي من الصفر ^عند القيم الموجبة (أو السالبة)؛ ولا يشترط وجود النهايتين أو تطابقهما.

عندما يُقال إن الصفر ليس موجباً ولا سالباً، فإن العبارات التالية قد تشير إلى إشارة العدد:

• يكون العدد موجباً إذا كان أكبر من الصفر.
• يكون العدد سالباً إذا كان أقل من الصفر.
• يكون العدد غير سالب إذا كان أكبر من أو يساوي الصفر.
• يكون العدد غير موجب إذا كان أقل من أو يساوي الصفر.

عندما يقال إن الصفر موجب وسالب في آن واحد، ^{[ 2 ]} يتم استخدام عبارات معدلة للإشارة إلى إشارة العدد:

• يكون العدد موجباً تماماً إذا كان أكبر من الصفر.
• يكون العدد سالباً تماماً إذا كان أقل من الصفر.
• يكون العدد موجباً إذا كان أكبر من أو يساوي الصفر.
• يكون العدد سالباً إذا كان أقل من أو يساوي الصفر.

على سبيل المثال، القيمة المطلقة لعدد حقيقي تكون دائمًا "غير سالبة"، ولكنها ليست بالضرورة "موجبة" في التفسير الأول، بينما في التفسير الثاني، يطلق عليها "موجبة" - وإن لم تكن بالضرورة "موجبة تمامًا".

يُستخدم المصطلح نفسه أحيانًا للدوال التي تُنتج قيمًا حقيقية أو قيمًا أخرى مُوقّعة. على سبيل المثال، تُسمى الدالة دالة موجبة إذا كانت قيمها موجبة لجميع مُدخلات مجالها، أو دالة غير سالبة إذا كانت جميع قيمها غير سالبة.

الأعداد المركبة لا يمكن ترتيبها، لذا لا يمكنها أن تحمل بنية حلقة مرتبة، وبالتالي لا يمكن تقسيمها إلى أعداد مركبة موجبة وسالبة. مع ذلك، فهي تشترك مع الأعداد الحقيقية في خاصية تُسمى القيمة المطلقة أو المقدار . المقادير دائمًا أعداد حقيقية غير سالبة، ولكل عدد غير صفري عدد حقيقي موجب، وهو قيمته المطلقة .

على سبيل المثال، القيمة المطلقة للعدد -3 والقيمة المطلقة للعدد 3 كلاهما يساوي 3. ويكتب ذلك بالرموز كما يلي : | -3 | = 3 و | 3 | = 3 .

بشكل عام، يمكن تحديد أي قيمة حقيقية عشوائية بمقدارها وإشارتها. باستخدام الترميز القياسي، تُعطى أي قيمة حقيقية بضرب مقدارها في إشارتها. ويمكن تعميم هذه العلاقة لتحديد إشارة الأعداد المركبة.

بما أن الأعداد الحقيقية والمركبة تشكل حقلاً وتحتوي على الأعداد الحقيقية الموجبة، فإنها تحتوي أيضاً على مقلوب مقادير جميع الأعداد غير الصفرية. هذا يعني أنه يمكن ضرب أي عدد غير صفري في مقلوب مقداره، أي قسمته على مقداره. ومن البديهي أن ناتج قسمة أي عدد حقيقي غير صفري على مقداره يعطي إشارته بدقة. وبالمثل، يمكن تعريف إشارة العدد المركب z على أنها ناتج قسمة z على مقداره | z | . إشارة العدد المركب هي أس حاصل ضرب وسيطه في الوحدة التخيلية. يمثل هذا، بمعنى ما، وسيطه المركب. ويمكن مقارنة ذلك بإشارة الأعداد الحقيقية، باستثناء...${\displaystyle e^{i\pi }=-1.}$للاطلاع على تعريف دالة الإشارة المركبة، انظر القسم الخاص  بدالة الإشارة المركبة أدناه.

عند التعامل مع الأرقام، من المفيد غالبًا معرفة إشارتها كرقم. ويتم ذلك باستخدام دوال تستخرج إشارة أي رقم، وتربطها بقيمة محددة مسبقًا قبل إتاحتها لإجراء المزيد من العمليات الحسابية. على سبيل المثال، قد يكون من المفيد صياغة خوارزمية معقدة للقيم الموجبة فقط، ثم معالجة الإشارة لاحقًا.

في كثير من السياقات، يشيع ربط إشارة بقياس الزاوية ، لا سيما الزاوية الموجهة أو زاوية الدوران . في هذه الحالة، تشير الإشارة إلى ما إذا كانت الزاوية في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة. مع أنه يمكن استخدام اصطلاحات مختلفة، إلا أنه من الشائع في الرياضيات اعتبار الزوايا عكس اتجاه عقارب الساعة موجبة، والزوايا في اتجاه عقارب الساعة سالبة. ^{[ 4 ]}

من الممكن أيضاً ربط إشارة بزاوية دوران في ثلاثة أبعاد، بافتراض أن محور الدوران قد تم توجيهه. تحديداً، يُعتبر الدوران باتجاه اليمين حول محور موجه عادةً موجباً، بينما يُعتبر الدوران باتجاه اليسار سالباً.

