ديفيد هيلبرت

وُلد هيلبرت، الابن البكر والوحيد لأوتو، قاضي المقاطعة، وماريا تيريز هيلبرت ( اسمها قبل الزواج إردتمان)، ابنة تاجر، في مقاطعة بروسيا ، مملكة بروسيا ، إما في كونيغسبرغ ، التي تُعرف الآن باسم كالينينغراد (وفقًا لتصريح هيلبرت نفسه)، أو في فيلهاو (المعروفة منذ عام 1946 باسم زنامينسك ) بالقرب من كونيغسبرغ، حيث كان والده يعمل وقت ولادته. كان جده لأبيه ديفيد هيلبرت قاضيًا ومسؤولًا عن شؤون الدولة . كانت والدته ماريا مهتمة بالفلسفة وعلم الفلك والأعداد الأولية ، بينما غرس والده أوتو فيه القيم البروسية . بعد أن أصبح والده قاضيًا في المدينة، انتقلت العائلة إلى كونيغسبرغ. وُلدت شقيقة ديفيد، إليز، عندما كان في السادسة من عمره. بدأ تعليمه في سن الثامنة، أي بعد عامين من السن المعتاد لبدء الدراسة. ^{[ 7 ]}

في أواخر عام ١٨٧٢، التحق هيلبرت بمدرسة فريدريشسكوليغ الثانوية ( كوليجيوم فريديريسيانوم ، وهي نفس المدرسة التي درس فيها إيمانويل كانط قبل ١٤٠ عامًا)؛ ولكن بعد فترة عصيبة، انتقل (أواخر عام ١٨٧٩) وتخرج (أوائل عام ١٨٨٠) من مدرسة فيلهلم الثانوية ذات التوجه العلمي . ^{[ ٨ ]} بعد تخرجه، في خريف عام ١٨٨٠، التحق هيلبرت بجامعة كونيغسبرغ ، المعروفة باسم "ألبرتينا". في أوائل عام ١٨٨٢، عاد هيرمان مينكوفسكي (أصغر من هيلبرت بعامين، وهو أيضًا من مواليد كونيغسبرغ ولكنه كان قد درس في برلين لثلاثة فصول دراسية) ^{[ ٩ ]} إلى كونيغسبرغ والتحق بالجامعة. نشأت بين هيلبرت ومينكوفسكي، الشاب الخجول الموهوب، صداقة متينة استمرت مدى الحياة. ^{[ ١٠ ] [ ١١ ]}

هيلبرت في عام 1886

هيلبرت في عام 1907

في عام 1884، وصل أدولف هورويتز من غوتينغن بصفة أستاذ مشارك . وبدأ تبادل علمي مكثف ومثمر بين الثلاثة، ومارس مينكوفسكي وهيلبرت على وجه الخصوص تأثيرًا متبادلًا على بعضهما البعض في مراحل مختلفة من مسيرتهما العلمية. حصل هيلبرت على درجة الدكتوراه عام 1885، عن أطروحة كتبها تحت إشراف فرديناند فون ليندمان ، ^{[ 2 ]} بعنوان " Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen " ("حول الخصائص الثابتة للأشكال الثنائية الخاصة ، وخاصة الدوال التوافقية الكروية" ).

بقي هيلبرت في جامعة كونيغسبرغ بصفة محاضر أول ( Privatdozent ) من عام 1886 إلى عام 1895. وفي عام 1895، وبفضل تدخل فيليكس كلاين لصالحه ، حصل على منصب أستاذ الرياضيات في جامعة غوتينغن . وخلال فترة كلاين وهيلبرت، أصبحت غوتينغن المؤسسة الرائدة في عالم الرياضيات. ^{[ 12 ]} وبقي هناك حتى وفاته.

كان من بين طلاب هيلبرت هيرمان فايل ، وبطل الشطرنج إيمانويل لاسكر ، وإرنست زيرميلو ، وكارل غوستاف هيمبل . وكان جون فون نيومان مساعده. وفي جامعة غوتنغن ، كان هيلبرت محاطًا بدائرة اجتماعية تضم بعضًا من أهم علماء الرياضيات في القرن العشرين، مثل إيمي نوثر وألونزو تشيرش .

