جزء

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 128 صور
الموسوعة الحرة

كعكة أُزيل منها ربعها (ربع). أما الأرباع الثلاثة المتبقية فتظهر بخطوط منقطة ومُشار إليها بالكسر 1/4 .

الكسر (من اللاتينية : fractus ، وتعني "مكسور") يُمثل جزءًا من الكل، أو بشكل أعم، أي عدد من الأجزاء المتساوية. في اللغة الإنجليزية الدارجة، يصف الكسر عدد الأجزاء ذات حجم معين، مثل النصف، أو ثمانية أخماس، أو ثلاثة أرباع. يتكون الكسر البسيط (أمثلة: ½ و ¾ ) من بسط صحيح ، يُكتب فوق خط ( أو قبل شرطة مائلة مثل ½ ) ، ومقام صحيح غير صفري ، يُكتب أسفل (أو بعد) ذلك الخط. إذا كان هذان العددان صحيحين موجبين، فإن البسط يُمثل عددًا من الأجزاء المتساوية، ويُشير المقام إلى عدد هذه الأجزاء التي تُشكل وحدة أو كلًا. على سبيل المثال، في الكسر ٣/٤ ، يشير البسط ٣ إلى أن الكسر يمثل ٣ أجزاء متساوية، ويشير المقام ٤ إلى أن ٤ أجزاء تُشكل الكل. الصورة على اليمين توضح ٣/٤ من كعكة .

يمكن استخدام الكسور لتمثيل النسب والقسمة . [ 1 ] وبالتالي يمكن استخدام الكسر 3/4 لتمثيل النسبة 3: 4 (نسبة الجزء إلى الكل)، والقسمة 3 ÷ 4 (ثلاثة مقسومة على أربعة).

تمثل الكسور السالبة عكس الكسور الموجبة. على سبيل المثال، إذا كان ½ يمثل ربحًا قدره نصف دولار، فإن -½ يمثل خسارة قدرها نصف دولار. وبسبب قواعد قسمة الأعداد الموقعة (التي تنص جزئيًا على أن قسمة عدد سالب على عدد موجب تساوي عددًا سالبًا)، فإن -½ و-½ و½/-2 تمثل جميعها الكسر نفسه - وهو النصف السالب . ولأن قسمة عدد سالب على عدد سالب تساوي عددًا موجبًا ، فإن -½ / -2 يمثل النصف الموجب . 

في الرياضيات، العدد النسبي هو عدد يمكن تمثيله بكسر على الصورة a / b ، حيث a و b عددان صحيحان و b لا يساوي صفرًا؛ ويتم تمثيل مجموعة جميع الأعداد النسبية عادةً بالرمز ⁠سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }أو Q ، والتي ترمز إلى خارج القسمة . كما يمكن استخدام مصطلح الكسر والرمز a / b للتعبيرات الرياضية التي لا تمثل عددًا نسبيًا (على سبيل المثال ،22{\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}أو حتى لا تمثل أي عدد (على سبيل المثال الكسر النسبي)1x{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}}).

عدد نسبي، يُعبَّر عنه بـصq{\displaystyle {\frac {p}{q}}}حيث p و q عددان صحيحان أوليان فيما بينهما ، ويكون النظام في الأساسب{\displaystyle {b}}، له تمثيل نهائي في الأساسب{\displaystyle {b}}إذا وفقط إذا كان q يقسم قوة من قوى b، أوصq=جبن{\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {C}{b^{n}}}}بالنسبة للبعضج{\displaystyle {C}}وعدد صحيح مان{\displaystyle {n}}> 0.

بضرب الطرفين في الوسطين، تصبح المساواة مكافئة لـqج=صبن{\displaystyle {qC}={pb^{n}}}لأن q لا يقسم p، فلا بد أن يقسمبن{\displaystyle b^{n}}ولن يستمر التوسع.

مفردات

في الكسر، يُسمى عدد الأجزاء المتساوية الموصوفة بالبسط ( كلمة numerātor لاتينية تعني "العداد" أو "المُعَدِّد")، بينما يُسمى نوع أو صنف هذه الأجزاء بالمقام ( كلمة dēnōminātor لاتينية تعني "المُسمِّي" أو "المُعَيِّن"). [2] [3] على سبيل المثال، الكسر 8/5 يُساوي ثمانية أجزاء ، كل جزء منها من النوع المسمى خُمس . أما في القسمة ، فيُقابل البسط المقسوم ، ويُقابل المقام المقسوم عليه .

بشكل غير رسمي، يمكن التمييز بين البسط والمقام من خلال موضعهما فقط، ولكن في السياقات الرسمية ، يُفصل بينهما عادةً خط الكسر . قد يكون خط الكسر أفقيًا (كما في 1/3 ) ، أو مائلًا (كما في 2/5)، أو قطريًا (كما في 4/9 ). [ 4 ] تُعرف هذه العلامات على التوالي بالخط الأفقي؛ والخط المائل ( في الولايات المتحدة )، أو الخط ( في المملكة المتحدة )؛ وخط الكسر، أو الخط المائل، [ 5 ] أو خط الكسر . [ 1 ] في الطباعة ، تُعرف الكسور المكدسة رأسيًا أيضًا باسم كسور en أو nut ، والكسور القطرية باسم كسور em أو mutton ، وذلك بناءً على ما إذا كان الكسر ذو البسط والمقام المكونين من رقم واحد يشغل نسبة مربع en ضيق، أو مربع em أوسع . [ 4 ] في صناعة الطباعة التقليدية ، كانت قطعة الطباعة التي تحمل كسرًا كاملاً (على سبيل المثال 1 / 2 ) تُعرف باسم كسر الحالة ، بينما كانت تلك التي تمثل أجزاء فقط من الكسور تسمى كسور القطعة .

