مشغل صغير الحجم

في التحليل الوظيفي ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، يُعرف المؤثر المدمج بأنه مؤثر خطي يتصرف، في عدة جوانب مهمة، كالمؤثر ذي الأبعاد المحدودة مثل المصفوفة . في الفضاءات ذات الأبعاد اللانهائية، لا تكون المجموعات المحدودة عادةً مدمجة ، ولا يشترط أن تحتوي المتتاليات المحدودة على متتاليات جزئية متقاربة . تعمل المؤثرات المدمجة على استعادة هذا السلوك ذي الأبعاد المحدودة جزئيًا عن طريق تحويل المجموعات المحدودة إلى مجموعات تكون إغلاقاتها مدمجة، أو بشكل مكافئ، في الفضاءات المعيارية، عن طريق تحويل المتتاليات المحدودة إلى متتاليات ذات متتاليات جزئية متقاربة.

ظهرت المؤثرات المدمجة لأول مرة في نظرية المعادلات التكاملية ، حيث تتمتع العديد من المؤثرات التكاملية بخصائص الدمج. وتلعب هذه المؤثرات دورًا محوريًا في بديل فريدهولم ، وفي النظرية الطيفية للمؤثرات الخطية، وفي تطبيقاتها على المعادلات التفاضلية وفضاءات سوبوليف . فعلى سبيل المثال، غالبًا ما يعني الدمج أن الطيف غير الصفري للمؤثر يتكون من قيم ذاتية معزولة ذات تعدد محدود، مع إمكانية التراكم فقط عند الصفر.

تمت دراسة المؤثرات المدمجة لأول مرة في سياق المعادلات التكاملية . ومن الأمثلة النموذجية على ذلك مؤثر من الشكل التالي:

${\displaystyle (Kf)(x)=\int _{a}^{b}k(x,y)f(y)\,dy,}$

حيث الدالة${\displaystyle k}$يُطلق عليه اسم النواة التكاملية . في ظل افتراضات انتظام مناسبة على${\displaystyle k}$، المشغل${\displaystyle K}$تُرسل هذه الدالة مجموعات الدوال المحدودة إلى مجموعات الدوال المحدودة بانتظام والمتصلة بانتظام . وبحسب نظرية أرزيلا-أسكولي ، فإن هذه المجموعات لها إغلاق مضغوط في فضاءات مثل${\displaystyle C([a,b])}$وبالتالي، فإن العديد من المؤثرات التكاملية تكون متراصة. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

تُعدّ هذه الخاصية المدمجة مفيدة لأنها تجعل بعض المعادلات الخطية ذات الأبعاد اللانهائية تُشبه أنظمة المعادلات الخطية ذات الأبعاد المحدودة. على سبيل المثال، معادلة فريدهولم

${\displaystyle u-\lambda Ku=f}$

يمكن دراستها غالبًا باستخدام التقريب ذي الأبعاد المحدودة وبديل فريدهولم . وبهذه الطريقة، توفر المؤثرات المدمجة جسرًا بين المعادلات التكاملية الملموسة والنظرية الطيفية المجردة للمؤثرات على فضاءات الدوال. ^{[ 3 ]}

تظهر الفكرة نفسها في أجزاء أخرى من التحليل. تسمح عمليات التضمين المدمجة لفضاءات الدوال، مثل بعض عمليات تضمين فضاءات سوبوليف في فضاءات Lp ، بمعالجة مسائل التفاضل والقيمة الحدية بطرق مشابهة لتلك المستخدمة مع المؤثرات التكاملية المدمجة.

في هذا القسم،${\displaystyle X,Y,Z}$تشير إلى الفضاءات المعيارية أو فضاءات باناخ، كما هو محدد، و${\displaystyle B(X,Y)}$يشير إلى فضاء المؤثرات الخطية المحدودة من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$. المشغلون المدمجون من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$يُشار إليها بـ${\displaystyle K(X,Y)}$.

ترتبط المؤثرات المدمجة ارتباطًا وثيقًا بمؤثرات فريدهولم وبديل فريدهولم . هذا الارتباط هو أحد أسباب تشابه سلوك المؤثرات المدمجة، من نواحٍ عديدة، مع سلوك الخرائط الخطية ذات الأبعاد المحدودة.

