الصيغة التربيعية

في الجبر الابتدائي ، الصيغة التربيعية هي تعبير مغلق يصف حلول المعادلة التربيعية . وتعطي طرق أخرى لحل المعادلات التربيعية، مثل إكمال المربع ، نفس الحلول.

بفرض معادلة تربيعية عامة على الصورة ⁠${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$، مع​${\displaystyle x}$تمثل قيمة مجهولة، ومعاملات${\displaystyle a}$،​​${\displaystyle b}$و​​${\displaystyle c}$تمثيل الأعداد الحقيقية أو المركبة المعروفة باستخدام${\displaystyle a\neq 0}$، قيم​${\displaystyle x}$يمكن إيجاد القيم التي تحقق المعادلة، والتي تسمى الجذور أو الأصفار ، باستخدام الصيغة التربيعية.

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$$

حيث رمز الجمع والطرح "${\displaystyle \pm }$يشير الرمز " إلى أن المعادلة لها جذران. ^{[ 1 ]} وعند كتابتهما بشكل منفصل، يكونان:

$${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\qquad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

الكمية​${\displaystyle \textstyle \Delta =b^{2}-4ac}$يُعرف هذا باسم مميز المعادلة التربيعية. ^{[ 2 ]} إذا كانت المعاملات${\displaystyle a}$،​​${\displaystyle b}$و​​${\displaystyle c}$إذا كانت أعدادًا حقيقية ، فعندما${\displaystyle \Delta >0}$للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان؛ عندما${\displaystyle \Delta =0}$، للمعادلة جذر حقيقي مكرر واحد ؛ وعندما${\displaystyle \Delta <0}$، المعادلة ليس لها جذور حقيقية ولكن لها جذرين مركبين متميزين، وهما مترافقان مركبان لبعضهما البعض.

هندسياً، تمثل الجذور ⁠${\displaystyle x}$القيم التي يكون عندها رسم الدالة التربيعية${\displaystyle \textstyle y=ax^{2}+bx+c}$، وهو قطع مكافئ ، يعبر${\displaystyle x}$المحور السيني : محور الرسم البياني${\displaystyle x}$^{[ 3 ]} يمكن أيضًا استخدام الصيغة التربيعية لتحديد محور التناظر للقطع المكافئ. ^{[ 4 ]}

الطريقة القياسية لاستنتاج الصيغة التربيعية هي تطبيق طريقة إكمال المربع على المعادلة التربيعية العامة .${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$[ ^{5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} الفكرة هي تحويل المعادلة إلى الشكل ^التالي :${\displaystyle \textstyle (x+k)^{2}=s}$بالنسبة لبعض التعبيرات${\displaystyle k}$و​​${\displaystyle s}$اكتبها بدلالة المعاملات؛ خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين؛ ثم اعزل ⁠${\displaystyle x}$⁠ .

نبدأ بقسمة المعادلة على المعامل التربيعي ⁠${\displaystyle a}$، وهو أمر مسموح به لأن${\displaystyle a}$⁠ لا يساوي الصفر. بعد ذلك، نطرح الحد الثابت ⁠${\displaystyle c/a}$لعزله على الجانب الأيمن:

$${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2{\vphantom {|}}}+bx+c&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}.\end{aligned}}}$$

أصبح الجانب الأيسر الآن على الشكل التالي :${\displaystyle \textstyle x^{2}+2kx}$ويمكننا "إكمال المربع" بإضافة ثابت .${\displaystyle \textstyle k^{2}}$للحصول على ذات حدين تربيعي${\displaystyle \textstyle x^{2}+2kx+k^{2}={}}$⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle (x+k)^{2}}$في هذا المثال نضيف${\displaystyle \textstyle (b/2a)^{2}}$إلى كلا الجانبين بحيث يمكن تحليل الجانب الأيسر (انظر الشكل):

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\\[5mu]\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.\end{aligned}}}$$

بما أن الطرف الأيسر أصبح الآن مربعًا كاملًا، يمكننا بسهولة أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين:

$${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.}$$

وأخيرًا، طرح ⁠${\displaystyle b/2a}$من كلا الجانبين للعزل${\displaystyle x}$ينتج الصيغة التربيعية:

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

يمكن كتابة الصيغة التربيعية بشكل مكافئ باستخدام العديد من التعبيرات البديلة، على سبيل المثال

$${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}},}$$

والتي يمكن اشتقاقها عن طريق قسمة معادلة تربيعية أولاً على${\displaystyle 2a}$، مما ينتج عنه${\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {b}{2a}}x+{\tfrac {c}{2a}}=0}$ثم يتم استبدال المعاملات الجديدة في الصيغة التربيعية القياسية. لأن هذا الشكل يسمح بإعادة استخدام الكمية المحسوبة وسيطًا .${\displaystyle {\tfrac {b}{2a}}}$، يمكن أن يقلل ذلك قليلاً من العمليات الحسابية المعنية.