تُكتب مقامات الكسور الإنجليزية عمومًا على شكل أعداد ترتيبية ، وتُجمع عندما لا يكون البسط 1. (على سبيل المثال، يُقرأ 1/5 و 2 / 5 على أنهما خُمس وخُمسان ) . وهناك بعض الاستثناءات الملحوظة لبعض الكسور الأكثر شيوعًا. غالبًا ما يُحذف البسط تمامًا عندما يكون 1. (على سبيل المثال، يمكن قراءة 1/5 أيضًا على أنه خُمس ) . تُقرأ الكسور التي مقامها 1 عادةً بالبسط فقط، وأحيانًا على شكل أعداد صحيحة ولكن ليس أبدًا على شكل أصفار . (على سبيل المثال، يمكن قراءة 5/1 على أنها خمسة أو خمسة أعداد صحيحة ) . تُقرأ الكسور التي مقامها 2 على أنها أنصاف أو أنصاف ، وليس أبدًا على شكل أصفار . يمكن قراءة المقام 4 على أنه ربع / أرباع وكذلك ربع / أرباع ؛ ويمكن قراءة المقام 100 على أنه نسبة مئوية وكذلك جزء من مائة / أجزاء من مائة .

يمكن أيضًا وصف أي كسر بقراءته على أنه البسط مقسومًا على المقام، مع التعبير عن المقام كعدد أصلي . (على سبيل المثال، يمكن التعبير عن 1/2 و2/5 أيضًا على النحو التالي: واحد على اثنين واثنان على خمسة ) . يُستخدم مصطلح " على " بغض النظر عن شكل خط الكسر. (على سبيل المثال، يمكن قراءة 1 / 5 و 1/5 و 1 ⁄ 5 على أنها واحد على خمسة . ) غالبًا ما تُكتب الكسور ذات المكونات غير العادية أو ذات المقامات الكبيرة التي ليست قوى للعدد عشرة بهذه الطريقة (على سبيل المثال، √2 / 2 و 1 / x و 1 / 117 على أنها الجذر التربيعي لاثنين على اثنين ، وواحد على x ، وواحد على مئة وسبعة عشر )، بينما تُقرأ تلك ذات المقامات الكبيرة القابلة للقسمة على عشرة عادةً بالطريقة الترتيبية العادية (على سبيل المثال، 6 / 1000000 على أنها ستة ملايين جزء ).

عند كتابة الكسور كتابةً، يجب وضع واصلة بينها، خاصةً عند استخدامها كصفات. يُكتب الكسر ٢/٥ كوحدة واحدة على النحو التالي : اثنان من خمسة . كتابة " خمسين" بدون واصلة تُعبّر عن القيمة نفسها، ولكنها تُفهم على أنها جزآن منفصلان من ١/٥ .

أشكال الكسور

الكسور البسيطة أو الشائعة أو المبتذلة

الكسر البسيط (المعروف أيضًا بالكسر العادي أو الكسر الشائع ) هو عدد نسبي يُكتب على الصورة [ n² ]أ÷ب{\displaystyle a\div b}أو​أب{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}حيث a و b عددان صحيحان. [ 9 ] وكما هو الحال مع الكسور الأخرى، لا يمكن أن يكون المقام ( b ) صفرًا. ومن الأمثلة على ذلك : 1/2 ، -8/5 ، -8/5 ، و 8 / -5 .وقد استُخدم هذا المصطلح في الأصل لتمييز هذا النوع من الكسور عن الكسر الستيني المستخدم في علم الفلك . [ 10 ]

يمكن أن تكون الكسور العادية موجبة أو سالبة، ويمكن أن تكون كسورًا فعلية أو غير فعلية (انظر أدناه). أما الكسور المركبة، والكسور المعقدة، والأعداد الكسرية، والعبارات العشرية (انظر أدناه) فهي ليست كسورًا عادية ، ولكن يمكن تحويلها إلى كسر عادي ما لم تكن أعدادًا غير نسبية.

  • الكسر الواحدي هو كسر عادي بسطه 1 (مثلاً، 1/7 ) . ويمكن التعبير عن الكسور الواحدية باستخدام أسس سالبة، كما في2-1{\displaystyle 2^{-1}}، وهو ما يمثل121{\displaystyle {\frac {1}{2^{1}}}}، وهو ما يساوي أيضًا12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}، و2-2{\displaystyle 2^{-2}}وهو ما يمثل122{\displaystyle {\frac {1}{2^{2}}}}أو14{\displaystyle {\frac {1}{4}}}.
  • الكسر الثنائي هو كسر عادي يكون مقامه قوة للعدد اثنين ، على سبيل المثال 1 / 8 = 1 / 2 3 .

في نظام يونيكود، توجد أحرف الكسور المركبة مسبقًا في كتلة أشكال الأرقام .

الكسور العادية والكسور غير العادية

يمكن تصنيف الكسور الشائعة إلى كسور فعلية وكسور غير فعلية. عندما يكون كل من البسط والمقام موجبين، يُسمى الكسر كسرًا فعليًا إذا كان البسط أصغر من المقام، وغير فعلي في غير ذلك. [ 11 ] يُعد مفهوم الكسر غير الفعلي تطورًا حديثًا، حيث اشتُقّ المصطلح من حقيقة أن كلمة " كسر " تعني "جزء"، لذا يجب أن يكون الكسر الفعلي أقل من 1. [ 10 ] وقد شُرح هذا في كتاب " أسس الفنون" الذي يعود إلى القرن السابع عشر . [ 12 ] [ 13 ]

بشكل عام، يُقال إن الكسر العادي كسر حقيقي إذا كانت قيمته المطلقة أقل من واحد تمامًا، أي إذا كانت قيمته أكبر من -1 وأقل من 1. [ 14 ] [ 15 ] ويُقال إنه كسر غير حقيقي ، أو أحيانًا كسر ذو بسط ثقيل ، [ 16 ] إذا كانت قيمته المطلقة أكبر من أو تساوي 1. ومن أمثلة الكسور الحقيقية:23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}، و -3/4، و 4/9، بينما أمثلة الكسور غير الفعلية هي94{\displaystyle {\frac {9}{4}}}،-43{\displaystyle {\frac {-4}{3}}}، و33{\displaystyle {\frac {3}{3}}}كما هو موضح أدناه ، يمكن تحويل أي كسر غير فعلي إلى عدد كسري (عدد صحيح زائد كسر فعلي)، والعكس صحيح.

