الجزء غير القابل للاختزال

الكسر غير القابل للاختزال (أو الكسر في أبسط صورة ، أو الكسر المختزل ) هو كسر يكون فيه البسط والمقام عددين صحيحين لا يشتركان في أي قواسم أخرى غير 1 (و-1 عند النظر إلى الأعداد السالبة). ^{[ 1 ]} بعبارة أخرى، يكون الكسر a / b غير قابل للاختزال إذا وفقط إذا كان a و b عددين أوليين فيما بينهما ، أي إذا كان القاسم المشترك الأكبر لهما هو 1. في الرياضيات المتقدمة، قد يشير مصطلح " الكسر غير القابل للاختزال " أيضًا إلى الكسور النسبية التي يكون فيها البسط والمقام كثيرتي حدود أوليتين فيما بينهما . ^{[ 2 ]} يمكن تمثيل كل عدد نسبي ككسر غير قابل للاختزال بمقام موجب بطريقة واحدة فقط. ^{[ 3 ]}

قد يكون التعريف المكافئ مفيدًا أحيانًا: إذا كان a و b عددين صحيحين، فإن الكسر a / b غير قابل للاختزال إذا وفقط إذا لم يكن هناك كسر مساوٍ له c / d بحيث يكون | c | < | a | أو | d | < | b | ، حيث | a | تعني القيمة المطلقة لـ a . ^{[ 4 ]} ( يكون الكسران a / b و c / d متساويين أو متكافئين إذا وفقط إذا كان ad = bc ) .  

على سبيل المثال ، 1/4 و 5 / 6 و -101 / 100 جميعها كسور غير قابلة للاختزال . من جهة أخرى ، 2/4 كسر قابل للاختزال لأنه يساوي 1/2 ، وبسط 1/2 أصغر من بسط 2/4 .​​​​​

يمكن اختزال الكسر القابل للاختزال بقسمة كل من البسط والمقام على عامل مشترك. ويمكن اختزاله بالكامل إلى أبسط صورة بقسمة كليهما على قاسمهما المشترك الأكبر . ^{[ 5 ]} ولإيجاد القاسم المشترك الأكبر، يمكن استخدام خوارزمية إقليدس أو التحليل إلى العوامل الأولية . وتُفضّل خوارزمية إقليدس عادةً لأنها تسمح باختزال الكسور ذات البسط والمقام الكبيرين جدًا بحيث يصعب تحليلهما إلى عواملهما الأولية. ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}}$

في الخطوة الأولى ، تم قسمة كلا العددين على 10، وهو عامل مشترك بين 120 و90 . في الخطوة الثانية، تم قسمتهما على 3. والنتيجة النهائية، 4/3 ، هي كسر غير قابل للاختزال لأن 4 و3 ليس لهما عوامل مشتركة سوى 1.

كان من الممكن أيضًا تبسيط الكسر الأصلي في خطوة واحدة باستخدام القاسم المشترك الأكبر للعددين 90 و120، وهو 30. وبما أن 120 ÷ 30 = 4 ، و 90 ÷ 30 = 3 ، نحصل على

${\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {4}{3}}}$

تعتمد سرعة الحساب اليدوي على الكسر وسهولة إيجاد العوامل المشتركة. في حال وجود مقام وبسط كبيرين جدًا بحيث لا يمكن التأكد من كونهما أوليين فيما بينهما بالنظر، فإنه يلزم حساب القاسم المشترك الأكبر للتأكد من أن الكسر غير قابل للاختزال.

لكل عدد نسبي تمثيل فريد على شكل كسر غير قابل للاختزال بمقام موجب ^{[ 3 ]} (مع ذلك ، 2/3 = -2 / -3 على الرغم من أن كليهما غير قابل للاختزال). التفرد هو نتيجة للتحليل الوحيد للأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية، حيث أن a/b = c/d يستلزم ad = bc ، وبالتالي يجب أن يشترك طرفا المعادلة الأخيرة في نفس التحليل إلى العوامل الأولية ، ومع ذلك، لا يشترك a و b في أي عوامل أولية، لذا فإن مجموعة العوامل الأولية لـ a (مع التعددية) هي مجموعة جزئية من مجموعة العوامل الأولية لـ c والعكس صحيح، أي أن a = c، وبناءً على نفس الحجة، b = d .      

تُستغل حقيقة أن أي عدد نسبي له تمثيل فريد ككسر غير قابل للاختزال في العديد من البراهين على عدم نسبية الجذر التربيعي للعدد 2 والأعداد غير النسبية الأخرى. على سبيل المثال، يشير أحد البراهين إلى أنه إذا${\displaystyle {\sqrt {2}}}$إذا أمكن تمثيلها كنسبة بين عددين صحيحين، فسيكون لها على وجه الخصوص التمثيل المختزل بالكامل a / b حيث a و b هما أصغر عددين ممكنين ؛ ولكن بما أن a / b يساوي${\displaystyle {\sqrt {2}}}$وكذلك ⁠ 2 b − a / a − b ⁠ (لأن ضرب هذا المقدار في a / b ⁠ يُظهر أنهما متساويان). بما أن a > b (لأن  ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ إذا كان أكبر من 1، فإن الأخير هو نسبة عددين صحيحين أصغر. وهذا تناقض ، لذا فإن الفرضية القائلة بأن الجذر التربيعي للعدد 2 يمكن تمثيله كنسبة عددين صحيحين خاطئة.

يُعمَّم مفهوم الكسر غير القابل للاختزال ليشمل حقل الكسور لأي مجال تحليل فريد : إذ يُمكن كتابة أي عنصر من هذا الحقل على شكل كسر يكون فيه البسط والمقام أوليين فيما بينهما، وذلك بقسمة كليهما على قاسمهما المشترك الأكبر. ^{[ 7 ]} وينطبق هذا بشكل خاص على التعبيرات الكسرية على الحقل. يكون الكسر غير القابل للاختزال لعنصر معين فريدًا حتى ضرب البسط والمقام في نفس العنصر القابل للعكس. في حالة الأعداد الكسرية، يعني هذا أن أي عدد له كسران غير قابلين للاختزال، يرتبطان بتغيير إشارة كل من البسط والمقام؛ ويمكن إزالة هذا الغموض باشتراط أن يكون المقام موجبًا. في حالة الدوال الكسرية، يمكن اشتراط أن يكون المقام متعدد حدود أحادي . ^{[ 8 ]}

• الإلغاء الشاذ ، وهو إجراء حسابي خاطئ ينتج عنه الكسر غير القابل للاختزال الصحيح عن طريق إلغاء أرقام الشكل الأصلي غير المختزل.
• التقريب الديوفانتي ، وهو تقريب الأعداد الحقيقية بالأعداد النسبية.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "الكسور المختزلة" . عالم الرياضيات .