الزاوية التي هي معكوسة لزاوية معينة لها قوس مساوٍ لها، ولكن محورها معاكس . ^{[ 5 ]}

عندما تتغير كمية x بمرور الوقت، فإن التغير في قيمة x يُحدد عادةً بالمعادلة التالية: $${\displaystyle \Delta x=x_{\text{final}}-x_{\text{initial}}.}$$

باستخدام هذا الاصطلاح، تُعتبر الزيادة في قيمة x تغييراً موجباً، بينما يُعتبر النقصان في قيمة x تغييراً سالباً. في حساب التفاضل والتكامل ، يُستخدم هذا الاصطلاح نفسه في تعريف المشتقة . ونتيجةً لذلك، فإن أي دالة متزايدة لها مشتقة موجبة، بينما أي دالة متناقصة لها مشتقة سالبة.

عند دراسة الإزاحات والحركات أحادية البعد في الهندسة التحليلية والفيزياء ، من الشائع تسمية الاتجاهين المحتملين بالموجب والسالب. ولأن خط الأعداد يُرسم عادةً بالأعداد الموجبة على اليمين والأعداد السالبة على اليسار، فإن الاصطلاح الشائع هو إعطاء الحركة إلى اليمين إشارة موجبة، والحركة إلى اليسار إشارة سالبة.

في المستوى الإحداثي ، يُعتبر الاتجاهان نحو اليمين والأعلى موجبين عادةً، حيث يُمثل الاتجاه نحو اليمين الاتجاه الموجب لمحور السينات ، والاتجاه نحو الأعلى الاتجاه الموجب لمحور الصادات . إذا تم تحليل متجه الإزاحة إلى مركباته ، فإن الجزء الأفقي يكون موجبًا للحركة نحو اليمين وسالبًا للحركة نحو اليسار، بينما يكون الجزء الرأسي موجبًا للحركة نحو الأعلى وسالبًا للحركة نحو الأسفل.

وبالمثل، فإن السرعة السالبة (معدل تغير الإزاحة) تعني سرعة في الاتجاه المعاكس ، أي التراجع بدلاً من التقدم؛ والحالة الخاصة هي السرعة الشعاعية .

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يمكن العثور على المفاهيم المتعلقة بالإشارة في الاتجاهين الطبيعيين والتوجيه بشكل عام .

في الحوسبة ، قد تكون قيمة العدد الصحيح إما مُوقّعة أو غير مُوقّعة، وذلك بحسب ما إذا كان الحاسوب يحتفظ بإشارة العدد أم لا. بتقييد متغير العدد الصحيح بالقيم غير السالبة فقط، يُمكن استخدام بت إضافي لتخزين قيمة العدد. ونظرًا لطريقة إجراء العمليات الحسابية على الأعداد الصحيحة في الحواسيب، فإن تمثيلات الأعداد المُوقّعة لا تُخزّن الإشارة عادةً كبت مستقل واحد، بل تستخدم، على سبيل المثال، نظام المتمم الثنائي .

على النقيض من ذلك، تُخزَّن الأعداد الحقيقية وتُعالَج كقيم عشرية . تُمثَّل القيم العشرية باستخدام ثلاثة عناصر منفصلة: الجزء الكسري، والأس، والإشارة. وبفضل وجود بت الإشارة المنفصل، يُمكن تمثيل كلٍّ من الصفر الموجب والصفر السالب. عادةً ما تُعامل معظم لغات البرمجة الصفر الموجب والصفر السالب كقيمتين متكافئتين، مع أنها تُوفِّر وسائل للتمييز بينهما.

بالإضافة إلى إشارة العدد الحقيقي، تُستخدم كلمة "إشارة" أيضاً بطرق مختلفة ذات صلة في الرياضيات والعلوم الأخرى:

• تعني عبارة " معروف حتى الإشارة" أنه بالنسبة لكمية q ، من المعروف أن q إما تساوي Q أو تساوي -Q لقيمة معينة من Q. وغالبًا ما يُعبَّر عنها بالصيغة q = ± Q . بالنسبة للأعداد الحقيقية، يعني ذلك أن القيمة المطلقة فقط | q | للكمية هي المعروفة. أما بالنسبة للأعداد المركبة والمتجهات ، فإن معرفة الكمية حتى الإشارة شرط أقوى من معرفة مقدارها : فإلى جانب Q و -Q ، توجد العديد من القيم الأخرى الممكنة لـ q بحيث تكون | q | = | Q | .
• تُعرَّف إشارة التبديل بأنها موجبة إذا كان التبديل زوجيًا، وسالبة إذا كان التبديل فرديًا.
• في نظرية الرسم البياني ، الرسم البياني الموقّع هو رسم بياني تم فيه تمييز كل حافة بعلامة موجبة أو سالبة.
• في التحليل الرياضي ، يعتبر المقياس الموجه تعميمًا لمفهوم المقياس حيث يمكن أن يكون لمقياس المجموعة قيم موجبة أو سالبة.
  • يُستخدم مفهوم المسافة الموقعة للتعبير عن الجانب أو الداخل أو الخارج.
  • تُستخدم مفاهيم المساحة الموقعة والحجم الموقع أحيانًا عندما يكون من المناسب اعتبار مساحات أو أحجام معينة سالبة. وينطبق هذا بشكل خاص على نظرية المحددات . في فضاء متجهي موجه (مجرد) ، يمكن تصنيف كل أساس مرتب لهذا الفضاء المتجهي إما كموجه موجب أو سالب.
• في تمثيل الأرقام الموقعة ، قد يكون لكل رقم من أرقام العدد إشارة موجبة أو سالبة.
• في الفيزياء ، تحمل كل شحنة كهربائية إشارة، إما موجبة أو سالبة. اصطلاحاً، الشحنة الموجبة هي شحنة لها نفس إشارة شحنة البروتون ، والشحنة السالبة هي شحنة لها نفس إشارة شحنة الإلكترون .