مساحة سوبوليف

في الحالة أحادية البعد، فضاء سوبوليف${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} )}$ل${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$يُعرَّف بأنه مجموعة فرعية من الدوال${\displaystyle f}$في${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$بحيث${\displaystyle f}$ومشتقاتها الضعيفة حتى رتبة${\displaystyle k}$لها معيار Lp محدود . وكما ذُكر أعلاه، يجب توخي الحذر عند تعريف المشتقات بالمعنى الصحيح. في المسألة أحادية البعد ^، يكفي افتراض أن${\displaystyle (k{-}1)}$المشتقة رقم -th${\displaystyle f^{(k-1)}}$قابلة للتفاضل في كل مكان تقريبًا وتساوي في كل مكان تقريبًا تكامل ليبيغ لمشتقتها (هذا يستثني الأمثلة غير ذات الصلة مثل دالة كانتور ).

وفقًا لهذا التعريف، تسمح فضاءات سوبوليف بوجود معيار طبيعي .

$\displaystyle \|f\|_{k,p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\left\|f^{(i)}\right\|_{p}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int \left|f^{(i)}(t)\right|^{p}\,dt\right)^{\frac {1}{p}}.}$

يمكن توسيع نطاق هذا ليشمل الحالة${\displaystyle p=\infty }$، ثم يتم تعريف المعيار باستخدام القيمة العليا الأساسية بواسطة

${\displaystyle \|f\|_{k,\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left\|f^{(i)}\right\|_{\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left({\text{ess}}\,\sup _{t}\left|f^{(i)}(t)\right|\right).}$

مجهز بالمعيار${\displaystyle \|\cdot \|_{k,p},W^{k,p}}$يتحول إلى فضاء باناخ . ويتضح أنه يكفي أخذ العنصر الأول والأخير فقط في المتتالية، أي المعيار المحدد بواسطة

${\displaystyle \left\|f^{(k)}\right\|_{p}+\|f\|_{p}}$

وهو مكافئ للمعيار أعلاه (أي أن الطوبولوجيات المستحثة للمعايير هي نفسها).

يُثير الانتقال إلى الأبعاد المتعددة المزيد من الصعوبات، بدءًا من التعريف نفسه. ويتطلب ذلك أن${\displaystyle f^{(k-1)}}$ليكن تكامل${\displaystyle f^{(k)}}$لا يمكن تعميم ذلك، وأبسط حل هو النظر في المشتقات بمعنى نظرية التوزيع .

فيما يلي تعريف رسمي.${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,1\leqslant p\leqslant \infty .}$مساحة سوبوليف${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$تُعرَّف بأنها مجموعة جميع الدوال${\displaystyle f}$على${\displaystyle \Omega }$بحيث يكون لكل مؤشر متعدد${\displaystyle \alpha }$مع${\displaystyle |\alpha |\leqslant k,}$المشتق الجزئي المختلط

${\displaystyle f^{(\alpha )}={\frac {\partial ^{|\alpha |\!}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$

موجود بالمعنى الضعيف وهو في${\displaystyle L^{p}(\Omega ),}$أي

${\displaystyle \left\|f^{(\alpha )}\right\|_{L^{p}}<\infty .}$

أي فضاء سوبوليف${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )=\left\{u\in L^{p}(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega )\,\,\forall |\alpha |\leqslant k\right\}.}$

العدد الطبيعي${\displaystyle k}$يُطلق عليه اسم ترتيب فضاء سوبوليف${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$

توجد عدة خيارات لمعيار لـ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$الأمران التاليان شائعان ومتكافئان بمعنى تكافؤ المعايير :

${\displaystyle \|u\|_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&1\leqslant p<\infty$ ;\\\max _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty  ;\end{cases}}}

و

${\displaystyle \|u\|'_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}&1\leqslant p<\infty$ ;\\\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty .\end{cases}}}

فيما يتعلق بأي من هذين المعيارين،${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$هو فضاء باناش. لـ${\displaystyle p<\infty ,W^{k,p}(\Omega )}$وهو أيضًا فضاء قابل للفصل . من المتعارف عليه أن يُرمز إليه بـ${\displaystyle W^{k,2}(\Omega )}$بواسطة${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$لأنه فضاء هيلبرت ذو معيار${\displaystyle \|\cdot \|_{W^{k,2}(\Omega )}}$[ ^{1 ]​}

