دائرة الوحدة

في الرياضيات ، دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها يساوي واحدًا ، أي نصف قطرها 1. ^{[ 1 ]} غالبًا، وخاصة في حساب المثلثات ، تُعرَّف دائرة الوحدة بأنها الدائرة التي نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل (0، 0) في ^نظام الإحداثيات الديكارتية في المستوى الإقليدي . في علم الطوبولوجيا ، يُرمز لها عادةً بالرمز S1 لأنها كرة أحادية البعد من الرتبة n . ^{[ 2 ] [ ملاحظة 1 ]}

إذا كانت النقطة ( x , y ) تقع على محيط دائرة الوحدة ، فإن | x | و | y | هما طولا ضلعي مثلث قائم الزاوية طول وتره 1. وبالتالي، وفقًا لنظرية فيثاغورس ، فإن x و y تحققان المعادلة التالية:${\textstyle x^{2}+y^{2}=1.}$

بما أن x ² = (− x ) ² لجميع قيم x ، وبما أن انعكاس أي نقطة على دائرة الوحدة حول المحور x أو المحور y يكون أيضًا على دائرة الوحدة، فإن المعادلة أعلاه تنطبق على جميع النقاط ( x , y ) على دائرة الوحدة، وليس فقط تلك الموجودة في الربع الأول.

يُطلق على الجزء الداخلي من دائرة الوحدة اسم قرص الوحدة المفتوح ، بينما يُطلق على الجزء الداخلي من دائرة الوحدة مع دائرة الوحدة نفسها اسم قرص الوحدة المغلق.

يمكن للمرء أيضًا استخدام مفاهيم أخرى لـ "المسافة" لتعريف "دوائر الوحدة" الأخرى، مثل دائرة ريمان ؛ انظر المقالة حول المعايير الرياضية للحصول على أمثلة إضافية.

في المستوى المركب ، تُسمى الأعداد ذات القيمة المطلقة 1 بالأعداد المركبة 1. وهي مجموعة الأعداد المركبة z التي تحقق الشروط التالية:${\displaystyle |z|=1.}$عند تقسيمها إلى مكونات حقيقية وتخيلية${\displaystyle z=x+iy,}$هذه الحالة هي${\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=1.}$

يمكن تمثيل دائرة الوحدة المركبة بمعامل قياس الزاوية${\displaystyle \theta }$من المحور الحقيقي الموجب باستخدام الدالة الأسية المركبة ،${\displaystyle z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$(انظر صيغة أويلر .)

في عملية الضرب المركب، تشكل الأعداد المركبة الوحدوية مجموعة تسمى مجموعة الدائرة ، ويرمز لها عادةً بـ${\displaystyle \mathbb {T} .}$في ميكانيكا الكم ، يُطلق على العدد المركب الواحد اسم عامل الطور .

يتم تعريف الدوال المثلثية جيب التمام وجيب الزاوية θ باستخدام دائرة الوحدة.

في هذا الشكل الهندسي، تتشكل الزاوية θ من شعاعين: الشعاع الابتدائي ، الذي يبقى ثابتًا على طول المحور x الموجب ، والشعاع النهائي ، وهو شعاع يمتد من نقطة الأصل إلى النقطة ( x , y ) على محيط دائرة الوحدة. تمثل قيمة θ مقدار الدوران من الشعاع الابتدائي إلى الشعاع النهائي، حيث يُعتبر الدوران عكس عقارب الساعة موجبًا، والدوران مع عقارب الساعة سالبًا. ^{[ 3 ]} وبناءً على ذلك، تُعرَّف الدوال المثلثية بإحداثيات نقطة تقاطع الشعاع النهائي مع الدائرة. $${\displaystyle \cos \theta =x\quad {\text{and}}\quad \sin \theta =y.}$$

المعادلة x² ⁺ y² ⁼ 1 تعطي العلاقة $${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.}$$

تُظهر دائرة الوحدة أيضًا أن دالتي الجيب وجيب التمام دالتان دوريتان ، مع المتطابقات التالية: $${\displaystyle \cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )}$$$${\displaystyle \sin \theta =\sin(2\pi k+\theta )}$$ لأي عدد صحيح k .

