تركيبة نصفية

في حساب المثلثات الكروية ، تربط صيغة نصف الضلع بين الزوايا وأطوال أضلاع المثلثات الكروية ، وهي مثلثات مرسومة على سطح كرة ، وبالتالي لها أضلاع منحنية ولا تخضع لصيغ المثلثات المستوية . ^{[ 1 ]}

للمثلث${\displaystyle \triangle ABC}$على الكرة، صيغة نصف الضلع هي ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos(S)\,\cos(SA)}{\cos(SB)\,\cos(SC)}}}\end{aligned}}}$$ حيث تمثل a و b و c الأطوال الزاوية (قياس الزاوية المركزية ، وأطوال الأقواس مُقاسة بالنسبة إلى كرة نصف قطرها وحدة واحدة ) للأضلاع المقابلة للزوايا A و B و C على التوالي، و${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(A+B+C)}$يساوي نصف مجموع الزوايا. ويمكن الحصول على صيغتين إضافيتين لـ${\displaystyle b}$و${\displaystyle c}$عن طريق تبديل التسميات${\displaystyle A,B,C.}$

العلاقة الثنائية القطبية للمثلث الكروي هي صيغة نصف الزاوية ، $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(sb)\,\sin(sc)}{\sin(s)\,\sin(sa)}}}\end{aligned}}}$$ حيث نصف المحيط${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$يساوي نصف مجموع الأضلاع. ويمكن الحصول على صيغتين إضافيتين عن طريق تبديل التسميات.${\displaystyle A,B,C.}$

يمكن كتابة العلاقات نفسها كمعادلات كسرية لأنصاف المماسات (مماسات أنصاف الزوايا). إذا${\displaystyle t_{a}=\tan {\tfrac {1}{2}}a,}$${\displaystyle t_{b}=\tan {\tfrac {1}{2}}b,}$${\displaystyle t_{c}=\tan {\tfrac {1}{2}}c,}$${\displaystyle t_{A}=\tan {\tfrac {1}{2}}A,}$${\displaystyle t_{B}=\tan {\tfrac {1}{2}}B,}$و${\displaystyle t_{C}=\tan {\tfrac {1}{2}}C,}$إذن، صيغة نصف الجانب تعادل ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}t_{a}^{2}&={\frac {{\bigl (}t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}-1{\bigr )}{\bigl (}{-t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}+1}{\bigr )}}{{\bigl (}t_{B}t_{C}-t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}+1{\bigr )}{\bigl (}t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}-t_{A}t_{B}+1{\bigr )}}},\end{aligned}}}$$ وصيغة نصف الزاوية تعادل ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}t_{A}^{2}&={\frac {{\bigl (}t_{a}-t_{b}+t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}{\bigl (}t_{a}+t_{b}-t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}}{{\bigl (}t_{a}+t_{b}+t_{c}-t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}{\bigl (}{-t_{a}+t_{b}+t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}}{\bigr )}}}.\end{aligned}}}$$

• قانون الجيب التمام الكروي
• قانون العشاق