يترك${\displaystyle X}$كن مساحة باناش ودع${\displaystyle K:X\to X}$كن صغير الحجم. ثم

${\displaystyle IK}$

هو مؤثر فريدهولم ذو فهرس صفر. وبشكل مكافئ، فإن نواة${\displaystyle IK}$إذا كانت ذات أبعاد محدودة، فإن نطاق${\displaystyle IK}$مغلق،

${\displaystyle \dim \ker(IK)=\dim {\bigl (}X/\operatorname {Im} (IK){\bigr )}.}$

وبشكل أعم، لكل كمية قياسية${\displaystyle \lambda \neq 0}$، المشغل

${\displaystyle \lambda IK}$

فريدهولم ذو فهرس صفر. ^{[ 3 ] [ 10 ]}

إن النظرية الطيفية للمؤثرات المدمجة أقرب إلى الجبر الخطي ذي الأبعاد المحدودة من النظرية الطيفية للمؤثرات المحدودة العامة.

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاء باناخ معقدًا لا نهائي الأبعاد ، وليكن${\displaystyle T:X\to X}$كن مشغلاً صغير الحجم. ثم${\displaystyle 0}$ينتمي إلى الطيف${\displaystyle \sigma (T)}$. بعيدا${\displaystyle 0}$، كل قيمة طيفية لـ${\displaystyle T}$هي قيمة ذاتية ذات تعددية محدودة. بتعبير أدق، إذا${\displaystyle \lambda \neq 0}$و${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$، ثم

${\displaystyle \ker(T-\lambda I)}$

إذا كانت ذات أبعاد محدودة، فإن نطاق${\displaystyle T-\lambda I}$مغلق،${\displaystyle \lambda }$هي نقطة معزولة في الطيف. ^{[ 3 ] [ 11 ]}

وبالتالي، يكون الطيف غير الصفري إما محدودًا أو لانهائيًا قابلًا للعد. إذا كان لانهائيًا، فإن نقطة التراكم الوحيدة الممكنة له هي${\displaystyle 0}$وبالمثل، لكل${\displaystyle r>0}$المجموعة

${\displaystyle \{\lambda \in \sigma (T):|\lambda |>r\}}$

هي محدودة. وبالتالي، لا يمكن أن يكون للمؤثرات المدمجة نطاق متصل من القيم الطيفية غير الصفرية.

يمكن أيضًا التعبير عن الطبيعة المحدودة الأبعاد للطيف غير الصفري بمصطلحات نظرية فريدهولم.${\displaystyle \lambda \neq 0}$، المشغل

${\displaystyle T-\lambda I}$

لها نواة ونواة مشتركة ذات أبعاد محدودة، وهذه الأبعاد متساوية:

${\displaystyle \dim \ker(T-\lambda I)=\dim {\bigl (}X/\operatorname {Im} (T-\lambda I){\bigr )}.}$

بخاصة،${\displaystyle T-\lambda I}$لا يمكن عكسها تحديداً لأن${\displaystyle \lambda }$هي قيمة ذاتية، وليس بسبب وجود بقايا أو طيف متصل بعيدًا عن الصفر.

للمرافق نفس القيم الطيفية غير الصفرية. إذا${\displaystyle \lambda \neq 0}$يقع ضمن نطاق${\displaystyle T}$، ثم${\displaystyle \lambda }$وهي أيضًا قيمة ذاتية للمؤثر المرافق${\displaystyle T^{*}:X^{*}\to X^{*}}$وبشكل أدق،

${\displaystyle \dim \ker(T-\lambda I)=\dim \ker(T^{*}-\lambda I)}$

عند أخذ التعددية الجبرية في الاعتبار. ^{[ 3 ]}

تُعرف هذه النتائج غالبًا بنظرية ريز-شاودر للمؤثرات المدمجة. وهي تعمم الحقيقة الأساسية القائلة بأن الخريطة الخطية ذات الأبعاد المحدودة لها طيف يتكون فقط من القيم الذاتية، مع السماح في الوقت نفسه بظاهرة الأبعاد اللانهائية المتمثلة في إمكانية تراكم القيم الذاتية عند${\displaystyle 0}$.

