حقل الأعداد الجبرية

يعتمد مفهوم حقل الأعداد الجبرية على مفهوم الحقل . يتكون الحقل من مجموعة من العناصر بالإضافة إلى عمليتين، وهما الجمع والضرب ، وبعض افتراضات التوزيع . تجعل هذه العمليات الحقل زمرة تبديلية تحت عملية الجمع، وتجعل العناصر غير الصفرية في الحقل زمرة تبديلية أخرى تحت عملية الضرب. ومن الأمثلة البارزة على الحقول حقل الأعداد النسبية ، والذي يُرمز إليه عادةً بـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$، بالإضافة إلى عمليات الجمع والضرب المعتادة.

من المفاهيم الأخرى اللازمة لتعريف حقول الأعداد الجبرية الفضاءات المتجهة . ويمكن اعتبار الفضاءات المتجهة، بالقدر المطلوب هنا، مكونة من متتاليات (أو صفوف ).

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}$

والتي تكون مدخلاتها عناصر من حقل ثابت، مثل الحقل${\displaystyle \mathbb {Q} }$يمكن جمع أي متتابعتين من هذا النوع بجمع عناصرهما المتناظرة. علاوة على ذلك، يمكن ضرب جميع عناصر أي متتابعة بعنصر واحد c من الحقل الثابت. تُعرف هاتان العمليتان بجمع المتجهات والضرب القياسي ، وتحققان عددًا من الخصائص التي تُستخدم لتعريف فضاءات المتجهات بشكل مجرد. يُسمح لفضاءات المتجهات بأن تكون " لا نهائية الأبعاد "، أي أن المتتابعات التي تُكوّنها قد تكون ذات طول لانهائي. مع ذلك، إذا كان فضاء المتجهات يتكون من متتابعات منتهية،

${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$،

يقال إن الفضاء المتجهي ذو بُعد محدود ،${\displaystyle n}$.

حقل الأعداد الجبري (أو ببساطة حقل الأعداد ) هو امتداد حقل الأعداد النسبية ذو درجة منتهية . هنا، تعني الدرجة بُعد الحقل كفضاء متجهي على${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

• الأرقام الحقيقية ،${\displaystyle \mathbb {R} }$والأعداد المركبة ،​${\displaystyle \mathbb {C} }$، هي حقول ذات أبعاد لا نهائية كما${\displaystyle \mathbb {Q} }$فضاءات متجهة؛ لذا فهي ليست حقول أعداد. وينتج هذا عن عدم قابلية العد لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$و${\displaystyle \mathbb {C} }$كمجموعات، في حين أن كل حقل عددي قابل للعد بالضرورة ، لأنها فضاءات متجهة ذات أبعاد محدودة على${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• المجموعة${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$من الأزواج المرتبة من الأعداد النسبية، مع الجمع والضرب لكل عنصر على حدة، هو جبر تبديلي ثنائي الأبعاد على${\displaystyle \mathbb {Q} }$ومع ذلك ، فهو ليس حقلاً، لأنه يحتوي على قواسم صفرية :${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$.

بالنسبة لحلقات ديديكيند العامة ، وخاصة حلقات الأعداد الصحيحة، يوجد تحليل فريد للمثاليات إلى حاصل ضرب مثاليات أولية . على سبيل المثال، المثالي${\displaystyle (6)}$في الحلبة${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$تتحلل الأعداد الصحيحة التربيعية إلى عوامل أولية كما يلي:

${\displaystyle (6)=(2,1+{\sqrt {-5}})(2,1-{\sqrt {-5}})(3,1+{\sqrt {-5}})(3,1-{\sqrt {-5}})}$

لكن على عكس ذلك${\displaystyle \mathbf {Z} }$كحلقة الأعداد الصحيحة من${\displaystyle \mathbf {Q} }$، حلقة الأعداد الصحيحة لامتداد مناسب لـ${\displaystyle \mathbf {Q} }$لا يشترط أن تقبل الأعداد تحليلًا فريدًا إلى حاصل ضرب أعداد أولية، أو بتعبير أدق، عناصر أولية . يحدث هذا بالفعل للأعداد الصحيحة التربيعية ، على سبيل المثال في${\displaystyle {\mathcal {O}} _ {\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$، تفشل خاصية التفرد في التحليل إلى عوامل:

