نظرية معيار هاس

في نظرية الأعداد ، تنص نظرية معيار هاس على أنه إذا كان L/K امتدادًا دوريًا لحقول الأعداد ، فإن أي عنصر غير صفري في K يمثل معيارًا محليًا في كل مكان، وبالتالي فهو معيار عالمي. ويعني أن يكون العنصر k في K معيارًا عالميًا، بحيث يوجد عنصر l في L يحقق المعيار العالمي.${\displaystyle \mathbf {N} _{L/K}(ل)=ك}$بمعنى آخر، k هو معيار نسبي لعنصر ما من حقل التمديد L. أن يكون معيارًا محليًا يعني أنه بالنسبة لبعض الأعداد الأولية p من K وبعض الأعداد الأولية P من L التي تقع فوق K، فإن k هو معيار من L _P ؛ هنا يمكن أن يكون العدد الأولي p تقييمًا أرخميديًا، والنظرية هي بيان حول الإكمالات في جميع التقييمات، الأرخميدية وغير الأرخميدية.

لم تعد النظرية صحيحة بشكل عام إذا كان الامتداد تبديليًا ولكنه ليس دوريًا. وقدّم هاس مثالًا مضادًا مفاده أن 3 هو معيار محلي في كل مكان للامتداد${\displaystyle {\mathbf {Q} }({\sqrt {-3}},{\sqrt {13}})/{\mathbf {Q} }}$لكنها ليست قاعدة عالمية. وقد أظهر سير وتيت أن المجال يقدم مثالاً مضاداً آخر.${\displaystyle {\mathbf {Q} }({\sqrt {13}},{\sqrt {17}})/{\mathbf {Q} }}$حيث يكون كل مربع نسبي معيارًا محليًا في كل مكان، ولكن${\displaystyle 5^{2}}$ليس معياراً عالمياً.

هذا مثال على نظرية تنص على مبدأ محلي-عالمي .

يعود الفضل في النظرية الكاملة إلى هاس ( 1931 ) . وقد أثبت هيلبرت (1897) الحالة الخاصة عندما تكون درجة الامتداد n هي 2، بينما أثبت فورتفانجلر الحالة الخاصة عندما يكون n عددًا أوليًا في عام 1902. 

يمكن استنتاج نظرية معيار هاس من النظرية التي تنص على أن عنصرًا من ^زمرة غالوا للتماثل H₂ ( L / K ) يكون تافهًا إذا كان تافهًا محليًا في كل مكان، وهو ما يكافئ بدوره النظرية العميقة التي تنص على أن التماثل الأول لزمرة فئة الإيديل يتلاشى. هذا صحيح لجميع امتدادات غالوا المنتهية لحقول الأعداد، وليس فقط الامتدادات الدورية. بالنسبة للامتدادات الدورية، فإن الزمرة H₂ ⁽ L / K ) متماثلة مع زمرة تيت للتماثل H₀ ( L / K ) التي تحدد العناصر التي تمثل معايير، لذا بالنسبة للامتدادات الدورية ^، تصبح نظرية هاس هي أن العنصر يكون معيارًا إذا كان معيارًا محليًا في كل مكان.

• نظرية غرونوالد-وانغ ، حول متى يكون العنصر الذي يمثل قوة في كل مكان محليًا قوة.

• Hasse, H. (1931), "Beweis eines Satzes und Wiederlegung einer Vermutung über das allgemeine Normenrestsymbol", Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse: 64–69
• H. Hasse, "A history of class field theory", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.XI.
• G. Janusz, Algebraic number fields, Academic Press, 1973. Theorem V.4.5, p. 156
• Hilbert, David (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (in German), 4: 175–546, ISSN 0012-0456