بالنسبة لعدد طبيعي k و 1 < p < ∞ ، يمكن إثبات (باستخدام مضاعفات فورييه ^{[ 3 ] [ 4 ]} ) أن الفضاء${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ويمكن تعريفها بشكل مكافئ على النحو التالي:

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}):={\Big \{}f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}){\Big \}},}$

مع الوضع الطبيعي

${\displaystyle \|f\|_{H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}:=\left\|{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}.}$

وهذا يحفز استخدام فضاءات سوبوليف ذات الرتبة غير الصحيحة، حيث يمكننا في التعريف أعلاه استبدال k بأي عدد حقيقي s . والفضاءات الناتجة

${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}\left[{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\right\}}$

تُسمى هذه الفضاءات فضاءات بيسل الكامنة ^{[ 5 ]} (نسبةً إلى فريدريك بيسل ). وهي فضاءات باناخ بشكل عام، وفضاءات هيلبرت في الحالة الخاصة p = 2.

ل${\displaystyle s\geq 0,H^{s,p}(\Omega )}$هي مجموعة قيود الدوال من${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$إلى Ω المجهزة بالمعيار

${\displaystyle \|f\|_{H^{s,p}(\Omega )}:=\inf \left\{\|g\|_{H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}:g\in H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),g|_{\Omega }=f\right\}.}$

مرة أخرى، H ^s,p (Ω) هو فضاء باناخ وفي حالة p = 2 هو فضاء هيلبرت.

باستخدام نظريات التمديد لفضاءات سوبوليف، يمكن إثبات أن W ^k,p (Ω) = H ^k,p (Ω) تتحقق أيضًا بمعنى المعايير المكافئة، إذا كانت Ω مجالًا ذا حدود منتظمة من النوع C ^k ، و k عددًا طبيعيًا، و 1 < p < ∞ . وذلك باستخدام التضمينات.

${\displaystyle H^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1}$

فضاءات جهد بيسل${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$تشكل مقياسًا متصلًا بين فضاءات سوبوليف${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$من وجهة نظر مجردة، تظهر فضاءات بيسل الكامنة كفضاءات استيفاء معقدة لفضاءات سوبوليف، أي بمعنى المعايير المتكافئة، فإن ذلك ينطبق على

${\displaystyle \left[W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),W^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\right]_{\theta }=H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

أين:

${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty ,\ 0<\theta <1,\ s=(1-\theta )k+\theta (k+1)=k+\theta .}$

ثمة نهج آخر لتعريف فضاءات سوبوليف ذات الرتبة الكسرية، ينطلق من فكرة تعميم شرط هولدر إلى فضاء L ^p . ^{[ 6 ]} لـ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,\theta \in (0,1)}$و${\displaystyle f\in L^{p}(\Omega ),}$يُعرَّف شبه المعيار سلوبوديكي (المماثل تقريبًا لشبه معيار هولدر ) بواسطة

${\displaystyle [f]_{\theta ,p,\Omega }:=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy\right)^{\frac {1}{p}}.}$

ليكن s > 0 ليس عددًا صحيحًا، ولنضع${\displaystyle \theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)}$باستخدام نفس الفكرة كما هو الحال بالنسبة لفضاءات هولدر ، فضاء سوبوليف-سلوبوديكي ^{[ 7 ]}${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega ):=\left\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }<\infty \right\}.}$

إنها مساحة باناش للمعيار

${\displaystyle \|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }.}$

لو${\displaystyle \Omega }$إذا كانت منتظمة بشكل مناسب بمعنى وجود عوامل تمديد معينة، فإن فضاءات سوبوليف-سلوبوديكي تشكل أيضًا مقياسًا لفضاءات باناخ، أي أن المرء لديه الحقن أو التضمينات المستمرة.