المعكوسات والمقام غير المرئي

مقلوب الكسر هو كسر آخر تم تبديل بسطه ومقامه. على سبيل المثال، مقلوب 3/7 هو 7/3 . حاصل ضرب كسر غير صفري في مقلوبه يساوي 1، لذا فإن المقلوب هو المعكوس الضربي للكسر. مقلوب الكسر الحقيقي هو كسر غير حقيقي، ومقلوب الكسر غير الحقيقي الذي لا يساوي 1 ( أي أن بسطه ومقامه غير متساويين) هو كسر حقيقي.

عندما يتساوى بسط ومقام الكسر (مثلاً، ٧/٧ ) ، فإن قيمته تساوي ١، وبالتالي يكون الكسر غير فعلي. ومقلوبه مطابق له، وبالتالي يساوي ١ أيضاً، وهو كسر غير فعلي .

يمكن كتابة أي عدد صحيح على شكل كسر مقامه واحد. على سبيل المثال، يمكن كتابة 17 على الصورة 17/1 ، حيث يُشار إلى 1 أحيانًا بالمقام غير المرئي . [ 17 ] لذلك، لكل كسر ولكل عدد صحيح ، باستثناء الصفر، مقلوب. على سبيل المثال ، مقلوب 17 هو 1/17 .

النسب

النسبة هي علاقة بين عددين أو أكثر ، ويمكن التعبير عنها أحيانًا بكسر. عادةً، يتم تجميع عدد من العناصر ومقارنتها بنسبة، مع تحديد العلاقة العددية بين كل مجموعة. تُعبّر النسب على النحو التالي: "المجموعة 1 إلى المجموعة 2 ... إلى المجموعة ن ". على سبيل المثال، إذا كان لدى ساحة بيع سيارات 12 مركبة، منها

  • اثنان أبيضان،
  • ستة منها حمراء، و
  • أربعة منها صفراء،

إذن، نسبة السيارات الحمراء إلى البيضاء إلى الصفراء هي 6 إلى 2 إلى 4. أما نسبة السيارات الصفراء إلى السيارات البيضاء فهي 4 إلى 2، ويمكن التعبير عنها بـ 4:2 أو 2:1.

غالبًا ما تُحوّل النسبة إلى كسر عندما تُعبّر عنها كنسبة إلى الكل. في المثال السابق، نسبة السيارات الصفراء إلى إجمالي السيارات في الساحة هي 4:12 أو 1:3. يمكننا تحويل هذه النسب إلى كسر، فنقول إن 4/12 من السيارات أو 1/3 من السيارات في الساحة صفراء . بالتالي ، إذا اختار شخص سيارة عشوائيًا من الساحة، فإن احتمال أن تكون صفراء هو واحد من ثلاثة .

الكسور العشرية والنسب المئوية

الكسر العشري هو كسر مقامه قوة صحيحة للعدد عشرة، ويُكتب عادةً بالصيغة العشرية، حيث لا يُذكر المقام صراحةً، بل يُستدل عليه من عدد الأرقام على يمين الفاصلة العشرية . ويمكن أن تكون الفاصلة نقطة (.) أو علامة ترقيم (·) أو فاصلة (,) حسب اللغة. (للاطلاع على أمثلة، انظر : الفاصلة العشرية ). فعلى سبيل المثال، في العدد 0.75، يكون البسط 75، والمقام الضمني هو 10 أس 2، أي 100، لوجود رقمين على يمين الفاصلة العشرية. وفي الأعداد العشرية الأكبر من 1 (مثل 3.75)، يُعبَّر عن الجزء الكسري من العدد بالأرقام على يمين الفاصلة (بقيمة 0.75 في هذه الحالة). يمكن كتابة 3.75 إما ككسر غير فعلي، 375 / 100 ، أو كعدد كسري ، 3 + 75 / 100 .

يمكن أيضًا التعبير عن الكسور العشرية باستخدام الترميز العلمي مع الأسس السالبة، مثل:6.023 × 10 −7 ، وهو بديل مناسب للعدد غير العملي 0.0000006023.يمثل العدد 10⁻⁷ مقام الكسر10 7 . القسمة على10 7 يحرك الفاصلة العشرية سبع خانات إلى اليسار.

يمثل الكسر العشري الذي يحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام على يمين الفاصلة العشرية متسلسلة لانهائية. على سبيل المثال، 1/3 = 0.333 ... يمثل المتسلسلة اللانهائية 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ....

نوع آخر من الكسور هو النسبة المئوية (من اللاتينية : per centum ، وتعني "لكل مئة"، ويرمز لها بالرمز  %)، حيث يكون المقام الضمني دائمًا 100. وبالتالي، فإن 51% تعني 51/100 . وتُعامل النسب المئوية الأكبر من 100 أو الأقل من الصفر بنفس الطريقة، على سبيل المثال، 311% تعني 311/100 و -27 % تعني -27/100 .

