تحويل غابور-ويغنر

يُعدّ كلٌّ من تحويل غابور ، نسبةً إلى دينيس غابور ، ودالة توزيع ويغنر ، نسبةً إلى يوجين ويغنر ، أداتين لتحليل الزمن والتردد . ولأنّ تحويل غابور لا يتميّز بوضوح عالٍ، ولأنّ دالة توزيع ويغنر تعاني من "مشكلة الحدّ المختلط" (أي أنّها غير خطية)، فقد اقترحت دراسة أجراها إس سي باي وجيه جيه دينغ عام 2007 دمجًا جديدًا بين التحويلين يتميّز بوضوح عالٍ وخلوّه من مشكلة الحدّ المختلط. ^{[ 1 ]} وبما أنّ الحدّ المختلط لا يظهر في تحويل غابور، يُمكن استخدام توزيع الزمن والتردد الخاصّ به كمرشح لاستبعاد هذا الحدّ من مخرجات دالة توزيع ويغنر.

• تحويل غابور

${\displaystyle G_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi (\tau -t)^{2}}e^{-j2\pi f\tau }x(\tau )\,d\tau }$

• دالة توزيع ويغنر

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau }$

• تحويل غابور-ويغنر

توجد العديد من التركيبات المختلفة لتعريف تحويل غابور-ويغنر. فيما يلي أربعة تعريفات مختلفة.

1. ${\displaystyle D_{x}(t,f)=G_{x}(t,f)\times W_{x}(t,f)}$
2. ${\displaystyle D_{x}(t,f)=\min \left\{|G_{x}(t,f)|^{2},|W_{x}(t,f)|\right\}}$
3. ${\displaystyle D_{x}(t,f)=W_{x}(t,f)\times \{|G_{x}(t,f)|>0.25\}}$
4. ${\displaystyle D_{x}(t,f)=G_{x}^{2.6}(t,f)W_{x}^{0.7}(t,f)}$

1. مشكلة الحدود المتقاطعة :

   تعريف دالة توزيع ويغنر (WDF) هو${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

   ${\displaystyle x}$هي إشارة الإدخال،${\displaystyle t}$محور الزمن بعد التحويل،${\displaystyle f}$يمثل محور التردد بعد التحويل.

   إذا قمنا بتصميم إشارة الإدخال الخاصة بنا على النحو التالي  :${\displaystyle x(t)=\alpha g(t)+\beta s(t)}$وتقدم WDF الخاصة بها على النحو التالي:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}\alpha g(t+{\frac {\tau }{2}})+\beta s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}{\big [}\alpha ^{*}g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\beta ^{*}s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}|\alpha |^{2}g(t+{\frac {\tau }{2}})g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+|\beta |^{2}s(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})\\&\quad +\alpha \beta ^{*}g(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\alpha ^{*}\beta g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=|\alpha |^{2}W_{g}(t,f)+|\beta |^{2}W_{s}(t,f)\\&\quad +\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}\alpha \beta ^{*}g(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\alpha ^{*}\beta g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\\end{aligned}}}$

   ${\displaystyle W_{g}}$و${\displaystyle W_{s}}$تُسمى هذه المكونات "الطرف التلقائي"، بينما تُسمى المكونات الأخرى "الطرف المتقاطع"، وهي ليست المعلومات الصحيحة من الإشارة الأصلية.

   يُمكن لتحويل غابور (GT) تجنب مشكلة الحدود المتداخلة، بينما تتميز دالة توزيع ويغنر (WDF) بوضوح عالٍ. وبدمجهما، يُحقق تحويل غابور-ويغنر (GWT) الوضوح العالي والقدرة على تجنب مشكلة الحدود المتداخلة. تُوضح الصورة أدناه أمثلة على ذلك.

   

2. علاقة الدوران :

   ترتبط GWT بعلاقة دوران مع FRFT، مما يجعلها مفيدة لتصميم المرشحات وأخذ العينات والتعدد في مجال FRFT.

يؤدي تحويل غابور-ويغنر أداءً جيدًا في معالجة الصور، وتصميم المرشحات، وأخذ عينات الإشارة، والتضمين، وإزالة التضمين، ومعالجة الكلام ، والهندسة الطبية الحيوية.

تصميم الفلتر

يهدف تصميم المرشحات إلى إزالة الأجزاء غير المرغوب فيها من الإشارة مع الحفاظ على الأجزاء الضرورية. باستخدام تحويل غابور-ويغنر، يمكننا دراسة المرشحات في كلٍ من المجال الزمني والمجال الترددي في آنٍ واحد ، مما يمثل شكلاً من أشكال تحليل التردد الزمني. يُوضح المفهوم الرئيسي كما يلي.

تعديل الإشارة

يهدف التضمين إلى وضع الإشارة ضمن نطاق زمني أو ترددي محدد. باستخدام تحويل غابور-ويغنر، يمكننا دراسة كيفية إدخال أنماط إشارة أكثر أو أكثر ملاءمة في كل من المجالين الزمني والترددي. ونظرًا لعدم وجود مشاكل في الحدود المتداخلة، فإنه يتفوق على تحويل ويغنر.

من الشكل (WDF) أعلاه، يمكن أيضًا ملاحظة أنه عند استخدام تحويل ويغنر (WDF)، فإن الحدود المتقاطعة الناتجة لها تأثير شديد على التضمين.

1. نظرًا لانخفاض تعقيد تحويل غابور مقارنةً بتحويل ويغنر، يُعطى تحويل غابور الأولوية عادةً في الحساب. عند حساب تحويل ويغنر، يكفي حساب تحويل غابور في المناطق غير الصفرية فقط، لأن القيم في المناطق الأخرى تقترب من الصفر. رياضيًا، يمكن التعبير عن ذلك كما يلي:

   ${\displaystyle G_{X}(t,f)\approx 0,D_{x}(t,f)=G_{x}^{\alpha }(t,f)W_{x}^{\beta }(t,f)\approx 0}$

2. متى${\displaystyle x(t)}$هي دالة حقيقية، بالنسبة لتحويل غابور،${\displaystyle X(f)=X^{*}(-f)}$وهذا يسمح بتقليل كبير في مساحة الذاكرة المطلوبة عند تصميم الذاكرة.

• تمثيل التردد الزمني
• تحويل فورييه قصير المدى
• تحويل غابور
• دالة توزيع ويغنر