النسبة الذهبية

النسبة الذهبية عدد غير نسبي . فيما يلي برهانان موجزان على عدم نسبيتها:

التناقض الناتج عن التعبير بأبسط العبارات

هذا برهان بالانحدار اللانهائي . تذكر أن:

الكل هو الجزء الأطول بالإضافة إلى الجزء الأقصر؛ الكل بالنسبة للجزء الأطول كما أن الجزء الأطول بالنسبة للجزء الأقصر.

إذا أطلقنا على الكل اسم${\displaystyle n}$والجزء الأطول​${\displaystyle m}$ثم تصبح العبارة الثانية أعلاه

⁠${\displaystyle n}$⁠ هو إلى ⁠${\displaystyle m}$كما​​${\displaystyle m}$⁠ هو إلى ⁠${\displaystyle nm}$⁠ .

أن نقول إن النسبة الذهبية${\displaystyle \varphi }$يعني أن يكون عقلانياً أن${\displaystyle \varphi }$هو كسر​${\displaystyle n/m}$أين​​${\displaystyle n}$و​​${\displaystyle m}$هي أعداد صحيحة. يمكننا أن نأخذ${\displaystyle n/m}$أن يكون في أدنى مستوياته و${\displaystyle n}$و​​${\displaystyle m}$أن تكون إيجابياً. ولكن إذا${\displaystyle n/m}$إذا كانت القيمة في أبسط صورة، فإن القيمة المتساوية${\displaystyle m/(nm)}$⁠ بصيغة أدنى. وهذا تناقض يترتب على افتراض أن ⁠${\displaystyle \varphi }$عقلاني .

بما أن النسبة الذهبية هي جذر لكثير حدود ذي معاملات نسبية، فهي عدد جبري . أما كثير الحدود الأدنى لها ، أي كثير الحدود ذو أدنى درجة بمعاملات صحيحة والذي يكون جذره النسبة الذهبية، فهو$${\displaystyle x^{2}-x-1.}$$لهذه المعادلة التربيعية جذران ،​${\displaystyle \varphi }$و​​${\displaystyle \textstyle -\varphi ^{-1}}$بما أن المعامل الرئيسي لهذه المعادلة هو 1، فإن كلا الجذرين عددان صحيحان جبريان . كما أن النسبة الذهبية مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بهذه المعادلة .${\displaystyle \textstyle x^{2}+x-1}$، والتي لها جذور${\displaystyle -\varphi }$و​​${\displaystyle \textstyle \varphi ^{-1}}$⁠ .

النسبة الذهبية${\displaystyle \varphi }$⁠ هي وحدة أساسية للحقل التربيعي ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$يُطلق عليه أحيانًا اسم الحقل الذهبي . في هذا الحقل، يمكن كتابة أي عنصر بالشكل التالي :${\displaystyle r+s\varphi }$، بمعاملات نسبية${\displaystyle r}$و​​${\displaystyle s}$⁠ ; هذا العدد له معيار ⁠${\displaystyle \textstyle r^{2}+rs-s^{2}}$وحدات أخرى ، مع معيار${\displaystyle \pm 1}$، هي القوى الموجبة والسالبة لـ${\displaystyle \varphi }$جميع الأعداد الصحيحة التربيعية في هذا الحقل، والتي تشكل حلقة ، هي أعداد من الشكل التالي :${\displaystyle a+b\varphi }$أين​​${\displaystyle a}$و​​${\displaystyle b}$هي أعداد صحيحة. ^{[ 38 ]}

باعتبارها جذرًا لكثير الحدود من الدرجة الثانية، فإن النسبة الذهبية هي عدد قابل للإنشاء . ^{[ 39 ]}

الجذر المرافق لكثير الحدود الأدنى ⁠${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1}$هو​

$${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\dots .}$$

القيمة المطلقة لهذه الكمية ( ⁠${\displaystyle 0.618\ldots }$) يتوافق مع نسبة الطول المأخوذة بترتيب عكسي (طول القطعة الأقصر مقسومًا على طول القطعة الأطول، ⁠${\displaystyle b/a}$) .

يوضح هذا الخاصية الفريدة للنسبة الذهبية بين الأعداد الموجبة، وهي $${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1,}$$

أو عكسها، $${\displaystyle {\frac {1}{1/\varphi }}={\frac {1}{\varphi }}+1.}$$

يؤدي المرافق والعلاقة التربيعية المحددة إلى قيم عشرية يكون جزءها الكسري مشتركًا مع ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ :

$${\displaystyle {\begin{align}\varphi ^{2}&=\varphi +1=2.618033\dots ,\\[5mu]{\frac {1}{\varphi }}&=\varphi -1=0.618033\dots .\end{aligned}}}$$

تسلسل قوى ⁠${\displaystyle \varphi }$يحتوي على هذه القيم${\displaystyle 0.618033\ldots }$،​​${\displaystyle 1.0}$،​​${\displaystyle 1.618033\ldots }$،​​${\displaystyle 2.618033\ldots }$; وبشكل أعم، أي قوة من ⁠${\displaystyle \varphi }$يساوي مجموع القوتين السابقتين مباشرة: $${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\operatorname {F} _{n-1}.}$$

وبالتالي، يمكن للمرء بسهولة تحليل أي قوة من ⁠${\displaystyle \varphi }$إلى مضاعفات​${\displaystyle \varphi }$وثابت . المضاعف والثابت دائمًا أعداد فيبوناتشي متجاورة. وهذا يؤدي إلى خاصية أخرى للقوى الموجبة لـ${\displaystyle \varphi }$⁠ :

إذا​${\displaystyle {\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{2}}n-1{\bigr \rfloor }=m}$ثم :$${\displaystyle {\begin{align}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\varphi ^{n-2-2m}\\[5mu]\varphi ^{n}-\varphi ^{n-1}&=\varphi ^ {ن-2}.\نهاية {المحاذاة}}}$$

