Infinitesimal

In mathematics, an infinitesimal number is a non-zero quantity that is closer to 0 than any non-zero real number is. The word infinitesimal comes from a 17th-century Modern Latin coinage infinitesimus, which originally referred to the "infinitieth" item in a sequence.

Infinitesimals do not exist in the standard real number system, but they do exist in other number systems, such as the surreal number system and the hyperreal number system, of which can be thought as the real numbers augmented with both infinitesimal and infinite quantities; the augmentations are the reciprocals of one another.

Infinitesimal numbers were introduced in the development of calculus, in which the derivative was first conceived as a ratio of two infinitesimal quantities. This definition was not rigorously formalized. As calculus developed further, infinitesimals were replaced by limits, which can be calculated using the standard real numbers.

In the 3rd century BC Archimedes used what eventually came to be known as the method of indivisibles in his work The Method of Mechanical Theorems to find areas of regions and volumes of solids.^[1] In his formal published treatises, Archimedes solved the same problem using the method of exhaustion.

Infinitesimals regained popularity in the 20th century with Abraham Robinson's development of nonstandard analysis and the hyperreal numbers, which, after centuries of controversy, showed that a formal treatment of infinitesimal calculus was possible. Following this, mathematicians developed surreal numbers, a related formalization of infinite and infinitesimal numbers that include both hyperreal cardinal and ordinal numbers, which is the largest ordered field.

Vladimir Arnold wrote in 1990:

Nowadays, when teaching analysis, it is not very popular to talk about infinitesimal quantities. Consequently, present-day students are not fully in command of this language. Nevertheless, it is still necessary to have command of it.^[2]

كان أحد الأفكار التي ساهمت في جعل الكيانات المتناهية الصغر كيانات رياضية ممكنة هو أنها لا تزال تحتفظ ببعض الخصائص مثل الزاوية أو الميل ، حتى لو كانت هذه الكيانات متناهية الصغر. ^{[ 3 ]}

تُعدّ المتناهيات في الصغر عنصرًا أساسيًا في حساب التفاضل والتكامل كما وضعه لايبنتز ، بما في ذلك قانون الاستمرارية وقانون التجانس المتسامي . في اللغة الدارجة، يُعرَّف المتناهي في الصغر بأنه جسم أصغر من أي قياس ممكن، ولكنه ليس صفرًا في الحجم، أو صغير جدًا لدرجة أنه لا يمكن تمييزه عن الصفر بأي وسيلة متاحة. لذا، عند استخدامه كصفة في الرياضيات، يعني المتناهي في الصغر صغيرًا جدًا، أصغر من أي عدد حقيقي قياسي. غالبًا ما تُقارن المتناهيات في الصغر بمتناهيات أخرى في الصغر ذات حجم مماثل، كما هو الحال عند دراسة مشتقة دالة. ويتم جمع عدد لا نهائي من المتناهيات في الصغر لحساب التكامل .

ظهر المفهوم الحديث للمتناهيات في الصغر حوالي عام 1670 على يد نيكولاس ميركاتور أو غوتفريد فيلهلم لايبنتز . ^{[ 4 ]} شهد القرن الخامس عشر أعمال نيكولاس الكوزاني ، التي طورها يوهانس كيبلر في القرن السابع عشر ، ولا سيما حساب مساحة الدائرة بتمثيلها كمضلع لا نهائي الأضلاع. مهدت أعمال سيمون ستيفن حول التمثيل العشري لجميع الأعداد في القرن السادس عشر الطريق لمفهوم المتصل الحقيقي. أدت طريقة بونافنتورا كافالييري للمتناهيات في الصغر إلى توسيع نتائج المؤلفين الكلاسيكيين. ارتبطت طريقة المتناهيات في الصغر بالأشكال الهندسية باعتبارها مكونة من كيانات ذات بُعد مشترك يساوي 1. اختلفت متناهيات الصغر لجون واليس عن المتناهيات في الصغر في أنه كان يُحلل الأشكال الهندسية إلى وحدات بناء رقيقة للغاية لها نفس بُعد الشكل، مما مهد الطريق لطرق عامة في حساب التكامل. لقد استغل قيمة متناهية الصغر يرمز لها بـ 1/∞ في حسابات المساحة.