كان من بين طلابه الـ 69 الحاصلين على درجة الدكتوراه في غوتينغن العديد ممن أصبحوا فيما بعد علماء رياضيات مشهورين، بمن فيهم (مع تاريخ الأطروحة): أوتو بلومنتال (1898)، وفيليكس بيرنشتاين (1901)، وهيرمان فايل (1908)، وريتشارد كوران ( 1910)، وإريك هيكه (1910)، وهوغو شتاينهاوس (1911)، وويلهلم أكرمان (1925). ^{[ 13 ]} بين عامي 1902 و1939، شغل هيلبرت منصب رئيس تحرير مجلة "Mathematische Annalen" ، وهي المجلة الرياضية الرائدة في ذلك الوقت. وانتُخب عضوًا دوليًا في الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة عام 1907. ^{[ 14 ]}

هيلبرت وزوجته كاتي جيروش (1892)

فرانز هيلبرت

في عام ١٨٩٢، تزوج هيلبرت من كاثي جيروش (١٨٦٤-١٩٤٥)، ابنة تاجر من كونيغسبرغ، "شابة صريحة تتمتع باستقلالية فكرية تضاهي استقلالية هيلبرت". ^{[ ١٥ ]} أثناء إقامتهما في كونيغسبرغ، رُزقا بطفلهما الوحيد، فرانز هيلبرت (١٨٩٣-١٩٦٩). عانى فرانز طوال حياته من مرض عقلي، وبعد دخوله مصحة نفسية، قال هيلبرت: "من الآن فصاعدًا، عليّ أن أعتبر نفسي بلا ابن". تسبب موقفه تجاه فرانز في حزن كبير لكاثي. ^{[ ١٦ ]}

كان هيلبرت يعتبر عالم الرياضيات هيرمان مينكوفسكي "أفضل صديق له وأصدقه". ^{[ 17 ]}

تعمّد هيلبرت ونشأ كالفينيًا في الكنيسة الإنجيلية البروسية . ^{[ أ ]} ثم ترك الكنيسة وأصبح لا أدريًا . ^{[ ب ]} كما جادل بأن الحقيقة الرياضية مستقلة عن وجود الله أو أي افتراضات مسبقة أخرى. ^{[ ج ] [ د ]} عندما وُجّهت انتقادات لجاليليو جاليلي لعدم دفاعه عن قناعاته بشأن نظرية مركزية الشمس ، اعترض هيلبرت قائلًا: "لكن [جاليليو] لم يكن أحمق. وحده الأحمق من يعتقد أن الحقيقة العلمية تحتاج إلى استشهاد؛ قد يكون ذلك ضروريًا في الدين، لكن النتائج العلمية تثبت نفسها في الوقت المناسب." ^{[ هـ ]}

ومثل ألبرت أينشتاين ، كان لهيلبرت علاقات وثيقة مع مجموعة برلين ، التي درس مؤسسوها الرئيسيون على يد هيلبرت في غوتينغن ( كورت غريلينغ ، وهانز رايشنباخ ، ووالتر دوبيسلاف ). ^{[ 18 ]}

في حوالي عام 1925، أصيب هيلبرت بفقر الدم الخبيث ، وهو نقص فيتامينات لم يكن له علاج آنذاك، وكان عرضه الرئيسي هو الإرهاق؛ وصفه مساعده يوجين ويغنر بأنه يعاني من "إرهاق شديد" وأنه "يبدو متقدمًا في السن"، وأنه حتى بعد تشخيص حالته وعلاجه في نهاية المطاف، "لم يعد عالمًا بعد عام 1925، وبالتأكيد ليس هيلبرت". ^{[ 19 ]}

تم انتخاب هيلبرت لعضوية الجمعية الفلسفية الأمريكية في عام 1932. ^{[ 20 ]}

شهد هيلبرت قيام النازيين بتطهير العديد من أعضاء هيئة التدريس البارزين في جامعة غوتنغن عام 1933. ^{[ 21 ]} وكان من بين الذين أُجبروا على المغادرة هيرمان فايل (الذي شغل كرسي هيلبرت عند تقاعده عام 1930)، وإيمي نوثر ، وإدموند لانداو . أما بول بيرنايز ، الذي اضطر لمغادرة ألمانيا ، فقد تعاون مع هيلبرت في المنطق الرياضي، وشاركه تأليف كتاب " أسس الرياضيات" ^{[ 22 ]} (الذي صدر لاحقًا في مجلدين، عامي 1934 و1939). وكان هذا الكتاب تتمة لكتاب هيلبرت وأكرمان " مبادئ المنطق الرياضي" (1928). وخلف هيرمان فايل في هذا المجال هيلموت هاسه . ^{[ 23 ]}

بعد مرور عام تقريبًا على عملية التطهير، حضر هيلبرت مأدبة وجلس بجوار وزير التعليم الجديد، برنارد روست . سأل روست عما إذا كان "المعهد الرياضي قد عانى حقًا إلى هذا الحد بسبب رحيل اليهود " . فأجاب هيلبرت: "عانى؟ إنه لم يعد موجودًا، أليس كذلك؟" ^{[ 24 ] [ 25 ]}

بحلول وقت وفاة هيلبرت عام ١٩٤٣، كان النازيون قد أعادوا تعيين معظم أعضاء هيئة التدريس في الجامعة، إذ كان العديد من أعضاء هيئة التدريس السابقين إما يهودًا أو متزوجين من يهود. لم يحضر جنازة هيلبرت سوى أقل من اثني عشر شخصًا، اثنان منهم فقط من زملائه الأكاديميين، أحدهما أرنولد سومرفيلد ، الفيزيائي النظري وهو أيضًا من مواليد كونيغسبرغ. ^{[ ٢٦ ]} لم ينتشر خبر وفاته على نطاق واسع إلا بعد عدة أشهر من وفاته. ^{[ ٢٧ ]}

