العدد السباعي

في الرياضيات ، العدد السباعي هو عدد شكلي يتكون من دمج سباعيات ذات أحجام متزايدة. ويُعطى العدد السباعي النوني بالصيغة التالية :

${\displaystyle H_{n}={\frac {5n^{2}-3n}{2}}}$.

الأعداد السباعية القليلة الأولى هي:

0 ، 1 ، 7 ، 18 ، 34 ، 55 ، 81 ، 112 ، 148 ، 189 ، 235 ، 286، 342، 403، 469، 540، 616 ، 697، 783، 874، 970، 1071، 1177، 1288، 1404، 1525، 1651، 1782، ... (التسلسل A000566 في OEIS )

تتبع زوجية الأعداد السباعية النمط فردي-فردي-زوجي-زوجي. ومثل الأعداد المربعة ، فإن الجذر الرقمي للعدد السباعي في النظام العشري لا يمكن أن يكون إلا 1 أو 4 أو 7 أو 9. وخمسة أضعاف عدد سباعي زائد واحد يساوي عددًا مثلثيًا .

• تتميز الأعداد السباعية بعدة صيغ جديرة بالذكر:

${\displaystyle H_{m+n}=H_{m}+H_{n}+5mn}$

${\displaystyle H_{mn}=H_{m}+H_{n}-5mn+3n}$

${\displaystyle H_{m}-H_{n}={\frac {(5(m+n)-3)(mn)}{2}}}$

${\displaystyle 40H_{n}+9=(10n-3)^{2}}$

تُعطى صيغة مجموع مقلوبات الأعداد السباعية بواسطة: ^{[ 1 ]}

$\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2}{n(5n-3)}}&=\frac{1}{15}}{\pi}{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}}+\frac{2}{3}}\ln(5)+\frac{1+\sqrt{5}}{3}}\ln\left(\frac{1}{2}}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}}\right)+\frac{1-\sqrt{5}}}{3}}\ln\left(\frac{1}{2}}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}\right)\\&=\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3} {\pi }{\sqrt[{4}]{5\,\phi ^{6}}}}+{\frac {5}{2}}\ln(5)-{\sqrt {5}}\ln(\phi )\right)\\&=1.3227792531223888567\dots \end{aligned}}}$

بنسبة ذهبية${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$.

وبالمثل للجذر التربيعي لـ x، يمكن للمرء حساب الجذر السباعي لـ x ، أي عدد الحدود في المتتالية حتى x بما في ذلك x .

الجذر السباعي لـ x يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {40x+9}}+3}{10}},}$

والتي يتم الحصول عليها باستخدام الصيغة التربيعية لحلها${\displaystyle x={\frac {5n^{2}-3n}{2}}}$لجذرها الموجب الفريد n .