The use of infinitesimals by Leibniz relied upon heuristic principles, such as the law of continuity: what succeeds for the finite numbers succeeds also for the infinite numbers and vice versa; and the transcendental law of homogeneity that specifies procedures for replacing expressions involving unassignable quantities, by expressions involving only assignable ones. The 18th century saw routine use of infinitesimals by mathematicians such as Leonhard Euler and Joseph-Louis Lagrange. Augustin-Louis Cauchy exploited infinitesimals both in defining continuity in his Cours d'Analyse, and in defining an early form of a Dirac delta function. As Cantor and Dedekind were developing more abstract versions of Stevin's continuum, Paul du Bois-Reymond wrote a series of papers on infinitesimal-enriched continua based on growth rates of functions. Du Bois-Reymond's work inspired both Émile Borel and Thoralf Skolem. Borel explicitly linked du Bois-Reymond's work to Cauchy's work on rates of growth of infinitesimals. Skolem developed the first non-standard models of arithmetic in 1934. A mathematical implementation of both the law of continuity and infinitesimals was achieved by Abraham Robinson in 1961, who developed nonstandard analysis based on earlier work by Edwin Hewitt in 1948 and Jerzy Łoś in 1955. The hyperreals implement an infinitesimal-enriched continuum and the transfer principle implements Leibniz's law of continuity. The standard part function implements Fermat's adequality.

ناقشت المدرسة الإيليتية مفهوم الكميات المتناهية الصغر . وكان عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس (حوالي  287  ق.م. - حوالي  212  ق.م.)، في كتابه "طريقة النظريات الميكانيكية" ، أول من اقترح تعريفًا منطقيًا دقيقًا للمتناهيات في الصغر. ^{[ 5 ]} تُعرّف خاصية أرخميدس العدد x بأنه لانهائي إذا حقق الشروط | x | > 1، | x | > 1 + 1، | x | > 1 + 1 + 1، ...، ومتناهي في الصغر إذا كان x ≠ 0، وينطبق عليه مجموعة مماثلة من الشروط على x ومقلوبات الأعداد الصحيحة الموجبة. ويُقال إن نظامًا عدديًا أرخميدسيًا إذا لم يحتوِ على أي عناصر لانهائية أو متناهية في الصغر.

قدّم عالم الرياضيات الإنجليزي جون واليس التعبير 1/∞ في كتابه "رسالة في القطوع المخروطية " عام 1655. هذا الرمز، الذي يدل على مقلوب أو معكوس ∞ ، هو التمثيل الرمزي للمفهوم الرياضي للكمية المتناهية الصغر. في كتابه " رسالة في القطوع المخروطية" ، يناقش واليس أيضًا مفهوم العلاقة بين التمثيل الرمزي للكمية المتناهية الصغر 1/∞ الذي قدّمه ومفهوم اللانهاية الذي خصص له الرمز ∞. يقترح هذا المفهوم تجربة فكرية تتمثل في إضافة عدد لا نهائي من متوازيات الأضلاع ذات العرض المتناهي الصغر لتكوين مساحة محدودة. كان هذا المفهوم بمثابة النواة الأولى لطريقة التكامل الحديثة المستخدمة في حساب التكامل . يمكن تتبع الأصول المفاهيمية لمفهوم 1/∞ المتناهي الصغر إلى الفيلسوف اليوناني زينون الإيلي ، الذي كانت مفارقة زينون الثنائية أول مفهوم رياضي يأخذ في الاعتبار العلاقة بين فترة محدودة وفترة تقترب من فترة متناهية الصغر.  