يتألف النقش الموجود على شاهد قبره في غوتينغن من السطور الشهيرة التي ألقاها في ختام خطاب تقاعده أمام جمعية العلماء والأطباء الألمان في 8 سبتمبر 1930. وقد أُلقيت هذه الكلمات ردًا على المبدأ اللاتيني: " Ignoramus et ignorabimus " أو "نحن لا نعرف ولن نعرف": ^{[ 28 ]}

في اليوم السابق لإعلان هيلبرت هذه العبارات في الاجتماع السنوي لجمعية العلماء والأطباء الألمان عام 1930، أعلن كورت غودل - في نقاش طاولة مستديرة خلال مؤتمر نظرية المعرفة الذي عُقد بالاشتراك مع اجتماعات الجمعية - بشكل مبدئي عن الصيغة الأولى لنظرية عدم الاكتمال الخاصة به. ^{[ و ]} تُظهر نظريات عدم الاكتمال لغودل أن حتى الأنظمة البديهية الأولية مثل حساب بيانو إما أنها متناقضة ذاتيًا أو تحتوي على قضايا منطقية يستحيل إثباتها أو دحضها داخل ذلك النظام.

قاد عمل هيلبرت الأول على الدوال الثابتة إلى إثبات نظريته الشهيرة في التناهي عام ١٨٨٨. قبل ذلك بعشرين عامًا، كان بول جوردان قد أثبت نظرية تناهي المولدات للأشكال الثنائية باستخدام منهج حسابي معقد. باءت محاولات تعميم طريقته على الدوال التي تحتوي على أكثر من متغيرين بالفشل نظرًا للصعوبة الهائلة للحسابات المطلوبة. ولحل ما عُرف في بعض الأوساط بمسألة جوردان ، أدرك هيلبرت ضرورة اتباع مسار مختلف تمامًا. ونتيجة لذلك، أثبت نظرية هيلبرت الأساسية ، موضحًا وجود مجموعة منتهية من المولدات لثوابت الكم في أي عدد من المتغيرات، ولكن بصيغة مجردة. أي أنه مع إثبات وجود هذه المجموعة، لم يكن برهانًا بنائيًا - أي لم يُظهر "كائنًا" - بل كان برهانًا على الوجود ^{[ ٢٩ ]} ، واعتمد على استخدام قانون الوسط المرفوع في امتداد لانهائي.

أرسل هيلبرت نتائج بحثه إلى مجلة "Mathematische Annalen" . لم يستطع غوردان، الخبير المختص بنظرية الثوابت في المجلة ، إدراك الطبيعة الثورية لنظرية هيلبرت، فرفض المقال منتقدًا عرضه لعدم كفايته في الشمولية. وكان تعليقه كالتالي:

من جهة أخرى، أدرك كلاين أهمية العمل، وضمن نشره دون أي تعديلات. بتشجيع من كلاين، وسّع هيلبرت منهجه في مقال ثانٍ، مُقدّماً تقديراتٍ للدرجة القصوى لمجموعة المولدات الدنيا، وأرسله مرة أخرى إلى مجلة حوليات العلوم . بعد قراءة المخطوطة، كتب إليه كلاين قائلاً:

بلا شك، هذا هو أهم عمل في الجبر العام نشرته مجلة "أنالين" على الإطلاق. ^{[ 31 ]}

وفي وقت لاحق، وبعد أن تم الاعتراف عالمياً بفائدة طريقة هيلبرت، قال جوردان نفسه:

لقد أقنعت نفسي بأن حتى اللاهوت له مزاياه. ^{[ 32 ]}

على الرغم من كل نجاحاته، إلا أن طبيعة برهانه أثارت متاعب أكثر مما كان يتصوره هيلبرت. فمع أن كرونكر قد أقرّ بذلك، إلا أن هيلبرت ردّ لاحقًا على انتقادات مماثلة من آخرين قائلاً: "إن العديد من البنى المختلفة تندرج تحت فكرة أساسية واحدة" - بعبارة أخرى (على حد تعبير ريد): "من خلال برهان الوجود، تمكّن هيلبرت من الحصول على بنية"؛ وكان "البرهان" (أي الرموز على الصفحة) هو "الموضوع". ^{[ 32 ]} لم يقتنع الجميع. فبينما توفي كرونكر بعد ذلك بوقت قصير، استمرت فلسفته البنائية مع الشاب براور ومدرسته الحدسية الناشئة ، مما سبب معاناة كبيرة لهيلبرت في سنواته الأخيرة. ^{[ 33 ]} في الواقع، فقد هيلبرت تلميذه "الموهوب" فايل لصالح الحدسية - "انزعج هيلبرت من افتتان تلميذه السابق بأفكار براور، الأمر الذي أيقظ في هيلبرت ذكرى كرونكر". ^{[ 34 ]} عارض براور، صاحب المذهب الحدسي، على وجه الخصوص، استخدام قانون الوسط المرفوع على المجموعات اللانهائية (كما استخدمه هيلبرت). رد هيلبرت قائلاً:

إن أخذ مبدأ الوسط المرفوع من عالم الرياضيات ... هو نفسه ... منع الملاكم من استخدام قبضتيه. ^{[ 35 ]}

في علم الجبر ، يُقال عن حقل ما أنه مغلق جبريًا إذا وفقط إذا كان لكل متعددة حدود عليه جذر فيه. وبناءً على هذا الشرط، وضع هيلبرت معيارًا لتحديد متى تكون مجموعة من متعددات الحدود مغلقة جبريًا.${\displaystyle (p_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$ل${\displaystyle n}$للمتغيرات جذر مشترك : هذا صحيح إذا وفقط إذا لم توجد كثيرات حدود${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}}$والمؤشرات${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$بحيث

${\displaystyle 1=\sum _{j=1}^{k}p_{\lambda _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}})}$.

تُعرف هذه النتيجة باسم نظرية جذر هيلبرت ، أو "Hilberts Nullstellensatz" بالألمانية. كما أثبت أن التناظر بين المُثُل المتلاشية ومجموعاتها المتلاشية هو تناظر تقابلي بين الأصناف الأفينية والمُثُل الجذرية في${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$.

في مارس 1890، نشر جوزيبي بيانو مقالًا في مجلة "Mathematische Annalen" يصف فيه أول منحنى يملأ الفراغ تاريخيًا . ردًا على ذلك، صمم هيلبرت نموذجًا خاصًا به لهذا المنحنى، والذي يُعرف الآن بمنحنى هيلبرت . تُبنى تقريبات هذا المنحنى بشكل تكراري وفقًا لقواعد الاستبدال الموضحة في الصورة الأولى من هذا القسم. ويُمثل المنحنى نفسه النهاية النقطية.

يقترح كتاب "أسس الهندسة" ( Grundlagen der Geometrie )، الذي نشره هيلبرت عام 1899، مجموعةً رسميةً تُعرف باسم "بديهيات هيلبرت"، تحل محل بديهيات إقليدس التقليدية . وتتجنب هذه البديهيات نقاط الضعف التي وُجدت في بديهيات إقليدس ، الذي كانت أعماله آنذاك لا تزال تُستخدم ككتبٍ دراسية. ويصعب تحديد البديهيات التي استخدمها هيلبرت دون الرجوع إلى تاريخ نشر " أسس الهندسة" ، إذ قام هيلبرت بتغييرها وتعديلها عدة مرات. وسرعان ما تبعت الدراسة الأصلية ترجمةٌ فرنسية، أضاف إليها هيلبرت البند الخامس، وهو "بديهية الاكتمال". وقام إي. جيه. تاونسند بترجمةٍ إنجليزيةٍ، مُرخصةٍ من هيلبرت، ونُشرت عام 1902. ^{[ 36 ] [ 37 ]} وقد تضمنت هذه الترجمة التغييرات التي أُجريت في الترجمة الفرنسية، ولذا تُعتبر ترجمةً للطبعة الثانية. وواصل هيلبرت إجراء تغييراتٍ على النص، وصدرت عدة طبعاتٍ باللغة الألمانية. كانت الطبعة السابعة هي الأخيرة التي صدرت في حياة هيلبرت. وتلتها طبعات جديدة، لكن النص الرئيسي لم يُنقّح بشكل أساسي. ^{[ g ]}

شكّل نهج هيلبرت بداية التحول إلى المنهج البديهي الحديث . وفي هذا، سبقه في ذلك عمل موريتز باش عام ١٨٨٢. لا تُعتبر البديهيات حقائق بديهية. قد تتناول الهندسة أشياءً لدينا عنها حدس قوي، لكن ليس من الضروري إسناد أي معنى صريح للمفاهيم غير المُعرَّفة. يمكن استبدال العناصر، مثل النقطة والخط والمستوى وغيرها ، كما يُروى أن هيلبرت قال لشونفليس وكوتر ، بطاولات وكراسي وكؤوس بيرة وغيرها من الأشياء المماثلة. ^{[ ٣٨ ]} إنما تُناقش العلاقات المُعرَّفة بينها.

يبدأ هيلبرت بسرد المفاهيم غير المعرّفة: النقطة، والخط، والمستوى، والوقوع على (العلاقة بين النقاط والخطوط، والنقاط والمستويات، والخطوط والمستويات)، والمركزية، وتطابق أزواج النقاط ( القطع المستقيمة )، وتطابق الزوايا . وتوحّد هذه البديهيات كلاً من الهندسة المستوية والهندسة الفراغية لإقليدس في نظام واحد.

