المجموع المباشر للوحدات

في الجبر المجرد ، المجموع المباشر هو بناء يجمع بين عدة وحدات في وحدة جديدة أكبر. المجموع المباشر للوحدات هو أصغر وحدة تحتوي على الوحدات المعطاة كوحدات فرعية بدون قيود "غير ضرورية"، مما يجعلها مثالاً على حاصل ضرب مشترك . على النقيض من حاصل الضرب المباشر ، وهو مفهوم ثنائي .

تحدث الأمثلة الأكثر شيوعًا لهذا البناء عند النظر في فضاءات المتجهات (وحدات فوق حقل ) والمجموعات الإبلية (وحدات فوق حلقة Z للأعداد الصحيحة ). يمكن أيضًا توسيع البناء لتغطية فضاءات باناخ ومساحات هيلبرت .

راجع مقالة تحلل الوحدة النمطية للحصول على طريقة لكتابة وحدة نمطية كمجموع مباشر للوحدات النمطية الفرعية.

نعطي البناء أولاً في هاتين الحالتين، على افتراض أن لدينا كائنين فقط. ثم نقوم بالتعميم إلى عائلة عشوائية من الوحدات العشوائية. يمكن تحديد العناصر الأساسية للبناء العام بشكل أكثر وضوحًا من خلال النظر في هاتين الحالتين بعمق.

افترض أن V و W فضاءات متجهة على الحقل K. يمكن إعطاء حاصل الضرب الديكارتي V × W بنية فضاء متجه على الحقل K (Halmos 1974، §18) من خلال تحديد العمليات على أساس المكونات:

• ( ف ₁ ، ع ₁ ) + ( ف ₂ ، ع ₂ ) = ( ف ₁ + ف ₂ ، ع ₁ + ع ₂ )
• α ( v , w ) = ( α v , α w )

بالنسبة إلى v ، v ₁ ، v ₂ ∈ V ، w ، w ₁ ، w ₂ ∈ W ، و α ∈ K.

وتسمى مساحة المتجه الناتجة بالمجموع المباشر لـ V و W وعادةً ما يتم الإشارة إليها برمز زائد داخل دائرة: $${\displaystyle V\oplus W}$$

من المعتاد كتابة عناصر المجموع المرتب ليس كأزواج مرتبة ( v , w )، ولكن كمجموع v + w .

الفضاء الفرعي V × {0} لـ V ⊕ W متماثل مع V وغالبًا ما يتم تحديده بـ V ؛ وبالمثل بالنسبة لـ {0} × W و W. (انظر المجموع المباشر الداخلي أدناه.) مع هذا التحديد، يمكن كتابة كل عنصر من V ⊕ W بطريقة واحدة فقط كمجموع عنصر من V وعنصر من W. بُعد V ⊕ W يساوي مجموع أبعاد V و W. أحد الاستخدامات الأولية هو إعادة بناء فضاء متجه منتهٍ من أي فضاء فرعي W ومكمله المتعامد: $${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=W\oplus W^{\perp }}$$

يمكن تعميم هذا البناء بسهولة على أي عدد محدود من مساحات المتجهات.

بالنسبة للمجموعات الإبيلية G و H المكتوبة جمعيًا، يُطلق على حاصل الضرب المباشر لـ G و H أيضًا اسم المجموع المباشر (Mac Lane & Birkhoff 1999, §V.6). وبالتالي، فإن حاصل الضرب الديكارتي G × H مزود ببنية المجموعة الإبيلية من خلال تحديد العمليات على أساس المكونات:

( ز ₁ ، ح _​​1 ) + ( ز ₂ ، ح ₂ ) = ( ز ₁ + ز ₂ ، ح ₁ + ح ₂ )

بالنسبة إلى g ₁ ، و g 2 _في G ، و h ₁ ، وh ₂ في H.

يتم تعريف المضاعفات المتكاملة بشكل مماثل على أساس المكونات بواسطة

ن ( ج ، ح ) = ( ن ج ، ن ح )

بالنسبة إلى g في G ، وh في H ، و n عدد صحيح . وهذا يوازي امتداد حاصل الضرب القياسي لمساحات المتجهات إلى المجموع المباشر أعلاه.