كانت الكميات المتناهية الصغر موضوعًا للجدل السياسي والديني في أوروبا في القرن السابع عشر، بما في ذلك حظر الكميات المتناهية الصغر الذي أصدره رجال الدين في روما عام 1632. ^{[ 6 ]}

قبل اختراع حساب التفاضل والتكامل، كان بإمكان علماء الرياضيات حساب الخطوط المماسية باستخدام طريقة بيير دي فيرما للمساواة وطريقة رينيه ديكارت للمتجهات العمودية . ولا يزال الجدل قائمًا بين الباحثين حول ما إذا كانت هذه الطريقة ذات طبيعة جبرية أم متناهية الصغر. عندما اخترع نيوتن وليبنيز حساب التفاضل والتكامل ، استخدما المتناهيات في الصغر، وتدفقات نيوتن ، وتفاضل ليبنيز . وقد انتقد الأسقف بيركلي استخدام المتناهيات في الصغر في كتابه "المحلل " ووصفه بأنه غير صحيح . ^{[ 7 ]} ومع ذلك، استمر علماء الرياضيات والعلماء والمهندسون في استخدام المتناهيات في الصغر للوصول إلى نتائج صحيحة. في النصف الثاني من القرن التاسع عشر، أعاد أوغسطين لويس كوشي ، وبرنارد بولزانو ، وكارل فايرشتراس ، وكانتور ، وديديكيند ، وآخرون صياغة حساب التفاضل والتكامل باستخدام تعريف (ε، δ) لنظرية النهايات والمجموعات . بينما سعى أتباع كانتور، وديديكيند، وويرستراس إلى تخليص التحليل من الكميات المتناهية في الصغر، وأعلن حلفاؤهم الفلسفيون مثل برتراند راسل ورودولف كارناب أن الكميات المتناهية في الصغر مفاهيم زائفة ، سعى هيرمان كوهين ومدرسته في ماربورغ، المدرسة الكانطية الجديدة، إلى تطوير منطق عملي للكميات المتناهية في الصغر. ^{[ 8 ]} استمرت الدراسة الرياضية للأنظمة التي تحتوي على الكميات المتناهية في الصغر من خلال أعمال ليفي-تشيفيتا ، وجوزيبي فيرونيز ، وبول دو بوا-ريموند ، وغيرهم، طوال أواخر القرن التاسع عشر والقرن العشرين، كما وثّق ذلك فيليب إيرليخ (2006). في القرن العشرين، تبيّن أن الكميات المتناهية في الصغر يمكن أن تكون أساسًا للتفاضل والتكامل والتحليل (انظر الأعداد الفائقة الحقيقية ).

عند توسيع نطاق الأعداد الحقيقية لتشمل الكميات اللانهائية والمتناهية في الصغر، يُفضّل عادةً اتباع نهج محافظ قدر الإمكان بعدم تغيير أي من خصائصها الأساسية. يضمن هذا بقاء أكبر عدد ممكن من النتائج المألوفة. عادةً، تعني كلمة "أساسي" عدم وجود تكميم على المجموعات ، وإنما على العناصر فقط. يسمح هذا القيد بعبارات من الشكل "لأي عدد x...". على سبيل المثال، ستظل البديهية التي تنص على "لأي عدد x ، x + 0 = x " سارية. وينطبق الأمر نفسه على التكميم على عدة أعداد، مثل "لأي عددين x و y ، xy = yx ". مع ذلك، قد لا تكون العبارات من الشكل "لأي مجموعة S من الأعداد ..." قابلة للتطبيق. يُشار إلى المنطق الذي يفرض هذا القيد على التكميم باسم منطق الرتبة الأولى .           