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})}$

باستخدام المعيار، يمكن إثبات أن هذين التحليلين غير متكافئين في الواقع، بمعنى أن العوامل لا تختلف فقط بمقدار وحدة واحدة في${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}}$المجالات الإقليدية هي مجالات تحليل فريدة: على سبيل المثال${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$، وحلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية ، و${\displaystyle \mathbf {Z} [\omega ]}$، حلقة أعداد أيزنشتاين الصحيحة ، حيث${\displaystyle \omega }$إذا كان جذرًا تكعيبيًا للوحدة (لا يساوي 1)، فإنه يتمتع بهذه الخاصية. ^{[ 1 ]}

يُقاس فشل التحليل إلى عوامل وحيدة بعدد الفئات ، والذي يُرمز إليه عادةً بـ h ، وهو عدد عناصر ما يُسمى بمجموعة الفئات المثالية . هذه المجموعة دائمًا ما تكون منتهية. حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$تمتلك الحلقة تحليلًا فريدًا إذا وفقط إذا كانت حلقة رئيسية، أو بصورة مكافئة، إذا${\displaystyle K}$له رقم فئة 1. عند إعطاء حقل عددي، غالبًا ما يكون حساب رقم الفئة صعبًا. تتعلق مشكلة رقم الفئة ، التي تعود إلى جاوس ، بوجود حقول عددية تربيعية تخيلية (أي،${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-d}})،d\geq 1}$) برقم فئة محدد. تربط صيغة رقم الفئة h بالثوابت الأساسية الأخرى لـ${\displaystyle K}$وهي تتضمن وظيفة زيتا ديديكيند${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$، دالة في متغير مركب${\displaystyle s}$، كما هو محدد بواسطة

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

(المنتج هو في مجمله المثل العليا لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$،${\displaystyle N({\mathfrak {p}})}$يشير إلى معيار المثالي الأولي أو، بشكل مكافئ، العدد (المحدود) للعناصر في حقل البقايا${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}$يتقارب حاصل الضرب اللانهائي فقط عندما يكون Re ( s ) > 1؛ وبشكل عام، يلزم الاستمرار التحليلي والمعادلة الوظيفية لدالة زيتا لتعريف الدالة لجميع قيم s . تعمم دالة زيتا ديديكيند دالة زيتا ريمان في أن ζ_{${\displaystyle \mathbb {Q} }$}( s ) = ζ( s ).

تنص صيغة رقم الفصل على أن ζ_{${\displaystyle K}$}للدالة ( s ) قطب بسيط عند s = 1، وعند هذه النقطة يُعطى الباقي بالعلاقة التالية:

${\displaystyle {\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h\cdot \operatorname {Reg} }{w\cdot {\sqrt {|D|}}}}.}$

هنا، _يشير r1 و r2 بشكل كلاسيكي _إلى عدد التضمينات الحقيقية وأزواج التضمينات المركبة لـ${\displaystyle K}$على التوالي. علاوة على ذلك، فإن Reg هو منظم لـ${\displaystyle K}$، w عدد جذور الوحدة في${\displaystyle K}$و D هو المميز لـ${\displaystyle K}$.

دوال ديريشليه L${\displaystyle L(\chi ,s)}$هي نسخة أكثر دقة من${\displaystyle \zeta (s)}$كلا النوعين من الدوال يرمزان إلى السلوك الحسابي لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$و${\displaystyle K}$على التوالي. على سبيل المثال، تنص نظرية ديريشليه على أنه في أي متتابعة حسابية

${\displaystyle a,a+m,a+2m,\ldots }$

مع عدد أولي مشترك${\displaystyle a}$و${\displaystyle m}$يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. وتستنتج هذه النظرية من حقيقة أن قانون ديريشليه${\displaystyle L}$الدالة غير صفرية عند${\displaystyle s=1}$باستخدام تقنيات أكثر تقدماً بما في ذلك نظرية K الجبرية ومقاييس تاماغاوا ، تتعامل نظرية الأعداد الحديثة مع وصف، وإن كان إلى حد كبير تخميني (انظر تخمين عدد تاماغاوا )، لقيم دوال L الأكثر عمومية . ^{[ 2 ]}

