بديل فريدهولم

في الرياضيات ، يُعدّ بديل فريدهولم ، نسبةً إلى إيفار فريدهولم ، أحد نظريات فريدهولم ، وهو نتيجة في نظرية فريدهولم . يمكن التعبير عنه بعدة طرق، كنظرية في الجبر الخطي ، أو نظرية في المعادلات التكاملية ، أو كنظرية في مؤثرات فريدهولم . ينص جزء من هذه النتيجة على أن أي عدد عقدي غير صفري في طيف مؤثر متراص هو قيمة ذاتية.

لو${\displaystyle V}$هو${\displaystyle n}$فضاء متجهي ذو أبعاد n ، مع${\displaystyle n}$محدود، و${\displaystyle T:V\to V}$إذا كان تحويلاً خطياً ، فإن أحد الخيارات التالية فقط يتحقق:

1. لكل متجه${\displaystyle v}$في${\displaystyle V}$يوجد متجه${\displaystyle u}$في${\displaystyle V}$لهذا السبب.${\displaystyle T(u)=v}$. بعبارة أخرى:${\displaystyle T}$هي دالة شاملة (وبالتالي دالة تقابلية أيضًا، لأن${\displaystyle V}$(ذو أبعاد محدودة).
2. ${\displaystyle \dim(\ker(T))>0.}$

أما الصيغة الأبسط، من حيث المصفوفات، فهي كما يلي. بفرض أن${\displaystyle m\times n}$مصفوفة${\displaystyle A}$و أ${\displaystyle m\times 1}$متجه عمودي${\displaystyle \mathbf {b} }$يجب أن يتحقق واحد فقط مما يلي:

1. أيضاً:${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$يوجد حل${\displaystyle \mathbf {x} }$
2. أو:${\displaystyle A^{T}\mathbf {y} =0}$يوجد حل${\displaystyle \mathbf {y} }$مع${\displaystyle \mathbf {y} ^{T}\mathbf {b} \neq 0}$.

بعبارة أخرى،${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$يوجد حل${\displaystyle (\mathbf {b} \in \operatorname {Im} (A))}$إذا وفقط إذا كان لأي${\displaystyle \mathbf {y} }$بحيث${\displaystyle A^{T}\mathbf {y} =0}$وبناءً على ذلك${\displaystyle \mathbf {y} ^{T}\mathbf {b} =0}$${\displaystyle (أي،\mathbf {b} \in \ker(A^{T})^{\bot })}$.

يترك${\displaystyle K(x,y)}$لنفترض أن لدينا نواة تكاملية ، ولنعتبر المعادلة المتجانسة ، معادلة فريدهولم التكاملية ،

${\displaystyle \lambda \varphi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy=0}$

والمعادلة غير المتجانسة

${\displaystyle \lambda \varphi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy=f(x).}$

البديل الذي يقدمه فريدهولم هو القول بأنه لكل عدد مركب ثابت غير صفري${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ,}$إما أن يكون للمعادلة الأولى حل غير تافه، أو أن يكون للمعادلة الثانية حل لجميع القيم.${\displaystyle f(x)}$.

الشرط الكافي لصحة هذه العبارة هو أن${\displaystyle K(x,y)}$أن تكون قابلة للتكامل التربيعي على المستطيل${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$(حيث يمكن أن تكون a و/أو b سالبة أو موجبة ما لا نهاية). يُطلق على عامل التكامل المعرف بواسطة K مثل هذا اسم عامل التكامل هيلبرت-شميدت .

تعمم النتائج المتعلقة بمؤثرات فريدهولم هذه النتائج إلى فضاءات متجهة معيارية كاملة ذات أبعاد لا نهائية؛ أي فضاءات باناخ .

