متتالية الأعداد الصحيحة

في الرياضيات ، المتتالية العددية هي متتالية (أي قائمة مرتبة) من الأعداد الصحيحة .

يمكن تحديد متتالية الأعداد الصحيحة صراحةً من خلال إعطاء صيغة للحد النوني ، أو ضمنيًا من خلال تحديد العلاقة بين حدودها. على سبيل المثال، تتكون المتتالية 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13،  ... ( متتالية فيبوناتشي ) بالبدء بالعددين 0 و1 ثم جمع أي حدين متتاليين للحصول على العدد التالي: وصف ضمني (المتتالية A000045 في OEIS )  . تتكون المتتالية 0، 3، 8، 15، ... وفقًا للصيغة التالية:${\displaystyle n^{2}-1}$بالنسبة للحد النوني : تعريف صريح.

بدلاً من ذلك، يمكن تعريف متتالية الأعداد الصحيحة بخاصية تمتلكها عناصر المتتالية ولا تمتلكها أعداد صحيحة أخرى. على سبيل المثال، يمكننا تحديد ما إذا كان عدد صحيح معين عددًا كاملاً (المتتالية A000396 في OEIS ) ، حتى وإن لم تكن لدينا صيغة للعدد الكامل النوني .

تكون متتالية الأعداد الصحيحة قابلة للحساب إذا وُجدت خوارزمية تقوم، بمعلومية${\displaystyle n}$، يحسب${\displaystyle a_{n}}$للجميع${\displaystyle n>0}$مجموعة المتتاليات العددية الصحيحة القابلة للحساب هي مجموعة قابلة للعد . أما مجموعة جميع المتتاليات العددية الصحيحة فهي مجموعة غير قابلة للعد ( بعدد عناصر يساوي عدد عناصر المتصل )، وبالتالي ليست كل المتتاليات العددية الصحيحة قابلة للحساب.

على الرغم من أن بعض المتتاليات العددية لها تعريفات، إلا أنه لا توجد طريقة منهجية لتحديد ما يعنيه أن تكون متتالية عددية قابلة للتعريف في الكون أو بأي معنى مطلق (مستقل عن النموذج).

لنفترض المجموعة${\displaystyle M}$هو نموذج متعدٍ لنظرية المجموعات ZFC . خاصية التعدي لـ${\displaystyle M}$وهذا يعني أن الأعداد الصحيحة ومتتاليات الأعداد الصحيحة في الداخل${\displaystyle M}$هي في الواقع أعداد صحيحة ومتتاليات من الأعداد الصحيحة. متتالية الأعداد الصحيحة هي متتالية قابلة للتعريف بالنسبة إلى${\displaystyle M}$إذا كانت هناك صيغة ما${\displaystyle P(x)}$بلغة نظرية المجموعات، مع متغير حر واحد وبدون معلمات، وهو ما ينطبق على${\displaystyle M}$بالنسبة لتلك المتسلسلة العددية، وخطأ في${\displaystyle M}$بالنسبة لجميع متواليات الأعداد الصحيحة الأخرى. في كل منها${\displaystyle M}$، هناك متواليات عددية صحيحة قابلة للتعريف وغير قابلة للحساب، مثل المتواليات التي تشفر قفزات تورينج للمجموعات القابلة للحساب.

بالنسبة لبعض النماذج المتعدية${\displaystyle M}$في ZFC، كل سلسلة من الأعداد الصحيحة في${\displaystyle M}$يمكن تعريفها بالنسبة إلى${\displaystyle M}$أما بالنسبة للبعض الآخر، فبعض متواليات الأعداد الصحيحة فقط هي كذلك. لا توجد طريقة منهجية لتعريفها في${\displaystyle M}$هي نفسها مجموعة المتتاليات القابلة للتعريف بالنسبة إلى${\displaystyle M}$وقد لا توجد تلك المجموعة حتى في بعض هذه الحالات${\displaystyle M}$وبالمثل، فإن الخريطة من مجموعة الصيغ التي تحدد متواليات الأعداد الصحيحة في${\displaystyle M}$لا يمكن تعريف متواليات الأعداد الصحيحة التي تحددها في${\displaystyle M}$وقد لا يكون موجودًا في${\displaystyle M}$ومع ذلك، في أي نموذج يمتلك خريطة تعريف كهذه، لن تكون بعض المتتاليات العددية في النموذج قابلة للتعريف بالنسبة إلى النموذج. ^{[ 1 ]}

لو${\displaystyle M}$إذا احتوت على جميع المتتاليات العددية الصحيحة، فإن مجموعة المتتاليات العددية الصحيحة القابلة للتعريف في${\displaystyle M}$سيوجد في${\displaystyle M}$ويكون قابلاً للعد وقابلاً للعد في${\displaystyle M}$.

تُسمى سلسلة الأعداد الصحيحة الموجبة سلسلة كاملة إذا كان من الممكن التعبير عن كل عدد صحيح موجب كمجموع للقيم في السلسلة، باستخدام كل قيمة مرة واحدة على الأكثر.

تتضمن متواليات الأعداد الصحيحة التي لها أسماء خاصة بها ما يلي:

• متتالية ثابتة متكررة
• موسوعة إلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة
• قائمة متواليات الأعداد الصحيحة

• هامكينز، جويل ديفيد؛ لينيتسكي، ديفيد؛ ريتز، جوناس (2013)، "نماذج نظرية المجموعات القابلة للتعريف نقطيًا"، مجلة المنطق الرمزي ، 78 (1): 139-156 ، arXiv : 1105.4597 ، doi : 10.2178/jsl.7801090 ، S2CID 43689192 .

• مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . المقالات متاحة مجاناً عبر الإنترنت.