الصيغة​${\displaystyle \varphi =1+1/\varphi }$يمكن توسيعها بشكل متكرر للحصول على كسر مستمر بسيط للنسبة الذهبية: ^{[ 40 ]}$${\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$$

إنها في الواقع أبسط أشكال الكسور المستمرة، إلى جانب شكلها المقلوب: $${\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$$

متقاربات هذه الكسور المستمرة ، ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$،​​${\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}$،​​${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$،​​${\displaystyle {\tfrac {5}{3}}}$،​​${\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}$،​​${\displaystyle {\tfrac {13}{8}}}$... أو​​${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$،​​${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$،​​${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$،​​${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$،​​${\displaystyle {\tfrac {5}{8}}}$،​​${\displaystyle {\tfrac {8}{13}}}$...هي نسبأعداد فيبوناتشي. وتُفسر الحدود الصغيرة باستمرار في كسرها المستمر سبب تقارب التقريبات ببطء شديد. وهذا ما يجعل النسبة الذهبية حالة متطرفة لمتباينةهورويتزللتقريباتالديوفانتية، والتي تنص على أنه لكل عدد غير نسبي ...${\displaystyle \xi }$، هناك عدد لا نهائي من الكسور المتميزة${\displaystyle p/q}$بحيث ،$${\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}.}$$

هذا يعني أن الثابت${\displaystyle {\sqrt {5}}}$لا يمكن تحسينها دون استبعاد النسبة الذهبية. في الواقع، هي أصغر عدد يجب استبعاده للحصول على تقريبات أدق لأعداد لاغرانج هذه . ^{[ 41 ]}

صيغة الجذر التربيعي المستمر لـ${\displaystyle \varphi }$يمكن الحصول عليها من${\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=1+\varphi }$، مما ينتج عنه: ^{[ 42 ]}$${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {1+\cdots {\vphantom {)}}}}}}}}.}$$

لولب فيبوناتشي ( أعلى) الذي يقارب اللولب الذهبي ، باستخدام أحجام مربعات متتالية فيبوناتشي حتى 21. يتم توليد تقريب مختلف للولب الذهبي (أسفل) من تكديس المربعات التي تكون أطوال أضلاعها أعدادًا تنتمي إلى متتالية أعداد لوكاس ، هنا حتى 76 .

ترتبط أعداد فيبوناتشي وأعداد لوكاس ارتباطًا وثيقًا بالنسبة الذهبية. في متتالية فيبوناتشي، كل حد${\displaystyle F_{n}}$يساوي مجموع الحدين السابقين${\displaystyle F_{n-1}}$و${\displaystyle F_{n-2}}$، بدءًا من التسلسل الأساسي${\displaystyle 0,1}$⁠ كحدين صفري وأول${\displaystyle F_{0}}$و${\displaystyle F_{1}}$:

⁠${\displaystyle 0,}$⁠ ⁠${\displaystyle 1,}$⁠ ⁠${\displaystyle 1,}$⁠ ⁠${\displaystyle 2,}$⁠ ⁠${\displaystyle 3,}$⁠ ⁠${\displaystyle 5,}$⁠ ⁠${\displaystyle 8,}$⁠ ⁠${\displaystyle 13,}$⁠ ⁠${\displaystyle 21,}$⁠ ⁠${\displaystyle 34,}$⁠ ⁠${\displaystyle 55,}$⁠ ⁠${\displaystyle 89,}$⁠ ⁠${\displaystyle \ldots }$( OEIS : A000045  ).

إن متتالية أعداد لوكاس (لا ينبغي الخلط بينها وبين متتاليات لوكاس المعممة ، التي تُعد هذه المتتالية جزءًا منها) تشبه متتالية فيبوناتشي، من حيث أن كل حد${\displaystyle L_{n}}$هو مجموع الحدين السابقين${\displaystyle L_{n-1}}$و${\displaystyle L_{n-2}}$لكن بدلاً من ذلك تبدأ بـ${\displaystyle 2,1}$⁠ كحدين صفري وأول${\displaystyle L_{0}}$و${\displaystyle L_{1}}$:

⁠${\displaystyle 2,}$⁠ ⁠${\displaystyle 1,}$⁠ ⁠${\displaystyle 3,}$⁠ ⁠${\displaystyle 4,}$⁠ ⁠${\displaystyle 7,}$⁠ ⁠${\displaystyle 11,}$⁠ ⁠${\displaystyle 18,}$⁠ ⁠${\displaystyle 29,}$⁠ ⁠${\displaystyle 47,}$⁠ ⁠${\displaystyle 76,}$⁠ ⁠${\displaystyle 123,}$⁠ ⁠${\displaystyle 199,}$⁠ ⁠${\displaystyle \ldots }$( OEIS : A000032  ).

وبشكل استثنائي، فإن النسبة الذهبية تساوي نهاية نسب الحدود المتتالية في متتالية فيبوناتشي ومتتالية أعداد لوكاس: ^{[ 43 ]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi .}$$

بمعنى آخر، إذا قُسِّم عدد من أعداد فيبوناتشي ولوكاس على العدد الذي يسبقه مباشرةً في المتتالية، فإن ناتج القسمة يُقارب ⁠${\displaystyle \varphi }$على سبيل المثال ،

${\displaystyle {\frac {F_{16}}{F_{15}}}={\frac {987}{610}}=1.6180327\ldots \ }$و${\displaystyle \ {\frac {L_{16}}{L_{15}}}={\frac {2207}{1364}}=1.6180351\ldots .}$

تكون هذه التقريبات بالتناوب أقل وأعلى من ⁠${\displaystyle \varphi }$، وتتقارب إلى${\displaystyle \varphi }$مع ازدياد أعداد فيبوناتشي ولوكاس.