مفهومٌ مرتبطٌ بتراص المؤثر هو المؤثر ذو المُحلِّل المُتراص . المؤثر غير المحدود${\displaystyle A}$يُقال إن المؤثر التفاضلي ، على سبيل المثال ، له مُحلِّل مُدمج إذا${\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}}$موجود لبعض${\displaystyle \lambda }$وهو مؤثر مضغوط. هذا الشرط يعني أن طيف${\displaystyle A}$لها قيم ذاتية منفصلة ذات تعددية محدودة، بدون نقطة تراكم محدودة. تنشأ الحلول المدمجة عادةً للمؤثرات الإهليلجية على المجالات المحدودة، حيث توفر تضمينات سوبوليف المدمجة التراص المطلوب.

ترتبط المؤثرات المدمجة على فضاءات هيلبرت ارتباطًا وثيقًا بالجبر الخطي ذي الأبعاد المحدودة. فبالإضافة إلى الخصائص الطيفية العامة للمؤثرات المدمجة في فضاءات باناخ، تسمح هذه المؤثرات بتحليلات متعامدة، وتوسعات القيم المفردة، وفي حالة المؤثرات الذاتية المرافقة، بنظرية طيفية تُشابه النظرية الطيفية للمصفوفات الهرميتية ذات الأبعاد المحدودة.

يترك${\displaystyle X,Y}$فضاءات باناخ. مؤثر خطي محدود${\displaystyle T:X\to Y}$يُطلق عليها اسم متصلة تمامًا إذا، لكل متتالية متقاربة ضعيفًا${\displaystyle (x_{n})}$من${\displaystyle X}$، التسلسل${\displaystyle (Tx_{n})}$متقاربة معيارياً في${\displaystyle Y}$[ ^{15 ]​}

تكون المؤثرات المدمجة بين فضاءات باناخ متصلة تمامًا دائمًا، لكن العكس غير صحيح، لأنه يوجد مؤثر متصل تمامًا ولكنه غير مدمج. ومع ذلك، يكون العكس صحيحًا إذا${\displaystyle X}$إذا كان فضاء باناخ انعكاسيًا ، فإن كل مؤثر متصل تمامًا${\displaystyle T:X\to Y}$مضغوط. ^{[ 15 ]}

ومن المثير للحيرة إلى حد ما، أن المؤثرات المدمجة يشار إليها أحيانًا باسم "متصلة تمامًا" في الأدبيات القديمة، على الرغم من أن هذا الأخير هو شرط أضعف في المصطلحات الحديثة.

تُعدّ المؤثرات ذات الرتبة المحدودة أبسط الأمثلة على المؤثرات المدمجة. إذا${\displaystyle T:X\to Y}$إذا كان نطاقها محدود الأبعاد، فإن الصورة تحت${\displaystyle T}$لأي مجموعة جزئية محدودة من${\displaystyle X}$هي مجموعة جزئية محدودة من فضاء معياري ذي أبعاد منتهية، وبالتالي تتمتع بإغلاق متراص. ومن ثم، فإن المؤثرات ذات الرتبة المحدودة متراصة. في الفضاءات ذات الأبعاد المنتهية، يفسر هذا الأمر جميع المؤثرات الخطية المحدودة، ولكن في الفضاءات ذات الأبعاد اللانهائية، يُعد التراص قيدًا حقيقيًا.

تُعطى إحدى فئات الأمثلة بواسطة عوامل القطر أو الضرب على فضاءات المتتاليات. على سبيل المثال، على${\displaystyle \ell ^{p}}$، مع${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$، عامل من الشكل

${\displaystyle (Tx)_{n}=t_{n}x_{n}}$

تكون متراصة عندما تكون المتتالية العددية${\displaystyle (t_{n})}$يؤول إلى الصفر. يمكن تقريب هذا المؤثر في معيار المؤثر بواسطة مؤثرات قطرية ذات رتبة محدودة يتم الحصول عليها عن طريق اقتطاع المتتالية${\displaystyle (t_{n})}$. على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle (t_{n})}$لا يميل إلى الصفر، ولا يمكن أن تحتوي صور متجهات الإحداثيات المناسبة على متتالية فرعية متقاربة، لذا فإن عامل الضرب المقابل ليس مضغوطًا.

