نظرية مؤشر هودج

في الرياضيات ، تحدد نظرية مؤشر هودج لسطح جبري V إشارة اقتران التقاطع على المنحنيات الجبرية C على V. وتنص، بشكل عام، على أن الفضاء الذي تولده هذه المنحنيات (حتى التكافؤ الخطي ) له فضاء جزئي أحادي البعد يكون فيه موجب التحديد (غير محدد بشكل فريد)، وينقسم إلى مجموع مباشر لبعض هذا الفضاء الجزئي أحادي البعد، وفضاء جزئي مكمل يكون فيه سالب التحديد .

بصورة أكثر رسمية، حدد أن V سطح إسقاطي غير منفرد ، وليكن H فئة القواسم على V لمقطع فائق المستوى من V في تضمين إسقاطي معطى . عندئذٍ يكون التقاطع

${\displaystyle H\cdot H=d\ }$

حيث d هي درجة V ( في هذا التضمين). ليكن D فضاء المتجهات لفئات القواسم النسبية على V ، حتى التكافؤ الجبري . بُعد D محدود ويُرمز له عادةً بـ ρ( V ). تنص نظرية مؤشر هودج على أن الفضاء الجزئي المولد بواسطة H في D له فضاء جزئي مكمل يكون فيه اقتران التقاطع سالبًا تمامًا. لذلك، فإن الإشارة (التي تُسمى أيضًا المؤشر ) هي (1, ρ( V ) - 1).

تُسمى المجموعة الأبيلية لفئات القواسم حتى التكافؤ الجبري الآن مجموعة نيرون-سيفيري ؛ وهي معروفة بأنها مجموعة أبيلية مولدة نهائيًا ، وتتعلق النتيجة بحاصل ضربها الموتري مع حقل الأعداد النسبية. لذلك، فإن ρ( V ) هي أيضًا رتبة مجموعة نيرون-سيفيري (التي قد تحتوي أحيانًا على مجموعة فرعية للالتواء غير تافهة ).

أُثبتت هذه النتيجة في ثلاثينيات القرن العشرين على يد دبليو في دي هودج ، وذلك بالنسبة للمتنوعات فوق الأعداد المركبة، بعد أن كانت مجرد تخمين لبعض الوقت لدى المدرسة الإيطالية للهندسة الجبرية (وخاصةً فرانشيسكو سيفيري ، الذي أثبت في هذه الحالة أن ρ < ∞). وكانت طرق هودج هي الطرق الطوبولوجية التي أدخلها ليفشيتز . وتسري هذه النتيجة على الحقول العامة ( المغلقة جبريًا ).

• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 ، OCLC 13348052  انظر الفصل الخامس، الجزء الأول