لا يمكن لنظام الأعداد الموسع الناتج أن يتطابق مع الأعداد الحقيقية في جميع الخصائص التي يمكن التعبير عنها بالتكميم على المجموعات، لأن الهدف هو بناء نظام غير أرخميدسي، ويمكن التعبير عن مبدأ أرخميدس بالتكميم على المجموعات. يمكن توسيع أي نظرية، بما في ذلك نظرية الأعداد الحقيقية ونظرية المجموعات، لتشمل الأعداد المتناهية في الصغر، وذلك بإضافة قائمة لا نهائية قابلة للعد من البديهيات التي تؤكد أن العدد أصغر من 1/2، 1/3، 1/4، وهكذا. وبالمثل، لا يُتوقع أن تنتقل خاصية الاكتمال ، لأن الأعداد الحقيقية هي الحقل المرتب الكامل الوحيد حتى التشاكل.

هناك ثلاث فئات يمكن أن يمتلك فيها نظام عددي غير أرخميدسي خصائص من الدرجة الأولى متوافقة مع خصائص الأعداد الحقيقية:

1. يخضع الحقل المرتب لجميع البديهيات المعتادة لنظام الأعداد الحقيقية التي يمكن صياغتها في منطق الرتبة الأولى. على سبيل المثال، تتحقق بديهية التبديل x  + y = y + x .     
2. يتمتع الحقل المغلق الحقيقي بجميع خصائص الرتبة الأولى لنظام الأعداد الحقيقية، بغض النظر عما إذا كانت تُعتبر بديهية أم لا، وذلك بالنسبة للعبارات التي تتضمن علاقات الحقل المرتب الأساسية (+،  ×،  ≤). يُعد هذا شرطًا أقوى من مجرد الالتزام ببديهيات الحقل المرتب. وبشكل أكثر تحديدًا، يتضمن هذا الشرط خصائص إضافية من الرتبة الأولى، مثل وجود جذر لكل متعددة حدود من الدرجة الفردية. على سبيل المثال، يجب أن يكون لكل عدد جذر تكعيبي .
3. يمكن أن يمتلك النظام جميع خصائص الرتبة الأولى لنظام الأعداد الحقيقية للعبارات التي تتضمن أي علاقات (بغض النظر عما إذا كان من الممكن التعبير عن هذه العلاقات باستخدام  +،  ×، و  ≤). على سبيل المثال، يجب أن تكون هناك دالة جيبية معرفة جيدًا للمدخلات اللانهائية؛ وينطبق الشيء نفسه على كل دالة حقيقية.

تُعدّ الأنظمة في الفئة الأولى، وهي الأضعف في الطيف، سهلة البناء نسبيًا، لكنها لا تسمح بمعالجة كاملة للتحليل الكلاسيكي باستخدام المتناهيات في الصغر على غرار نيوتن وليبنيز. فعلى سبيل المثال، تُعرَّف الدوال المتسامية بدلالة عمليات حدية لانهائية، ولذلك لا توجد عادةً طريقة لتعريفها في منطق الرتبة الأولى. عند زيادة القوة التحليلية للنظام بالانتقال إلى الفئتين  الثانية  والثالثة، نجد أن أسلوب المعالجة يميل إلى أن يصبح أقل بناءً، ويصبح من الصعب قول أي شيء ملموس حول البنية الهرمية لللانهايات والمتناهيات في الصغر.

استخدم كوشي كمية متناهية الصغر${\displaystyle \alpha }$لكتابة دالة دلتا من نوع ديراك ذات نبضة وحدة، طويلة وضيقة إلى ما لا نهاية${\displaystyle \delta _{\alpha }}$مُرضٍ${\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)}$في عدد من المقالات عام 1827، انظر لاوغويتز (1989). عرّف كوشي الكمية المتناهية الصغر عام 1821 (في كتابه "دروس التحليل") بدلالة متتالية تؤول إلى الصفر. أي أن هذه المتتالية الصفرية تصبح كمية متناهية الصغر وفقًا لمصطلحات كوشي ولازار كارنو .