توفر عوامل التكامل أيضًا عوامل مختصرة في العديد من الحالات المهمة. إذا

${\displaystyle (Kf)(x)=\int _{a}^{b}k(x,y)f(y)\,dy}$

يحتوي على نواة منتظمة بما فيه الكفاية${\displaystyle k}$، ثم${\displaystyle K}$غالباً ما تُحوّل هذه الطريقة العائلات المحدودة من الدوال إلى عائلات محدودة بشكل منتظم ومتساوية الاستمرارية. وبحسب نظرية أرزيلا-أسكولي ، فإن هذه العائلات لها إغلاق مضغوط في فضاءات مثل${\displaystyle C([a,b])}$على سبيل المثال، المعامل

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,dt,}$

أين${\displaystyle g\in C([0,1])}$، يُعرّف عاملًا مضغوطًا على${\displaystyle C([0,1])}$في فضاءات هيلبرت، تكون مؤثرات هيلبرت-شميدت التكاملية متراصة؛ على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle k\in L^{2}(\Omega \times \Omega )}$ثم المؤثر التكاملي

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,dy}$

صغير الحجم${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$.

يُعدّ عامل الوحدة على فضاء باناخ لانهائي الأبعاد مثالًا أساسيًا غير مُرضٍ. فهو محدود، ولكنه ليس متراصًا، لأن كرة الوحدة المغلقة في فضاء باناخ لانهائي الأبعاد ليست متراصة. وبصورة مكافئة، يكون عامل الوحدة متراصًا فقط إذا كان لكل متتالية محدودة متتالية جزئية متقاربة، وهو ما لا يتحقق في فضاءات باناخ لانهائية الأبعاد. وتُبيّن الحجة نفسها أن أي مضاعف قياسي غير صفري لعامل الوحدة ليس متراصًا على فضاء باناخ لانهائي الأبعاد.

كما أن عوامل الإزاحة أحادية الجانب على فضاءات التسلسل ليست متراصة. على سبيل المثال، على${\displaystyle \ell ^{2}}$، يقوم التحويل الأمامي بإرسال متجه الأساس القياسي${\displaystyle e_{n}}$ل${\displaystyle e_{n+1}}$التسلسل${\displaystyle (e_{n+1})}$لا يوجد لها متتالية فرعية متقاربة معيارياً، لذا فإن صورة المتتالية المحدودة${\displaystyle (e_{n})}$ليست مضغوطة نسبياً. والسبب نفسه هو أن الإزاحة للخلف غير مضغوطة.

كل مؤثر خطي محدود من فضاء معياري إلى فضاء نووي كامل يكون مضغوطًا، لأن المجموعات المحدودة في الفضاءات النووية الكاملة تكون شبه مضغوطة. ^{[ 16 ] [ 17 ]} مثال تحليلي معقد هو مؤثر كوشي التكاملي . بالنسبة لقرص الوحدة${\displaystyle \mathbb {D} }$، يُعرِّف

${\displaystyle (Tf)(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial \mathbb {D} }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta ,\qquad z\in \mathbb {D} .}$

بصفتي مشغلًا من${\displaystyle L^{2}(\partial \mathbb {D} )}$في مساحة فريشيه${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbb {D} )}$من الدوال الهولومورفية على${\displaystyle \mathbb {D} }$مع طوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الجزئية المدمجة، يكون هذا المؤثر مدمجًا. صورة مجموعة محدودة في${\displaystyle L^{2}(\partial \mathbb {D} )}$محدودة بشكل منتظم محليًا في${\displaystyle \mathbb {D} }$وبالتالي، فهي متراصة نسبيًا وفقًا لنظرية مونتيل . ^{[ 18 ]} وتأتي هذه التراص من حصر الدوال التحليلية على المجموعات الجزئية المتراصة داخل المجال. وقد تبقى التذبذبات الحدودية كبيرة في${\displaystyle L^{2}(\partial \mathbb {D} )}$لكنها تصبح غير مرئية في الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbb {D} )}$.