وتسمى المجموعة الإبيلية الناتجة بالمجموع المباشر لـ G و H وعادةً ما يتم الإشارة إليها برمز زائد داخل دائرة: $${\displaystyle G\oplus H}$$

من المعتاد كتابة عناصر المجموع المرتب ليس كأزواج مرتبة ( g , h )، ولكن كمجموع g + h .

المجموعة الفرعية G × {0} من G ⊕ H متماثلة مع G وغالبًا ما يتم تحديدها باستخدام G ؛ وبالمثل بالنسبة لـ {0} × H و H. (انظر المجموع المباشر الداخلي أدناه.) مع هذا التحديد، من الصحيح أن كل عنصر من G ⊕ H يمكن كتابته بطريقة واحدة فقط كمجموع عنصر من G وعنصر من H. رتبة G ⊕ H تساوي مجموع رتبتي G و H.

ينطبق هذا البناء بسهولة على أي عدد محدود من المجموعات الإبيلية.

ينبغي للمرء أن يلاحظ تشابهًا واضحًا بين تعريفات المجموع المباشر لفضائيين متجهين ومجموعتين أبيليتين. في الواقع، كل منهما عبارة عن حالة خاصة لبناء المجموع المباشر لوحدتين . بالإضافة إلى ذلك، من خلال تعديل التعريف، يمكن للمرء استيعاب المجموع المباشر لعائلة لا نهائية من الوحدات. التعريف الدقيق هو كما يلي (بورباكي 1989، §II.1.6).

ليكن R حلقة، و{ M _i  :  i  ∈  I } عائلة من وحدات R اليسرى مفهرسة بالمجموعة I . يُعرَّف المجموع المباشر لـ { M _i } بعد ذلك بأنه مجموعة جميع المتتاليات حيث و لعدد لا نهائي من المؤشرات i . ( الناتج المباشر مماثل ولكن المؤشرات لا يلزم أن تتلاشى بشكل لا نهائي.) ${\displaystyle (\alpha _{i})}$${\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}=0}$

يمكن تعريفها أيضًا على أنها وظائف α من I إلى الاتحاد المنفصل للوحدات النمطية M _i بحيث α( i ) ∈  M _i لجميع i ∈ I وα( i ) = 0 لعدد لا نهائي من المؤشرات i . يمكن اعتبار هذه الوظائف على نحو مكافئ أقسامًا مدعومة بشكل نهائي لحزمة الألياف على مجموعة المؤشرات I ، مع كون الألياف على . ${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle M_{i}}$

ترث هذه المجموعة بنية الوحدة النمطية من خلال الجمع على مستوى المكونات والضرب القياسي. صراحةً، يمكن إضافة تسلسلين (أو دالتين) α وβ من خلال الكتابة لجميع i (لاحظ أن هذا يساوي صفرًا مرة أخرى لجميع المؤشرات باستثناء عدد محدود للغاية)، ويمكن ضرب مثل هذه الدالة بعنصر r من R من خلال التعريف لجميع i . وبهذه الطريقة، يصبح المجموع المباشر وحدة نمطية R يسارية ، ويُشار إليه بـ ${\displaystyle (\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}}$${\displaystyle r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}}$$${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}.}$$

من المعتاد كتابة المتتالية كمجموع . في بعض الأحيان، يتم استخدام مجموع أولي للإشارة إلى أن عددًا لا نهائيًا من الحدود يساوي صفرًا. ${\displaystyle (\alpha _{i})}$${\displaystyle \sum \alpha _{i}}$${\displaystyle \sum '\alpha _{i}}$