_يمكن استخدام المثلثات المرسومة على دائرة الوحدة لتوضيح دورية الدوال المثلثية. أولًا، نرسم نصف قطر OP من نقطة الأصل O إلى النقطة P( x₁ _, y₁ ) على دائرة الوحدة بحيث تتشكل زاوية t حيث 0 < t < π / 2 مع الضلع الموجب لمحور السينات . الآن ، لنعتبر النقطة Q( x₁ , 0) والقطعتين المستقيمتين PQ ⊥ OQ . ينتج عن ذلك مثلث قائم الزاوية △OPQ حيث ∠QOP = t . ولأن طول PQ _يساوي y₁ ، وطول OQ _{يساوي x₁} ، ونصف قطر OP يساوي 1 على دائرة الوحدة، _فإن sin( t ) = y₁ و cos( _t ) = x₁ _. بعد إثبات هذه المكافئات، نأخذ نصف قطر آخر OR من نقطة الأصل إلى نقطة R(− x ₁ , y ₁ ) على الدائرة بحيث تُشكّل نفس الزاوية t مع الضلع السالب لمحور السينات . الآن، لنعتبر نقطة S(− x ₁ ,0) وقطعتين مستقيمتين RS ⊥ OS . والنتيجة هي مثلث قائم الزاوية △ORS حيث ∠SOR = t . ومن ثم، يُمكن ملاحظة أنه بما أن ∠ROQ = π − t ، فإن R تقع عند (cos(π − t ), sin(π − t )) بنفس الطريقة التي تقع بها P عند (cos( ​​t ), sin( t )) . الخلاصة هي أنه بما أن (− x ₁ , y ₁ ) هي نفسها (cos(π − t ), sin(π − t )) و ( x ₁ , y ₁ ) هي نفسها (cos( ​​t ),sin( t )) ، فإنه من الصحيح أن sin( t ) = sin(π − t ) و −cos( t ) = cos(π − t ) .وبالمثل، يمكن استنتاج أن tan(π − t ) = −tan( t ) ، حيث أن tan( t ) = ⁠ y ₁ / x ₁ ⁠ و tan(π − t ) = ⁠ y ₁ / − x ₁ ⁠ . ويمكن توضيح ذلك ببساطة من خلال المساواة sin( ⁠ π / 4 ⁠ ) = sin( ⁠ 3π / 4 ⁠ ) = ⁠ 1 / √ 2 ⁠ .

عند التعامل مع المثلثات القائمة الزاوية، لا يكون للجيب وجيب التمام والدوال المثلثية الأخرى معنى إلا للزوايا التي تزيد عن الصفر وتقل عن π / 2 . مع ذلك، عند تعريفها باستخدام دائرة الوحدة، تُعطي هذه الدوال قيمًا ذات دلالة لأي قياس زاوية حقيقي ، حتى تلك التي تزيد عن 2π . في الواقع، يمكن تعريف جميع الدوال المثلثية الست القياسية - الجيب، وجيب التمام، والظل، وظل التمام، والقاطع، وقاطع التمام، بالإضافة إلى الدوال القديمة مثل الجيب العكسي والقاطع البعيد - هندسيًا باستخدام دائرة الوحدة، كما هو موضح على اليمين.   

باستخدام دائرة الوحدة، يمكن حساب قيم أي دالة مثلثية للعديد من الزوايا بخلاف تلك المحددة بسهولة يدويًا باستخدام صيغ مجموع وفرق الزوايا .

مجموعة جوليا لنظام ديناميكي غير خطي منفصل مع دالة تطور : $${\displaystyle f_{0}(x)=x^{2}}$$ هي دائرة الوحدة. إنها أبسط حالة، لذا فهي تستخدم على نطاق واسع في دراسة الأنظمة الديناميكية.

• قياس الزاوية
• متطابقة فيثاغورس المثلثية
• دائرة ريمان
• راديان
• قرص الوحدة
• كرة الوحدة
• القطع الزائد الوحدوي
• مربع الوحدة
• استدر (زاوية)
• تحويل z
• مخطط سميث