الصيغ المغلقة لمتتاليات فيبوناتشي ولوكاس التي تتضمن النسبة الذهبية هي:

$${\displaystyle F\left(n\right)={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}-\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\right],}$$$${\displaystyle L\left(n\right)=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}.}$$

بدمج الصيغتين أعلاه، نحصل على صيغة لـ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n}}$والتي تتضمن أرقام فيبوناتشي ولوكاس: $${\displaystyle \varphi ^{n}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}.}$$

يمكن استنتاج ما يلي من خلال مقارنة أعداد فيبوناتشي ولوكاس${\displaystyle \textstyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$، والذي يتبسط للتعبير عن نهاية ناتج قسمة أعداد لوكاس على أعداد فيبوناتشي على أنها تساوي الجذر التربيعي لخمسة : $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$$

بل إن هناك عبارات أقوى بكثير صحيحة: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl \vert }L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}{\bigr \vert }={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0,\\[5mu]&{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}L_{3n}{\bigr )}^{2}=5{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}F_{3n}{\bigr )}^{2}+(-1)^{n}.\end{aligned}}}$$

تخضع القوى المتتالية للنسبة الذهبية لتكرار فيبوناتشي ،${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}}$⁠ .

يمكن تحقيق الاختزال إلى تعبير خطي في خطوة واحدة باستخدام: $${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}$$

تسمح هذه المتطابقة بأي متعدد حدود في${\displaystyle \varphi }$يتم اختزالها إلى تعبير خطي، كما في:

$${\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\[5mu]&=3{\bigl (}(\varphi +1)+\varphi {\bigr )}-5(\varphi +1)+4\\[5mu]&=\varphi +2\approx 3.618033.\end{aligned}}}$$

يمكن أيضًا استخدام أعداد فيبوناتشي المتتالية للحصول على صيغة مماثلة للنسبة الذهبية، وذلك عن طريق الجمع اللانهائي : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl |}F_{n}\varphi -F_{n+1}{\bigr |}=\varphi .}$$

وعلى وجه الخصوص، صلاحيات ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ تقرب نفسها إلى أعداد لوكاس (بالترتيب، باستثناء أول قوتين، ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{0}}$و​​${\displaystyle \varphi }$⁠ , مرتبة بترتيب عكسي ^{[ 44 ]} ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{0}&=1,\\[5mu]\varphi ^{1}&=1.618033989\ldots \approx 2,\\[5mu]\varphi ^{2}&=2.618033989\ldots \approx 3,\\[5mu]\varphi ^{3}&=4.236067978\ldots \approx 4,\\[5mu]\varphi ^{4}&=6.854101967\ldots \approx 7,\end{aligned}}}$$

وهكذا دواليك. ^{[ 45 ]} كما أن أعداد لوكاس تولد مباشرةً قوى النسبة الذهبية؛ لـ${\displaystyle n\geq 2}$⁠ : $${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}.}$$

ينبع من علاقتها المترابطة مع النسبة الذهبية مفهوم أن مجموع ثلاثة أعداد متتالية من فيبوناتشي يساوي عددًا من أعداد لوكاس، أي${\displaystyle \textstyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}\!}$والأهم من ذلك ، أن${\displaystyle \textstyle L_{n}F_{n}=F_{2n}\!}$⁠ .

يمكن استخدام كل من متتالية فيبوناتشي ومتتالية أعداد لوكاس لإنشاء أشكال تقريبية للولب الذهبي (وهو شكل خاص من اللولب اللوغاريتمي ) باستخدام أرباع دوائر بنصف قطر من هاتين المتتاليتين، وتختلف هذه الأشكال اختلافًا طفيفًا فقط عن اللولب الذهبي اللوغاريتمي الحقيقي . ويُستخدم مصطلح "لولب فيبوناتشي " عمومًا للإشارة إلى اللوالب التي تُقارب اللوالب الذهبية باستخدام مربعات وأرباع دوائر مُرتبة وفقًا لمتتالية أعداد فيبوناتشي.

تُعدّ النسبة الذهبية عنصراً أساسياً في الهندسة. فعلى سبيل المثال، تدخل جوهرياً في التناظر الداخلي للخماسي ، وتمتد لتشكل جزءاً من إحداثيات رؤوس المجسم ذي الاثني عشر وجهاً المنتظم ، وكذلك رؤوس المجسم ذي العشرين وجهاً المنتظم . ^{[ 46 ]} كما تظهر في مثلث كبلر وتبليط بنروز ، بالإضافة إلى العديد من المجسمات متعددة الأوجه الأخرى .

بناء

تقسيم قطعة مستقيمة إلى قسم داخلي (أعلى) وقسم خارجي (أسفل) وفقًا للنسبة الذهبية

القسمة بالقسمة الداخلية

1. وجود قطعة مستقيمة${\displaystyle AB}$، قم بإنشاء عمود${\displaystyle BC}$عند النقطة​${\displaystyle B}$، مع​${\displaystyle BC}$نصف طول​${\displaystyle AB}$ارسم الوتر​​${\displaystyle AC}$⁠ .
2. ارسم قوسًا مركزه${\displaystyle C}$ونصف القطر​${\displaystyle BC}$يتقاطع هذا القوس مع الوتر .${\displaystyle AC}$عند النقطة​${\displaystyle D}$⁠ .
3. ارسم قوسًا مركزه${\displaystyle A}$ونصف القطر​${\displaystyle AD}$يتقاطع هذا القوس مع القطعة المستقيمة الأصلية .${\displaystyle AB}$عند النقطة​${\displaystyle S}$نقطة​​${\displaystyle S}$يقسم القطعة المستقيمة الأصلية${\displaystyle AB}$إلى قطع مستقيمة${\displaystyle AS}$و​​${\displaystyle SB}$بأطوال تتناسب مع النسبة الذهبية.

