حساب المثلثات الكروية

المضلع الكروي هو مضلع على سطح الكرة. أضلاعه عبارة عن أقواس من دوائر عظمى - وهو المكافئ الهندسي الكروي للقطع المستقيمة في الهندسة المستوية .

قد تحتوي هذه المضلعات على أي عدد من الأضلاع يزيد عن واحد. المضلعات الكروية ذات الضلعين - أو ما يُسمى أيضًا بالزوايا الثنائية - تُحدَّد بقوسين من الدائرة العظمى: ومن الأمثلة الشائعة على ذلك السطح المنحني الخارجي لقطعة من برتقالة. تُستخدم ثلاثة أقواس لتحديد المثلث الكروي، وهو الموضوع الرئيسي لهذه المقالة. تُعرَّف المضلعات ذات الأضلاع الأكثر عددًا (مثل الرباعيات الكروية ذات 4 أضلاع، والخماسيات الكروية ذات 5 أضلاع، وما إلى ذلك) بطريقة مماثلة. وبالمثل، يمكن دائمًا اعتبار المضلعات الكروية التي يزيد عدد أضلاعها عن 3 أضلاع، كما هو الحال في المضلعات المستوية، تركيبًا من المثلثات الكروية.

أحد المضلعات الكروية ذات الخصائص المثيرة للاهتمام هو البنتاغراما ميريفيكوم ، وهو مضلع نجمي كروي ذو 5 أضلاع بزاوية قائمة عند كل رأس.

من هذه النقطة في المقال، سيقتصر النقاش على المثلثات الكروية، والتي يشار إليها ببساطة باسم المثلثات .

• يتم تمثيل كل من رؤوس المثلث والزوايا عند رؤوسه بنفس الأحرف الكبيرة A و B و C.
• يُرمز لأطوال أضلاع الكرة ذات نصف القطر الواحد بأحرف صغيرة: a و b و c . تتساوى أطوال الأضلاع مع الزوايا الصغيرة عندما تُقاس الأخيرة بالراديان (انظر طول القوس ). اصطلاحًا، تكون أضلاع المثلثات الكروية الصحيحة أقل من π راديان، و$${\displaystyle 0<a+b+c<2\pi }$$(Todhunter, ^{[ 1 ]} المادة 22، 32).
• يمكن اعتبار الزاوية A (أو B أو C على التوالي ) إما الزاوية ثنائية السطوح بين المستويين اللذين يتقاطعان مع الكرة عند الرأس A ، أو، بصورة مكافئة، الزاوية بين مماسي قوسَي الدائرة العظمى عند التقائهما عند الرأس. زوايا المثلثات الكروية الصحيحة (بحسب الاصطلاح) أقل من π راديان، و$${\displaystyle \pi <A+B+C<3\pi }$$(Todhunter, ^{[ 1 ]} المادة 22، 32).
  وعلى وجه الخصوص، فإن مجموع زوايا المثلث الكروي أكبر بكثير من مجموع زوايا المثلث المعرف على المستوى الإقليدي، والذي يساوي دائمًا π راديان بالضبط.
• يُعتبر نصف قطر الكرة وحدةً واحدة. في المسائل العملية المحددة على كرة نصف قطرها R ، يجب قسمة أطوال الأضلاع المقاسة على R قبل استخدام المتطابقات المذكورة أدناه. وبالمثل، بعد إجراء الحساب على كرة الوحدة، يجب ضرب الأضلاع a و b و c في R. 

يُعرَّف المثلث القطبي المرتبط بالمثلث △ABC كما يلي: لنفترض الدائرة العظمى التي تحتوي على الضلع BC . تُعرَّف هذه الدائرة العظمى بتقاطع مستوى قطري مع السطح. نرسم العمودي على هذا المستوى عند المركز: يتقاطع مع السطح في نقطتين، والنقطة التي تقع على نفس جانب المستوى الذي تقع عليه النقطة A تُسمى (اصطلاحًا) قطب A ويُرمز لها بـ A' . تُعرَّف النقطتان B' و C' بشكل مماثل. 