• المجموع المباشر هو وحدة فرعية من حاصل الضرب المباشر للوحدات M _i (بورباكي 1989، §II.1.7). حاصل الضرب المباشر هو مجموعة جميع الدوال α من I إلى الاتحاد المنفصل للوحدات M _i مع α ( i )∈ M _i ، ولكن ليس بالضرورة متلاشيًا للجميع باستثناء عدد محدود من i . إذا كانت مجموعة الفهرس I منتهية، فإن المجموع المباشر وحاصل الضرب المباشر متساويان.
• يمكن تعريف كل وحدة من الوحدات النمطية M _i بالوحدة النمطية الفرعية للمجموع المباشر المكونة من تلك الدوال التي تختفي عند جميع المؤشرات المختلفة عن i . وباستخدام هذه التعريفات، يمكن كتابة كل عنصر x من المجموع المباشر بطريقة واحدة فقط كمجموع لعدد محدود من العناصر من الوحدات النمطية M _i .
• إذا كانت M _i عبارة عن فضاءات متجهة بالفعل، فإن بُعد المجموع المباشر يساوي مجموع أبعاد M _i . وينطبق الأمر نفسه على رتبة المجموعات الإبلية وطول الوحدات .
• كل فضاء متجه فوق الحقل K متماثل لمجموع مباشر لعدد كافٍ من نسخ K ، لذا بمعنى ما، يجب فقط اعتبار هذه المجموعات المباشرة. وهذا ليس صحيحًا بالنسبة للوحدات فوق الحلقات التعسفية.
• يتم توزيع حاصل الضرب الموتر على المجاميع المباشرة بالمعنى التالي: إذا كانت N عبارة عن وحدة R صحيحة ، فإن المجموع المباشر لمنتجات الموتر لـ N مع M _i (والتي هي مجموعات أبيلية) يكون متماثلًا بشكل طبيعي مع حاصل الضرب الموتر لـ N مع المجموع المباشر لـ M _i .
• المجاميع المباشرة هي مجاميع تبادلية وترابطية (حتى التماثل)، وهذا يعني أنه لا يهم الترتيب الذي يتم به تشكيل المجموع المباشر.
• المجموعة الإبيلية للتماثلات الخطية R من المجموع المباشر إلى بعض وحدات R - L اليسرى متماثلة بشكل طبيعي مع الحاصل المباشر للمجموعات الإبيلية للتماثلات الخطية R من M _i إلى L : في الواقع، يوجد بوضوح تماثل τ من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمن، حيث τ ( θ )( i ) هو التماثل الخطي R الذي يرسل x ∈ M _i إلى θ ( x ) (باستخدام التضمين الطبيعي لـ M _i في المجموع المباشر). يتم تعريف معكوس التماثل τ بواسطة لأي α في المجموع المباشر للوحدات M _i . النقطة الأساسية هي أن تعريف τ ⁻¹ منطقي لأن α ( i ) يساوي صفرًا لجميع الوحدات ما عدا عددًا محدودًا من i ، وبالتالي يكون المجموع محدودًا.$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}{\biggl (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}\left(M_{i},L\right).}$$ $${\displaystyle \tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta (i)(\alpha (i))}$$
  وعلى وجه الخصوص، فإن فضاء المتجه المزدوج لمجموع مباشر لمساحات المتجهات يكون متماثلًا مع الحاصل المباشر لمزدوجي تلك المساحات.
• المجموع المباشر المحدود للوحدات النمطية هو حاصل ضرب ثنائي : إذا كانت هما تعيينات الإسقاط القياسية و هما تعيينات التضمين، فإنهما يساويان الشكل المتطابق لـ A ₁ ⊕ ⋯ ⊕ A _n ، و هو الشكل المتطابق لـ A _k في الحالة l = k ، و هو الخريطة الصفرية بخلاف ذلك.$${\displaystyle p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}}$$$${\displaystyle i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$$$${\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}}$$$${\displaystyle p_{k}\circ i_{l}}$$

لنفترض أن M هي وحدة R و M _i هي وحدة فرعية من M لكل i في I. إذا كان من الممكن كتابة كل x في M بطريقة واحدة تمامًا كمجموع عدد محدود من عناصر M _i ، فإننا نقول إن M هو المجموع المباشر الداخلي للوحدات الفرعية M _i (Halmos 1974، §18). في هذه الحالة، تكون M متماثلة بشكل طبيعي مع المجموع المباشر (الخارجي) لـ M _i كما هو محدد أعلاه (Adamson 1972، ص 61).

الوحدة الفرعية N من M هي مجموع مباشر لـ M إذا كانت هناك وحدة فرعية أخرى N′ من M بحيث يكون M هو المجموع المباشر الداخلي لـ N و N′ . في هذه الحالة، تسمى N و N′ وحدات فرعية تكميلية .