التقسيم عن طريق القسمة الخارجية

1. ارسم قطعة مستقيمة${\displaystyle AS}$والبناء انطلاقاً من هذه النقطة${\displaystyle S}$جزء​​${\displaystyle SC}$عمودي على​${\displaystyle AS}$وبنفس طول​${\displaystyle AS}$⁠ .
2. قم بتقسيم القطعة المستقيمة إلى نصفين${\displaystyle AS}$مع​​${\displaystyle M}$⁠ .
3. قوس دائري حول${\displaystyle M}$بنصف قطر​${\displaystyle MC}$يتقاطع في نقطة${\displaystyle B}$الخط المستقيم المار بالنقطتين${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle S}$( المعروف أيضًا باسم امتداد لـ${\displaystyle AS}$) . نسبة${\displaystyle AS}$إلى الجزء المُنشأ${\displaystyle SB}$هي النسبة الذهبية.

يمكنك الاطلاع على أمثلة التطبيق في المقالات التالية: خماسي الأضلاع بطول ضلع معين ، وعشري الأضلاع بدائرة محيطة معينة، وعشري الأضلاع بطول ضلع معين .

تنتج كلتا الخوارزميتين المختلفتين المعروضتين أعلاه هياكل هندسية تحدد قطعتين مستقيمتين متوازيتين حيث تكون نسبة القطعة الأطول إلى القطعة الأقصر هي النسبة الذهبية.

الزاوية الذهبية

عندما تكون قياسات زاويتين تشكلان دائرة كاملة ضمن النسبة الذهبية، تسمى الزاوية الأصغر بالزاوية الذهبية ، وقياسها ⁠${\displaystyle g}$⁠ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2\pi -g}{g}}&={\frac {2\pi }{2\pi -g}}=\varphi ,\\[8mu]2\pi -g&={\frac {2\pi }{\varphi }}\approx 222.5^{\circ }\!,\\[8mu]g&={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}\approx 137.5^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

تظهر هذه الزاوية في أنماط نمو النبات باعتبارها المسافة المثلى بين براعم الأوراق حول سيقان النبات بحيث لا تحجب الأوراق المتتالية ضوء الشمس عن الأوراق التي تحتها. ^{[ 47 ]}

نظام التناظر الخماسي

البنتاغون والنجمة الخماسية

في الخماسي المنتظم، تكون نسبة القطر إلى أحد الأضلاع هي النسبة الذهبية، كما أن تقاطع الأقطار يقسم بعضها البعض بنسبة ذهبية. يمكن التحقق من خصائص النسبة الذهبية للخماسي المنتظم بتطبيق نظرية بطليموس على الشكل الرباعي الناتج عن إزالة أحد رؤوسه. إذا كان طول الضلع الأطول للشكل الرباعي وقطريه ⁠${\displaystyle a}$والحواف القصيرة هي${\displaystyle b}$ثم تُعطينا نظرية بطليموس${\displaystyle \textstyle a^{2}=b^{2}+ab}$بقسمة كلا الطرفين على${\displaystyle ab}$النتائج (انظر قسم  الحسابات أعلاه)، $${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=\varphi .}$$

تشكل القطع القطرية للخماسي المنتظم شكلاً خماسياً ، أو مضلعاً نجمياً بخمسة رؤوس ، والذي يمكن وصف هندسته بشكل أساسي بواسطة${\displaystyle \varphi }$في الأساس ، يقسم كل تقاطع للأضلاع الأضلاع الأخرى بنسبة ذهبية. نسبة طول القطعة الأقصر إلى طول القطعة المحصورة بين الضلعين المتقاطعين (أي ضلع من أضلاع الخماسي المقلوب في مركز النجمة الخماسية) هي${\displaystyle \varphi }$، كما يظهر في الرسم التوضيحي ذي الألوان الأربعة.

تسمح لنا الهندسة الخماسية والخماسية النجمية بحساب القيم التالية لـ${\displaystyle \varphi }$⁠ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &={\tfrac {1}{2}}\csc(\pi /10)={\tfrac {1}{2}}\csc 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

المثلث الذهبي والمِزْنُون الذهبي

المثلث المتكون من قطرين وضلع من خماسي منتظم يُسمى المثلث الذهبي أو المثلث الرائع . وهو مثلث حاد الزوايا ومتساوي الساقين بزاوية رأسية ⁠${\displaystyle 36^{\circ }}$وزوايا القاعدة​${\displaystyle 72^{\circ }\!}$[ 48 ^] ​​ضلعاه المتساويان يشكلان النسبة الذهبية لقاعدته. ^{[ 49 ] يُطلق على} المثلث المُشكّل من ضلعين وقطر خماسي منتظم اسم " المِزْوَر الذهبي ^" . وهو مثلث متساوي الساقين منفرج الزاوية، وزاوية رأسه ...${\displaystyle 108^{\circ }}$وزاوية القاعدة​${\displaystyle 36^{\circ }\!}$قاعدته تتناسب مع ضلعيه المتساويين بنسبة ذهبية. ^[ 49 ^{] وبالتالي ،} يمكن تقسيم الخماسي إلى مؤشرين ذهبيين ومثلث ذهبي مركزي. النقاط الخمس للخماسي النجمي المنتظم هي مثلثات ذهبية، ^{[ 49 ]} وكذلك المثلثات العشرة المتكونة من توصيل رؤوس العشاري المنتظم بمركزه. ^{[ 50 ]}

