الهندسة الكروية

الهندسة الكروية أو الكروية ( من اليونانية القديمة σφαιρικά ) هي هندسة السطح ثنائي الأبعاد للكرة ^[^a^] أو السطح ذو الأبعاد $n$ للكرات ذات الأبعاد الأعلى .

لقد تمت دراسة الهندسة الكروية والأدوات المترية لحساب المثلثات الكروية لفترة طويلة لتطبيقاتها العملية في علم الفلك والملاحة والجيوديسيا ، وهي تشبه في كثير من النواحي الهندسة والمثلثات المستوية الإقليدية ، ولكنها تختلف أيضًا في بعض الجوانب المهمة.

يمكن دراسة الكرة إما خارجياً كسطح مضمن في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد (جزء من دراسة الهندسة الصلبة )، أو داخلياً باستخدام طرق لا تتضمن سوى السطح نفسه دون الرجوع إلى أي فضاء محيط.

مبادئ

في الهندسة المستوية (الإقليدية) ، تتمثل المفاهيم الأساسية في النقاط والخطوط المستقيمة . أما في الهندسة الكروية، فتتمثل المفاهيم الأساسية في النقاط والدوائر العظمى . مع ذلك، تتقاطع دائرتان عظميان على مستوى واحد في نقطتين متقابلتين، على عكس الخطوط المستوية في الهندسة الإهليلجية .

في التصور ثلاثي الأبعاد الخارجي، تُعرَّف الدائرة العظمى بأنها تقاطع الكرة مع أي مستوى يمر بمركزها. أما في المنهج الجوهري، فتُعرَّف الدائرة العظمى بأنها خط جيوديسي ؛ أي أقصر مسار بين أي نقطتين على سطحها بشرط أن تكونا متقاربتين بدرجة كافية. أو، في المنهج البديهي (الجوهري أيضًا) المشابه لبديهيات إقليدس في الهندسة المستوية، فإن "الدائرة العظمى" مصطلح غير مُعرَّف، إلى جانب مسلمات تُحدد العلاقات الأساسية بين الدوائر العظمى و"النقاط" غير المُعرَّفة أيضًا. وهذا يُشابه طريقة إقليدس في التعامل مع النقطة والخط كمفاهيم أولية غير مُعرَّفة، ثم وضع بديهيات لعلاقاتهما.

تؤدي الدوائر العظمى، من نواحٍ عديدة، الدور المنطقي نفسه في الهندسة الكروية الذي تؤديه الخطوط في الهندسة الإقليدية، مثل أضلاع المثلثات (الكروية). وهذا ليس مجرد تشبيه؛ إذ يمكن توحيد الهندسة الكروية والمستوية وغيرها تحت مظلة الهندسة المبنية على قياس المسافات ، حيث تُعرَّف "الخطوط" بأنها أقصر المسارات (الجيوديسية). وتصدق العديد من العبارات المتعلقة بهندسة النقاط و"الخطوط" في جميع هذه الهندسات شريطة تعريف الخطوط بهذه الطريقة، ويمكن بسهولة توسيع النظرية لتشمل أبعادًا أعلى. ومع ذلك، ولأن تطبيقاتها ومنهجيتها مرتبطة بالهندسة الفراغية، ولأن التعميم يفقد بعض الخصائص المهمة للخطوط في المستوى، فإن الهندسة الكروية لا تستخدم عادةً مصطلح "الخط" للإشارة إلى أي شيء على سطح الكرة نفسه. أما إذا طُوِّرت كجزء من الهندسة الفراغية، فيُستخدَم فيها النقاط والخطوط المستقيمة والمستويات (بالمعنى الإقليدي) في الفضاء المحيط.

في الهندسة الكروية، يتم تعريف الزوايا بين الدوائر العظمى، مما ينتج عنه حساب مثلثات كروي يختلف عن حساب المثلثات العادي في العديد من الجوانب؛ على سبيل المثال، مجموع الزوايا الداخلية للمثلث الكروي يتجاوز 180 درجة.

العلاقة بالأشكال الهندسية المماثلة

نظرًا للاختلاف الهندسي بين الكرة والمستوى، فإن الهندسة الكروية (الجوهرية) تحمل بعض سمات الهندسة غير الإقليدية، وتُصنف أحيانًا على أنها كذلك. مع ذلك، لم تُعتبر الهندسة الكروية هندسة غير إقليدية كاملة كافية لحل الإشكالية القديمة المتعلقة بما إذا كانت مسلمة التوازي نتيجة منطقية لبقية بديهيات إقليدس في الهندسة المستوية، لأنها تتطلب تعديل بديهية أخرى. وقد وُجد الحل في الهندسة الإهليلجية ، التي ترتبط بها الهندسة الكروية ارتباطًا وثيقًا، والهندسة الزائدية ؛ إذ تُجري كل من هاتين الهندستين الجديدتين تعديلًا مختلفًا على مسلمة التوازي.