قدم هيلبرت قائمة تضم 23 مشكلة لم يتم حلها في المؤتمر الدولي للرياضيات في باريس عام 1900. وتعتبر هذه القائمة، بما في ذلك فرضية ريمان ، بشكل عام أنجح وأعمق تجميع للمشاكل المفتوحة التي أنتجها عالم رياضيات فردي على الإطلاق.

بعد إعادة صياغة أسس الهندسة الكلاسيكية، كان بإمكان هيلبرت أن يعمّمها على بقية فروع الرياضيات. وقد اختلف منهجه عن منهج راسل-وايتهيد، صاحب النزعة التأسيسية، أو نيكولاس بورباكي ، صاحب النزعة الموسوعية ، وعن منهج معاصره جوزيبي بيانو . وبذلك، استطاع المجتمع الرياضي ككل الانخراط في المسائل التي حددها هيلبرت كجوانب حاسمة في مجالات مهمة من الرياضيات.

تم إطلاق مجموعة المسائل كمحاضرة بعنوان "مشكلات الرياضيات"، قُدّمت خلال المؤتمر الدولي الثاني للرياضيات، الذي عُقد في باريس. وجاء في مقدمة المحاضرة التي ألقاها هيلبرت ما يلي:

من منا لا يتمنى أن يكشف النقاب عن المستقبل، وأن يلقي نظرة على التطورات القادمة لعلمنا وأسرار تطوره خلال القرون المقبلة  ؟ ما هي الأهداف المحددة التي سيسعى إليها رواد الرياضيات في الأجيال القادمة  ؟ ما هي الأساليب والحقائق الجديدة التي ستكشف عنها القرون الجديدة في مجال الفكر الرياضي الواسع والغني؟ ^{[ 39 ]}

لم يعرض هيلبرت سوى أقل من نصف المسائل في المؤتمر، والتي نُشرت في محاضر المؤتمر. وفي منشور لاحق، وسّع نطاق بحثه، ووصل إلى صياغة مسائل هيلبرت الثلاث والعشرين التي أصبحت الآن من المسائل الأساسية (انظر أيضًا مسألة هيلبرت الرابعة والعشرين ). يُعدّ النص الكامل مهمًا، إذ لا يزال تفسير هذه المسائل محل نقاش عند التساؤل عن عدد المسائل التي تم حلّها.

تم حل بعض هذه المشكلات في وقت قصير. ونوقشت مشكلات أخرى طوال القرن العشرين، حتى بات يُنظر إلى بعضها على أنها مفتوحة النهاية بشكل غير مناسب للوصول إلى حل نهائي. ولا تزال بعضها تشكل تحديات قائمة.

فيما يلي عناوين مسائل هيلبرت الـ 23 كما ظهرت في ترجمة عام 1902 في نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية .

1. مشكلة كانتور المتعلقة بالعدد الأصلي للمتصل.

2. توافق البديهيات الحسابية.

3. تساوي أحجام هرمين رباعيي الأوجه لهما قواعد متساوية وارتفاعات متساوية.

4. مسألة الخط المستقيم باعتباره أقصر مسافة بين نقطتين.

5. مفهوم لي عن مجموعة متصلة من التحويلات دون افتراض قابلية تفاضل الدوال التي تحدد المجموعة.

6. المعالجة الرياضية لبديهيات الفيزياء.

7. اللاعقلانية وتجاوز بعض الأرقام.

8. مشاكل الأعداد الأولية (فرضية ريمان).

9. إثبات القانون الأكثر عمومية للتبادلية في أي حقل عددي.

10. تحديد قابلية حل معادلة ديوفانتين.

11. الأشكال التربيعية ذات المعاملات العددية الجبرية.

12. امتدادات نظرية كرونكر على الحقول الأبيلية إلى أي مجال جبري من العقلانية

13. استحالة حل المعادلة العامة من الدرجة السابعة باستخدام دوال ذات وسيطين فقط.

14. إثبات محدودية بعض الأنظمة الكاملة للدوال.

15. الأساس الدقيق لحساب التعداد لشوبرت.

16. مشكلة طوبولوجيا المنحنيات والأسطح الجبرية.

17. التعبير عن الأشكال المحددة بواسطة المربعات.

18. بناء الفضاء من متعددات السطوح المتطابقة.

19. هل حلول المسائل العادية في حساب التفاضل والتكامل تحليلية بالضرورة؟

20. المشكلة العامة للقيم الحدية (مسائل القيم الحدية في المعادلات التفاضلية الجزئية).

21. إثبات وجود المعادلات التفاضلية الخطية التي لها مجموعة أحادية محددة.

22. توحيد العلاقات التحليلية عن طريق الدوال الذاتية الشكل.

23. تطوير أساليب حساب التفاضل والتكامل.