يؤدي تنصيف إحدى زوايا قاعدة المثلث الذهبي إلى تقسيمه إلى مثلث ذهبي أصغر ومؤشر ذهبي. وبالمثل، يمكن تقسيم أي مثلث متساوي الساقين حاد الزوايا إلى مثلث مشابه ومثلث متساوي الساقين منفرج الزاوية، لكن المثلث الذهبي هو الوحيد الذي يتم تقسيمه بواسطة منصف الزاوية، لأنه المثلث الوحيد متساوي الساقين الذي تساوي زاوية قاعدته ضعف زاوية رأسه. يقسم منصف زاوية المثلث الذهبي الضلع الذي يتقاطع معه بنسبة ذهبية، كما أن مساحتي الجزأين المقسمين هما أيضًا بنسبة ذهبية. ^{[ 49 ]}

إذا قُسِّمَ رأسُ المزولة الذهبية إلى ثلاثة أجزاء متساوية ، فإنّ هذا المُثلِّث يُقسِّمها بدوره إلى مزولة ذهبية أصغر ومثلث ذهبي. يُقسِّم المُثلِّث القاعدةَ بنسبة ذهبية، وتكون مساحتا الجزأين بنسبة ذهبية. وبالمثل، يمكن تقسيم أي مثلث منفرج الزاوية إلى مثلث مشابه ومثلث متساوي الساقين حاد الزوايا، لكن المزولة الذهبية هي الوحيدة التي يُمكن تقسيمها بهذه الطريقة بواسطة مُثلِّث الزاوية، لأنها المثلث الوحيد متساوي الساقين الذي يساوي قياس رأسِه ثلاثة أضعاف قياس قاعدته. ^{[ 49 ]}

بلاطات بنروز

تظهر النسبة الذهبية بشكل بارز في تبليط بنروز ، وهو نوع من التبليطات غير الدورية للسطح المستوي، طوره روجر بنروز ، مستوحى من ملاحظة يوهانس كيبلر بأن الأشكال الخماسية والعشارية وغيرها من الأشكال يمكن أن تملأ الفراغات التي تتركها الأشكال الخماسية وحدها عند تبليطها معًا. ^{[ 51 ]} وقد دُرست عدة اختلافات لهذا التبليط، وجميعها تُظهر النسبة الذهبية في نماذجها الأولية.

• استخدمت النسخة الأصلية لبنروز من هذا التبليط أربعة أشكال: الخماسيات المنتظمة والنجوم الخماسية، وأشكال "القارب" بثلاث نقاط من النجمة الخماسية، والمعينات على شكل "الماس". ^{[ 52 ]}
• تستخدم بلاطات بنروز على شكل طائرة ورقية وثلاث زوايا داخلية من نوع الطائرة الورقية والسهام${\displaystyle 72^{\circ }}$وزاوية داخلية واحدة من${\displaystyle 144^{\circ }\!}$، والسهام، أشكال رباعية مقعرة ذات زاويتين داخليتين مقدارهما${\displaystyle 36^{\circ }\!}$، واحد من${\displaystyle 72^{\circ }\!}$، وزاوية واحدة غير محدبة من${\displaystyle 216^{\circ }\!}$^{تُقيّد قواعد مطابقة خاصة كيفية التقاء البلاطات عند أي حافة، مما ينتج عنه سبعة تركيبات من البلاطات عند أي رأس. لكل من الطائرات الورقية والسهام أضلاع بطولين، بنسبة ذهبية بينهما. كما أن مساحات هذين الشكلين من} البلاطات بنسبة ذهبية أيضًا. [ ^{51 ]}
• يمكن تقسيم كل من الطائرة الورقية والسهم على محاور تناظرهما إلى زوج من المثلثات الذهبية وعلامات ذهبية، على التوالي. وباستخدام قواعد مطابقة مناسبة، يمكن استخدام هذه المثلثات، التي تُسمى في هذا السياق مثلثات روبنسون ، كبلاطات أولية لشكل من أشكال تبليط بنروز. ^{[ 51 ] [ 53 ]}
• يحتوي تبليط بنروز المعيني على نوعين من المعينات، معين رفيع بزوايا ⁠${\displaystyle 36^{\circ }}$و​​${\displaystyle 144^{\circ }\!}$، ومعين سميك بزوايا ⁠${\displaystyle 72^{\circ }}$و​​${\displaystyle 108^{\circ }\!}$جميع أطوال الأضلاع متساوية ، لكن نسبة طول الأضلاع إلى القطر القصير في المعين الرقيق تساوي${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$وكذلك نسبة أضلاع المعين إلى قطره الطويل. وكما هو الحال في تبليط الطائرة الورقية والسهام، فإن مساحتي المعينين متناسبتان بنسبة ذهبية. ويمكن تحليل هذين المعينين إلى أزواج من مثلثات روبنسون. ^{[ 51 ]}

بلاط بنروز الأصلي المكون من أربع قطع

بلاط بنروز المعيني

في المثلثات والأشكال الرباعية

بناء أودوم

وجد جورج أودوم تصميمًا لـ${\displaystyle \varphi }$فيما يتعلق بالمثلث متساوي الأضلاع : إذا تم تمديد القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين لتتقاطع مع الدائرة المحيطة ، فإن المنتصفين ونقطة التقاطع مع الدائرة تكون بنسبة ذهبية. ^{[ 54 ]}

مثلث كبلر

التتابع الهندسي لمساحات المربعات على أضلاع مثلث كبلر

المثلث متساوي الساقين المتكون من مثلثين من نوع كبلر يحقق أقصى نسبة بين نصف قطر الدائرة الداخلية وطول الضلع.