تتيح المناهج الحديثة في نظرية المجموعات تعريف الكميات المتناهية الصغر عبر بناء القوة الفائقة ، حيث يصبح أي تسلسل صفري كمية متناهية الصغر بمعنى فئة تكافؤ بتردد علاقة مُعرَّفة بدلالة مرشح فائق مناسب . وتتضمن مقالة ياماشيتا (2007) قائمة مراجع حول دوال ديراك دلتا الحديثة في سياق متصل غني بالكميات المتناهية الصغر، والذي توفره الأعداد الفائقة الحقيقية .

تعتمد طريقة بناء الكميات المتناهية الصغر من النوع المستخدم في التحليل غير القياسي على النموذج ومجموعة البديهيات المستخدمة. نتناول هنا الأنظمة التي يمكن فيها إثبات وجود الكميات المتناهية الصغر.

في عام ١٩٣٦، أثبت مالتسيف نظرية التراص . تُعد هذه النظرية أساسية لوجود المتناهيات في الصغر، إذ تُثبت إمكانية صياغتها رياضيًا. ومن نتائج هذه النظرية أنه إذا وُجد نظام عددي يكون فيه صحيحًا أنه لأي عدد صحيح موجب n يوجد عدد موجب x بحيث يكون ٠  < x < ١/ n ، فإنه يوجد امتداد لهذا النظام العددي يكون فيه صحيحًا أنه يوجد عدد موجب x بحيث يكون لأي عدد صحيح موجب n، يكون ٠ < x < ١/ n . إن إمكانية تبديل "لأي" و"يوجد" أمر بالغ الأهمية. العبارة الأولى صحيحة في الأعداد الحقيقية كما وردت في نظرية ZFC للمجموعات : لأي عدد صحيح موجب n، من الممكن إيجاد عدد حقيقي بين ١/ n والصفر، لكن هذا العدد الحقيقي يعتمد على n . هنا، نختار n مبدئيًا، ثم نجد x المقابل . في التعبير الثاني، تنص العبارة على وجود قيمة x (واحدة على الأقل)، يتم اختيارها أولاً، تقع بين 0 و 1/ n لأي قيمة n . في هذه الحالة، تكون x متناهية الصغر. هذا لا ينطبق على الأعداد الحقيقية ( R ) التي تُعرّفها نظرية ZFC. مع ذلك، تُثبت النظرية وجود نموذج (نظام عددي) يكون فيه هذا صحيحًا. السؤال هو: ما هو هذا النموذج؟ ما هي خصائصه؟ هل يوجد نموذج واحد فقط من هذا النوع؟       

هناك العديد من الطرق لإنشاء مجموعة أرقام مرتبة خطيًا أحادية البعد ، ولكن هناك نهجان مختلفان بشكل أساسي:

1. قم بتوسيع نظام الأرقام بحيث يحتوي على أرقام أكثر من الأرقام الحقيقية.
2. قم بتوسيع البديهيات (أو توسيع اللغة) بحيث يمكن التمييز بين الكميات المتناهية الصغر والكميات غير المتناهية الصغر في الأعداد الحقيقية نفسها.

في عام ١٩٦٠، قدّم أبراهام روبنسون إجابةً باتباع المنهج الأول. تُسمى المجموعة الموسّعة بالأعداد الفائقة الحقيقية ، وتحتوي على أعدادٍ قيمتها المطلقة أقل من أي عدد حقيقي موجب. قد تُعتبر هذه الطريقة معقدةً نسبيًا، لكنها تُثبت وجود الأعداد المتناهية في الصغر في فضاء نظرية المجموعات ZFC. تُسمى الأعداد الحقيقية بالأعداد القياسية، بينما تُسمى الأعداد الفائقة الحقيقية غير الحقيقية الجديدة بالأعداد غير القياسية .