المثلث △ A'B'C' هو المثلث القطبي المناظر للمثلث △ ABC . وتُعطى زوايا وأضلاع المثلث القطبي بالعلاقة (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.27).  $${\displaystyle {\begin{alignat}{3}A'&=\pi -a,&\qquad B'&=\pi -b,&\qquad C'&=\pi -c,\\a'&=\pi -A,&b'&=\pi -B,&c'&=\pi -C.\end{alignat}}}$$ لذا، إذا تم إثبات أي متطابقة للمثلث ABC ، فيمكننا استنتاج متطابقة ثانية مباشرةً بتطبيق المتطابقة الأولى على المثلث القطبي بإجراء التعويضات المذكورة أعلاه. هكذا تُستنتج معادلات جيب التمام التكميلية من معادلات جيب التمام. وبالمثل، يمكن استنتاج متطابقات المثلث الرباعي من متطابقات المثلث القائم الزاوية. المثلث القطبي للمثلث القطبي هو المثلث الأصلي.

إذا كانت المصفوفة M من الرتبة 3 × 3 تحتوي على المواضع A و B و C كأعمدة، فإن صفوف معكوس المصفوفة ^M⁻¹ ، بعد توحيد طولها، هي المواضع A′ و B′ و C′ . وبالتحديد، عندما يكون المثلث A′B′C′ هو المثلث القطبي للمثلث ABC ، فإن المثلث ABC هو المثلث القطبي للمثلث A′B′C ′ .

تُعد قاعدة جيب التمام هي المتطابقة الأساسية في حساب المثلثات الكروية: ويمكن اشتقاق جميع المتطابقات الأخرى، بما في ذلك قاعدة الجيب، من قاعدة جيب التمام: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\\[2pt]\cos b&=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\\[2pt]\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C.\end{aligned}}}$$

تُعمم هذه المتطابقات قاعدة جيب التمام في حساب المثلثات المستوية ، والتي تُكافئها تقاربياً في حالة الزوايا الداخلية الصغيرة. (على الكرة الوحدة، إذا${\displaystyle a,b,c\rightarrow 0}$ تعيين${\displaystyle \sin a\approx a}$و${\displaystyle \cos a\approx 1-{\frac {a^{2}}{2}}}$إلخ؛ انظر قانون جيب التمام الكروي .

يُعطى قانون الجيب الكروي بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$$ هذه المتطابقات تقارب قاعدة الجيب في حساب المثلثات المستوية عندما تكون الأضلاع أصغر بكثير من نصف قطر الكرة.

أُثبتت صيغ جيب التمام الكروي في الأصل باستخدام الهندسة الأساسية وقاعدة جيب التمام المستوية (تود هنتر، ^{[ 1 ]} المادة 37). كما قدم اشتقاقًا باستخدام هندسة الإحداثيات البسيطة وقاعدة جيب التمام المستوية (المادة 60). يستخدم النهج الموضح هنا طرقًا متجهة أبسط . (تُناقش هذه الطرق أيضًا في قانون جيب التمام الكروي ).

لنفترض ثلاثة متجهات وحدة OA → و OB → و OC → مرسومة من نقطة الأصل إلى رؤوس المثلث (على كرة الوحدة). يقابل القوس BC زاوية مقدارها α عند المركز، وبالتالي فإن OB → · OC → = cos α . لنُعرّف أساسًا ديكارتيًا حيث OA → على طول المحور z و OB → في المستوى xz يصنع زاوية c مع المحور z . يُسقط المتجه OC → على ON في المستوى xy ، والزاوية بين ON والمحور x هي α . بالتالي، فإن للمتجهات الثلاثة مركبات: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {OA}}:&\quad (0,\,0,\,1)\\{\vec {OB}}:&\quad (\sin c,\,0,\,\cos c)\\{\vec {OC}}:&\quad (\sin b\cos A,\,\sin b\sin A,\,\cos b).\end{aligned}}}$$

الضرب القياسي OB → · OC → بدلالة مكوناته هو $${\displaystyle {\vec {OB}}\cdot {\vec {OC}}=\sin c\sin b\cos A+\cos c\cos b.}$$ بمساواة التعبيرين عن الضرب القياسي نحصل على $${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A.}$$ يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة لإعطاء تعبيرات صريحة للزاوية بدلالة الأضلاع: $${\displaystyle \cos A={\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}.}$$

يتم الحصول على قواعد جيب التمام الأخرى عن طريق التبديلات الدورية.