يمكن إعادة صياغة المعادلة التكاملية باستخدام رموز المؤثرات كما يلي. اكتب (بشكل غير رسمي إلى حد ما) $${\displaystyle T=\lambda -K}$$ بمعنى $${\displaystyle T(x,y)=\lambda \;\delta (xy)-K(x,y)}$$ مع${\displaystyle \delta (xy)}$دالة ديراك دلتا ، التي تُعتبر توزيعًا أو دالة معممة في متغيرين. ثم عن طريق الالتفاف ،${\displaystyle T}$يُنشئ مؤثرًا خطيًا يعمل على فضاء باناخ${\displaystyle V}$من الوظائف${\displaystyle \varphi (x)}$$${\displaystyle V\to V}$$ مقدم من $${\displaystyle \varphi \mapsto \psi }$$ مع${\displaystyle \psi }$مقدم من $${\displaystyle \psi (x)=\int _{a}^{b}T(x,y)\varphi (y)\,dy=\lambda \;\varphi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\varphi (y)\,dy.}$$

في هذه اللغة، يُنظر إلى بديل فريدهولم للمعادلات التكاملية على أنه مماثل لبديل فريدهولم للجبر الخطي ذي الأبعاد المحدودة.

المشغل${\displaystyle K}$يتم الحصول عليها عن طريق الالتفاف مع${\displaystyle L^{2}}$تُعرف النواة، كما ذُكر أعلاه، باسم مؤثر هيلبرت-شميدت التكاملي . وتكون هذه المؤثرات دائمًا متراصة . وبشكل أعم، يكون بديل فريدهولم صالحًا عندما${\displaystyle K}$أي عامل مضغوط. يمكن إعادة صياغة بديل فريدهولم بالشكل التالي: عامل غير صفري${\displaystyle \lambda }$إما قيمة ذاتية لـ${\displaystyle K,}$أو يقع ضمن نطاق المُحلِّل$${\displaystyle R(\lambda ;K)=(K-\lambda \operatorname {Id} )^{-1}.}$$

يمكن تطبيق بديل فريدهولم لحل مسائل القيم الحدية الإهليلجية الخطية . والنتيجة الأساسية هي: إذا تم إعداد المعادلة وفضاءات باناخ المناسبة بشكل صحيح، فإما

(1) للمعادلة المتجانسة حل غير تافه، أو

(2) يمكن حل المعادلة غير المتجانسة بشكل فريد لكل اختيار من البيانات.

تتلخص الحجة فيما يلي. مؤثر إهليلجي نموذجي سهل الفهم${\displaystyle L}$سيكون ذلك عبارة عن لابلاس بالإضافة إلى بعض الحدود ذات الرتبة الأدنى. يتم دمجها مع شروط حدودية مناسبة والتعبير عنها في فضاء باناخ مناسب.${\displaystyle X}$(الذي يشفر كلاً من الشروط الحدية والانتظام المطلوب للحل)،${\displaystyle L}$يصبح عاملًا غير محدود من${\displaystyle X}$لنفسه، ويحاول المرء حلها

${\displaystyle Lu=f,\qquad u\in \operatorname {dom} (L)\subseteq X,}$

أين${\displaystyle f\in X}$هي دالة ما تُستخدم كبيانات نريد إيجاد حل لها. سيمكننا بديل فريدهولم، إلى جانب نظرية المعادلات الإهليلجية، من تنظيم حلول هذه المعادلة.

ومن الأمثلة الملموسة على ذلك مسألة القيم الحدية الإهليلجية مثل

${\displaystyle (*)\qquad Lu:=-\Delta u+h(x)u=f\qquad {\text{in }}\Omega ,}$

بالإضافة إلى شرط الحدود

${\displaystyle (**)\qquad u=0\qquad {\text{on }}\partial \Omega ,}$

أين${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbf {R} ^{n}}$هي مجموعة مفتوحة محدودة ذات حدود ملساء و${\displaystyle h}$هي دالة ذات معامل ثابت (جهد، في حالة مؤثر شرودنغر).${\displaystyle f\in X}$هي البيانات المتغيرة التي نرغب في حل المعادلة لها. هنا نأخذ${\displaystyle X}$أن تكون المساحة${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$من جميع الدوال القابلة للتكامل التربيعي على${\displaystyle \Omega }$، و${\displaystyle \operatorname {dom} (L)}$إذن، هذا هو فضاء سوبوليف${\displaystyle W^{2,2}(\Omega )\cap W_{0}^{1,2}(\Omega )}$، وهو ما يعادل مجموعة جميع الدوال القابلة للتكامل التربيعي على${\displaystyle \Omega }$والتي توجد لها مشتقات أولى وثانية ضعيفة وقابلة للتكامل التربيعي، والتي تحقق شرطًا حدوديًا صفريًا على${\displaystyle \partial \Omega }$.