في عام ١٩٧٧، قدّم إدوارد نيلسون إجابةً باتباع المنهج الثاني. البديهيات الموسّعة هي IST، والتي ترمز إما إلى نظرية المجموعات الداخلية أو إلى الأحرف الأولى من البديهيات الثلاث الإضافية: المثالية، والتوحيد القياسي، والنقل. في هذا النظام، نعتبر أن اللغة موسّعة بحيث يمكننا التعبير عن حقائق حول الكميات المتناهية في الصغر. الأعداد الحقيقية إما قياسية أو غير قياسية. الكمية المتناهية في الصغر هي عدد حقيقي غير قياسي أصغر، بالقيمة المطلقة، من أي عدد حقيقي قياسي موجب.

في عام 2006، طوّر كارل هرباسيك امتدادًا لمنهج نيلسون، حيث تُصنّف الأعداد الحقيقية إلى مستويات لا نهائية؛ أي أنه في المستوى الأوسع، لا توجد أعداد متناهية الصغر ولا أعداد غير محدودة. أما الأعداد المتناهية الصغر فتوجد في مستوى أدق، وتوجد أيضًا أعداد متناهية الصغر بالنسبة لهذا المستوى الجديد، وهكذا.

تشمل كتب حساب التفاضل والتكامل المدرسية المستندة إلى الصغريات كتاب حساب التفاضل والتكامل الكلاسيكي الذي تم إجراؤه بسهولة بواسطة Silvanus P. Thompson (الذي يحمل شعار "ما يمكن أن يفعله أحد الأحمق يمكن أن يفعله آخر" ^{[ 15 ]} ) والنص الألماني Mathematik für Mittlere Technische Fachschulen der Maschinenindustrie بقلم R. Neuendorff. ^{[ 16 ]}

تشمل الأعمال الرائدة التي استندت إلى مفهوم الكميات المتناهية الصغر لأبراهام روبنسون نصوصًا لسترويان (تعود إلى عام 1972) وهوارد جيروم كيسلر ( حساب التفاضل والتكامل الابتدائي: مدخل الكميات المتناهية الصغر ). يسهل على الطلاب فهم المفهوم البديهي للفرق المتناهي الصغر 1 - " 0.999... "، حيث يختلف "0.999..." عن معناه القياسي كعدد حقيقي 1، ويُعاد تفسيره على أنه عدد عشري ممتد لانهائي منتهٍ، وهو أقل من 1 تمامًا. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

يُعد كتاب "حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر " لهينلي وكلاينبرغ، الذي نُشر لأول مرة عام ١٩٧٩، مرجعًا أساسيًا آخر في حساب التفاضل والتكامل يستخدم نظرية الكميات المتناهية الصغر التي طورها روبنسون. ^{[ ١٩ ]} يُقدم المؤلفان لغة منطق الرتبة الأولى، ويُوضحان كيفية بناء نموذج من الرتبة الأولى للأعداد الفائقة الحقيقية. كما يُقدم الكتاب مدخلًا إلى أساسيات حساب التكامل والتفاضل في بُعد واحد، بما في ذلك متتاليات ومتسلسلات الدوال. وفي ملحق، يتناولان أيضًا توسيع نموذجهما ليشمل الأعداد الفائقة الفائقة الحقيقية، ويُوضحان بعض تطبيقات هذا النموذج الموسع.

يُعد كتاب "مقدمة في التحليل المتناهي الصغر" (2008) لجون إل. بيل، مرجعًا أساسيًا في حساب التفاضل والتكامل، ويعتمد على التحليل المتناهي الصغر السلس. منشورات جامعة كامبريدج. رقم ISBN 9780521887182.

ومن الكتب الحديثة في حساب التفاضل والتكامل التي تستخدم الكميات المتناهية في الصغر كتاب داوسون، سي. برايان (2022)، بعنوان "حساب التفاضل والتكامل: الكميات المتناهية في الصغر للإنقاذ"، منشورات جامعة أكسفورد. رقم ISBN 9780192895608.