ورد هذا الاشتقاق في كتاب تود هنتر، ^{[ 1 ]} (المادة 40). من المتطابقة${\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}$والصيغة الصريحة لـ cos A المذكورة أعلاه مباشرة $$\begin{aligned}\sin^2A&=1-\left(\frac{\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}\right)^2\\[5pt]&=\frac{(1-\cos^2b)(1-\cos^2c)-(\cos a-\cos b\cos c)^2}{\sin^2b\,\sin^2c}\\[5pt]\frac{\sin A}{\sin a}&=\frac{\sqrt{1-\cos^2a-\cos^2b-\cos^2c+2\cos a\cos b\cos c}}{\sin a\sin b\sin ج}}.\end{aligned}}}$$ بما أن الجانب الأيمن ثابت تحت التبديل الدوري لـ a و b و c فإن قاعدة الجيب الكروي تتبع مباشرة.

توجد طرق عديدة لاستنباط قواعد الجيب وجيب التمام الأساسية، بالإضافة إلى القواعد الأخرى التي سيتم تناولها في الأقسام التالية. على سبيل المثال، يقدم تود هنتر ^{[ 1 ]} برهانين لقاعدة جيب التمام (المادتان 37 و60) وبرهانين لقاعدة الجيب (المادتان 40 و42). وتقدم صفحة " قانون جيب التمام الكروي" أربعة براهين مختلفة لقاعدة جيب التمام. كما تقدم كتب في علم الجيوديسيا ^{[ 2 ]} وعلم الفلك الكروي ^{[ 3 ]} براهين مختلفة، وتوفر موارد MathWorld الإلكترونية المزيد منها ^{[ 4 ]} . وهناك استنباطات أكثر تعقيدًا، مثل استنباط بانيرجي ^{[ 5 ]} الذي يستنبط الصيغ باستخدام الجبر الخطي لمصفوفات الإسقاط، ويستشهد أيضًا بأساليب في الهندسة التفاضلية ونظرية الزمر الدورانية .

يتميز اشتقاق قاعدة جيب التمام المذكور أعلاه بالبساطة والوضوح، ويؤكد اشتقاق قاعدة الجيب على عدم الحاجة إلى برهان منفصل بخلاف برهان قاعدة جيب التمام. مع ذلك، يمكن استخدام الهندسة المذكورة أعلاه لتقديم برهان مستقل لقاعدة الجيب. يُحسب حاصل الضرب الثلاثي القياسي OA → · ( OB → × OC → ) على أنه sin b sin c sin A في الأساس الموضح. وبالمثل، في أساس موجه بحيث يكون المحور z موازيًا للمحور OB → ، يُحسب حاصل الضرب الثلاثي OB → · ( OC → × OA → ) على أنه sin c sin a sin B. بالتالي، فإن ثبات حاصل الضرب الثلاثي تحت التبديلات الدورية يُعطي sin b sin A = sin a sin B ، وهي أولى قواعد الجيب. انظر إلى التغيرات المنحنية لقانون الجيب للاطلاع على تفاصيل هذا الاشتقاق.