في سردٍ أصبح معيارًا بحلول منتصف القرن، مثّلت مجموعة مسائل هيلبرت أيضًا بمثابة بيانٍ مهّد الطريق لتطور المدرسة الشكلية ، إحدى المدارس الرياضية الثلاث الرئيسية في القرن العشرين. ووفقًا للمدرسة الشكلية، فإن الرياضيات هي معالجة الرموز وفقًا لقواعد شكلية متفق عليها، وبالتالي فهي نشاط فكري مستقل.

في حوالي عام ١٩٠٩، كرّس هيلبرت نفسه لدراسة المعادلات التفاضلية والتكاملية ؛ وكان لعمله آثار مباشرة على أجزاء مهمة من التحليل الوظيفي الحديث. ولإجراء هذه الدراسات، قدّم هيلبرت مفهوم الفضاء الإقليدي اللانهائي الأبعاد ، والذي سُمّي لاحقًا بفضاء هيلبرت . وقد وفّر عمله في هذا الجزء من التحليل الأساس لمساهمات مهمة في رياضيات الفيزياء خلال العقدين التاليين، وإن كان ذلك من اتجاه غير متوقع. وفي وقت لاحق، وسّع ستيفان باناش المفهوم، مُعرّفًا فضاءات باناش . تُعدّ فضاءات هيلبرت فئة مهمة من الكائنات في مجال التحليل الوظيفي ، ولا سيما في النظرية الطيفية للمؤثرات الخطية ذاتية الترافق، التي نشأت حولها خلال القرن العشرين.

حتى عام ١٩١٢، كان هيلبرت عالم رياضيات بحتة بشكل شبه كامل . وعندما كان يخطط لزيارة من بون، حيث كان منغمسًا في دراسة الفيزياء، مازحه زميله عالم الرياضيات وصديقه هيرمان مينكوفسكي قائلًا إنه سيضطر لقضاء عشرة  أيام في الحجر الصحي قبل أن يتمكن من زيارة هيلبرت. في الواقع، يبدو أن مينكوفسكي هو المسؤول عن معظم أبحاث هيلبرت في الفيزياء قبل عام ١٩١٢، بما في ذلك ندوتهما المشتركة حول هذا الموضوع عام ١٩٠٥.

في عام ١٩١٢، بعد ثلاث سنوات من وفاة صديقه، كرّس هيلبرت اهتمامه بالكامل تقريبًا لهذا الموضوع. رتّب لنفسه "مدرسًا خصوصيًا في الفيزياء". ^{[ ٤٣ ]} بدأ بدراسة نظرية الغازات الحركية ، ثم انتقل إلى نظرية الإشعاع الأولية والنظرية الجزيئية للمادة. حتى بعد اندلاع الحرب عام ١٩١٤، واصل حضور الندوات والصفوف الدراسية التي تابع فيها عن كثب أعمال ألبرت أينشتاين وغيره.

بحلول عام ١٩٠٧، كان آينشتاين قد وضع الأسس النظرية للجاذبية ، لكنه عانى لمدة ثماني  سنوات تقريبًا لوضع النظرية في صورتها النهائية . ^{[ ٤٤ ]} وكان لقاؤه بإيمي نوثر في غوتينغن عاملاً حاسمًا في هذا الإنجاز. ^{[ ٤٥ ]} وبحلول أوائل صيف  عام ١٩١٥، انصب اهتمام هيلبرت في الفيزياء على النسبية العامة ، ودعا آينشتاين إلى غوتينغن لإلقاء محاضرات لمدة أسبوع حول هذا الموضوع. ^{[ ٤٦ ]} وقد استُقبل آينشتاين بحفاوة بالغة في غوتينغن. ^{[ ٤٧ ]} وخلال الصيف، علم آينشتاين أن هيلبرت كان يعمل أيضًا على معادلات المجال، فضاعف جهوده. وفي نوفمبر  ١٩١٥، نشر آينشتاين عدة أوراق بحثية تُوِّجت بكتاب "معادلات مجال الجاذبية" (انظر: معادلات مجال آينشتاين ). ^{[ ح ]} في الوقت نفسه تقريبًا، نشر هيلبرت كتاب "أسس الفيزياء"، وهو اشتقاق بديهي لمعادلات المجال (انظر فعل أينشتاين-هيلبرت ). وقد نسب هيلبرت الفضل بالكامل إلى أينشتاين باعتباره صاحب النظرية، ولم ينشأ أي خلاف علني حول أسبقية معادلات المجال بين الرجلين طوال حياتهما. ^{[ ط ]}