يشير المفهوم ذو الصلة، وهو الألف، أو جزء من ألف (ppt)، إلى مقام يساوي 1000، ويُستخدم هذا الترميز عادةً مع المقامات الأكبر، مثل المليون والمليار ، على سبيل المثال ، 75 جزءًا في المليون ( ppm ) تعني أن النسبة هي 75/100 .1,000,000 ⁠.​​

يُعدّ اختيار التمثيل الكسري أو العشري مسألة ذوق وسياق في كثير من الأحيان. تُستخدم الكسور غالبًا عندما يكون المقام صغيرًا نسبيًا. فمن الأسهل، بالحساب الذهني ، ضرب 16 في 3/16 من إجراء العملية الحسابية نفسها باستخدام المكافئ العشري للكسر (0.1875). كما أن ضرب 15 في 1/3، على سبيل المثال، أكثر دقة (بل هو الأدق) من ضرب 15 في أي تقريب عشري للثلث. تُعبّر القيم النقدية عادةً عن طريق الكسور العشرية بمقام 100، أي برقمين بعد الفاصلة العشرية، على سبيل المثال 3.75 دولارًا . ومع ذلك، كما ذكر أعلاه، في العملة البريطانية قبل النظام العشري، كان الشلن والبنس غالبًا ما يُعطى شكل (ولكن ليس معنى) الكسر، على سبيل المثال، "3/6"، والتي تُقرأ عادةً ثلاثة وستة ، تعني ثلاثة شلنات وستة بنسات وليس لها علاقة بالكسر ثلاثة أسداس . 

أعداد مختلطة

العدد الكسري (ويُسمى أيضًا الكسر المختلط أو العدد الكسري ) هو مجموع عدد صحيح غير صفري وكسر فعلي، ويُكتب عادةً بتجاور الجزأين دون استخدام علامة الجمع (+) أو الطرح ( − ) . عند كتابة الكسر أفقيًا، تُضاف مسافة بين العدد الصحيح والكسر للفصل بينهما.

كمثال بسيط، يمكن كتابة كعكتين كاملتين وثلاثة أرباع كعكة أخرى على النحو التالي:234{\displaystyle 2{\tfrac {3}{4}}}الكعك أو2 3/4{\displaystyle 2\ \,3/4}الكعك، مع الرقم2{\displaystyle 2}يمثل الكعكات الكاملة والكسر34{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}يمثل هذا الجزء الإضافي من الكعكة الموضوع بجانبها؛ وهذا أكثر إيجازًا من الترميز الأكثر وضوحًا.2+34{\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}}الكعك. يُنطق العدد الكسري 2 + 3 / 4 بـ " اثنان وثلاثة أرباع" أو "اثنان وثلاثة أرباع" ، حيث يُربط الجزء الصحيح والكسر بكلمة " و" . [ 18 ] تُطبق عملية الطرح أو النفي على العدد الكسري بأكمله، لذا-234{\displaystyle -2{\tfrac {3}{4}}}وسائل-(2+34).{\displaystyle -{\bigl (}2+{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.}

يمكن تحويل أي عدد كسري إلى كسر غير فعلي بتطبيق قواعد جمع الكميات غير المتشابهة : تغيير قياس إحدى الكميتين غير المتشابهتين بحيث يكون لها نفس قياس الكمية الأخرى. على سبيل المثال،2+34=84+34=114.{\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {11}{4}}.}بدلاً من ذلك، يمكن ضرب الجزء الصحيح في المقام، ثم إضافة البسط، للحصول على بسط الكسر غير الفعلي، الذي يحتفظ بنفس مقام الكسر غير الفعلي. وبالعكس، يمكن تحويل الكسر غير الفعلي إلى عدد كسري باستخدام القسمة مع الباقي ، حيث يتكون العدد الكسري من الجزء الصحيح الناتج، والجزء الكسري (إن وجد) الناتج عن قسمة الباقي على مقام الكسر غير الفعلي الأصلي. على سبيل المثال، بما أن 4 يقسم 11 مرتين، ويبقى 3،114=2+34.{\displaystyle {\tfrac {11}{4}}=2+{\tfrac {3}{4}}.}

في المرحلة الابتدائية، يُصرّ المعلمون غالبًا على ضرورة التعبير عن كل نتيجة كسرية كعدد كسري. [ 19 ] خارج المدرسة، تُستخدم الأعداد الكسرية بشكل شائع لوصف القياسات، مثل ساعتان ونصف أو 5 و3 / 16 بوصة ، ولا تزال منتشرة على نطاق واسع في الحياة اليومية والمهن، خاصةً في المناطق التي لا تستخدم النظام المتري العشري . مع ذلك، تستخدم القياسات العلمية عادةً النظام المتري، القائم على الكسور العشرية، وبدءًا من المرحلة الثانوية، تُعامل مناهج تدريس الرياضيات كل كسر على أنه عدد نسبي ، وهو ناتج قسمة عددين صحيحين على عدد صحيح ( p / q ) ، متجاوزةً بذلك مفهومي الكسر غير الفعلي والعدد الكسري . [ 20 ] قد يشعر طلاب الجامعات، ممن لديهم سنوات من التدريب الرياضي، بالارتباك أحيانًا عند إعادة التعامل مع الأعداد الكسرية لأنهم معتادون على أن التجاور في التعبيرات الجبرية يعني الضرب. [ 21 ] 

المفاهيم التاريخية

الكسر المصري

الكسر المصري هو مجموع كسور الوحدة الموجبة المختلفة، على سبيل المثال12+13{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}}يستمد هذا التعريف من حقيقة أن المصريين القدماء كانوا يعبرون عن جميع الكسور باستثناء12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}،23{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}و34{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}بهذه الطريقة. يمكن تمثيل كل عدد نسبي موجب على شكل كسر مصري. على سبيل المثال،57{\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}يمكن كتابتها على النحو التالي12+16+121.{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}.}يمكن كتابة أي عدد نسبي موجب على شكل مجموع كسور الوحدة بعدة طرق لا حصر لها. طريقتان لكتابة1317{\displaystyle {\tfrac {13}{17}}}نكون12+14+168{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{68}}}و13+14+16+168{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}}.