يمكن تطبيق أي طريقة أو خوارزمية عامة لحل المعادلات التربيعية على معادلة ذات معاملات رمزية، واستخدامها لاستنتاج صيغة مغلقة مكافئة للصيغة التربيعية. أحيانًا تكون الطرق البديلة أبسط من إكمال المربع، وقد تُقدم رؤى قيّمة في مجالات أخرى من الرياضيات.

تكون الصيغة التربيعية صحيحة تمامًا عند تطبيقها باستخدام الحساب المثالي للأعداد الحقيقية ، ولكن عند استخدام الحساب التقريبي بدلاً من ذلك، مثل الحساب اليدوي الذي يُجرى لعدد ثابت من المنازل العشرية أو الحساب الثنائي ذي الفاصلة العائمة المتوفر على أجهزة الكمبيوتر، فإن قيود تمثيل الأعداد قد تؤدي إلى نتائج غير دقيقة بشكل كبير ما لم يتم توخي الحذر الشديد في التنفيذ. ومن بين الصعوبات المحددة حدوث حذف كارثي في ​​حساب المجموع .${\displaystyle \textstyle -b\pm {\sqrt {\Delta }}}$إذا​​${\displaystyle \textstyle b\approx \pm {\sqrt {\Delta }}}$⁠ ؛ حساب كارثي في ​​حساب المميز ⁠${\displaystyle \textstyle \Delta =b^{2}-4ac}$نفسها في الحالات التي${\displaystyle \textstyle b^{2}\approx 4ac}$تدهور الصيغة عندما${\displaystyle a}$،​​${\displaystyle b}$أو​​${\displaystyle c}$يُمثَّل العدد ⁠ بالصفر أو اللانهاية؛ وقد يحدث تجاوز أو نقص في القيمة عند ضرب أو قسمة أعداد كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا، حتى في الحالات التي يمكن فيها تمثيل الجذور بدقة. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

يحدث الإلغاء الكارثي عند طرح عددين متساويين تقريبًا. فبينما يمكن تمثيل كل عدد منهما بشكل مستقل بدقة معينة، فإن الأرقام الأولى المتطابقة لكل عدد تُحذف، مما ينتج عنه فرق ذو دقة نسبية أقل .${\displaystyle \textstyle b\approx {\sqrt {\Delta }}}$، تقييم​${\displaystyle \textstyle -b+{\sqrt {\Delta }}}$يؤدي ذلك إلى إلغاء كارثي، وكذلك تقييم${\displaystyle \textstyle -b-{\sqrt {\Delta }}}$عندما​​${\displaystyle \textstyle b\approx -{\sqrt {\Delta }}}$عند استخدام الصيغة التربيعية القياسية، يتضمن حساب أحد الجذرين دائمًا عملية جمع، مما يحافظ على دقة العمليات الحسابية الوسيطة، بينما يتضمن حساب الجذر الآخر عملية طرح، مما يقلل من دقتها. لذلك، غالبًا ما يؤدي اتباع الصيغة التربيعية القياسية بشكل مباشر إلى نتيجة واحدة بدقة نسبية أقل من المتوقع. لسوء الحظ، لا تتناول كتب الجبر التمهيدية عادةً هذه المشكلة، على الرغم من أنها تتسبب في حصول الطلاب على نتائج غير دقيقة في مواد دراسية أخرى مثل الكيمياء التمهيدية . ^{[ 18 ]}

على سبيل المثال، إذا كنت تحاول حل المعادلة${\displaystyle \textstyle x^{2}-1634x+2=0}$باستخدام آلة حاسبة جيبية، تكون نتيجة الصيغة التربيعية${\displaystyle \textstyle x=817\pm {\sqrt {667\,487}}}$يمكن حسابها تقريبًا على النحو التالي: ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x_{1}&=817+816.998\,776\,0&&=1.633\,998\,776\times 10^{3},\\x_{2}&=817-816.998\,776\,0&&=1.224\times 10^{-3}.\end{alignedat}}}$$

على الرغم من أن الآلة الحاسبة استخدمت عشرة أرقام عشرية من الدقة لكل خطوة، إلا أن حساب الفرق بين عددين متساويين تقريبًا قد أسفر عن نتيجة لـ${\displaystyle x_{2}}$بأربعة أرقام صحيحة فقط.