عندما تكون أي ثلاثة من التفاضلات da و db و dc و dA و dB و dC معروفة، يمكن استخدام المعادلات التالية، التي يتم إيجادها عن طريق اشتقاق قاعدة جيب التمام واستخدام قاعدة الجيب، لحساب التفاضلات الثلاثة الأخرى عن طريق الحذف: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}da=\cos C\ db+\cos B\ dc+\sin b\ \sin C\ dA,\\db=\cos A\ dc+\cos C\ da+\sin c\ \sin A\ dB,\\dc=\cos B\ da+\cos A\ db+\sin a\ \sin B\ dC.\\\end{aligned}}}$$

بتطبيق قواعد جيب التمام على المثلث القطبي نحصل على (Todhunter، ^{[ 1 ]} المادة 47)، أي استبدال A بـ π − a ، و a بـ π − A، إلخ. $$\begin{aligned}\cos A&=-\cos B\,\cos C+\sin B\,\sin C\,\cos a,\\\cos B&=-\cos C\,\cos A+\sin C\,\sin A\,\cos b,\\\cos C&=-\cos A\,\cos B+\sin A\,\sin B\,\cos c.\end{aligned}}}$$

يمكن كتابة أجزاء المثلث الستة بترتيب دوري على النحو التالي: ( aCbAcB ). تربط صيغة ظل التمام، أو الصيغة الرباعية، ضلعين وزاويتين، مُشكِّلةً أربعة أجزاء متتالية حول المثلث، على سبيل المثال ( aCbA ) أو (BaCb ). في هذه الحالة، يوجد جزء داخلي وجزء خارجي: على سبيل المثال، في المجموعة ( BaCb )، الزاوية الداخلية هي C ، والضلع الداخلي هو a ، والزاوية الخارجية هي B ، والضلع الخارجي هو b . يمكن كتابة قاعدة ظل التمام على النحو التالي (Todhunter، ^{[ 1 ]} المادة 44). $${\displaystyle \cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}=\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}-\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )},}$$ والمعادلات الست المحتملة هي (مع عرض المجموعة ذات الصلة على اليمين): $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\text{(CT1)}}&&\qquad \cos b\,\cos C&=\cot a\,\sin b-\cot A\,\sin C\qquad &&(aCbA)\\[0ex]{\text{(CT2)}}&&\cos b\,\cos A&=\cot c\,\sin b-\cot C\,\sin A&&(CbAc)\\[0ex]{\text{(CT3)}}&&\cos c\,\cos A&=\cot b\,\sin c-\cot B\,\sin A&&(bAcB)\\[0ex]{\text{(CT4)}}&&\cos c\,\cos B&=\cot a\,\sin c-\cot A\,\sin B&&(AcBa)\\[0ex]{\text{(CT5)}}&&\cos a\,\cos B&=\cot c\,\sin a-\cot C\,\sin B&&(cBaC)\\[0ex]{\text{(CT6)}}&&\cos a\,\cos C&=\cot b\,\sin a-\cot B\,\sin C&&(BaCb)\end{alignedat}}}$$ لإثبات الصيغة الأولى، ابدأ من قاعدة جيب التمام الأولى، وفي الجانب الأيمن استبدل قيمة cos c من قاعدة جيب التمام الثالثة: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\&=\cos b\ (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C)+\sin b\sin C\sin a\cot A\\\cos a\sin ^{2}b&=\cos b\sin a\sin b\cos C+\sin b\sin C\sin a\cot A.\end{aligned}}}$$ ينتج الناتج عن القسمة على sin a sin b . وباستخدام تقنيات مماثلة مع قاعدتي جيب التمام الأخريين، نحصل على CT3 وCT5. أما المعادلات الثلاث الأخرى فتنتج عن تطبيق القواعد 1 و3 و5 على المثلث القطبي.

مع${\displaystyle 2s=(a+b+c)}$و${\displaystyle 2S=(A+B+C),}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\sin {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}&\qquad \qquad \sin {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\cos {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}&\cos {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}&\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}}\end{alignedat}}}$$

وتتبع ذلك اثنتا عشرة هوية أخرى عن طريق التبديل الدوري.