الكسور المعقدة والمركبة

في الكسر المركب ، يكون البسط أو المقام أو كلاهما كسرًا أو عددًا كسريًا، [ 22 ] [ 23 ] وهو ما يتوافق مع قسمة الكسور. على سبيل المثال،1/21/3{\displaystyle {\tfrac {1/2}{1/3}}}و(1234)/26{\displaystyle {\bigl (}12{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}{\big /}26}الكسور المركبة هي كسور مركبة. لتفسير الكسور المتداخلة المكتوبة بخطوط أفقية، تعامل مع الخطوط الأقصر على أنها متداخلة داخل الخطوط الأطول. يمكن تبسيط الكسور المركبة باستخدام الضرب في المقلوب، كما هو موضح أدناه في قسم القسمة  . على سبيل المثال:

1213=12÷13=12×31=32،325=32÷5=32×15=310،123426=12×4+34÷26=12×4+34×126=51104.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\;\!{\tfrac {1}{2}}\;\!}{\tfrac {1}{3}}}&={\frac {1}{2}}\div {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}},\qquad {\frac {\;\!{\tfrac {3}{2}}\;\!}{5}}={\frac {3}{2}}\div 5={\frac {3}{2}}\times {\frac {1}{5}}={\frac {3}{10}},\\[10mu]{\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}&={\frac {12\times 4+3}{4}}\div 26={\frac {12\times 4+3}{4}}\times {\frac {1}{26}}={\frac {51}{104}}.\end{aligned}}}

لا ينبغي كتابة الكسور المركبة أبدًا بدون علامة واضحة تُبين أي كسر يقع داخل الآخر، لأن هذه التعبيرات تكون غامضة. على سبيل المثال، التعبير5/10/20{\displaystyle 5/10/20}يمكن تفسير ذلك بشكل معقول على أنه إما510/20=140{\displaystyle {\tfrac {5}{10}}{\big /}20={\tfrac {1}{40}}}أو كما5/1020=10.{\displaystyle 5{\big /}{\tfrac {10}{20}}=10.}يمكن توضيح المعنى بكتابة الكسور باستخدام فواصل مميزة أو بإضافة أقواس صريحة، في هذه الحالة(5/10)/20{\displaystyle (5/10){\big /}20}أو5/(10/20).{\displaystyle 5{\big /}(10/20).}

الكسر المركب هو جزء من كسر، أو أي عدد من الكسور المرتبطة بكلمة " من" ، [ 22 ] [ 23 ] وهو ما يُقابل ضرب الكسور. ولتبسيط الكسر المركب إلى كسر بسيط، ما عليك سوى إجراء عملية الضرب (انظر قسم  الضرب ). على سبيل المثال،34{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}ل57{\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}هو كسر مركب، يتوافق مع34×57=1528{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}}يرتبط مصطلحا الكسر المركب والكسر المعقد ارتباطًا وثيقًا، ويُستخدم أحدهما أحيانًا كمرادف للآخر. (على سبيل المثال، الكسر المركب)34×57{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}}وهو ما يعادل الكسر المركب3/47/5{\displaystyle {\tfrac {3/4}{7/5}}}. )

مع ذلك، قد يُعتبر كل من الكسر المركب والكسر المعقد مصطلحين قديمين [ 24 ] ، ويُستخدمان الآن بطريقة غير محددة بدقة، بل ويُعتبران أحيانًا مترادفين [ 25 ] أو مرادفين للأعداد المختلطة [ 26 ] . لقد فقدا معناهما كمصطلحات فنية، وأصبح يُستخدم مصطلحا "معقد" و "مركب" بمعناهما الشائع المتمثل في تكوين أجزاء .

العمليات الحسابية مع الكسور

ومثل الأعداد الصحيحة، تخضع الكسور لقوانين التبادل والتجميع والتوزيع ، وقاعدة عدم القسمة على صفر .

يمكن إجراء العمليات الحسابية على الأعداد الكسرية إما عن طريق تحويل كل عدد كسري إلى كسر غير فعلي، أو عن طريق التعامل مع كل عدد كسري كمجموع أجزاء صحيحة وكسرية.

الكسور المتكافئة

ضرب بسط ومقام كسر في نفس العدد (غير الصفري) ينتج عنه كسر مكافئ للكسر الأصلي. هذا صحيح لأنه لأي عدد غير صفرين{\displaystyle n}، الكسرنن{\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}يساوي 1. لذلك، بضربه فينن{\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}هو نفسه الضرب في واحد، وأي عدد مضروب في واحد له نفس قيمة العدد الأصلي. على سبيل المثال، ابدأ بالكسر ⁠12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}عند ضرب البسط والمقام في 2، تكون النتيجة 2/4 ، وهي تساوي (0.5) قيمة 1/2 . ولتوضيح ذلك بصريًا ، تخيل تقطيع كعكة إلىأربعة أجزاء؛ يشكل جزءان منها معًا ( 2/4 ) نصف الكعكة ( 1/2 ) .

تبسيط الكسور (اختزالها)

قسمة بسط ومقام الكسر على نفس العدد غير الصفري ينتج عنه كسر مكافئ: إذا كان كل من بسط ومقام الكسر يقبل القسمة على عدد (يسمى عاملًا) أكبر من 1، فإنه يمكن اختزال الكسر إلى كسر مكافئ ببسط ومقام أصغر. على سبيل المثال، إذا كان كل من بسط ومقام الكسرأب{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}قابلة للقسمة علىج{\displaystyle c}، ثم يمكن كتابتها على النحو التاليأ=جد{\displaystyle a=cd}،ب=جهـ{\displaystyle b=ce}ويصبح الكسر ⁠ cd / ce ⁠ ، والذي يمكن اختزاله عن طريق قسمة كل من البسط والمقام على c لإعطاء الكسر المختزل ⁠ d / e ⁠ .

إذا أخذنا c كأكبر قاسم مشترك للبسط والمقام، نحصل على الكسر المكافئ الذي يكون بسطه ومقامه في أصغر قيمة مطلقة . ويُقال حينها إن الكسر قد اختُزل إلى أبسط صورة .