غالباً ما تظهر المؤثرات المدمجة كخرائط تضمين بين فضاءات الدوال. إذا${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي مساحات معيارية مع${\displaystyle X\subseteq Y}$، الإدراج

${\displaystyle I:X\to Y,\qquad Iu=u,}$

يُطلق على الدالة اسم تضمين عندما تكون متصلة. ويُطلق على التضمين اسم مضغوط إذا كانت دالة التضمين هذه عاملًا مضغوطًا؛ أي إذا كانت كل متتالية محدودة في${\displaystyle X}$لها متتالية جزئية تتقارب في معيار${\displaystyle Y}$. غالبًا ما يُشار إلى التضمينات المضغوطة بالرمز ^{[ 19 ] [ 20 ]}

${\displaystyle X{\overset {c}{\hookrightarrow }}Y.}$

تُعدّ خاصية التراص في التمثيل أقوى من خاصية الاستمرارية. ويُعطي التمثيل المستمر تقديرًا على النحو التالي:

${\displaystyle \|u\|_{Y}\leq C\|u\|_{X},}$

بينما يؤكد التضمين المضغوط أيضًا على خاصية ما قبل الضغط: مجموعات محدودة في الفضاء الأقوى${\displaystyle X}$تصبح مضغوطة نسبياً عند النظر إليها في المساحة الأضعف${\displaystyle Y}$.

تُقدّم نظرية أرزيلا -أسكولي مثالاً على ذلك. تضمين عائلة من الدوال المحدودة بانتظام والمتساوية الاستمرارية في${\displaystyle C([a,b])}$تتميز بإغلاق متراص. وهذا أحد أسباب كون العديد من المؤثرات التكاملية متراصة: فهي تُحوّل مجموعات الدوال المحدودة إلى عائلات متساوية الاستمرارية. ^{[ 1 ] [ 21 ]}

تُنتج نظرية ريليش-كوندراشوف تضمينات مضغوطة أخرى . إذا${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$إذا كانت Ω نطاقًا محدودًا ذا انتظام مناسب، فإن بعض تضمينات فضاء سوبوليف تكون متراصة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle 1\leq p<n}$و

${\displaystyle 1\leq q<p^{*}={\frac {np}{n-p}},}$

ثم الإدراج الطبيعي

${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )\hookrightarrow L^{q}(\Omega )}$

متراصة. وبالتالي، فإن كل متتالية محدودة في${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$له متتالية فرعية تتقارب في${\displaystyle L^{q}(\Omega )}$[ ^{20 ] [ 19 ]​}

ومن الأمثلة غير الصحيحة تضمين فضاءات ليبيغ . إذا${\displaystyle (X,\mu )}$إذا كانت فضاء قياس منتهية ، فبحسب متباينة هولدر${\displaystyle L^{q}(X,\mu )\subset L^{p}(X,\mu )}$حينما${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty }$^{[ 22 ]} ومع ذلك ، فإن هذا التضمين ليس مضغوطًا بشكل عام. على سبيل المثال، في${\displaystyle [0,1]}$باستخدام مقياس ليبيغ، تشكل دوال رادماخر متتالية محدودة في كل${\displaystyle L^{q}}$لكن لا يوجد تسلسل فرعي يتقارب في${\displaystyle L^{p}}$^{[ 22 ]} وبالتالي فإن تماسك التضمينات مثل تلك الموجودة في نظرية ريليش-كوندراشوف يعتمد على الانتظام الإضافي، وليس فقط على تضمين فضاء معياري أقوى في فضاء أضعف.

تُعدّ التضمينات المدمجة أساسية في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية وحساب التفاضل والتكامل . فهي تسمح باستبدال المتتاليات الضعيفة أو المحدودة من الحلول التقريبية، بعد الانتقال إلى المتتاليات الجزئية، بمتتاليات متقاربة بقوة في معيار أضعف. يُستخدم هذا الدمج في براهين الوجود، وفي دراسة مسائل القيم الحدية الإهليلجية، وفي إثبات أن العديد من المؤثرات التفاضلية لها سلوك طيفي منفصل مماثل لسلوك المؤثرات المدمجة. ^{[ 23 ]}

توفر فضاءات الدوال الهولومورفية فئة أخرى من التضمينات المدمجة. ليكن${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$ليكن مجالًا، وليكن${\displaystyle {\mathcal {O}}(\Omega )}$لنرمز إلى فضاء الدوال الهولومورفية على${\displaystyle \Omega }$، مع طوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الجزئية المدمجة. العديد من فضاءات باناخ للدوال التحليلية تندمج بشكل مضغوط في${\displaystyle {\mathcal {O}}(\Omega )}$على سبيل المثال، على قرص الوحدة، التضمين