يستنتج تود هنتر ^{[ 7 ]} (المادة 45) صيغ نصف الزاوية للزوايا والأضلاع بدلالة الأضلاع والزوايا على التوالي. كتابه متاح ككتاب إلكتروني في الملكية العامة من مشروع غوتنبرغ . يمكن إثبات المعادلة الأولى باستخدام قانون جيب التمام للضلع أ بدلالة الضلعين ب وج والزاوية أ، باستخدام المتطابقة${\displaystyle 2\sin ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1-\cos A,}$وذلك بالتعبير عن حاصل ضرب جيبين على أنه نصف الفرق بين جيب تمام زاوية الفرق بينهما مطروحًا منه جيب تمام مجموع زاويتيهما (انظر متطابقات تحويل المجموع إلى حاصل ضرب ). بالتفصيل: $${\displaystyle {\begin{aligned}2\,\sin(s-b)\,\sin(s-c)&=\cos((s-b)-(s-c))-\cos((s-b)+(s-c))\\&=\cos(c-b)-\cos(a)\\&=\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)-(\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\cos(A))\\&=\sin(b)\sin(c)(1-\cos(A))\\&=\sin(b)\sin(c)\,{\bigg (}2\,\sin ^{2}{\bigg (}{\frac {A}{2}}{\bigg )}{\bigg )}\end{aligned}}}$$

تستخدم الصيغة الثانية الهوية${\displaystyle 2\cos ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1+\cos A,}$أما الثالث فهو ناتج قسمة، والباقي يتبع بتطبيق النتائج على المثلث القطبي.

تم نشر تشبيهات ديلامبر (وتسمى أيضًا تشبيهات جاوس) بشكل مستقل من قبل ديلامبر وجاوس ومولوايد في الفترة 1807-1809. ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad \qquad &{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\\[2ex]{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad &{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\end{aligned}}}$$ وتتبعها ثماني متطابقات أخرى عن طريق التبديل الدوري.

تم إثبات ذلك بتوسيع البسط واستخدام صيغ نصف الزاوية. (تود هنتر، ^{[ 1 ]} المادة 54 وديلامبر ^{[ 9 ]} )

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\end{aligned}}}$$

وتتبعها ثماني متطابقات أخرى عن طريق التبديل الدوري.

تنتج هذه المتطابقات عن طريق تقسيم صيغ ديلامبر. (تود هنتر، ^{[ 1 ]} المادة 52)

على وجه الخصوص، تُعدّ صيغتا نابيير الأولى والثانية مفيدتين في حل المثلث الكروي عندما تُعطى ثلاثة من أضلاعه ab، ولكن لا يُعطى الضلعان c أو C. تُعطي هاتان الصيغتان${\displaystyle \cot {\tfrac {1}{2}}C}$بدلالة ab AB . لا يمكن حل هذا المثلث الكروي بشكل مباشر باستخدام قانوني الجيب وجيب التمام فقط.

وبأخذ نواتج قسمة هذه ينتج قانون الظلال ، الذي ذكره لأول مرة عالم الرياضيات الفارسي ناصر الدين الطوسي (1201-1274). $${\displaystyle {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}}$$

عندما تكون إحدى زوايا المثلث الكروي ، ولتكن C ، مساوية لـ π /2، فإن المتطابقات المختلفة المذكورة أعلاه تُبسط بشكل كبير. هناك عشر متطابقات تربط ثلاثة عناصر مختارة من المجموعة a ، b ، c ، A ، و B.

قدم نابيير ^{[ 10 ]} وسيلة تذكيرية أنيقة للمعادلات العشر المستقلة: تسمى هذه الوسيلة دائرة نابيير أو خماسي نابيير (عندما يتم استبدال الدائرة في الشكل أعلاه، على اليمين، بخماسي).

أولًا، اكتب أجزاء المثلث الستة (ثلاث زوايا رأسية، وثلاث زوايا قوسية للأضلاع) بالترتيب الذي تظهر به حول أي دائرة من دوائر المثلث: بالنسبة للمثلث الموضح أعلاه على اليسار، بالتحرك في اتجاه عقارب الساعة بدءًا من a، نحصل على aCbAcB . بعد ذلك، استبدل الأجزاء غير المجاورة للزاوية C (أي A و c و B ) بمكملاتها، ثم احذف الزاوية C من القائمة. يمكن بعد ذلك رسم الأجزاء المتبقية على شكل خمسة قطاعات متساوية ومرتبة من نجمة خماسية، أو دائرة، كما هو موضح في الشكل أعلاه (على اليمين). لأي اختيار لثلاثة أجزاء متجاورة، سيكون أحدها ( الجزء الأوسط ) مجاورًا لجزأين ومقابلًا للجزأين الآخرين. قواعد نابيير العشر هي كما يلي:

• جيب الجزء الأوسط = حاصل ضرب ظلي الجزأين المتجاورين
• جيب الجزء الأوسط = حاصل ضرب جيوب تمام الأجزاء المقابلة

يكمن مفتاح تذكر الدالة المثلثية المناسبة لكل جزء في النظر إلى الحرف الأول من نوع الجزء: الأجزاء الوسطى تأخذ دالة الجيب، والأجزاء المجاورة تأخذ دالة الظل، والأجزاء المتقابلة تأخذ دالة جيب التمام. على سبيل المثال، بدءًا من القطاع الذي يحتوي على a، لدينا: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a&=\tan({\tfrac {\pi }{2}}-B)\,\tan b\\[2pt]&=\cos({\tfrac {\pi }{2}}-c)\,\cos({\tfrac {\pi }{2}}-A)\\[2pt]&=\cot B\,\tan b\\[4pt]&=\sin c\,\sin A.\end{aligned}}}$$ مجموعة القواعد الكاملة للمثلث الكروي القائم هي (Todhunter، ^{[ 1 ]} المادة 62) $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(R1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\,\cos b,&\qquad \qquad &{\text{(R6)}}&\qquad \tan b&=\cos A\,\tan c,\\&{\text{(R2)}}&\sin a&=\sin A\,\sin c,&&{\text{(R7)}}&\tan a&=\cos B\,\tan c,\\&{\text{(R3)}}&\sin b&=\sin B\,\sin c,&&{\text{(R8)}}&\cos A&=\sin B\,\cos a,\\&{\text{(R4)}}&\tan a&=\tan A\,\sin b,&&{\text{(R9)}}&\cos B&=\sin A\,\cos b,\\&{\text{(R5)}}&\tan b&=\tan B\,\sin a,&&{\text{(R10)}}&\cos c&=\cot A\,\cot B.\end{alignedat}}}$$

يُعرَّف المثلث الكروي الرباعي بأنه مثلث كروي يكون فيه أحد أضلاعه يقابل زاوية قياسها π /2 راديان عند مركز الكرة: على الكرة الوحدة، يكون طول الضلع π /2. في حالة كون طول الضلع c يساوي π /2 على الكرة الوحدة، يمكن الحصول على المعادلات التي تحكم الأضلاع والزوايا المتبقية بتطبيق قواعد المثلث الكروي القائم من القسم السابق على المثلث القطبي △ A'B'C' ذي الأضلاع a'، b'، c' بحيث يكون A' = π − a ، a' = π − A، وهكذا. والنتائج هي: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(Q1)}}&\qquad \cos C&=-\cos A\,\cos B,&\qquad \qquad &{\text{(Q6)}}&\qquad \tan B&=-\cos a\,\tan C,\\&{\text{(Q2)}}&\sin A&=\sin a\,\sin C,&&{\text{(Q7)}}&\tan A&=-\cos b\,\tan C,\\&{\text{(Q3)}}&\sin B&=\sin b\,\sin C,&&{\text{(Q8)}}&\cos a&=\sin b\,\cos A,\\&{\text{(Q4)}}&\tan A&=\tan a\,\sin B,&&{\text{(Q9)}}&\cos b&=\sin a\,\cos B,\\&{\text{(Q5)}}&\tan B&=\tan b\,\sin A,&&{\text{(Q10)}}&\cos C&=-\cot a\,\cot b.\end{alignedat}}}$$

بتطبيق قاعدة جيب التمام الثانية في الأولى وتبسيطها نحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=(\cos a\,\cos c+\sin a\,\sin c\,\cos B)\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A\\[4pt]\cos a\,\sin ^{2}c&=\sin a\,\cos c\,\sin c\,\cos B+\sin b\,\sin c\,\cos A\end{aligned}}}$$ بحذف عامل sin c نحصل على $${\displaystyle \cos a\sin c=\sin a\,\cos c\,\cos B+\sin b\,\cos A}$$

تؤدي عمليات استبدال مماثلة في صيغ جيب التمام الأخرى وصيغ جيب التمام التكميلية إلى مجموعة كبيرة ومتنوعة من القواعد المكونة من 5 أجزاء. ونادراً ما يتم استخدامها.

بضرب قاعدة جيب التمام الأولى في cos A نحصل على $${\displaystyle \cos a\cos A=\cos b\,\cos c\,\cos A+\sin b\,\sin c-\sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A.}$$ وبالمثل، فإن ضرب قاعدة جيب التمام التكميلية الأولى في cos a ينتج عنه $${\displaystyle \cos a\cos A=-\cos B\,\cos C\,\cos a+\sin B\,\sin C-\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a.}$$ بطرح الاثنين، مع ملاحظة أنه يتبع من قواعد الجيب أن${\displaystyle \sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A=\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a}$ ينتج معادلة كاجنولي $${\displaystyle \sin b\,\sin c+\cos b\,\cos c\,\cos A=\sin B\,\sin C-\cos B\,\cos C\,\cos a}$$ وهي علاقة بين الأجزاء الستة للمثلث الكروي. ^{[ 11 ]}

يُعدّ حلّ المثلثات الهدف الرئيسي لعلم المثلثات الكروية: فبمعرفة ثلاثة أو أربعة أو خمسة عناصر من المثلث، يتمّ تحديد العناصر المتبقية. حالة العناصر الخمسة المُعطاة بسيطة، إذ لا تتطلّب سوى تطبيق قاعدة الجيب مرة واحدة. أما حالة العناصر الأربعة المُعطاة، فتوجد حالة واحدة غير بسيطة، سيتمّ شرحها لاحقًا. بالنسبة للعناصر الثلاثة المُعطاة، توجد ستّ حالات: ثلاثة أضلاع، ضلعان وزاوية محصورة بينهما، ضلعان وزاوية مقابلة، زاويتان وضلع محصور بينهما، زاويتان وضلع مقابل، أو ثلاث زوايا. (لا يوجد نظير للحالة الأخيرة في علم المثلثات المستوية). يوضح الشكل أدناه الحالات السبع غير البسيطة: في كلّ حالة، تُحدّد الأضلاع المُعطاة بخط أفقي، والزوايا المُعطاة بقوس. (كما تُدرج العناصر المُعطاة أسفل المثلث). في الترميز المُختصر هنا، مثل ASA، يُشير A إلى زاوية مُعطاة، ويُشير S إلى ضلع مُعطاة، ويُشير تسلسل A وS في الترميز إلى التسلسل المُقابل في المثلث.

• الحالة الأولى: ثلاثة أضلاع معطاة (SSS). يمكن استخدام قاعدة جيب التمام لإيجاد الزوايا A و B و C ، ولكن لتجنب الغموض، يُفضل استخدام صيغ نصف الزاوية.
• الحالة الثانية: ضلعان وزاوية محصورة بينهما (ضلع-زاوية-ضلع). باستخدام قاعدة جيب التمام، نحصل على قيمة a ، ثم نعود إلى الحالة  الأولى.
• الحالة 3: معطى ضلعان وزاوية مقابلة (SSA). باستخدام قاعدة الجيب، نحصل على C، ومن ثم نصل إلى الحالة  7. يوجد حل واحد أو حلان.
• الحالة الرابعة: زاويتان وضلع محصور بينهما (ASA). تعطي صيغ الظل التمام الرباعية للمجموعتين ( cBaC ) و( BaCb ) قيمتي c و b ، ومن ثمّ تُستنتج قيمة A من قاعدة الجيب.
• الحالة 5: زاويتان وضلع مقابل لهما معطى (AAS). باستخدام قاعدة الجيب، نحصل على b ، ثم لدينا الحالة  7 (مُدَوَّرة). يوجد حل واحد أو حلان.
• الحالة السادسة: ثلاث زوايا معطاة (AAA). يمكن استخدام قاعدة جيب التمام التكميلية لإيجاد أطوال الأضلاع a و b و c ، ولكن لتجنب الالتباس، يُفضل استخدام صيغ نصف الضلع.
• الحالة 7: زاويتان وضلعان متقابلان معطيان (SSAA). استخدم تشبيهات نابيير للزاوية a والزاوية A ؛ أو استخدم الحالة 3 (SSA) أو الحالة 5 (AAS).

ليست طرق الحل المذكورة هنا هي الخيارات الوحيدة المتاحة، فهناك العديد من الطرق الأخرى. عمومًا، يُفضّل اختيار الطرق التي تتجنب حساب معكوس الجيب نظرًا لاحتمالية وجود لبس بين الزاوية ومكملها. غالبًا ما يُنصح باستخدام صيغ أنصاف الزوايا لأن أنصاف الزوايا تكون أقل من π /2، وبالتالي خالية من أي لبس. تجدون شرحًا وافيًا في كتاب تود هنتر. وتُقدّم مقالة " حل المثلثات#حل المثلثات الكروية" صيغًا مختلفة لهذه الطرق باستخدام رموز مختلفة قليلًا.

يوجد شرح مفصل لحل المثلثات المائلة في كتاب تود هنتر. ^{[ 1 ] : الفصل السادس.} انظر أيضًا الشرح في كتاب روس. ^{[ 12 ]} كان ناصر الدين الطوسي أول من ذكر الحالات الست المختلفة (2-7 في الرسم التوضيحي) للمثلث القائم الزاوية في حساب المثلثات الكروية. ^{[ 13 ]}

هناك طريقة أخرى تتمثل في تقسيم المثلث إلى مثلثين قائمي الزاوية. على سبيل المثال، لنأخذ الحالة  3 حيث تُعطى قيم b و c و B. نرسم الدائرة العظمى من النقطة A بحيث تكون عمودية على الضلع BC عند النقطة D. نستخدم قواعد نابيير لحل المثلث △ ABD : باستخدام c و B لإيجاد الضلعين AD و BD والزاوية ∠BAD . ثم نستخدم قواعد نابيير لحل المثلث △ ACD : أي باستخدام AD و b لإيجاد الضلع DC والزاويتين C و ∠DAC . وبجمع الزاويتين A و a ، نحصل على الزاوية A.

ليست كل القواعد المستخلصة قوية عددياً في الحالات القصوى، على سبيل المثال عندما تقترب الزاوية من الصفر أو π . قد يتطلب الأمر دراسة المشكلات والحلول بعناية، خاصة عند كتابة برنامج لحل مثلث عشوائي. 

الزيادة الكروية لشكل رباعي كروي محدد بخط الاستواء وخطي الطول.${\displaystyle \lambda _{1}}$و ${\displaystyle \lambda _{2},}$والقوس الدائري العظيم بين نقطتين لهما خط طول وخط عرض${\displaystyle (\lambda _{1},\varphi _{1})}$و${\displaystyle (\lambda _{2},\varphi _{2})}$يكون $${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}E_{4}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\lambda _{2}-\lambda _{1}).}$$

تم التوصل إلى هذه النتيجة من خلال إحدى تشبيهات نابيير. في النهاية حيث${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}}$جميعها صغيرة، وهذا يختزل إلى المساحة شبه المنحرفة المألوفة،${\textstyle E_{4}\approx {\frac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})(\lambda _{2}-\lambda _{1})}$.

يمكن حساب مساحة المضلع من مربعات فردية من النوع المذكور أعلاه، أو (بشكل مماثل) من مثلث فردي محدد بقطعة من المضلع وخطين طوليين، ^{[ 17 ]} أو عن طريق التكامل الخطي باستخدام نظرية غرين ، ^{[ 18 ]} أو عبر إسقاط متساوي المساحة كما هو شائع في نظم المعلومات الجغرافية. ويمكن استخدام الخوارزميات الأخرى مع حساب أطوال الأضلاع باستخدام صيغة المسافة على الدائرة العظمى .