في لغة نظرية الفئات ، يكون المجموع المباشر حاصل ضرب مشترك وبالتالي حدًا مشتركًا في فئة وحدات R اليسرى ، مما يعني أنه يتميز بالخاصية العالمية التالية . لكل i في I ، ضع في اعتبارك التضمين الطبيعي

${\displaystyle j_{i}:M_{i}\rightarrow \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$

الذي يرسل عناصر M _i إلى تلك الدوال التي تكون صفرًا لجميع الحجج باستثناء i . الآن دع M تكون وحدة R عشوائية و f _i  : M _i → M تكون خرائط خطية R عشوائية لكل i ، إذن توجد خريطة خطية R واحدة على وجه التحديد

${\displaystyle f:\bigoplus _{i\in I}M_{i}\rightarrow M}$

بحيث أن f o j _i = f _i لجميع i .

يعطي المجموع المباشر لمجموعة من الأشياء بنية أحادي تبادلي ، حيث يتم تعريف جمع الأشياء، ولكن ليس الطرح. في الواقع، يمكن تعريف الطرح، ويمكن تمديد كل أحادي تبادلي إلى مجموعة أبيلية . يُعرف هذا الامتداد باسم مجموعة جروثينديك . يتم الامتداد عن طريق تحديد فئات التكافؤ لأزواج الأشياء، مما يسمح بمعاملة أزواج معينة على أنها معكوسات. البناء، المفصل في المقالة حول مجموعة جروثينديك، "عالمي"، حيث يتمتع بالخاصية العالمية لكونه فريدًا ومتماثلًا لأي تضمين آخر لأحادي تبادلي في مجموعة أبيلية.

إذا كانت الوحدات النمطية التي نأخذها في الاعتبار تحمل بنية إضافية (على سبيل المثال، معيار أو حاصل ضرب داخلي )، فيمكن غالبًا جعل المجموع المباشر للوحدات النمطية يحمل هذه البنية الإضافية أيضًا. في هذه الحالة، نحصل على حاصل الضرب المشترك في الفئة المناسبة لجميع الكائنات التي تحمل البنية الإضافية. يحدث مثالان بارزان لمساحات باناخ ومساحات هيلبرت .

في بعض النصوص الكلاسيكية، يتم تقديم عبارة "المجموع المباشر للجبر على حقل " أيضًا للإشارة إلى البنية الجبرية التي يطلق عليها حاليًا بشكل أكثر شيوعًا اسم حاصل ضرب مباشر للجبر؛ أي حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات الأساسية مع العمليات المكونة . ومع ذلك، لا يوفر هذا البناء حاصل ضرب مشترك في فئة الجبر، بل حاصل ضرب مباشر ( انظر الملاحظة أدناه والملاحظة حول المجاميع المباشرة للحلقات ).

مجموع مباشر للجبر و هو المجموع المباشر لمساحات المتجهات، مع حاصل ضرب ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle (x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}).}$

خذ بعين الاعتبار هذه الأمثلة الكلاسيكية:

${\displaystyle \mathbf {R} \oplus \mathbf {R} }$هي حلقة متماثلة للأعداد المركبة المنقسمة ، وتستخدم أيضًا في تحليل الفواصل .

${\displaystyle \mathbf {C} \oplus \mathbf {C} }$هو جبر التيسارين الذي قدمه جيمس كوكلي في عام 1848.

${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} ,}$تسمى هذه المجموعة بالثنائيات الرباعية المنقسمة ، وقد قدمها ويليام كينجدون كليفورد في عام 1873.