أساس متكامل لحقل عددي${\displaystyle K}$درجة علمية${\displaystyle n}$هي مجموعة

B = { b ₁ , …, b _n }

من n عدد صحيح جبري في${\displaystyle K}$بحيث يكون كل عنصر من عناصر حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ل${\displaystyle K}$يمكن كتابتها بشكل فريد كتركيبة خطية Z لعناصر B ؛ أي، لأي x في${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$لدينا

x = m ₁ b ₁ + ⋯ + m _n b _n ,

حيث _تمثل m أعدادًا صحيحة (عادية). وينطبق الأمر نفسه على أي عنصر من${\displaystyle K}$يمكن كتابتها بشكل فريد كـ

m ₁ b ₁ + ⋯ + m _n b _n ,

حيث أن m و _i أعداد نسبية. الأعداد الصحيحة الجبرية لـ${\displaystyle K}$إذن، هذه هي تحديداً تلك العناصر من${\displaystyle K}$حيث أن m _i جميعها أعداد صحيحة.

من خلال العمل محليًا وباستخدام أدوات مثل خريطة فروبينيوس ، من الممكن دائمًا حساب مثل هذا الأساس بشكل صريح، وأصبح من المعايير الآن أن تحتوي أنظمة الجبر الحاسوبي على برامج مدمجة للقيام بذلك.

يترك${\displaystyle K}$أن يكون حقلًا عدديًا من الدرجة${\displaystyle n}$من بين جميع الأسس الممكنة لـ${\displaystyle K}$(يُنظر إليه على أنه${\displaystyle \mathbb {Q} }$في فضاء المتجهات)، توجد قواعد معينة تُعرف باسم قواعد القوى، وهي قواعد من الشكل

${\displaystyle B_{x}=\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}\}}$

لبعض العناصر${\displaystyle x\in K}$وبحسب نظرية العنصر الأولي ، يوجد مثل هذا${\displaystyle x}$، ويُسمى عنصرًا أوليًا . إذا${\displaystyle x}$يمكن الاختيار في${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ومثل ذلك${\displaystyle B_{x}}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$كوحدة Z مجانية ، ثم${\displaystyle B_{x}}$يُطلق عليه اسم أساس التكامل الأسي ، والمجال${\displaystyle K}$يُطلق عليه اسم حقل أحادي التولد . وقدّم ديديكيند مثالاً على حقل عددي غير أحادي التولد، وهو الحقل الناتج عن ضم جذر متعدد الحدود ^{[ 3 ].}$${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8.}$$

ضع في اعتبارك امتداد المجال${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$مع${\displaystyle \theta =\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}}$، أين${\displaystyle \zeta _{3}}$يرمز إلى الجذر التكعيبي للوحدة${\displaystyle \exp(2\pi i/3).}$ثم لدينا${\displaystyle \mathbb {Q} }$الأساس المقدم من$${\displaystyle \{1,\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}},(\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}})^{2}\}}$$منذ أي${\displaystyle x\in \mathbb {Q} (\theta )}$يمكن التعبير عنها ببعض${\displaystyle \mathbb {Q} }$التركيبة الخطية:$${\displaystyle x=a+b\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}+c(\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}})^{2}=a+b\theta +c\theta ^{2}.}$$ننتقل الآن إلى حساب الأثر${\displaystyle T(x)}$والمعيار${\displaystyle N(x)}$من هذا العدد. ولتحقيق هذه الغاية، نأخذ قيمة عشوائية${\displaystyle y\in \mathbb {Q} (\theta )}$أين${\displaystyle y=y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2}}$واحسب الناتج${\displaystyle xy}$كتابة هذا يعطي$${\displaystyle {\begin{aligned}xy=a(y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2})+\\b(2y_{2}+y_{0}\theta +y_{1}\theta ^{2})+\\c(2y_{1}+2y_{2}\theta +y_{0}\theta ^{2}).\end{aligned}}}$$ يمكننا إيجاد المصفوفة${\displaystyle A(x)}$بحيث${\displaystyle xy=A(x)y}$عن طريق كتابة معادلة المصفوفة المرتبطة التي تعطي$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ay_{0}+2cy_{1}+2by_{2}\\by_{0}+ay_{1}+2cy_{2}\\cy_{0}+by_{1}+ay_{2}\end{bmatrix}}}$$مما يدل على أن$${\displaystyle A(x)={\begin{bmatrix}a&2c&2b\\b&a&2c\\c&b&a\end{bmatrix}}}$$هي المصفوفة التي تحكم عملية الضرب في العدد${\displaystyle x}$.

