خلطة جيلبريث

خلط جيلبريث هو طريقة لخلط مجموعة أوراق اللعب، سُميت نسبةً إلى عالم الرياضيات نورمان جيلبريث (المعروف أيضًا بتخمين جيلبريث ). يصف مبدأ جيلبريث خصائص مجموعة أوراق اللعب التي تُحفظ بهذا النوع من الخلط، وتبديل جيلبريث هو التبديل الذي يمكن تكوينه من خلال خلط جيلبريث. ^{[ 1 ]}

تتكون عملية خلط جيلبريث من الخطوتين التاليتين: ^{[ 1 ]}

• قم بتوزيع أي عدد من البطاقات من أعلى مجموعة أوراق اللعب لتشكيل كومة ثانية من البطاقات.
• اخلط الكومة الجديدة مع باقي أوراق اللعب.

يختلف هذا عن الإجراء الأكثر شيوعًا المتمثل في تقسيم مجموعة أوراق اللعب إلى كومتين ثم تقليب الكومتين، حيث أن الخطوة الأولى المتمثلة في توزيع الأوراق تعكس ترتيب الأوراق في الكومة الجديدة، في حين أن تقسيم مجموعة الأوراق سيحافظ على هذا الترتيب.

على الرغم من أن خلط جيلبريث يبدو عشوائيًا للغاية، إلا أنه يحافظ على العديد من خصائص مجموعة الأوراق الأصلية. على سبيل المثال، إذا كانت مجموعة الأوراق الأصلية تتناوب بين الأوراق السوداء والحمراء، فبعد خلط جيلبريث مرة واحدة، ستظل المجموعة تحتفظ بخاصية أنه إذا تم تجميعها في أزواج متتالية من الأوراق، فسيحتوي كل زوج على ورقة سوداء وأخرى حمراء. وبالمثل، إذا تم استخدام خلط جيلبريث على مجموعة أوراق حيث كل ورقة من نفس نوع الورقة التي تسبقها بأربعة مواقع، وتم تجميع المجموعة الناتجة في مجموعات متتالية من أربع أوراق، فستحتوي كل مجموعة على ورقة واحدة من كل نوع. تُعرف هذه الظاهرة بمبدأ جيلبريث ، وهي أساس العديد من خدع الورق . ^{[ 1 ]}

رياضيًا، يمكن وصف خلطات جيلبريث بتباديل جيلبريث ، وهي تباديل للأعداد من 1 إلى n يمكن الحصول عليها بخلط جيلبريث باستخدام مجموعة أوراق لعب مُرقمة بهذه الأرقام بالترتيب. تتميز تباديل جيلبريث بأن كل بادئة تحتوي على مجموعة متتالية من الأرقام. ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، التبديل (5، 6، 4، 7، 8، 3، 2، 9، 1، 10) هو تبديل جيلبريث لـ n  =  10، ويمكن الحصول عليه بسحب أول أربع أو خمس أوراق ثم خلطها مع باقي الأوراق. تحتوي كل من بادئاتها (5)، (5،6)، (5،6،4)، (5،6،4،7)، إلخ، على مجموعة من الأرقام التي (عند فرزها) تشكل تسلسلًا فرعيًا متتاليًا من الأرقام من 1 إلى 10. وبالمثل، من حيث أنماط التبديل ، فإن تباديل جيلبريث هي التبديلات التي تتجنب النمطين 132 و312. ^{[ 2 ]}

يمكن تحديد عملية خلط أوراق اللعب في جيلبريث بشكل فريد من خلال تحديد أي من المواضع في مجموعة الأوراق المخلوطة الناتجة تشغلها الأوراق التي تم توزيعها في الكومة الثانية، وأي المواضع تشغلها الأوراق التي لم يتم توزيعها. لذلك، هناك${\displaystyle 2^{n}}$الطرق الممكنة لإجراء خلط جيلبريث على مجموعة أوراق اللعب${\displaystyle n}$البطاقات. ومع ذلك، يمكن الحصول على كل تبديل من تبديلات جيلبريث من عمليتي خلط مختلفتين لجيلبريث، حيث يمكن أن يكون الموضع الأول من التبديل قد جاء من أي من الكومتين. لذلك، هناك${\displaystyle 2^{n-1}}$تباديل جيلبريث المتميزة. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

تباديل جيلبريث الدورية من الرتبة${\displaystyle n}$وهي تتطابق بشكل تام مع الأعداد الحقيقية${\displaystyle c}$والتي من أجلها التكرار${\displaystyle x\mapsto x^{2}+c}$(ابتداءً من${\displaystyle x=0}$إن المجموعة الأساسية لمجموعة ماندلبروت دورية ولها دورة${\displaystyle n}$في هذه المراسلة، التبديل الذي يتوافق مع قيمة معينة${\displaystyle c}$يصف الترتيب العددي للتكرارات لـ${\displaystyle c}$[ ^{1 ] عدد تباديل جيلبريث الدورية (وبالتالي أيضًا عدد النقاط الدورية الحقيقية} لمجموعة ماندلبروت)، لـ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$، ويتم تحديده بواسطة متتالية الأعداد الصحيحة

${\displaystyle {\begin{matrix}1\\2\\3\\4\\5\\6\\7\\8\\9\\10\end{matrix}}\to {\begin{matrix}5\\6\\7\\8\\9\\10\end{matrix}}{\begin{matrix}4\\3\\2\\1\end{matrix}}\to {\begin{matrix}4\\5\\6\\3\\7\\2\\8\\9\\1\\10\end{matrix}}}$

إليك مثال يوضح النظرية. بالنسبة لمجموعة أوراق لعب مكونة من عشر أوراق، يمكننا توزيع أربع أوراق في كومة صغيرة على الطاولة (واحدة تلو الأخرى) ثم خلطها عشوائيًا للحصول على الترتيب π الموضح أعلاه.

تنص نظرية تسمى "مبدأ جيلبريث النهائي" على أنه بالنسبة للتبديل${\displaystyle \pi }$ل${\displaystyle \{1,2,3,\dots ,n\}}$الخصائص الأربع التالية متكافئة: ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle \pi }$هو تبديل جيلبريث.
• لكل${\displaystyle j}$، الأعلى${\displaystyle j}$بطاقات${\displaystyle \pi (1)،\dots \pi (j)}$متميزة modulo${\displaystyle j}$.
• لكل${\displaystyle j}$و${\displaystyle k}$مع${\displaystyle kj\leq n}$، ال${\displaystyle j}$بطاقات${\displaystyle \pi {\bigl (}(k-1)j+1{\bigr )},\pi {\bigl (}(k-1)j+2{\bigr )},\dots ,\pi (kj)}$متميزة modulo${\displaystyle j}$.
• لكل${\displaystyle j}$، الأعلى${\displaystyle j}$البطاقات متسلسلة في${\displaystyle 1,2,\dots ,n}$.