إذا لم يشترك البسط والمقام في أي عامل أكبر من 1، فإن الكسر يكون قد اختُزل إلى أبسط صورة، ويُقال إنه كسر غير قابل للاختزال ، أو مُختزل ، أو في أبسط صورة . على سبيل المثال،39{\displaystyle {\tfrac {3}{9}}}ليس في أبسط صورة لأن كلاً من 3 و9 يقبل القسمة على 3 تمامًا. على النقيض من ذلك،38{\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}في أبسط صورة - العدد الصحيح الموجب الوحيد الذي يقسم كلاً من 3 و 8 بالتساوي هو 1.

باستخدام هذه القواعد ، يمكننا أن نبين أن 5 / 10 = 1 / 2 = 10 / 20 = 50 / 100 ، على سبيل المثال .

كمثال آخر، بما أن القاسم المشترك الأكبر للعددين 63 و 462 هو 21، فإن الكسر 63 / 462 يمكن اختزاله إلى أبسط صورة عن طريق قسمة البسط والمقام على 21:

63462=63÷21462÷21=322.{\displaystyle {\frac {63}{462}}={\frac {63\,\div \,21}{462\,\div \,21}}={\frac {3}{22}}.}

تُقدم خوارزمية إقليدس طريقة لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لأي عددين صحيحين.

مقارنة الكسور

مقارنة الكسور ذات المقام الموجب نفسه تعطي نفس نتيجة مقارنة البسط:

34>24{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}}لأن 3 > 2 ، والمقامات متساوية4{\displaystyle 4}إيجابي.

إذا كانت المقامات المتساوية سالبة، فإن النتيجة المعاكسة لمقارنة البسط تنطبق على الكسور:

3-4<2-4 لأن أ-ب=-أب و -3<-2.{\displaystyle {\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\text{ because }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}{\text{ and }}-3<-2.}

إذا كان لكسرين موجبين نفس البسط، فإن الكسر ذو المقام الأصغر هو العدد الأكبر. عند تقسيم الكل إلى أجزاء متساوية، إذا كان عدد الأجزاء المتساوية اللازمة لإكمال الكل أقل، فإن كل جزء يجب أن يكون أكبر. عندما يكون لكسرين موجبين نفس البسط، فإنهما يمثلان نفس عدد الأجزاء، ولكن في الكسر ذي المقام الأصغر، تكون الأجزاء أكبر.

إحدى طرق مقارنة الكسور ذات البسط والمقامات المختلفة هي إيجاد مقام مشترك. للمقارنةأب{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}وجد{\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}، يتم تحويل هذه إلىأ⋅دب⋅د{\displaystyle {\tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}}وب⋅جب⋅د{\displaystyle {\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}}(حيث تشير النقطة إلى الضرب وهي رمز بديل لـ ×). عندئذٍ يكون bd مقامًا مشتركًا، ويمكن مقارنة البسطين ad و bc . ليس من الضروري تحديد قيمة المقام المشترك لمقارنة الكسور، إذ يمكن مقارنة ad و bc مباشرةً دون حساب bd ، على سبيل المثال، مقارنة23{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}} ؟12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}أعطِ46>36{\displaystyle {\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}}.

أما بالنسبة للسؤال الأكثر صعوبة518{\displaystyle {\tfrac {5}{18}}} ؟417،{\displaystyle {\tfrac {4}{17}},}اضرب بسط ومقام كل كسر في مقام الكسر الآخر، للحصول على مقام مشترك، مما ينتج عنه:5×1718×17{\displaystyle {\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}} ؟18×418×17{\displaystyle {\tfrac {18\times 4}{18\times 17}}}ليس من الضروري إجراء الحساب18×17{\displaystyle 18\times 17}– يكفي مقارنة البسطين فقط. بما أن 5 × 17 (=  85) أكبر من 4 × 18 (=  72)، فإن نتيجة المقارنة هي518>417{\displaystyle {\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}}⁠ .

بما أن كل عدد سالب، بما في ذلك الكسور السالبة، أصغر من الصفر، وكل عدد موجب، بما في ذلك الكسور الموجبة، أكبر من الصفر، فإن أي كسر سالب يكون أصغر من أي كسر موجب. وهذا يسمح، بالإضافة إلى القواعد السابقة، بمقارنة جميع الكسور الممكنة.

إضافة

القاعدة الأولى للجمع هي أنه لا يمكن جمع إلا الكميات المتشابهة؛ على سبيل المثال، كميات مختلفة من الأرباع. أما الكميات غير المتشابهة، مثل إضافة أثلاث إلى أرباع، فيجب تحويلها أولاً إلى كميات متشابهة كما هو موضح أدناه: تخيل جيبًا يحتوي على ربعين، وجيبًا آخر يحتوي على ثلاثة أرباع؛ في المجموع، هناك خمسة أرباع. بما أن أربعة أرباع تعادل دولارًا واحدًا، فيمكن تمثيل ذلك على النحو التالي:

24+34=54=114{\displaystyle {\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}}.
لو12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}يُضاف جزء من الكعكة إلى14{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}بالنسبة للكعكة، يجب تحويل القطع إلى كميات مماثلة، مثل ثمن الكعكة أو أرباع الكعكة.

إضافة كميات غير متشابهة

لجمع كسور تحتوي على كميات مختلفة (مثل الأرباع والأثلاث)، يجب تحويل جميع الكميات إلى كميات متشابهة. من السهل تحديد نوع الكسر المراد التحويل إليه؛ ببساطة اضرب المقامين (العدد السفلي) لكل كسر. في حالة العدد الصحيح، استخدم المقام غير المرئي 1.