يمكننا الآن بسهولة حساب الأثر والمحدد:${\displaystyle T(x)=3a}$، و${\displaystyle N(x)=a^{3}+2b^{3}+4c^{3}-6abc}$.

بحسب التعريف، تنتقل الخصائص القياسية لآثار ومحددات المصفوفات إلى Tr وN: Tr( x ) دالة خطية لـ x ، كما هو معبر عنه بـ Tr( x + y ) = Tr( x ) + Tr( y ) ، و Tr( λx ) = λTr ( x ) ، والمعيار دالة ضربية متجانسة من الدرجة n : N( xy ) = N( x ) N ( y ) ، وN( λx ) = λnN ( x ) . هنا λ عدد نسبي، و x و ^y أي عنصرين من${\displaystyle K}$.

إن شكل الأثر المشتق هو شكل ثنائي الخطية مُعرَّف بواسطة الأثر، كما يلي: $${\displaystyle Tr_{K/L}:K\otimes _{L}K\to L}$$بواسطة$${\displaystyle Tr_{K/L}(x\otimes y)=Tr_{K/L}(x\cdot y)}$$وتمتد خطيًا. يُعرَّف شكل الأثر التكاملي ، وهو مصفوفة متناظرة ذات قيم صحيحة، على النحو التالي:${\displaystyle t_{ij}={\text{Tr}}_{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})}$حيث b ₁ , ..., b _n هي أساس تكاملي لـ${\displaystyle K}$. التمييز بين​${\displaystyle K}$يُعرَّف على أنه det( t ). وهو عدد صحيح، وخاصية ثابتة للحقل.${\displaystyle K}$، دون الاعتماد على اختيار الأساس التكاملي.

المصفوفة المرتبطة بالعنصر x من${\displaystyle K}$يمكن استخدامها أيضًا لإعطاء أوصاف أخرى مكافئة للأعداد الصحيحة الجبرية. عنصر x من${\displaystyle K}$يكون x عددًا صحيحًا جبريًا إذا وفقط إذا كانت كثيرة الحدود المميزة pA للمصفوفة A المرتبطة بـ _x كثيرة حدود أحادية ذات معاملات صحيحة. لنفترض أن المصفوفة A التي تمثل العنصر x لها مدخلات صحيحة في أساس ما e . وفقًا لنظرية كايلي-هاميلتون ، _فإن pA ( A ) = 0، وبالتالي فإن pA ₍ x ) = 0، لذا فإن x عدد صحيح جبري. والعكس صحيح، إذا كان x عنصرًا من    ${\displaystyle K}$إذا كان جذرًا لكثير حدود أحادي ذي معاملات صحيحة، فإن الخاصية نفسها تنطبق على المصفوفة A المناظرة . في هذه الحالة، يمكن إثبات أن A مصفوفة صحيحة في أساس مناسب من${\displaystyle K}$تُعرَّف خاصية كون العدد عددًا صحيحًا جبريًا بطريقة مستقلة عن اختيار أساس في${\displaystyle K}$.