بالإضافة إلى ذلك، ساهم عمل هيلبرت في استباق العديد من التطورات في الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم، بل وساعد فيها . وكان عمله جانبًا أساسيًا من عمل هيرمان فايل وجون فون نيومان حول التكافؤ الرياضي بين ميكانيكا المصفوفات لفيرنر هايزنبرغ ومعادلة الموجة لإرفين شرودنغر ، ويلعب فضاء هيلبرت ، الذي سُمّي باسمه، دورًا هامًا في نظرية الكم. في عام 1926، بيّن فون نيومان أنه إذا فُهمت حالات الكم على أنها متجهات في فضاء هيلبرت، فإنها ستتوافق مع كل من نظرية دالة الموجة لشرودنغر ^{ومصفوفات هايزنبرغ .} 

خلال انغماسه في الفيزياء، عمل هيلبرت على إضفاء الدقة على رياضياتها. فبينما كان الفيزيائيون يعتمدون اعتمادًا كبيرًا على الرياضيات العليا، كانوا يميلون إلى التهاون في استخدامها. بالنسبة لرياضي بحت مثل هيلبرت، كان هذا الأمر قبيحًا وصعب الفهم. ومع بدء فهمه للفيزياء وكيفية استخدام الفيزيائيين للرياضيات، طور نظرية رياضية متماسكة لما اكتشفه، لا سيما في مجال المعادلات التكاملية . عندما كتب زميله ريتشارد كوران كتابه الكلاسيكي الآن " أساليب الفيزياء الرياضية " ( Methoden der mathematischen Physik )، والذي تضمن بعض أفكار هيلبرت، أضاف اسم هيلبرت كمؤلف رغم أن هيلبرت لم يساهم بشكل مباشر في كتابته. قال هيلبرت: "الفيزياء صعبة للغاية على الفيزيائيين"، ملمحًا إلى أن الرياضيات اللازمة كانت عمومًا تفوق قدراتهم؛ وقد سهّل كتاب كوران وهيلبرت الأمر عليهم.

وحّد هيلبرت مجال نظرية الأعداد الجبرية بكتابه "Zahlbericht " (الذي يعني حرفيًا "تقرير عن الأعداد") الصادر عام 1897. كما حلّ مسألةً مهمةً في نظرية الأعداد صاغها وارينغ عام 1770. وكما هو الحال مع نظرية التناهي ، استخدم برهانًا وجوديًا يُبيّن حتمية وجود حلول للمسألة، بدلًا من تقديم آليةٍ لإنتاج الإجابات. ^{[ 48 ]} لم ينشر هيلبرت الكثير بعد ذلك في هذا الموضوع؛ إلا أن ظهور الأشكال النمطية لهيلبرت في أطروحة أحد طلابه يُعزّز ارتباط اسمه بهذا المجال المهم.

وضع سلسلة من التخمينات حول نظرية حقل الفئات . كانت هذه المفاهيم مؤثرة للغاية، ولا يزال إسهامه قائماً في اسم حقل فئات هيلبرت ورمز هيلبرت لنظرية حقل الفئات المحلية . وقد تم إثبات معظم النتائج بحلول عام 1930، بعد أعمال تايجي تاكاجي . ^{[ ك ]}

لم يعمل هيلبرت في المجالات المركزية لنظرية الأعداد التحليلية ، لكن اسمه اشتهر بفرضية هيلبرت-بوليا ، لأسباب غير موثقة. فقد أخبر إرنست هيلينجر ، أحد طلاب هيلبرت، أندريه ويل ذات مرة أن هيلبرت أعلن في ندوته في أوائل القرن العشرين أنه يتوقع أن يكون إثبات فرضية ريمان نتيجة لعمل فريدهولم على المعادلات التكاملية ذات النواة المتناظرة. ^{[ 49 ]}

• إيوالد، ويليام ب.، محرر. (1996). من كانط إلى هيلبرت: كتاب مرجعي في أسس الرياضيات . أكسفورد، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة أكسفورد.
  • 1918. "الفكر البديهي"، 1114-1115.
  • 1922. "الأسس الجديدة للرياضيات: التقرير الأول"، 1115-1133.
  • 1923. "الأسس المنطقية للرياضيات"، 1134-1147.
  • 1930. "المنطق ومعرفة الطبيعة"، 1157-1165.
  • 1931. "تأسيس نظرية الأعداد الأولية"، 1148-1156.
  • 1904. "حول أسس المنطق والحساب"، 129-138.
  • 1925. "حول اللانهائي"، 367-392.
  • 1927. "أسس الرياضيات"، مع تعليق من ويل وملحق من بيرنايز ، 464-489.
• فان هيجينورت، جان (1967). من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي، 1879-1931 . مطبعة جامعة هارفارد.
• هيلبرت، ديفيد (1950) [1902]. أسس الهندسة [ Grundlagen der Geometrie ] (ملف PDF) . ترجمة تاونسند، إي. جيه. (  الطبعة الثانية). لاسال، إلينوي: دار أوبن كورت للنشر. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 28 ديسمبر 2005.
• هيلبرت، ديفيد (1990) [1971]. أسس الهندسة [Grundlagen der Geometrie] . ترجمة أونغر، ليو (  الطبعة الإنجليزية الثانية). لاسال، إلينوي: دار أوبن كورت للنشر. ISBN 978-0-87548-164-7مترجم من الطبعة الألمانية العاشرة
• هيلبرت، ديفيد ؛ كوهن-فوسن، ستيفان (1999). الهندسة والخيال . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-1998-2مجموعة محاضرات سهلة الفهم ، كانت موجهة في الأصل لمواطني مدينة غوتينغن.
• هيلبرت، ديفيد (2004). هالت، مايكل؛ ماير، أولريش (محرران). محاضرات ديفيد هيلبرت في أسس الرياضيات والفيزياء، 1891-1933 . برلين وهايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-3-540-64373-9.