لإضافة الأرباع إلى الأثلاث، يتم تحويل كلا النوعين من الكسور إلى أجزاء من اثني عشر، على النحو التالي:

14+13=1×34×3+1×43×4=312+412=712.{\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}+{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.}

ضع في اعتبارك جمع الكميتين التاليتين:

35+23.{\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}.}

أولاً، قم بالتحويل35{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}إلى خمسة عشر عن طريق ضرب كل من البسط والمقام في ثلاثة :35×33=915{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}}بما أن 3 / 3 يساوي 1، فإن الضرب في 3 / 3 لا يغير قيمة الكسر.

ثانيًا، حوّل 2/3 إلى خمسة عشر بضرب كل من البسط والمقام في خمسة :23×55=1015{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}}⁠ .

تصور جمع الكسور ذات المقامات المختلفة عن طريق تقسيم مربع في اتجاهات مختلفة (1)، وتقسيمه إلى خلايا مشتركة (2)، وجمع الخلايا (3)، ودمج الخلايا للتبسيط (4).

والآن يمكن ملاحظة ذلك

35+23{\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}}

يعادل

915+1015=1915=1415.{\displaystyle {\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{\frac {4}{15}}.}

يمكن التعبير عن هذه الطريقة جبرياً:

أب+جد=أد+جببد.{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}.}

تنجح هذه الطريقة الجبرية دائمًا، مما يضمن أن مجموع الكسور البسيطة يكون دائمًا كسرًا بسيطًا. مع ذلك، إذا احتوى المقام الواحد على عامل مشترك، فيمكن استخدام مقام أصغر من حاصل ضربهما. على سبيل المثال، عند جمع34{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}و56{\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}المقامات المفردة لها عامل مشترك 2، وبالتالي، بدلاً من المقام 24 (4 × 6)، يمكن استخدام المقام المقسم إلى نصفين 12، مما يقلل ليس فقط المقام في النتيجة، ولكن أيضًا العوامل في البسط.

34+56=3⋅64⋅6+4⋅54⋅6=1824+2024=1912=3⋅34⋅3+2⋅52⋅6=912+1012=1912.{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+{\frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&&={\frac {19}{12}}\\[10mu]&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{\frac {10}{12}}&&={\frac {19}{12}}.\end{alignedat}}}

أصغر مقام ممكن هو المضاعف المشترك الأصغر للمقامات الفردية، والذي ينتج عن قسمة المضاعف المحفوظ على جميع العوامل المشتركة للمقامات الفردية. وهذا ما يسمى بالمقام المشترك الأصغر.

الطرح

إن عملية طرح الكسور، في جوهرها، هي نفسها عملية جمعها: إيجاد مقام مشترك، وتحويل كل كسر إلى كسر مكافئ له نفس المقام المشترك. سيكون للكسر الناتج ذلك المقام، وسيكون بسطه ناتج طرح بسوط الكسور الأصلية. على سبيل المثال،

23-12=46-36=16.{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}.}

لطرح عدد كسري، يمكن استعارة واحد إضافي من المطروح منه، على سبيل المثال

4-234=(4-2-1)+(1-34)=114.{\displaystyle 4-2{\tfrac {3}{4}}=(4-2-1)+{\bigl (}1-{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}=1{\tfrac {1}{4}}.}

الضرب

ضرب كسر في كسر آخر

لضرب الكسور، اضرب البسطين واضرب المقامين. وهكذا:

23×34=612.{\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {6}{12}}.}

لتوضيح العملية، لنأخذ ثلث ربع. باستخدام مثال الكعكة، إذا كانت ثلاث شرائح صغيرة متساوية الحجم تُشكّل ربعًا، وأربعة أرباع تُشكّل كعكة كاملة، فإن اثنتي عشرة شريحة صغيرة متساوية تُشكّل كعكة كاملة. لذلك، فإن ثلث الربع هو جزء من اثني عشر. الآن، لننظر إلى البسطين. الكسر الأول، ثلثان، هو ضعف الثلث. بما أن ثلث الربع هو جزء من اثني عشر، فإن ثلثي الربع هو جزآن من اثني عشر. الكسر الثاني، ثلاثة أرباع، هو ثلاثة أضعاف الربع، لذا فإن ثلثي ثلاثة أرباع هو ثلاثة أضعاف ثلثي الربع. وبالتالي، فإن ثلثين مضروبين في ثلاثة أرباع يساوي ستة أجزاء من اثني عشر.

تُسمى الطريقة المختصرة لضرب الكسور بالاختزال . بمعنى آخر، يتم اختزال الناتج إلى أبسط صورة أثناء عملية الضرب. على سبيل المثال:

23×34=2 13 1×3 14 2=11×12=12.{\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {{\color {RoyalBlue}{\cancel {\color {Black}2}}}^{~1}}{{\color {RedOrange}{\cancel {\color {Black}3}}}^{~1}}}\times {\frac {{\color {RedOrange}{\cancel {\color {Black}3}}}^{~1}}{{\color {RoyalBlue}{\cancel {\color {Black}4}}}^{~2}}}={\frac {1}{1}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}.}

العدد اثنان عامل مشترك بين بسط الكسر الأيسر ومقام الكسر الأيمن، ويُقسم على كليهما. العدد ثلاثة عامل مشترك بين مقام الكسر الأيسر وبسط الكسر الأيمن، ويُقسم على كليهما.

ضرب كسر في عدد صحيح

بما أن العدد الصحيح يمكن إعادة كتابته على صورة نفسه مقسومًا على 1، فإن قواعد ضرب الكسور العادية لا تزال قابلة للتطبيق. على سبيل المثال،

6×34=61×34=184.{\displaystyle 6\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}.}

تنجح هذه الطريقة لأن الكسر 6/1 يعني ستة أجزاء متساوية، كل جزء منها يمثل وحدة كاملة.