يعتبر${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x)}$حيث x تحقق المعادلة ^x³ - 11x² + x + 1 = 0. عندئذٍ ^{، تكون} القاعدة التكاملية هي [1, x , 1/2( x² + 1)]، ويكون شكل الأثر التكاملي المقابل هو   $${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&11&61\\11&119&653\\61&653&3589\end{bmatrix}}.}$$

يمثل الرقم "3" في الزاوية العلوية اليسرى من هذه المصفوفة أثر مصفوفة الخريطة المعرفة بواسطة عنصر الأساس الأول (1) في التمثيل المنتظم لـ${\displaystyle K}$على${\displaystyle K}$يُنتج عنصر الأساس هذا خريطة التطابق على الفضاء المتجهي ثلاثي الأبعاد .${\displaystyle K}$أثر مصفوفة تطبيق التطابق على فضاء متجهي ثلاثي الأبعاد هو 3 .

المحدد لهذا هو 1304 = 2 ³ ·163 ، وهو المميز الحقلي ؛ بالمقارنة، فإن المميز الجذري ، أو المميز لكثير الحدود ، هو 5216 = 2 ⁵ ·163 .

المجال${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{6}-2)=\mathbb {Q} (\theta )}$ل${\displaystyle \theta =\zeta {\sqrt[{6}]{2}}}$أين${\displaystyle \zeta }$هو جذر سادس ثابت للوحدة، ويوفر مثالاً غنياً لبناء تضمينات أرخميدية حقيقية ومعقدة صريحة، وكذلك تضمينات غير أرخميدية ^{[ 6 ] ص 15-16} .

نستخدم هنا الترميز القياسي${\displaystyle r_{1}}$و${\displaystyle r_{2}}$بالنسبة لعدد التضمينات الحقيقية والمعقدة المستخدمة، على التوالي (انظر أدناه).

حساب المنازل الأرخميدية لحقل عددي${\displaystyle K}$يتم ذلك على النحو التالي: دع${\displaystyle x}$أن يكون عنصرًا بدائيًا من${\displaystyle K}$، مع الحد الأدنى من كثير الحدود${\displaystyle f}$(زيادة${\displaystyle \mathbb {Q} }$). زيادة${\displaystyle \mathbb {R} }$،${\displaystyle f}$لن يكون المتجه غير قابل للاختزال عمومًا، لكن عوامله غير القابلة للاختزال (الحقيقية) ستكون إما من الدرجة الأولى أو الثانية. وبما أنه لا توجد جذور مكررة، فلا توجد عوامل مكررة.${\displaystyle r}$عوامل الدرجة الأولى حقيقية بالضرورة، واستبدالها${\displaystyle x}$بواسطة${\displaystyle r}$يُعطي تضمينًا لـ${\displaystyle K}$داخل${\displaystyle \mathbb {R} }$عدد هذه التضمينات يساوي عدد الجذور الحقيقية لـ${\displaystyle f}$تقييد القيمة المطلقة القياسية على${\displaystyle \mathbb {R} }$ل${\displaystyle K}$يعطي قيمة مطلقة أرخميدية على${\displaystyle K}$تُعرف هذه القيمة المطلقة أيضًا باسم المكان الحقيقي لـ${\displaystyle K}$من ناحية أخرى ، فإن جذور عوامل الدرجة الثانية هي أزواج من الأعداد المركبة المترافقة ، مما يسمح بوجود تمثيلين مترافقين في${\displaystyle \mathbb {C} }$يمكن استخدام أي من هذين التمثيلين المضمنين لتعريف قيمة مطلقة على${\displaystyle K}$وهو نفسه بالنسبة لكلا التضمينين لأنهما مترافقان. تُسمى هذه القيمة المطلقة مكانًا مركبًا لـ${\displaystyle K}$[ ^{7 ] [ 8 ]​}

إذا كانت جميع جذور${\displaystyle f}$ما سبق هو حقيقي (على التوالي، معقد) أو، بشكل مكافئ، أي تضمين ممكن${\displaystyle K\subseteq \mathbb {C} }$يُجبر في الواقع على البقاء في الداخل${\displaystyle \mathbb {R} }$(أو عدم التواجد في الداخل)${\displaystyle \mathbb {R} }$)${\displaystyle K}$يُطلق عليه اسم حقيقي تمامًا (أو معقد تمامًا ). ^{[ 9 ] [ 10 ]}

