مجموعة فائقة التحديد

في التحليل غير القياسي ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، تُعدّ المجموعة فائقة التنتهي أو المجموعة *-المنتهية نوعًا من المجموعات الداخلية . تكون المجموعة الداخلية H ذات العدد الداخلي g ∈ * N (الأعداد الفائقة الطبيعية ) فائقة التنتهي إذا وفقط إذا وُجد تقابل داخلي بين G = {1,2,3,..., g } و H. ^{[ 1 ] [ 2 ]} تشترك المجموعات فائقة التنتهي في خصائص المجموعات المنتهية: فالمجموعة فائقة التنتهي لها عناصر دنيا وعناصر قصوى، ويمكن اشتقاق اتحاد فائق التنتهي لمجموعة فائقة التنتهي من مجموعات فائقة التنتهي. يوجد دائمًا مجموع عناصر أي مجموعة جزئية فائقة التنتهي من * R ، مما يؤدي إلى إمكانية التكامل المُعرّف جيدًا . ^{[ 2 ]}

يمكن استخدام المجموعات فائقة التفرع لتقريب مجموعات أخرى. إذا كانت مجموعة فائقة التفرع تقرب فترة ما، فإنها تسمى فترة قريبة بالنسبة لتلك الفترة. لنفترض مجموعة فائقة التفرع${\displaystyle K=\{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}\}}$مع عدد طبيعي فائق n . تُعتبر K فترة شبه كاملة للفترة [ a, b] إذا كان k₁ = a و kₙ = b ، وإذا كان _الفرق بين العناصر المتتالية في K _{متناهيًا} في الصغر . بعبارة أخرى ، الشرط هو أنه لكل r ∈ [ a , b ] يوجد kᵢ _∈ K بحيث kᵢ ≈ _r . هذا، على سبيل المثال ، يسمح بتقريب دائرة الوحدة ، التي تُعتبر المجموعة${\displaystyle e^{i\theta }}$لـ θ في الفترة [0,2π]. ^{[ 2 ]}

بشكل عام، لا تُعتبر المجموعات الجزئية من المجموعات فائقة التفرع فائقة التفرع، وذلك غالباً لأنها لا تحتوي على العناصر المتطرفة للمجموعة الأصلية. ^{[ 3 ]}

من حيث بناء القوة الفائقة ، يُعرَّف الخط الفائق الحقيقي * R على أنه مجموعة فئات التكافؤ للمتتاليات${\displaystyle \langle u_{n},n=1,2,\ldots \rangle }$من الأعداد الحقيقية u _{∈ n} . أي أن فئة التكافؤ تُعرّف عددًا فائقًا حقيقيًا، يُرمز إليه بـ${\displaystyle [u_{n}]}$في تدوين غولدبلات. وبالمثل، فإن أي مجموعة فائقة التضاؤل ​​في * R تكون على الشكل التالي:${\displaystyle [A_{n}]}$ويتم تعريفها بواسطة تسلسل${\displaystyle \langle A_{n}\rangle }$من المجموعات المنتهية${\displaystyle A_{n}\subseteq \mathbb {R} ,n=1,2,\ldots }$^{[ 4 ]}

• إم. إنسال. "المجموعة فائقة التضاؤل" . عالم الرياضيات .