لو${\displaystyle X}$تم اختيارها بشكل صحيح (كما هو الحال في هذا المثال)، ثم لـ${\displaystyle \mu _{0}\gg 0}$المشغل${\displaystyle L+\mu _{0}}$إذا كانت موجبة ، وباستخدام تقديرات القطع الناقص ، يمكن إثبات ذلك.${\displaystyle L+\mu _{0}:\operatorname {dom} (L)\to X}$هي دالة تقابل، ومعكوسها هو مؤثر مضغوط ومُعرَّف في كل مكان${\displaystyle K}$من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle X}$، مع صورة تساوي${\displaystyle \operatorname {dom} (L)}$نحدد واحداً من هذه${\displaystyle \mu _{0}}$لكن قيمتها ليست مهمة لأنها مجرد أداة.

يمكننا بعد ذلك تحويل بديل فريدهولم، المذكور أعلاه للمؤثرات المدمجة، إلى بيان حول قابلية حل مسألة القيمة الحدية (*)–(**). ويؤكد بديل فريدهولم، كما هو مذكور أعلاه، ما يلي:

• لكل${\displaystyle \lambda \in \mathbf {R} }$، أيضاً${\displaystyle \lambda }$هي قيمة ذاتية لـ${\displaystyle K}$أو المشغل${\displaystyle K-\lambda }$دالة تقابلية من${\displaystyle X}$لنفسه.

دعونا نستكشف البديلين كما يتجلى في مسألة القيمة الحدية. لنفترض${\displaystyle \lambda \neq 0}$ثم إما

(أ) ${\displaystyle \lambda }$هي قيمة ذاتية لـ${\displaystyle K}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$يوجد حل${\displaystyle h\in \operatorname {dom} (L)}$ل${\displaystyle (L+\mu _{0})h=\lambda ^{-1}h}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle -\mu _{0}+\lambda ^{-1}}$هي قيمة ذاتية لـ${\displaystyle L}$.

(ب) المشغل${\displaystyle K-\lambda :X\to X}$هي دالة تقابلية${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle (K-\lambda )(L+\mu _{0})=\operatorname {Id} -\lambda (L+\mu _{0}):\operatorname {dom} (L)\to X}$هي دالة تقابلية${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle L+\mu _{0}-\lambda ^{-1}:\operatorname {dom} (L)\to X}$هو تقابل.

استبدال${\displaystyle -\mu _{0}+\lambda ^{-1}}$بواسطة${\displaystyle \lambda }$ومعالجة الحالة${\displaystyle \lambda =-\mu _{0}}$بشكل منفصل، ينتج عن ذلك بديل فريدهولم التالي لمسألة القيم الحدية الإهليلجية:

• لكل${\displaystyle \lambda \in \mathbf {R} }$المعادلة المتجانسة${\displaystyle (L-\lambda )u=0}$لها حل غير تافه، أو المعادلة غير المتجانسة${\displaystyle (L-\lambda )u=f}$يمتلك حلاً فريداً${\displaystyle u\in \operatorname {dom} (L)}$لكل معلومة معينة${\displaystyle f\in X}$.

الوظيفة الأخيرة${\displaystyle u}$يحل هذا المسألة الحدية (*)–(**) المذكورة أعلاه. وهذا هو التقسيم الثنائي الذي تم ذكره في (1)–(2) أعلاه. وبحسب نظرية الطيف للمؤثرات المدمجة، نحصل أيضًا على أن مجموعة${\displaystyle \lambda }$والتي تفشل قابلية الحل فيها هي مجموعة فرعية منفصلة من${\displaystyle \mathbf {R} }$(القيم الذاتية لـ${\displaystyle L}$). يمكن اعتبار الدوال الذاتية المرتبطة بالقيم الذاتية بمثابة "رنين" يمنع قابلية حل المعادلة.

• النظرية الطيفية للمؤثرات المدمجة
• معضلة فاركاس

• فريدهولم، EI (1903). "Sur une classe d'equations fonctionnelles" . اكتا الرياضيات . 27 : 365– 390. دوى : 10.1007 / bf02421317 .
• AG Ramm، " برهان بسيط على بديل فريدهولم وتوصيف لمؤثرات فريدهولم "، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 108 (2001) ص.  855.
• خفيديليدزه، بي في (2001) [1994]، "نظريات فريدهولم" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• "بديل فريدهولم" ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS ، 2001 [1994]