مثلث كيبلر ، الذي سمي على اسم يوهانس كيبلر ، هو المثلث القائم الزاوية الفريد ذو الأضلاع المتتابعة هندسياً : $${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}}\mathbin {:} \varphi .}$$أطوال هذه الأضلاع هي المتوسطات الفيثاغورية الثلاثة للعددين ⁠${\displaystyle \varphi \pm 1}$. المربعات الثلاثة على جوانبه لها مساحات تقع ضمن المتتالية الهندسية الذهبية${\displaystyle \textstyle 1\mathbin {:} \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$⁠ .

من بين المثلثات متساوية الساقين، تكون نسبة نصف قطر الدائرة الداخلية إلى طول الضلع في أعلى قيمة لها في المثلث المُشكَّل من نسختين معكوستين من مثلث كبلر، حيث يشتركان في الضلع الأطول من بين ضلعيهما. ^{[ 55 ]} ويُحقق المثلث نفسه نسبة نصف قطر نصف الدائرة عند قاعدته إلى محيطه في أعلى قيمة لها . ^{[ 56 ]}

بالنسبة لمثلث كبلر ذي أقصر طول ضلع${\displaystyle s}$المساحة والزوايا الداخلية الحادة هي :​$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}s^{2}{\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}},\\[5mu]\theta &=\sin ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }\!,\\[5mu]\theta &=\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

المستطيل الذهبي

النسبة الذهبية هي نسبة أطوال الأضلاع المتجاورة في المستطيل الذهبي في${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$^[ 57 ^] إن ^{إزالة أو إضافة مربعات من المستطيلات الذهبية لا تزال تحافظ على} تناسب المستطيلات في${\displaystyle \varphi }$نسبة . يمكن توليدها بواسطة اللوالب الذهبية ، من خلال مربعات وأرباع دوائر متتالية بحجم أرقام فيبوناتشي ولوكاس. تظهر بشكل بارز في المجسم ذي العشرين وجهًا وكذلك في المجسم ذي الاثني عشر وجهًا (انظر القسم أدناه لمزيد من التفاصيل). ^{[ 46 ]}

معين ذهبي

المعين الذهبي هو معين تتناسب أقطاره مع النسبة الذهبية، وهي الأكثر شيوعًا${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$[ ^{58 ]} بالنسبة لمعين بهذه النسب ، ^فإن زواياه الحادة والمنفرجة هي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=2\arctan {1 \over \varphi }\approx 63.43495^{\circ }\!,\\[5mu]\beta &=2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3\approx 116.56505^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

أطوال قطريها القصير والطويل${\displaystyle d}$و​​${\displaystyle D}$، من حيث طول الضلع${\displaystyle a}$هي :

$${\displaystyle {\begin{aligned}d&={\frac {2a}{\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {\frac {3-\varphi }{5}}}a\approx 1.05146a,\\[5mu]D&=2{\sqrt {\frac {2+\varphi }{5}}}a\approx 1.70130a.\end{aligned}}}$$

مساحتها، من حيث${\displaystyle a}$و​​${\displaystyle d}$⁠ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\sin(\arctan 2)\cdot a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443a^{2},\\[5mu]A&={{\varphi } \over 2}d^{2}\approx 0.80902d^{2}.\end{aligned}}}$$

نصف قطرها الداخلي ، بدلالة الضلع${\displaystyle a}$⁠ :

$${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {5}}}.}$$

تشكل المعينات الذهبية وجوه المجسم المعيني ثلاثي الأوجه ، والمجسمين المعينيين الذهبيين ، ومجسم بيلينسكي ذي الاثني عشر وجهًا ، ^{[ 59 ]} والمجسم المعيني سداسي الأوجه . ^{[ 58 ]}

فيزيكا بيسيس

إذا كانت الدائرتان اللتان تحددان شكل "المِصْبَح" محاطتين بدائرتين متحدتي المركز نصف قطر كل منهما ضعف نصف قطر الدائرة الأولى، فإن الدائرتين الخارجيتين تكونان مماستين للدائرتين الداخليتين (عند النقاط)${\displaystyle E}$و${\displaystyle F}$(انظر الشكل). تتقاطع الدوائر الخارجية أيضًا لتشكيل عدسة، ولكن بزاوية مختلفة عن زاوية العدسة البيضاوية. بالنسبة لهذه الدوائر، فإن القطعة المستقيمة${\displaystyle {\overline {XC}}}$من إحدى نقاط العبور${\displaystyle C}$من الدوائر الداخلية إلى نقطة التقاطع المقابلة${\displaystyle X}$يتم تقسيم الدوائر الخارجية بنسبة ذهبية بواسطة النقطة${\displaystyle D}$، وهي نقطة التقاطع الثانية للدائرتين الداخليتين. ^{[ 60 ] [ 61 ]}

اللولب الذهبي

اللوالب اللوغاريتمية هي لوالب متشابهة ذاتيًا، حيث تتناسب المسافات المقطوعة في كل دورة تناسبًا هندسيًا . يُطلق على اللولب اللوغاريتمي الذي يزداد نصف قطره بمعامل النسبة الذهبية لكل ربع دورة اسم اللولب الذهبي . يمكن تقريب هذه اللوالب بأرباع دوائر تنمو وفقًا للنسبة الذهبية، ^{[ 63 ]} أو بتقريبات مُستمدة من أعداد فيبوناتشي، ^{[ 64 ]} والتي غالبًا ما تُصوَّر داخل نمط لولبي من المربعات التي تنمو بنفس النسبة. يمكن وصف الشكل اللولبي اللوغاريتمي الدقيق للولب الذهبي بالمعادلة القطبية مع ⁠${\displaystyle (r,\theta )}$⁠ : $${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi }.}$$