استغل جوزيف ويديربيرن مفهوم المجموع المباشر للجبر في تصنيفه للأعداد الفائقة التعقيد . انظر محاضراته عن المصفوفات (1934)، الصفحة 151. يوضح ويديربيرن التمييز بين المجموع المباشر والضرب المباشر للجبر: بالنسبة للمجموع المباشر، يعمل مجال القياسات القياسية بشكل مشترك على كلا الجزأين: بينما بالنسبة للضرب المباشر، يمكن جمع عامل قياسي بالتناوب مع الجزأين، ولكن ليس كلاهما: يستخدم إيان آر بورتيوس المجموعات المباشرة الثلاثة أعلاه، ويشير إليها كحلقات من القياسات القياسية في تحليله لجبر كليفورد والمجموعات الكلاسيكية (1995). ${\displaystyle \lambda (x\oplus y)=\lambda x\oplus \lambda y}$${\displaystyle \lambda (x,y)=(\lambda x,y)=(x,\lambda y).}$ ${\displaystyle ^{2}R,\ ^{2}C,\ ^{2}H,}$

يتبع البناء الموصوف أعلاه، بالإضافة إلى استخدام ويديربيرن لمصطلحي المجموع المباشر والضرب المباشر اتفاقية مختلفة عن تلك الموجودة في نظرية الفئات . من حيث التصنيف، فإن المجموع المباشر لويديربيرن هو ضرب تصنيفي ، بينما الضرب المباشر لويديربيرن هو ضرب مشترك (أو مجموع تصنيفي) ، والذي (بالنسبة للجبر التبادلي) يتوافق في الواقع مع حاصل الضرب الموتر للجبر .

المجموع المباشر لمساحتي باناخ و هو المجموع المباشر لـ و يعتبران فضاءين متجهين، مع القاعدة لجميع و${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \|(x,y)\|=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y.}$

بشكل عام، إذا كانت عبارة عن مجموعة من مساحات باناخ، حيث تعبر مجموعة الفهرس ، فإن المجموع المباشر عبارة عن وحدة تتكون من جميع الوظائف المحددة على النحو التالي: بالنسبة لجميع و ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I,}$${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}X_{i}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle x(i)\in X_{i}}$${\displaystyle i\in I}$$${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty .}$$

يتم تحديد القاعدة من خلال المجموع أعلاه. والمجموع المباشر مع هذه القاعدة هو مرة أخرى فضاء باناخ.

على سبيل المثال، إذا أخذنا مجموعة الفهرس ، فإن المجموع المباشر هو الفضاء الذي يتكون من جميع تسلسلات الأعداد الحقيقية ذات القاعدة المحدودة${\displaystyle I=\mathbb {N} }$${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}$${\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$${\displaystyle \ell _{1},}$${\displaystyle \left(a_{i}\right)}$${\textstyle \|a\|=\sum _{i}\left|a_{i}\right|.}$

تُكمَّل مساحة فرعية مغلقة من فضاء باناخ إذا كان هناك مساحة فرعية مغلقة أخرى من هذا النوع تساوي المجموع المباشر الداخلي. لاحظ أنه ليس كل مساحة فرعية مغلقة مُكمَّلة؛ على سبيل المثال، لا تُكمَّل في${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\oplus B.}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$

ليكن عائلة مفهرسة بواسطة وحدات مزودة بأشكال ثنائية الخط . المجموع المباشر المتعامد هو المجموع المباشر للوحدات ذات الشكل الثنائي الخطي المحدد بواسطة ^[1] حيث يكون المجموع منطقيًا حتى بالنسبة لمجموعات الفهارس اللانهائية لأن عددًا محدودًا فقط من الحدود غير صفرية. ${\displaystyle \left\{\left(M_{i},b_{i}\right):i\in I\right\}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle B}$ $${\displaystyle B\left({\left({x_{i}}\right),\left({y_{i}}\right)}\right)=\sum _{i\in I}b_{i}\left({x_{i},y_{i}}\right)}$$${\displaystyle I}$

إذا تم إعطاء عدد محدود من فضاءات هيلبرت ، فيمكن إنشاء مجموعها المباشر المتعامد كما هو موضح أعلاه (نظرًا لأنها فضاءات متجهة)، مع تحديد الحاصل الداخلي على النحو التالي: ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$$${\displaystyle \left\langle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle +\cdots +\langle x_{n},y_{n}\rangle .}$$

المجموع المباشر الناتج هو فضاء هيلبرت الذي يحتوي على فضاءات هيلبرت المعطاة كمساحات فرعية متعامدة بشكل متبادل .

إذا تم إعطاء عدد لا نهائي من فضاءات هيلبرت ، فيمكننا تنفيذ نفس البناء؛ لاحظ أنه عند تعريف الحاصل الداخلي، لن يكون هناك سوى عدد محدود من المجاميع التي لا تساوي صفرًا. ومع ذلك، ستكون النتيجة عبارة عن فضاء حاصل داخلي فقط ولن تكون بالضرورة كاملة . ثم نقوم بتعريف المجموع المباشر لمساحات هيلبرت ليكون اكتمال فضاء الحاصل الداخلي هذا. ${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle H_{i}}$

وبدلاً من ذلك وبشكل مكافئ، يمكننا تعريف المجموع المباشر لمساحات هيلبرت على أنه فضاء جميع الدوال α ذات المجال بحيث يكون عنصرًا لكل و: ${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle I,}$${\displaystyle \alpha (i)}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle i\in I}$$${\displaystyle \sum _{i}\left\|\alpha _{(i)}\right\|^{2}<\infty .}$$

ثم يتم تعريف الحاصل الداخلي للدالتين α و β على النحو التالي: $${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle .}$$

هذه المساحة مكتملة ونحصل على مساحة هيلبرت.

على سبيل المثال، إذا أخذنا مجموعة الفهرس ، فإن المجموع المباشر هو الفضاء الذي يتكون من جميع متواليات الأعداد الحقيقية ذات القاعدة المحدودة. وبمقارنة هذا بمثال فضاءات باناخ ، نرى أن المجموع المباشر لفضاء باناخ والمجموع المباشر لفضاء هيلبرت ليسا بالضرورة متماثلين. ولكن إذا كان هناك عدد محدود فقط من المجاميع، فإن المجموع المباشر لفضاء باناخ يكون متماثلًا مع المجموع المباشر لفضاء هيلبرت، على الرغم من أن القاعدة ستكون مختلفة. ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}$${\displaystyle \oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$${\displaystyle \ell _{2},}$${\displaystyle \left(a_{i}\right)}$${\textstyle \|a\|={\sqrt {\sum _{i}\left\|a_{i}\right\|^{2}}}.}$

كل فضاء هيلبرت متماثل لمجموع مباشر لعدد كافٍ من نسخ الحقل الأساسي، والذي يكون إما هذا يعادل التأكيد على أن كل فضاء هيلبرت له أساس متعامد عمودي. وبشكل عام، فإن كل فضاء مغلق من فضاء هيلبرت مكمل لأنه يسمح بمكمل متعامد . وعلى العكس من ذلك، تؤكد نظرية ليندنشتراوس-تزافريري أنه إذا تم استكمال كل فضاء مغلق من فضاء باناخ، فإن فضاء باناخ متماثل (طوبولوجيًا) مع فضاء هيلبرت. ${\displaystyle \mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {C} .}$

• المنتج الثانوي  – في نظرية الفئات، هو كائن يكون منتجًا ومنتجًا ثانويًا بطرق متوافقةPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• وحدة غير قابلة للتحلل
• نظرية جوردان-هولدر  – تحلل البنية الجبريةPages displaying short descriptions of redirect targets
• نظرية كرول-شميدت  – نظرية رياضية
• التسلسل الدقيق المنقسم  - تسلسل دقيق قصير حيث يكون الحد الأوسط هو المجموع المباشر للحدين الخارجيين مع كون خرائط البنية هي التضمين والإسقاط الأساسيينPages displaying wikidata descriptions as a fallback

• آدمسون، إيان ت. (1972)، الحلقات والوحدات الأولية ، نصوص الرياضيات الجامعية، أوليفر وبويد، رقم ISBN 0-05-002192-3.
• بورباكي، نيكولاس (1989)، عناصر الرياضيات، الجبر 1 ، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 3-540-64243-9.
• دوميت، ديفيد س.؛ فوت، ريتشارد م. (1991)، الجبر المجرد ، إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول، المحدودة، رقم ISBN 0-13-004771-6.
• هالموس، بول (1974)، فضاءات متجهية ذات أبعاد محدودة ، سبرينغر، رقم ISBN 0-387-90093-4
• ماك لين، س .؛ بيركهوف، ج. (1999)، الجبر ، AMS Chelsea، ISBN 0-8218-1646-2.