للعثور على الأماكن غير الأرخميدية، دعنا نعود مرة أخرى${\displaystyle f}$و${\displaystyle x}$يكون كما سبق. في${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$،${\displaystyle f}$ينقسم إلى عوامل بدرجات متفاوتة، لا يتكرر أي منها، ومجموع درجاتها يساوي${\displaystyle n}$درجة​${\displaystyle f}$لكل من هذه${\displaystyle p}$العوامل غير القابلة للاختزال جذرياً${\displaystyle f_{i}}$، يمكننا أن نفترض أن${\displaystyle x}$يرضي${\displaystyle f_{i}}$والحصول على تضمين لـ${\displaystyle K}$إلى امتداد جبري من الدرجة المحدودة على${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$يتصرف هذا الحقل المحلي في نواحٍ عديدة مثل حقل الأعداد، و${\displaystyle p}$قد تلعب الأعداد -adic دور الأعداد النسبية بالمثل؛ على وجه الخصوص، يمكننا تعريف المعيار والأثر بنفس الطريقة تمامًا، مما يعطينا الآن دوالًا تُسقط على${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$باستخدام هذا${\displaystyle p}$خريطة المعيار -adic${\displaystyle N_{f_{i}}}$للمكان${\displaystyle f_{i}}$، يمكننا تعريف قيمة مطلقة تتوافق مع قيمة معينة${\displaystyle p}$-عامل غير قابل للاختزال جذريًا${\displaystyle f_{i}}$درجة علمية${\displaystyle m}$بواسطة$${\displaystyle |y|_{f_{i}}=|N_{f_{i}}(y)|_{p}^{1/m}}$$تُسمى هذه القيمة المطلقة قيمة فائقة القياس ، أو غير أرخميدية، أو${\displaystyle p}$مكان -adic${\displaystyle K}$.

لأي مكان فائق القياس v، لدينا أن | x | _v ≤ 1 لأي ​​x في${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$بما أن الحد الأدنى لكثير الحدود لـ x يحتوي على عوامل صحيحة، وبالتالي فإن تحليله إلى عوامل p -adic يحتوي على عوامل في Z _p . ونتيجة لذلك، فإن حد المعيار (الحد الثابت) لكل عامل هو عدد صحيح p -adic، وأحد هذه الأعداد هو العدد الصحيح المستخدم لتحديد القيمة المطلقة لـ v .

بالنسبة لمكان فائق القياس v ، فإن المجموعة الفرعية من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$مثالي معرف بـ | x | _v < 1${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$يعتمد هذا على خاصية القياس الفائق لـ v : بمعلومية x و y في${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$، ثم

| x + y | _v ≤ max (| x | _v , |y| _v ) < 1.

في الحقيقة،${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$بل إنها تمثل مثالاً مثالياً .

على العكس من ذلك، بالنظر إلى مثال أولي${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$يمكن تعريف التقييم المنفصل عن طريق تحديد${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=n}$حيث n هو أكبر عدد صحيح بحيث${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}^{n}}$، القوة n للمثالي. يمكن تحويل هذا التقييم إلى مكان فوق متري. في ظل هذا التناظر، (فئات التكافؤ) للأماكن فوق المترية لـ${\displaystyle K}$تتوافق مع المثل العليا الأولية لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. ل${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$وهذا يُعيد تأكيد نظرية أوستروفسكي: أي مثالي أولي في Z (وهو بالضرورة عدد أولي واحد) يُقابل مكانًا غير أرخميدسي، والعكس صحيح. مع ذلك، بالنسبة لحقول الأعداد الأكثر عمومية، يصبح الوضع أكثر تعقيدًا، كما سيتم توضيحه لاحقًا.