بمعنى ذي صلة، وإن كان مختلفًا بعض الشيء، والذي تطور من التعريف الأصلي لمصطلح "متناهي الصغر" باعتباره كمية متناهية الصغر، فقد استُخدم المصطلح أيضًا للإشارة إلى دالة تقترب من الصفر. وبشكل أدق، يُعرّف كتاب "حساب التفاضل والتكامل المتقدم" للوميس وستيرنبرغ فئة الدوال المتناهية الصغر.${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$، كمجموعة فرعية من الدوال${\displaystyle f:V\to W}$بين فضاءات المتجهات المعيارية بواسطة

${\displaystyle {\mathfrak {I}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<\delta \implies ||f(\xi )||<\epsilon \}}$،

بالإضافة إلى فئتين مرتبطتين${\displaystyle {\mathfrak {O}},{\mathfrak {o}}}$(انظر تدوين بيج ) بواسطة

${\displaystyle {\mathfrak {O}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ (\exists r>0,c>0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<r\implies ||f(\xi )||\leq c||\xi ||\}}$، و

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ \lim _{||\xi ||\to 0}||f(\xi )||/||\xi ||=0\}}$[ ^{20 ]​}

محتويات المجموعة${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)}$ينطبق هذا بشكل عام. ويتم إثبات صحة هذه التضمينات من خلال الدوال الحقيقية لمتغير حقيقي.${\displaystyle f:x\mapsto |x|^{1/2}}$،${\displaystyle g:x\mapsto x}$، و${\displaystyle h:x\mapsto x^{2}}$:

${\displaystyle f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$لكن${\displaystyle f,g\notin {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$و${\displaystyle f\notin {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$.

كتطبيق لهذه التعريفات، يتم إجراء عملية ربط${\displaystyle F:V\to W}$يُعرَّف التباين بين فضاءات المتجهات المعيارية بأنه قابل للتفاضل عند${\displaystyle \alpha \in V}$إذا كان هناك${\displaystyle T\in \mathrm {Hom} (V,W)}$[أي، خريطة خطية محدودة]${\displaystyle V\to W}$بحيث

${\displaystyle [F(\alpha +\xi )-F(\alpha )]-T(\xi )\in {\mathfrak {o}}(V,W)}$

في حي من${\displaystyle \alpha }$إذا وُجد مثل هذا التطبيق، فهو فريد؛ ويُسمى هذا التطبيق بالتفاضل ويُرمز له بـ${\displaystyle dF_{\alpha }}$[ ^{21 ] يتوافق مع الترميز التقليدي للمفهوم الكلاسيكي (على الرغم من كونه} معيبًا منطقيًا) للتفاضل باعتباره "جزءًا" صغيرًا للغاية من F. يمثل هذا التعريف تعميمًا للتعريف المعتاد للتفاضلية للدوال ذات القيم المتجهة في (المجموعات الفرعية المفتوحة من) الفضاءات الإقليدية.

يترك${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ليكن فضاء احتمالي وليكن${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$مصفوفة${\displaystyle \{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}}$يُطلق على مجموعة من المتغيرات العشوائية اسم متناهية الصغر إذا كان لكل${\displaystyle \epsilon >0}$لدينا: ^{[ 22 ]}

${\displaystyle \max _{1\leq k\leq k_{n}}\mathbb {P} \{\omega \in \Omega \mid \vert X_{n,k}(\omega )\vert \geq \epsilon \}\to 0{\text{ as }}n\to \infty }$

إن مفهوم المصفوفة المتناهية الصغر ضروري في بعض نظريات النهاية المركزية، ويمكن ملاحظة ذلك بسهولة من خلال رتابة عامل التوقع، حيث أن أي مصفوفة تحقق شرط ليندبيرج هي متناهية الصغر، وبالتالي تلعب دورًا مهمًا في نظرية النهاية المركزية لليندبيرج (وهي تعميم لنظرية النهاية المركزية ).