${\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )\hookrightarrow {\mathcal {O}}(\mathbb {D} )}$

من مساحة هاردي${\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )}$الفضاء المدمج في الدوال الهولومورفية يكون مضغوطًا لـ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$مجموعة محدودة في${\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )}$محدودة بشكل منتظم محليًا في${\displaystyle \mathbb {D} }$وبالتالي فهي مضغوطة نسبياً في الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة وفقاً لنظرية مونتيل . ^{[ 18 ] [ 24 ]}

ينطبق المبدأ نفسه على فضاءات بيرغمان . إذا${\displaystyle A^{p}(\Omega )}$هو فضاء بيرغمان للدوال الهولومورفية على مجال${\displaystyle \Omega }$ثم تُعطي التقديرات على المجموعات الفرعية المدمجة، لكل مجموعة مدمجة${\displaystyle K\subset \Omega }$،

${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{A^{p}(\Omega )}.}$

وبالتالي المجموعات المحدودة في${\displaystyle A^{p}(\Omega )}$هي عائلات طبيعية، والاندماج الطبيعي

${\displaystyle A^{p}(\Omega )\hookrightarrow {\mathcal {O}}(\Omega )}$

هي مضغوطة. تنطبق عبارات الضغط المماثلة على القيود المفروضة على المجالات الفرعية الأصغر.${\displaystyle \Omega '\Subset \Omega }$، حيث تصبح المجموعات المحدودة في فضاءات هاردي أو بيرغمان متراصة نسبيًا في فضاءات الدوال الهولومورفية على${\displaystyle \Omega '}$[ ^{24 ]​}

في العديد من المتغيرات المركبة ، تظهر تمثيلات تضمينية متراصة مماثلة لفضاءات هاردي وبرغمان على نطاقات محدودة، ولفضاءات هاردي على نطاقات أنبوبية . على سبيل المثال، تتكون فضاءات هاردي على نطاقات أنبوبية فوق المخاريط من دوال هولومورفية تحقق التوزيع المنتظم${\displaystyle L^{p}}$حدود من النوع - على الشرائح الحقيقية المترجمة. تشير التقديرات الداخلية مرة أخرى إلى التقييد المحلي على المجموعات الفرعية المدمجة من الأنبوب، لذا فإن المجموعات المحدودة تشكل عائلات طبيعية وتكون مدمجة في الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

• كونواي، جون ب. (1985). دورة في التحليل الوظيفي . سبرينغر-فيرلاغ. القسم 2.4. ISBN 978-3-540-96042-3.
• دورين، بيتر ل. (1970)، نظرية فضاءات H^p ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد  38، نيويورك: أكاديميك برس، ISBN 978-0-12-225150-4.
• إنفلو، ب. (1973). "مثال مضاد لمسألة التقريب في فضاءات باناخ" . مجلة أكتا ماتيماتيكا . 130 (1): 309-317 . doi : 10.1007/BF02392270 . ISSN 0001-5962 . MR 0402468 .  
• كريزيج، إروين (1978). مقدمة في التحليل الوظيفي مع تطبيقات . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-471-50731-4.
• كوتاتيلادزه، س.س. (1996). أساسيات التحليل الوظيفي . نصوص في العلوم الرياضية. المجلد.  12 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص.  292. ردمك 978-0-7923-3898-7.
• لاكس، بيتر (2002). التحليل الوظيفي . نيويورك: وايلي-إنترساينس. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC 47767143 . 
• ماكلين، ويليام (2000)، الأنظمة الإهليلجية القوية ومعادلات التكامل الحدودي ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-66375-5.
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• ريناردي، م.؛ روجرز، ر. س. (2004). مقدمة في المعادلات التفاضلية الجزئية . نصوص في الرياضيات التطبيقية. المجلد  13 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ص  356. ISBN 978-0-387-00444-0.(القسم 7.5)
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• رودين، والتر (1980)، نظرية الدوال في كرة الوحدة لـ C^n ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ.
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• شتاين، إلياس م.؛ فايس، غيدو (1971)، مقدمة في تحليل فورييه على الفضاءات الإقليدية ، برينستون: مطبعة جامعة برينستون، ISBN 978-0-691-08078-9.
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .