علاقة تكافؤ كافية

في الهندسة الجبرية ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، تُعرَّف علاقة التكافؤ الكافية بأنها علاقة تكافؤ على الدورات الجبرية للأصناف الإسقاطية الملساء، تُستخدم للحصول على نظرية فعّالة لهذه الدورات، وعلى وجه الخصوص، نواتج التقاطع المُعرَّفة تعريفًا دقيقًا . وقد صاغ بيير صموئيل مفهوم علاقة التكافؤ الكافية رسميًا عام ١٩٥٨. ^{[ ١ ]} ومنذ ذلك الحين، أصبحت هذه العلاقة محورية في نظرية الدوافع. فلكل علاقة تكافؤ كافية، يُمكن تعريف فئة الدوافع الخالصة بالنسبة لتلك العلاقة.

تشمل علاقات التكافؤ الكافية الممكنة (والمفيدة) التكافؤ النسبي والجبري والتماثلي والعددي . وتُسمى "كافية" لأن القسمة على علاقة التكافؤ دالة ، أي أن عملية الدفع للأمام (مع تغيير البُعد المشترك) والسحب للخلف للدورات مُعرّفة جيدًا. تُشكّل دورات البُعد المشترك 1 بتردد التكافؤ النسبي المجموعة الكلاسيكية للقواسم بتردد التكافؤ الخطي. تُشكّل جميع الدورات بتردد التكافؤ النسبي حلقة تشاو .

ليكن Z ^* ( X )  := Z [ X ] الزمرة الأبيلية الحرة على الدورات الجبرية لـ X. عندئذٍ، تكون علاقة التكافؤ الكافية عائلة من علاقات التكافؤ ، ~ _X على Z ^* ( X )، علاقة واحدة لكل تنوع إسقاطي أملس X ، تحقق الشروط الثلاثة التالية:

1. (الخطية) علاقة التكافؤ متوافقة مع إضافة الدورات.
2. ( مبدأ الحركة ) إذا${\displaystyle \alpha ,\beta \in Z^{*}(X)}$إذا كانت X دورات ، فإنه يوجد دورة${\displaystyle \alpha '\in Z^{*}(X)}$بحيث${\displaystyle \alpha }$~ _X${\displaystyle \alpha '}$و${\displaystyle \alpha '}$يتقاطع${\displaystyle \beta }$على وجه صحيح.
3. (الدفع للأمام) دع${\displaystyle \alpha \in Z^{*}(X)}$و${\displaystyle \beta \in Z^{*}(X\times Y)}$تكون دورات بحيث${\displaystyle \beta }$يتقاطع${\displaystyle \alpha \times Y}$بشكل صحيح. إذا${\displaystyle \alpha }$~ _X 0، إذن${\displaystyle (\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))}$~ _Y 0، حيث${\displaystyle \pi _{Y}:X\times Y\to Y}$هو الإسقاط.

يُشار غالبًا إلى دورة الدفع للأمام في البديهية الأخيرة بـ

${\displaystyle \beta (\alpha ):=(\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))}$

لو${\displaystyle \beta }$إذا كان الرسم البياني لدالة ما هو X ، فإن هذا الرسم يختزل إلى تمثيلها المباشر. تُعرف تعميمات الدوال من X إلى Y إلى دورات على X × Y باسم التطابقات . تسمح لنا البديهية الأخيرة بتمديد الدورات بواسطة تطابق.

تم تجميع علاقات التكافؤ الأكثر شيوعًا، مرتبة من الأقوى إلى الأضعف، في الجدول التالي.

	تعريف	ملاحظات
التكافؤ العقلاني	Z ~ rat Z' إذا كانت هناك دورة V على X × P 1 مسطحة فوق P 1 ، بحيث يكون [ V ∩ X × {0}] − [ V ∩ X × {∞}] = [ Z ] − [ Z' ].	أفضل علاقة تكافؤ كافية (الفرضية 3.2.2.1 في كتاب إيف أندريه [ 2 ] )، حيث يرمز الرمز "∩" إلى التقاطع بالمعنى النظري للدورات (أي مع التعددية)، بينما يرمز الرمز [ . ] إلى الدورة المرتبطة بمخطط فرعي. انظر أيضًا حلقة تشاو .
التكافؤ الجبري	Z ~ alg Z ′ إذا كان هناك منحنى C ودورة V على X × C مسطحة فوق C ، بحيث يكون [ V ∩ X × { c }] − [ V ∩ X × { d }] = [ Z ] − [ Z' ] لنقطتين c و d على المنحنى.	أقوى بكثير من التكافؤ الهومولوجي، كما يُقاس بواسطة مجموعة غريفيث . انظر أيضًا مجموعة نيرون-سيفيري .
تكافؤ التحطيم والعدمية	Z ~ sn Z ′ إذا كان Z − Z ′ smash-nilpotent على X ، أي إذا${\displaystyle (ZZ')^{\otimes n}}$~ rat 0 on X n for n >> 0.	تم تقديمه بواسطة فويفودسكي في عام 1995. [ 3 ]
التكافؤ المتجانس	بالنسبة لـ Weil cohomology H معين ، فإن Z ~ hom Z ′ إذا كانت صورة الدورات تحت خريطة فئة الدورة متطابقة.	يعتمد ذلك مسبقًا على اختيار H ، دون افتراض التخمين القياسي D
التكافؤ العددي	Z ~ num Z ′ إذا كانت deg( Z ∩ T ) = deg( Z ′ ∩ T )، حيث T هي أي دورة بحيث يكون dim T = codim Z (التقاطع هو تركيبة خطية من النقاط ونضيف تعددية التقاطع عند كل نقطة للحصول على الدرجة.)	أبسط علاقة تكافؤ (التمرين 3.2.7.2 في كتاب إيف أندريه [ 4 ] )

• كلايمان، ستيفن ل. (1972)، "الدوافع"، في أورت، ف . (محرر)، الهندسة الجبرية، أوسلو 1970 (وقائع المدرسة الصيفية الشمالية الخامسة في الرياضيات، أوسلو، 1970) ، جرونينجن: وولترز-نوردوف، ص 53-82 ، MR 0382267  
• يانسن، يو. (2000)، "علاقات التكافؤ على الدورات الجبرية"، الحساب والهندسة للدورات الجبرية، ناتو، 200 ، شركة كلوير للنشر الأكاديمي: 225-260