يمكن توسيع مبادئ أي من هذه الأشكال الهندسية لتشمل أي عدد من الأبعاد.

يُعدّ المستوى الإسقاطي الحقيقي أحد أهمّ فروع الهندسة المرتبطة بالكرة ؛ إذ يُستخلص بتحديد النقاط المتقابلة (أزواج النقاط المتقابلة) على سطح الكرة. محليًا، يمتلك المستوى الإسقاطي جميع خصائص الهندسة الكروية، لكنّه يختلف عنها في خصائصه العامة. فهو، على وجه الخصوص، غير قابل للتوجيه ، أو أحادي الجانب، وعلى عكس الكرة، لا يمكن رسمه كسطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد دون أن يتقاطع مع نفسه.

يمكن أيضًا تطبيق مفاهيم الهندسة الكروية على الكرة المستطيلة ، على الرغم من أنه يجب إجراء تعديلات طفيفة على بعض الصيغ.

تاريخ

العصور اليونانية القديمة

إن أقدم عمل رياضي من العصور القديمة وصل إلى عصرنا هو كتاب " حول الكرة الدوارة" (Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas ) لأوتوليكوس البيتاني ، الذي عاش في نهاية القرن الرابع قبل الميلاد. ^{[ 1 ]}

درس علماء الرياضيات اليونانيون الأوائل علم المثلثات الكروية ، مثل ثيودوسيوس البيثيني ، وهو فلكي ورياضي يوناني ألف كتاب "الكرات" ، وهو كتاب عن هندسة الكرة، ^{[ 2 ]} ومينيلاوس الإسكندري ، الذي ألف كتابًا عن علم المثلثات الكروية بعنوان "الكرات " وطور نظرية مينيلاوس . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

العالم الإسلامي

يُعتبر كتاب "الأقواس المجهولة للكرة" الذي ألفه عالم الرياضيات الإسلامي الجياني أول كتاب في علم المثلثات الكروية. يحتوي الكتاب على صيغ للمثلثات القائمة الزاوية، والقانون العام للجيب، وحل المثلث الكروي باستخدام المثلث القطبي. ^{[ 5 ]}

يُعد كتاب " في المثلثات" لريجيومونتانوس ، الذي كُتب حوالي عام 1463، أول عملٍ في علم المثلثات الخالص في أوروبا. ومع ذلك، لاحظ جيرولامو كاردانو بعد قرنٍ من الزمان أن الكثير من مادته المتعلقة بعلم المثلثات الكروية مأخوذة من عمل العالم الأندلسي جابر بن أفلح الذي يعود إلى القرن الثاني عشر . ^{[ 6 ]}

عمل أويلر

نشر ليونارد أويلر سلسلة من المذكرات المهمة حول الهندسة الكروية:

إل أويلر، Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits، Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1753)، 1755، ص. 233-257؛ أوبرا أمنية، السلسلة 1، المجلد. السابع والعشرون، ص. 277-308.
إل أويلر، Elements de la trigonométrie spheroïdique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits، Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754)، 1755، ص. 258-293؛ أوبرا أمنية، السلسلة 1، المجلد. السابع والعشرون، ص. 309-339.
L. أويلر، De curva rectificabili in superficie sphaerica، Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15, 1771, pp. 195–216; أوبرا أمنية، السلسلة 1، المجلد 28، الصفحات من 142 إلى 160.
L. أويلر، De mensura angulorum Solidorum، Acta academiae scientiarum Imperialis Petropolitinae 2، 1781، ص. 31-54؛ أوبرا أمنية، السلسلة 1، المجلد. السادس والعشرون، ص. 204-223.
L. أويلر، مشكلة كويوسدام بابي ألكسندريني كونستريو، Acta academiae scientiarum Imperialis Petropolitinae 4، 1783، p. 91-96؛ أوبرا أمنية، السلسلة 1، المجلد. السادس والعشرون، ص. 237-242.
L. أويلر، Geometrica et sphaerica quaedam، Mémoires de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg 5، 1815، p. 96-114؛ أوبرا أمنية، السلسلة 1، المجلد. السادس والعشرون، ص. 344-358.
L. أويلر، علم المثلثات الكروية الكونية، ex primis Principiis breviter et dilucide derivata، Acta academiae scientiarum Imperialis Petropolitinae 3، 1782، p. 72-86؛ أوبرا أمنية، السلسلة 1، المجلد. السادس والعشرون، ص. 224-236.
L. أويلر، تكهنات Variae Super Area Triangulorum sphaericorum، Nova Acta academiae scientiarum Imperialis Petropolitinae 10، 1797، p. 47-62؛ أوبرا أمنية، السلسلة 1، المجلد. التاسع والعشرون، ص. 253-266.

ملكيات

تتمتع الهندسة الكروية بالخصائص التالية: ^{[ 7 ]}

أي دائرتين عظيمتين تتقاطعان في نقطتين متقابلتين قطريًا، تسمى النقاط المتقابلة .
أي نقطتين متميزتين ليستا نقطتين متقابلتين تحددان دائرة عظمى فريدة.
هناك وحدة طبيعية لقياس الزاوية (تعتمد على الدوران)، ووحدة طبيعية للطول (تعتمد على محيط الدائرة العظمى) ووحدة طبيعية للمساحة (تعتمد على مساحة الكرة).
ترتبط كل دائرة عظمى بزوج من النقاط المتقابلة، تُسمى أقطابها ، وهي نقاط التقاطع المشتركة لمجموعة الدوائر العظمى العمودية عليها. وهذا يُبين أن الدائرة العظمى، فيما يتعلق بقياس المسافة على سطح الكرة ، هي دائرة: أي المحل الهندسي للنقاط التي تقع جميعها على مسافة محددة من مركزها.
ترتبط كل نقطة بدائرة عظمى فريدة تسمى الدائرة القطبية للنقطة، وهي الدائرة العظمى على المستوى الذي يمر بمركز الكرة وعمودي على قطر الكرة من خلال النقطة المعطاة.

بما أن هناك قوسين محددين بنقطتين غير متقابلتين على الدائرة العظمى التي تحددانها، فإن ثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة لا تحدد مثلثًا فريدًا. مع ذلك، إذا اقتصرنا على المثلثات التي أضلاعها أقواس صغرى لدوائر عظمى، فإننا نحصل على الخصائص التالية:

مجموع زوايا المثلث أكبر من 180 درجة وأقل من 540 درجة (وتحديدًا 180 درجة (1 + 4 f ) ، حيث f هي نسبة سطح الكرة المحصورة بالمثلث).
مساحة المثلث تتناسب مع الزيادة في مجموع زواياه على 180 درجة.
المثلثان اللذان لهما نفس مجموع زواياهما متساويان في المساحة.
هناك حد أعلى لمساحة المثلثات.
يمكن اعتبار تركيب (ناتج) انعكاسين عبر دائرة عظمى بمثابة دوران حول أي من نقاط تقاطع محاورهما.
يكون المثلثان متطابقين إذا وفقط إذا كانا متناظرين تحت حاصل ضرب محدود لمثل هذه الانعكاسات.
المثلثان اللذان تتساوى زواياهما المتناظرة يكونان متطابقين (أي أن جميع المثلثات المتشابهة تكون متطابقة).

العلاقة بمسلمات إقليدس

إذا اعتبرنا "الخط" مرادفًا للدائرة العظمى، فإن الهندسة الكروية لا تُحقق إلا اثنتين من مسلمات إقليدس الخمس : المسلمة الثانية ("إنتاج [تمديد] خط مستقيم محدود بشكل متصل في خط مستقيم") والمسلمة الرابعة ("أن جميع الزوايا القائمة متساوية"). مع ذلك، فهي تُخالف المسلمات الثلاث الأخرى. فخلافًا للمسلمة الأولى ("أنه بين أي نقطتين، توجد قطعة مستقيمة واحدة فقط تصل بينهما")، لا يوجد أقصر مسار وحيد بين أي نقطتين ( النقاط المتقابلة مثل القطبين الشمالي والجنوبي على الكرة الأرضية أمثلة مضادة)؛ وخلافًا للمسلمة الثالثة، لا تحتوي الكرة على دوائر ذات أنصاف أقطار كبيرة جدًا؛ وخلافًا للمسلمة الخامسة (التوازي) ، لا توجد نقطة يمكن رسم خط يمر بها ولا يتقاطع أبدًا مع خط مُعطى. ^{[ 8 ]}

العبارة المكافئة لمسلمة التوازي هي أنه يوجد مثلث مجموع زواياه 180°. ولأن الهندسة الكروية تخالف مسلمة التوازي، فلا يوجد مثل هذا المثلث على سطح الكرة. مجموع زوايا أي مثلث على الكرة يساوي 180°(1 + 4f ) ، حيث f هي نسبة مساحة سطح الكرة التي يُحيط بها المثلث. ولأي قيمة موجبة لـ f ، فإن هذا المجموع يتجاوز 180°.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ في هذا السياق، تشير كلمة "كرة" فقط إلى السطح ثنائي الأبعاد، وتستخدم مصطلحات أخرى مثل " كرة " (أو "كرة صلبة") للسطح مع داخله ثلاثي الأبعاد.

مراجع

↑ روزنفيلد، بكالوريوس (1988). تاريخ الهندسة غير الإقليدية : تطور مفهوم الفضاء الهندسي . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص 2. ISBN 0-387-96458-4.
↑ "ثيودوسيوس البيثيني - تعريف ثيودوسيوس البيثيني في القاموس" . هاي بيم ريسيرش . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 مارس 2015 .
↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "مينيلوس الإسكندري" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
↑ "حقائق ومعلومات وصور عن مينلاوس الإسكندري" . بحث هاي بيم . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 مارس 2015 .
↑ كلية العلوم الرياضية والحاسوبية، جامعة سانت أندروز
↑ فيكتور ج. كاتز (محرر). "مطبعة جامعة برينستون" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 1 أكتوبر 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 مارس 2009 .
^ ميرفي 1983 ، ص 281-282.
↑ جوورز، تيموثي ، الرياضيات: مقدمة قصيرة جداً ، مطبعة جامعة أكسفورد، 2002: ص 94 و 98.

مصادر

ميسيرف، بروس إي. (1983) [1959]، المفاهيم الأساسية للهندسة ، دوفر، ISBN 0-486-63415-9

للمزيد من القراءة

بابادوبولوس، أثاناسي (2015)، أويلر، هندسة الكرة وحساب التباينات. في: ليونارد أويلر : الرياضيات والفيزياء ونظرية الموسيقى (dir. X. Hascher et A. Papadopoulos) ، إصدارات CNRS، باريس، ISBN 978-2-271-08331-9
فان بروميلين، جلين (2013). الرياضيات السماوية: فن حساب المثلثات الكروية المنسي . مطبعة جامعة برينستون . ISBN 9780691148922تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 ديسمبر 2014 .
رشدي راشد وأثاناسي بابادوبولوس (2017) كرويات مينيلوس: الترجمة المبكرة ونسخة المهاني/الهروي. طبعة نقدية لكرات مينيلوس من المخطوطات العربية، مع التعليقات التاريخية والرياضية ، سلسلة دي جرويتر : Scientia Graeco-Arabica 21 ISBN 978-3-11-057142-4

روابط خارجية

هندسة الكرة ( مؤرشفة بتاريخ ٢١ يونيو ٢٠١١ في أرشيف الإنترنت - جامعة رايس)
وايسشتاين، إريك دبليو. "الهندسة الكروية" . عالم الرياضيات .
Sphaerica - برنامج هندسي للإنشاء على الكرة

[1] في هذا السياق، تشير كلمة "كرة" فقط إلى السطح ثنائي الأبعاد، وتستخدم مصطلحات أخرى مثل " كرة " (أو "كرة صلبة") للسطح مع داخله ثلاثي الأبعاد.

[2] روزنفيلد، بكالوريوس (1988). تاريخ الهندسة غير الإقليدية : تطور مفهوم الفضاء الهندسي . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص 2. ISBN 0-387-96458-4.

[3] "ثيودوسيوس البيثيني - تعريف ثيودوسيوس البيثيني في القاموس" . هاي بيم ريسيرش . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 مارس 2015 .

[4] أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "مينيلوس الإسكندري" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز

[5] "حقائق ومعلومات وصور عن مينلاوس الإسكندري" . بحث هاي بيم . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 مارس 2015 .

[6] كلية العلوم الرياضية والحاسوبية، جامعة سانت أندروز

[7] فيكتور ج. كاتز (محرر). "مطبعة جامعة برينستون" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 1 أكتوبر 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 مارس 2009 .

[FOOTNOTEMeserve1983281–282-8] ميرفي 1983 ، ص 281-282.

[9] جوورز، تيموثي ، الرياضيات: مقدمة قصيرة جداً ، مطبعة جامعة أكسفورد، 2002: ص 94 و 98.

[

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]