وهناك طريقة أخرى مكافئة لوصف الأماكن فائقة القياس وهي عن طريق تحديد مواقع${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. بالنظر إلى مكان فائق القياس${\displaystyle v}$في حقل رقمي${\displaystyle K}$، والتحديد الموضعي المقابل هو الحلقة الفرعية${\displaystyle T}$ل${\displaystyle K}$من بين جميع العناصر${\displaystyle x}$بحيث يكون | x | _v ≤ 1. وفقًا لخاصية القياس الفائق${\displaystyle T}$هو خاتم. علاوة على ذلك، فهو يحتوي على${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$لكل عنصر x من${\displaystyle K}$، على الأقل واحد من x أو x ⁻¹ موجود في${\displaystyle T}$في الواقع ، بما أنه يمكن إثبات أن K ^× / T ^{× متماثل مع الأعداد الصحيحة،}${\displaystyle T}$هي حلقة تقييم منفصلة ، ​​وتحديداً حلقة محلية . في الواقع،${\displaystyle T}$هو مجرد توطين${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$في المثال الأمثل${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$، لذا${\displaystyle T={\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}}$وعلى العكس من ذلك ،${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$هو المثال الأقصى لـ${\displaystyle T}$.

إجمالاً، هناك تكافؤ ثلاثي بين القيم المطلقة فائقة القياس، والمثاليات الأولية، والتوطينات على حقل عددي.

يوضح المثال التالي المفاهيم المذكورة أعلاه. لحساب مؤشر التفرع لـ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$، أين

f ( x ) = x³ ^- x - 1 = 0,

عند بلوغ سن 23، يكفي النظر في توسيع المجال${\displaystyle \mathbb {Q} _{23}(x)/\mathbb {Q} _{23}}$يمكن تحليل f إلى عواملها الأولية حتى 529 = 23 ² (أي، باقي قسمة f على 529) .

f ( x ) = ( x + 181)( x ² − 181 x − 38) = gh .

بالتعويض عن x = y + 10 في العامل الأول g بتردد 529، نحصل على y + 191، وبالتالي فإن قيمة | y | _g لـ y المعطاة بواسطة g هي |−191| _²³ = 1. من جهة أخرى، بالتعويض نفسه في h نحصل على y² − ¹⁶¹ بتردد 529. بما أن 161 = 7 × 2³،

${\displaystyle \left\vert y\right\vert _{h}={\sqrt {\left\vert 161\right\vert }}_{23}={\frac {1}{\sqrt {23}}}}$

بما أن القيم الممكنة للقيمة المطلقة للمكان المحدد بواسطة العامل h لا تقتصر على قوى العدد 23 الصحيحة، بل هي بدلاً من ذلك قوى صحيحة للجذر التربيعي للعدد 23، فإن مؤشر التفرع لامتداد الحقل عند 23 هو اثنان.

تقييمات أي عنصر من${\displaystyle K}$يمكن حساب ذلك بهذه الطريقة باستخدام المحصلات . فإذا كانت، على سبيل المثال ^، y = x² - x - 1، فإن استخدام المحصلة لحذف x بين هذه العلاقة و f = x³ - x - 1 = 0 يعطي y³ - 5y² ⁺ 4y - 1 ⁼ 0. أما إذا حذفنا ^x بالنسبة للعاملين g و h من f ، فسنحصل على العاملين المناظرين لكثير الحدود الخاص بـ y ، ثم يسمح لنا التقييم 23-adic المطبق على الحد الثابت (المعيار) بحساب قيم y بالنسبة لـ g و h (وكلاهما يساوي 1 في هذه الحالة).

تكمن أهمية المميز في حقيقة أن المواضع المتفرعة فوق المترية هي جميع المواضع التي تم الحصول عليها من التحليلات في${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$حيث يقسم العدد p المميز. وينطبق هذا حتى على مميز كثير الحدود؛ ومع ذلك، فإن العكس صحيح أيضًا، فإذا قسم عدد أولي p المميز، فسيكون هناك موضع p متفرع. ولإثبات هذا العكس، نحتاج إلى مميز الحقل. هذه هي نظرية ديديكيند للمميز . في المثال أعلاه، مميز حقل الأعداد${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$حيث x³ ^- x - 1 = 0 يساوي -23، وكما رأينا، فإنّ الموضع 23-adic متفرع. ويخبرنا مميز ديديكيند أنه الموضع الفائق القياس الوحيد الذي يتفرع. أما الموضع المتفرع الآخر فيأتي من القيمة المطلقة على التضمين المركب  لـ   ${\displaystyle K}$.