${\displaystyle W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega ),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1.}$

توجد أمثلة على Ω غير منتظمة بحيث${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ليس حتى فضاءً متجهيًا جزئيًا من${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$لـ 0 < s < 1 (انظر المثال 9.1 من ^{[ 8 ]} )

من وجهة نظر مجردة، المساحات${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$تتطابق مع فضاءات الاستيفاء الحقيقية لفضاءات سوبوليف، أي بمعنى المعايير المكافئة، ينطبق ما يلي:

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )=\left(W^{k,p}(\Omega ),W^{k+1,p}(\Omega )\right)_{\theta ,p},\quad k\in \mathbb {N} ,s\in (k,k+1),\theta =s-\lfloor s\rfloor .}$

تلعب فضاءات سوبوليف-سلوبوديكي دورًا هامًا في دراسة آثار دوال سوبوليف. وهي حالات خاصة من فضاءات بيسوف . ^{[ 4 ]}

الثابت الذي يظهر في توصيف فضاء سوبوليف الكسري${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$يمكن وصفها من خلال صيغة بورغين-بريزيس-ميرونيسكو:

${\displaystyle \lim _{s\nearrow 1}\;(1-s)\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{sp+n}}}\;dx\;dy={\frac {2\pi ^{\frac {n-1}{2}}\Gamma ({\frac {p+1}{2}})}{p\Gamma ({\frac {p+n}{2}})}}\int _{\Omega }\vert \nabla f\vert ^{p};}$

والحالة

${\displaystyle \limsup _{s\nearrow 1}\;(1-s)\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{sp+n}}}\;dx\;dy<\infty }$

يصف ذلك وظائف${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$التي تقع في فضاء سوبوليف من الدرجة الأولى${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$[ ^{9 ]​}

تُعدّ عوامل التمديد الطريقة الأكثر طبيعية للتعريف${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$بالنسبة للأعداد غير الصحيحة (لا يمكننا العمل مباشرة على${\displaystyle \Omega }$(بما أن إجراء تحويل فورييه عملية شاملة). نُعرّف${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$بقول ذلك${\displaystyle u\in H^{s}(\Omega )}$إذا وفقط إذا${\displaystyle Au\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n}).}$وبالمثل، ينتج عن الاستيفاء المعقد نفس النتيجة${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$المساحات طالما${\displaystyle \Omega }$يحتوي على عامل امتداد. إذا${\displaystyle \Omega }$لا يوجد عامل تمديد، لذا فإن الاستيفاء المعقد هو الطريقة الوحيدة للحصول على${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$مساحات.

ونتيجة لذلك، لا تزال متباينة الاستيفاء قائمة.

كما هو موضح أعلاه ، نُعرّف${\displaystyle H_{0}^{s}(\Omega )}$أن يكون الإغلاق في${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$من الفضاء${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$من الدوال القابلة للتفاضل بلا حدود والمحدودة الدعم. بالنظر إلى تعريف الأثر أعلاه، يمكننا صياغة ما يلي:

لو${\displaystyle u\in H_{0}^{s}(\Omega )}$يمكننا تعريف امتدادها بالصفر${\displaystyle {\tilde {u}}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$بالطريقة الطبيعية، أي

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)={\begin{cases}u(x)&x\in \Omega \\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

بالنسبة لـ f ∈ L ^p (Ω) امتدادها بالصفر،

${\displaystyle Ef:={\begin{cases}f&{\textrm {on}}\ \Omega ,\\0&{\textrm {otherwise}}\end{cases}}}$

هو عنصر من${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n}).}$بالإضافة إلى،

${\displaystyle \|Ef\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}=\|f\|_{L^{p}(\Omega )}.}$

في حالة فضاء سوبوليف W ^1,p (Ω) لـ 1 ≤ p ≤ ∞ ، فإن تمديد دالة u بالصفر لن ينتج بالضرورة عنصرًا من${\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$لكن إذا كانت Ω محدودة بحدود ليبشيتز (على سبيل المثال ∂Ω هي C ¹ )، فإنه لأي مجموعة مفتوحة محدودة O بحيث Ω⊂⊂O (أي أن Ω محتواة بشكل مضغوط في O)، يوجد مؤثر خطي محدود ^{[ 2 ]}

${\displaystyle E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

بحيث يكون لكل${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega ):Eu=u}$على Ω، يكون لـ Eu دعم مضغوط ضمن O، ويوجد ثابت C يعتمد فقط على p و Ω و O والبعد n ، بحيث

${\displaystyle \|Eu\|_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leqslant C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}.}$

ندعو${\displaystyle Eu}$امتداد لـ${\displaystyle u}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$