إحدى طرق الحصول على نتيجة دقيقة هي استخدام الهوية${\displaystyle x_{1}x_{2}=c/a}$في هذا المثال${\displaystyle x_{2}}$يمكن حسابها على النحو التالي${\displaystyle x_{2}=2/x_{1}={}}$⁠ ⁠${\displaystyle 1.223\,991\,125\times 10^{-3}\!}$وهو صحيح حتى العشرة أرقام كاملة. وهناك طريقة أخرى مكافئة تقريبًا وهي استخدام صيغة المعادلة التربيعية مع الجذر التربيعي في المقام لحساب أحد الجذور (انظر §  الجذر التربيعي في المقام أعلاه).

تعتمد التطبيقات الحاسوبية العملية لحل المعادلات التربيعية عادةً على اختيار الصيغة المناسبة لكل جذر بناءً على إشارة الجذر التربيعي .${\displaystyle b}$[ ²⁰ ]^​​

لا تمنع هذه الطرق احتمال حدوث تجاوز أو نقص في قيمة الأس ذي الفاصلة العائمة أثناء الحساب .${\displaystyle \textstyle b^{2}}$أو​​${\displaystyle 4ac}$، مما قد يؤدي إلى عدم حساب الجذور القابلة للتمثيل العددي بدقة. تتمثل الاستراتيجية الأكثر قوة ولكنها مكلفة حسابيًا في البدء بالاستبدال .${\displaystyle \textstyle x=-u\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\vert c\vert }}{\big /}\!{\sqrt {\vert a\vert }}}$، مما يحول المعادلة التربيعية إلى

$${\displaystyle u^{2}-2{\frac {|b|}{2{\sqrt {|a|}}{\sqrt {|c|}}}}u+\operatorname {sgn}(c)=0,}$$

أين​${\displaystyle \operatorname {sgn} }$هي دالة الإشارة . بفرض${\displaystyle \textstyle d=\vert b\vert {\big /}2{\sqrt {\vert a\vert }}{\sqrt {\vert c\vert }}}$، تأخذ هذه المعادلة الشكل التالي :${\displaystyle \textstyle u^{2}-2du\pm 1=0}$، والتي أحد حلولها هو${\displaystyle \textstyle u_{1}=d+{\sqrt {d^{2}\mp 1}}}$والحل الآخر هو${\displaystyle \textstyle u_{2}=\pm 1/u_{1}}$إذن ، جذور المعادلة الأصلية هي${\displaystyle \textstyle x_{1}=-\operatorname {sgn}(b){\bigl (}{\sqrt {\vert c\vert }}{\big /}\!{\sqrt {\vert a\vert }}~\!{\bigr )}u_{1}}$و​​${\displaystyle \textstyle x_{2}=-\operatorname {sgn}(b){\bigl (}{\sqrt {\vert c\vert }}{\big /}\!{\sqrt {\vert a\vert }}~\!{\bigr )}u_{2}}$[ ²¹ ] ^{[ 22 ]​​}

مع وجود تعقيد إضافي، يمكن تجنب تكلفة التقريب الإضافي للجذور التربيعية عن طريق تقريبها كقوى للعدد اثنين ، مع تجنب تجاوز الأس للجذور القابلة للتمثيل. ^{[ 17 ]}

كانت الطرق الهندسية هي أقدم الطرق لحل المعادلات التربيعية. تحتوي الألواح المسمارية البابلية على مسائل يمكن اختزالها إلى حل المعادلات التربيعية. ^{[ 23 ]} تحتوي بردية برلين المصرية ، التي يعود تاريخها إلى عصر الدولة الوسطى (2050 ق.م. إلى 1650 ق.م.)، على حل معادلة تربيعية ذات حدين. ^{[ 24 ]}

استخدم عالم الرياضيات اليوناني إقليدس (حوالي 300 قبل الميلاد) الأساليب الهندسية لحل المعادلات التربيعية في الكتاب الثاني من كتابه " الأصول" ، وهو أطروحة رياضية مؤثرة ^{[ 25 ].} وتظهر قواعد المعادلات التربيعية في الكتاب الصيني " الفصول التسعة في فن الرياضيات" حوالي 200 قبل الميلاد ^{[ 26 ] [ 27 ]} . وفي كتابه "الحساب" ، حلّ عالم الرياضيات اليوناني ديوفانتوس (حوالي 250 ميلادي) المعادلات التربيعية بطريقة جبرية أكثر وضوحًا من الجبر الهندسي لإقليدس ^{[ 25 ]} . ويُعطي حله جذرًا واحدًا فقط، حتى عندما يكون كلا الجذرين موجبين ^{[ 28 ] .}