تتشابه حقول الأعداد إلى حد كبير مع فئة أخرى من الحقول شائعة الاستخدام في الهندسة الجبرية، والمعروفة باسم حقول الدوال للمنحنيات الجبرية فوق الحقول المنتهية . ومن الأمثلة على ذلك:${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(T)}$جميعها تتحدد قيمتها بناءً على المكان الذي ترسل إليه${\displaystyle T}$إلى، حيث أنها توسع التقييم التافه (والوحيد) على${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$تتشابه هذه الحقول في جوانب عديدة، منها أن حلقات الأعداد هي حلقات منتظمة أحادية البعد، وكذلك حلقات الإحداثيات (التي تمثل حقول قسمتها حقول الدوال المعنية) للمنحنيات. ولذلك، يُطلق على كلا النوعين من الحقول اسم الحقول الشاملة . ووفقًا للمنهجية المذكورة أعلاه، يمكن دراستها على المستوى المحلي أولًا، أي من خلال النظر إلى الحقول المحلية المقابلة . بالنسبة لحقول الأعداد${\displaystyle K}$الحقول المحلية هي إكمال لـ${\displaystyle K}$في جميع المواضع، بما في ذلك المواضع الأرخميدية (انظر التحليل المحلي ). بالنسبة لحقول الدوال، فإن الحقول المحلية هي استكمالات للحلقات المحلية عند جميع نقاط منحنى حقول الدوال.

تنطبق العديد من النتائج الصالحة لحقول الدوال، على الأقل عند إعادة صياغتها بشكل صحيح، على حقول الأعداد أيضًا. مع ذلك، غالبًا ما تُثير دراسة حقول الأعداد صعوبات وظواهر لا تُصادف في حقول الدوال. على سبيل المثال، لا يوجد في حقول الدوال تقسيم ثنائي إلى مواضع غير أرخميدية ومواضع أرخميدية. ومع ذلك، غالبًا ما تُشكّل حقول الدوال مصدرًا للاستدلال على ما يُتوقع حدوثه في حالة حقول الأعداد.

أحد الأسئلة النموذجية، المطروحة على المستوى العالمي، هو ما إذا كانت معادلة متعددة الحدود لها حل في${\displaystyle K}$إذا كان الأمر كذلك، فإن هذا الحل يُعدّ حلاً في جميع الإكمالات. وينص مبدأ هاس، أو مبدأ المحلي-العالمي، على أن العكس صحيح أيضاً بالنسبة للمعادلات التربيعية. وبالتالي، يمكن التحقق مما إذا كانت هذه المعادلة لها حل في جميع إكمالات${\displaystyle K}$وهو أمرٌ أسهل في كثير من الأحيان ، إذ يُمكن استخدام الأساليب التحليلية (الأدوات التحليلية الكلاسيكية مثل نظرية القيمة المتوسطة في المواضع الأرخميدية والتحليل p-adic في المواضع غير الأرخميدية). إلا أن هذه النتيجة لا تنطبق على أنواع المعادلات الأكثر عمومية. ومع ذلك، تُثبت فكرة الانتقال من البيانات المحلية إلى البيانات العالمية جدواها في نظرية حقول الفئات، على سبيل المثال، حيث تُستخدم نظرية حقول الفئات المحلية للحصول على رؤى عالمية كما ذُكر أعلاه. ويرتبط هذا أيضًا بحقيقة أنه يُمكن تحديد زمر غالوا للإكمالات K_{_v} بشكل صريح، في حين أن زمر غالوا للحقول العالمية، حتى لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$وهي أقل فهماً بكثير.

من أجل تجميع البيانات المحلية المتعلقة بجميع الحقول المحلية المرفقة بـ${\displaystyle K}$، يتم إنشاء حلقة الأديل . ويُشار إلى المتغير المضاعف باسم الأيديل .

• حقل الدوال الجبرية

• نظرية ديريشليه للوحدات ، وحدة S
• امتداد كومر
• نظرية مينكوفسكي ، هندسة الأعداد
• نظرية الكثافة لشيبوتاريف

• مجموعة راي الصفية
• مجموعة التحلل
• حقل الجنس