• برتراند، غابرييل (20 ديسمبر 1943 ب)، “ Allocution” ، Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (بالفرنسية)، 217 ، باريس: 625–640، متوفر في غاليكا . "خطاب" غابرييل برتراند بتاريخ 20 ديسمبر 1943 في الأكاديمية الفرنسية: يقدم فيه نبذات تعريفية عن حياة الأعضاء الذين توفوا مؤخرًا، بمن فيهم بيتر زيمان وديفيد هيلبرت وجورج جيرو .
• بوتازيني أومبرتو ، 2003. ايل فلوتو دي هيلبرت. قصة الرياضيات . أوتيت ، ردمك 88-7750-852-3
• كوري، إل. ، رين، ج. ، وستاتشل، ج. ، 1997، "قرار متأخر في نزاع أولوية هيلبرت-أينشتاين"، ساينس 278 : nn-nn.
• كوري ليو (2004). ديفيد هيلبرت وبديهية الفيزياء (1898-1918): من Grundlagen der Geometrie إلى Grundlagen der Physik . سبرينغر. رقم ISBN 90-481-6719-1.
• داوسون، جون دبليو. الابن، 1997. المعضلات المنطقية: حياة وأعمال كورت غودل . ويليسلي، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز. رقم ISBN 1-56881-256-6.
• فولسينغ، ألبريشت (1998). ألبرت أينشتاين . دار بنغوين للنشر.
• غراتان-غينيس، إيفور ، 2000. البحث عن الجذور الرياضية 1870-1940 . مطبعة جامعة برينستون.
• غراي، جيريمي ، 2000. تحدي هيلبرت . ISBN 0-19-850651-1
• إيزاكسون، والتر (2007). أينشتاين: حياته وعالمه . نيويورك: سيمون وشوستر بيبرباكس. ISBN 978-0-7432-6473-0.
• مانكوسو، باولو (1998). من براور إلى هيلبرت: النقاش حول أسس الرياضيات في عشرينيات القرن العشرين . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-509631-6.
• ميهرا، جاغديش ، 1974. أينشتاين، هيلبرت، ونظرية الجاذبية . ريدل.
• بيرجيورجيو أوديفريدي ، 2003. التحويل الهندسي. الأصل الهندسي لمنطق إقليدس وهيلبيرت . بولاتي بورينجيري، ISBN 88-339-5714-4. عرض واضح لـ "أخطاء" إقليدس والحلول المقدمة في Grundlagen der Geometrie ، مع الإشارة إلى الهندسة غير الإقليدية .
• ريد، كونستانس. (1996). هيلبرت . نيويورك: سبرينغر . ISBN 0-387-94674-8.السيرة الذاتية النهائية لهيلبرت باللغة الإنجليزية.
• رو، دي إي (1989). "كلاين، هيلبرت، والتقاليد الرياضية في غوتينغن". أوزيريس . 5 : 186-213 . doi : 10.1086/368687 . S2CID 121068952 . 
• ساور، تيلمان (1999). "نسبية الاكتشاف: أول ملاحظة لهيلبرت حول أسس الفيزياء". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 53 (5): 529-575 . arXiv : physics/9811050 . Bibcode : 1998physics..11050S . doi : 10.1007/s004070050006 .
• سيغ، ويلفريد (2013). برامج هيلبرت وما بعدها . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-537222-9.
• Sieg، Wilfried، and Ravaglia، Mark، 2005، “Grundlagen der Mathematik” في Grattan-Guinness، I. ، ed.، كتابات تاريخية في الرياضيات الغربية . إلسفير : 981-99. (باللغة الإنجليزية)
• ثورن، كيب ، 1995. الثقوب السوداء والتشوهات الزمنية: إرث أينشتاين المثير للجدل ، دار دبليو دبليو نورتون وشركاه؛ طبعة معاد طباعتها. رقم ISBN 0-393-31276-3.
• جورج فون والويتز: Meine Herren، لا يوجد لديه Badeanstalt. Wie ein Mathatiker das 20. Jahrhundert veränderte. بيرينبيرج فيرلاج، برلين 2017، ISBN 978-3-946334-24-8. السيرة الذاتية النهائية لهيلبرت باللغة الألمانية.