لا ترتبط جميع اللوالب اللوغاريتمية بالنسبة الذهبية، وليست كل اللوالب المرتبطة بالنسبة الذهبية لها نفس شكل اللولب الذهبي. على سبيل المثال، ينمو لولب لوغاريتمي مختلف، يحيط بتسلسل متداخل من المثلثات الذهبية متساوية الساقين، بنسبة ذهبية لكل ⁠${\displaystyle 108^{\circ }}$أنها تتحول ، بدلاً من${\displaystyle 90^{\circ }}$زاوية دوران اللولب الذهبي. ^{[ 62 ]} وهناك شكل آخر، يُسمى "اللولب الذهبي الأفضل"، ينمو بنسبة ذهبية لكل نصف دورة، بدلاً من كل ربع دورة. ^{[ 63 ]}

المجسم ذو الاثني عشر وجهًا والمجسم ذو العشرين وجهًا

المجسم ذو الاثني عشر وجهًا المنتظم ومجسمه الثنائي ذو العشرين وجهًا هما مجسمان أفلاطونيان ترتبط أبعادهما بالنسبة الذهبية. المجسم ذو الاثني عشر وجهًا له ⁠${\displaystyle 12}$وجوه خماسية منتظمة ، بينما يحتوي المجسم العشري الوجوه على${\displaystyle 20}$المثلثات متساوية الأضلاع ؛ كلاهما له${\displaystyle 30}$الحواف . ^{[ 65 ]}​

بالنسبة لمجسم ذي اثني عشر وجهًا طول ضلعه ⁠${\displaystyle a}$نصف قطرالكرة المحيطة والكرة المحيطة بها، ونصف قطرها الأوسط هي (${\displaystyle r_{u}}$،​​${\displaystyle r_{i}}$، و​${\displaystyle r_{m}}$( على التوالي):

${\displaystyle r_{u}=a\,{\frac {{\sqrt {3}}\varphi }{2}},}$${\displaystyle r_{i}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3-\varphi }}}},}$و${\displaystyle r_{m}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2}}.}$

أما بالنسبة لمجسم عشريني الوجوه ذي ضلع ⁠${\displaystyle a}$، ونصف قطر الكرة المحيطة والكرة المحيطة بها، ونصف القطر الأوسط هي:

${\displaystyle r_{u}=a{\frac {\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}{2}},}$${\displaystyle r_{i}=a{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3}}}},}$و${\displaystyle r_{m}=a{\frac {\varphi }{2}}.}$

يمكن التعبير عن حجم ومساحة سطح المجسم ذي الاثني عشر وجهًا بدلالة ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ :

${\displaystyle A_{d}={\frac {15\varphi }{\sqrt {3-\varphi }}}}$و${\displaystyle V_{d}={\frac {5\varphi ^{3}}{6-2\varphi }}.}$

وكذلك بالنسبة للمجسم ذي العشرين وجهاً:

${\displaystyle A_{i}=20{\frac {\varphi ^{2}}{2}}}$و${\displaystyle V_{i}={\frac {5}{6}}(1+\varphi ).}$

يمكن حساب هذه القيم الهندسية من إحداثياتها الديكارتية ، والتي يمكن أيضًا الحصول عليها باستخدام صيغ تتضمن ⁠${\displaystyle \varphi }$تظهر إحداثيات المجسم ذي الاثني عشر وجهاً في الشكل الموجود على اليمين، بينما تظهر إحداثيات المجسم ذي العشرين وجهاً كما يلي :

$${\displaystyle (0,\pm 1,\pm \varphi ),\ (\pm 1,\pm \varphi ,0),\ (\pm \varphi ,0,\pm 1).}$$

تتقاطع مجموعات من ثلاثة مستطيلات ذهبية بشكل عمودي داخل المجسمات ذات الاثني عشر وجهًا والمجسمات ذات العشرين وجهًا، مُشكّلةً حلقات بوروميان . ^{[ 66 ] [ 46 ]} في المجسمات ذات الاثني عشر وجهًا، تلتقي أزواج الرؤوس المتقابلة في المستطيلات الذهبية بمراكز الأوجه الخماسية، وفي المجسمات ذات العشرين وجهًا، تلتقي عند رؤوسها. تحتوي المستطيلات الذهبية الثلاثة معًا على جميع${\displaystyle 12}$رؤوس المجسم العشري الوجوه، أو ما يعادلها، تتقاطع مع مراكز جميع${\displaystyle 12}$من وجوه المجسم ذي الاثني عشر وجهاً. ^{[ 65 ]}

يمكن رسم مكعب داخل مجسم منتظم ذي اثني عشر وجهًا، حيث تُستخدم بعض أقطار الأوجه الخماسية للمجسم ذي الاثني عشر وجهًا كحواف للمكعب؛ ولذلك، فإن أطوال الحواف تتناسب مع النسبة الذهبية. حجم المكعب هو${\displaystyle 2/(2+\varphi )}$^[ 67 ^{] في الواقع} ، تكون المستطيلات الذهبية داخل المجسم ذي الاثنيعشر وجهًا بنسب ذهبية بالنسبة للمكعب المحيط به، بحيث تكون حواف المكعب والحواف الطويلة للمستطيل الذهبي متناسبة مع بعضها البعض .${\displaystyle \textstyle \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$النسبة . من ناحية أخرى، يمكن للمجسم الثماني الأوجه ، وهو المجسم الثنائي للمكعب، أن يحيط بالمجسم العشري الأوجه، بحيث يكون للمجسم العشري الأوجه${\displaystyle 12}$الرؤوس تلامس​${\displaystyle 12}$حواف ثماني السطوح عند النقاط التي تقسم حوافها بنسبة ذهبية. ^{[ 68 ]}

يمكن حساب التمثيل العشري للنسبة الذهبية باستخدام طرق إيجاد الجذور، مثل طريقة نيوتن أو طريقة هالي ، على المعادلة ⁠${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1=0}$أو على​${\displaystyle \textstyle x^{2}-5=0}$( لحساب )${\displaystyle {\sqrt {5}}}$أولاً ). الوقت اللازم للحساب${\displaystyle n}$أرقام النسبة الذهبية باستخدام طريقة نيوتن هي في الأساس${\displaystyle O(M(n))}$، حيث​${\displaystyle M(n)}$يمثل ⁠ التعقيد الزمني لعملية ضرب اثنين ⁠${\displaystyle n}$الأعداد المكونة من خانة واحدة . ^{[ 69 ]} هذا أسرع بكثير من الخوارزميات المعروفة لحساب π و e . هناك بديل سهل البرمجة باستخدام العمليات الحسابية للأعداد الصحيحة فقط، وهو حساب عددين كبيرين متتاليين من أعداد فيبوناتشي وقسمتهما. نسبة أعداد فيبوناتشي${\displaystyle F_{25001}}$و​​${\displaystyle F_{25000}}$، كل واحد فوق${\displaystyle 5000}$أرقام ، عوائد على مدى${\displaystyle 10{,}000}$الأرقام المعنوية للنسبة الذهبية. التمثيل العشري للنسبة الذهبية${\displaystyle \varphi }$[ ^{1 ]} تم حسابه بدقة تصل إلى عشرين ^{تريليون} (${\displaystyle \textstyle 2\times 10^{13}=20{,}000{,}000{,}000{,}000}$⁠ ) ​​أرقام. ^{[ 70 ]}

في المستوى المركب ، الجذور الخامسة للوحدة${\displaystyle \textstyle z=e^{2\pi ki/5}}$( لعدد صحيح )${\displaystyle k}$) مُرضٍ​${\displaystyle \textstyle z^{5}=1}$تمثل رؤوس الخماسي. وهي لا تشكل حلقة من الأعداد الصحيحة التربيعية ، ومع ذلك فإن مجموع أي جذر خامس للوحدة ومرافقه المركب ،${\displaystyle z+{\bar {z}}}$، هو عدد صحيحتربيعي، عنصر من${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$. على وجه التحديد،

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}+e^{-0}&=2,\\[5mu]e^{2\pi i/5}+e^{-2\pi i/5}&=\varphi ^{-1}=-1+\varphi ,\\[5mu]e^{4\pi i/5}+e^{-4\pi i/5}&=-\varphi .\نهاية {المحاذاة}}}$$

وينطبق هذا أيضًا على الجذور العشرية المتبقية للوحدة التي تحقق ⁠${\displaystyle \textstyle z^{10}=1}$،​

$${\displaystyle {\begin{align}e^{\pi i}+e^{-\pi i}&=-2,\\[5mu]e^{\pi i/5}+e^{-\pi i/5}&=\varphi ,\\[5mu]e^{3\pi i/5}+e^{-3\pi i/5}&=-\varphi ^{-1}=1-\varphi .\نهاية {المحاذاة}}}$$

بالنسبة لدالة غاما${\displaystyle \Gamma }$، الحلول الوحيدة للمعادلة${\displaystyle \Gamma (z-1)=\Gamma (z+1)}$⁠ are ⁠${\displaystyle z=\varphi }$و​​${\displaystyle \textstyle z=-\varphi ^{-1}}$⁠ .

عند استخدام النسبة الذهبية كأساس لنظام عددي (انظر أساس النسبة الذهبية ، والذي يُطلق عليه أحيانًا اسم النسبة الذهبية أو النسبة الذهبية).${\displaystyle \varphi }$الأعداد الصحيحة التربيعية في الحلقة ( -nary ) .${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$– أي الأرقام التي على شكل${\displaystyle a+b\varphi }$لـ​​${\displaystyle a}$و​​${\displaystyle b}$في​​${\displaystyle \mathbb {Z} }$– لها تمثيلات منتهية ، لكن الكسور النسبية لها تمثيلات غير منتهية.

تظهر النسبة الذهبية أيضًا في الهندسة الزائدية ، باعتبارها أقصى مسافة من نقطة على أحد أضلاع مثلث مثالي إلى أقرب ضلع من الضلعين الآخرين: هذه المسافة، وهي طول ضلع المثلث متساوي الأضلاع المتكون من نقاط التماس لدائرة مرسومة داخل المثلث المثالي، هي${\displaystyle 4\log(\varphi )}$. ^{[ 71 ]}​

تظهر النسبة الذهبية أيضاً في نظرية الدوال النمطية .${\displaystyle |q|<1,}$يترك $${\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}}.}$$ ثم $${\displaystyle R(e^{-\pi })={\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi ,\quad R(-e^{-\pi })=\varphi ^{-1}-{\sqrt {2-\varphi ^{-1}}}}$$ و $${\displaystyle R(e^{-2\pi i/\tau })={\frac {1-\varphi R(e^{2\pi i\tau })}{\varphi +R(e^{2\pi i\tau })}}}$$ أين​${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$و​​${\displaystyle \textstyle (e^{z})^{1/5}}$يجب تقييم الجزء في الكسر المستمر على النحو التالي :${\displaystyle \textstyle e^{z/5}}$الوظيفة​​${\displaystyle \textstyle \tau \mapsto R(e^{2\pi i\tau })}$ثابت تحت​${\displaystyle \Gamma (5)}$، وهي مجموعة فرعية للتطابق من المجموعة النمطية . وكذلك بالنسبة للأعداد الحقيقية الموجبة .${\displaystyle a}$و​​${\displaystyle b}$بحيث​​${\displaystyle \textstyle ab=\pi ^{2},}$[ ^{72 ]​}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2a}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2b}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi {\sqrt {5}},\\[5mu]{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R {{\bigl (}{-e^{-a}}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R {{\bigl (}{-e^{-b}}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi ^{-1}{\sqrt {5}}.\end{محاذاة}}}$$