أدرج عالم الرياضيات الهندي براهمغوبتا طريقة عامة لإيجاد جذر واحد لمعادلة تربيعية في رسالته "براهمسفوتاسيدانتا" (حوالي عام 628 ميلادي)، والتي كُتبت بأسلوب ذلك العصر. ^{[ 29 ] [ 30 ]} حلّه للمعادلة التربيعية${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx=c}$كانت الصيغة كما يلي: "إلى العدد المطلق مضروبًا في أربعة أضعاف معامل المربع، أضف مربع معامل الحد الأوسط؛ الجذر التربيعي لنفس العدد مطروحًا منه معامل الحد الأوسط، مقسومًا على ضعف معامل المربع هو القيمة." ^{[ 31 ]} في التدوين الحديث، يمكن كتابة ذلك على النحو التالي:${\displaystyle \textstyle x={\bigl (}{\sqrt {c\cdot 4a+b^{2}}}-b{\bigr )}{\big /}2a}$ابتكرعالم الرياضيات الهندي شريدهارا (القرنين الثامن والتاسع الميلاديين) خوارزمية مشابهة لحل المعادلات التربيعية في كتاب مفقود الآن عن الجبر ^، اقتبسه بهاسكارا الثاني . ^{[ 32 ]} تُعرف الصيغة التربيعية الحديثة أحيانًا باسم صيغة شريدهارا في الهند، وصيغة بهاسكارا في البرازيل. [ ^{33 ]}

قام عالم الرياضيات الفارسي محمد بن موسى الخوارزمي، الذي عاش في القرن التاسع الميلادي، بحل المعادلات التربيعية جبريًا. ^{[ 34 ]} وقد توصل سيمون ستيفن إلى الصيغة التربيعية التي تغطي جميع الحالات لأول مرة عام 1594. ^{[ 35 ]} وفي عام 1637، نشر رينيه ديكارت كتابه "الهندسة" (La Géométrie) الذي يتضمن حالات خاصة من الصيغة التربيعية بالشكل الذي نعرفه اليوم. ^{[ 36 ]}

من منظور الهندسة الإحداثية، فإن القطع المكافئ المحاذي للمحور هو منحنى يكون ⁠${\displaystyle (x,y)}$تمثل الإحداثيات - رسمًا بيانيًا لكثير حدود من الدرجة الثانية، على الشكل التالي :${\displaystyle \textstyle y=ax^{2}+bx+c}$، حيث​${\displaystyle a}$،​​${\displaystyle b}$و​​${\displaystyle c}$هي معاملات ثابتة ذات قيم حقيقية مع${\displaystyle a\neq 0}$⁠ .

هندسياً، تحدد الصيغة التربيعية النقاط ⁠${\displaystyle (x,0)}$على الرسم البياني ، حيث يتقاطع القطع المكافئ مع${\displaystyle x}$المحور . علاوة على ذلك، يمكن تقسيمه إلى مصطلحين،

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.}$$

يصف الحد الأول محور التناظر ، وهو الخط${\displaystyle x=-{\tfrac {b}{2a}}}$. الحد الثاني، ⁠${\displaystyle \textstyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\big /}2a}$، يعطي المسافة التي تبعدها الجذور عن محور التناظر.

إذا كان رأس القطع المكافئ على${\displaystyle x}$إذا كان المحور - ، فإن المعادلة المقابلة لها جذر واحد متكرر على خط التناظر، ويكون حد المسافة هذا صفرًا؛ جبريًا، المميز${\displaystyle \textstyle b^{2}-4ac=0}$⁠ .

إذا كان المميز موجبًا، فإن الرأس لا يقع على${\displaystyle x}$المحور - لكن القطع المكافئ يفتح في اتجاه${\displaystyle x}$إذا كان المميز سالبًا، فإن القطع المكافئ يفتح في الاتجاه المعاكس، ولا يتقاطع أبدًا مع المحور السيني .${\displaystyle x}$المحور - ، والمعادلة ليس لها جذور حقيقية؛ في هذه الحالة، سيكون الجذران ذوا القيم المركبة مترافقين مركبين يكون جزءهما الحقيقي هو${\displaystyle x}$قيمة محور التناظر.

إذا كانت الثوابت${\displaystyle a}$،​​${\displaystyle b}$، و/ أو${\displaystyle c}$إذا لم تكن الكميات بلا وحدات ، فإن الكميات${\displaystyle x}$و​​${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$يجب أن تكون لها نفس الوحدات، لأن المصطلحات${\displaystyle \textstyle ax^{2}}$و​​${\displaystyle bx}$يتفقون على وحداتهم. وبنفس المنطق، فإن المعامل${\displaystyle c}$يجب أن تكون لها نفس وحدات القياس مثل${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$، بغض النظر عن وحدات${\displaystyle x}$. يمكن أن تكون هذه أداة قوية للتحقق منصحة صياغة التعبير التربيعي للكميات الفيزيائية .

• النظرية الأساسية للجبر
• وصفات فييتا

• سميث، ديفيد يوجين (1923)، تاريخ الرياضيات ، المجلد  2، بوسطن: جين
• إيرفينغ، رون (2013)، ما وراء الصيغة التربيعية ، MAA، ISBN 978-0-88385-783-0