ضرب الأعداد الكسرية

يمكن حساب حاصل ضرب الأعداد الكسرية بتحويل كل عدد إلى كسر غير فعلي. [ 27 ] على سبيل المثال:

3×234=31×2×4+34=334=814.{\displaystyle 3\times 2{\frac {3}{4}}={\frac {3}{1}}\times {\frac {2\times 4+3}{4}}={\frac {33}{4}}=8{\frac {1}{4}}.}

بدلاً من ذلك، يمكن التعامل مع الأعداد الكسرية كمجموعات، وضربها كحاصل ضرب ثنائيات . في هذا المثال،

3×234=3×2+3×34=6+94=814.{\displaystyle 3\times 2{\frac {3}{4}}=3\times 2+3\times {\frac {3}{4}}=6+{\frac {9}{4}}=8{\frac {1}{4}}.}

قسم

لتقسيم كسر على عدد صحيح، يمكنك إما قسمة البسط على العدد، إذا كان البسط يقبل القسمة عليه، أو ضرب المقام في العدد. على سبيل المثال،103÷5{\displaystyle {\tfrac {10}{3}}\div 5}يساوي23{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}ويساوي أيضاً103⋅5=1015{\displaystyle {\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}}، وهو ما يختزل إلى23{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}لتقسيم عدد على كسر، اضرب ذلك العدد في مقلوب ذلك الكسر. وهكذا،12÷34=12×43=1⋅42⋅3=23{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}}.

التحويل بين الكسور والأعداد العشرية

لتحويل كسر عادي إلى صيغة عشرية، قم بإجراء قسمة مطولة للبسط على المقام (ويُقال أيضًا "قسمة المقام على البسط")، ثم قرّب الناتج إلى الدقة المطلوبة. على سبيل المثال، لتحويل 1/4 إلى تعبير عشري ، قسّم1 بواسطة4 (4 إلى1 "), للحصول على بالضبط0.25 . لتحويل 1/3 إلى تعبير عشري ، اقسم1... بواسطة3 (3 إلى1... "), وتوقف عند الحصول على الدقة المطلوبة، على سبيل المثال، عند أربعة منازل بعد الفاصلة العشرية (أجزاء من عشرة آلاف) كما0.3333 . يُكتب الكسر 1/4 بدقة باستخدام رقمين فقط بعد الفاصلة العشرية، بينما لا يمكن كتابة الكسر 1/3 بدقة كعدد عشري بعدد محدود من الأرقام. يمكن تحويل التعبير العشري إلى كسر بإزالة الفاصلة العشرية، واستخدام الناتج كبسط، ثم استخدام١ متبوعًا بنفس عدد الأصفار الموجودة على يمين الفاصلة العشرية كما هو الحال في المقام. وبالتالي،1.23=123100.{\displaystyle 1.23={\tfrac {123}{100}}.}

تحويل الأرقام المتكررة في النظام العشري إلى كسور

على الرغم من أن الأعداد العشرية تُعدّ أكثر فائدةً في العمليات الحسابية، إلا أنها تفتقر أحيانًا إلى الدقة التي تتمتع بها الكسور العادية. في بعض الأحيان، يتطلب الأمر عددًا عشريًا دوريًا لا نهائيًا للوصول إلى نفس الدقة. لذا، غالبًا ما يكون من المفيد تحويل الأرقام الدورية إلى كسور.

إحدى الطرق التقليدية للإشارة إلى عدد عشري دوري هي وضع خط (يُعرف باسم " الخط الفاصل " ) فوق الأرقام المتكررة، على سبيل المثال 0.789 = 0.789789789.... بالنسبة للأنماط المتكررة التي تبدأ مباشرة بعد الفاصلة العشرية، تكون نتيجة التحويل هي الكسر الذي يكون النمط في بسطه، ونفس عدد التسعات في مقامه. على سبيل المثال:

0.5 = 5/9
0.62 = 62/99
0.264 = 264/999
0.6291 = 6291/9999

إذا سبقت الأصفار البادئة النمط، فإن الأرقام تسعة تُلحق بنفس عدد الأصفار اللاحقة :

0.0 5 = 5/90
0.000 392 = 392/999000
0.00 12 = 12/9900

إذا سبقت مجموعة من الأرقام غير المتكررة النمط (مثل 0.1523987 )، فيمكن كتابة الرقم على أنه مجموع الأجزاء غير المتكررة والمتكررة، على التوالي:

0.1523 + 0.0000 987

ثم، حوّل كلا الجزأين إلى كسور، واجمعهما باستخدام الطرق الموضحة أعلاه:

1523 / 10000 + 987 / 9990000 = 1522464 / 9990000

أو يمكن استخدام الجبر، كما يلي:

  1. لنفترض أن x = العدد العشري الدوري:
    س = 0.1523987​
  2. اضرب كلا الطرفين بقوة العدد 10 بما يكفي (في هذه الحالة 10⁴ ) لتحريك الفاصلة العشرية مباشرة قبل الجزء المتكرر من العدد العشري:
    10000 × = 1523.987​
  3. اضرب كلا الطرفين في قوة العدد 10 (في هذه الحالة 10³ ) وهو نفس عدد المواضع المتكررة:
    10,000,000 س = 1,523,987.987​
  4. اطرح المعادلتين من بعضهما البعض (إذا كان a = b و c = d ، فإن a − c = b − d ):
    10,000,000 س - 10,000 س = 1,523,987.987 - 1,523.987​
  5. استمر في عملية الطرح لإزالة الفاصلة العشرية المتكررة:
    9,990,000 س = 1,523,987 − 1,523
    9,990,000 × = 1,522,464
  6. اقسم كلا الطرفين على 9,990,000 لتمثيل x ككسر
    س = 1522464 / 9990000​​

الكسور في الرياضيات المجردة

إضافةً إلى أهميتها العملية الكبيرة، يدرس علماء الرياضيات الكسور أيضًا، حيث يتحققون من اتساق وموثوقية قواعد الكسور المذكورة أعلاه . ويُعرّف علماء الرياضيات الكسر بأنه زوج مرتب(أ،ب){\displaystyle (a,b)}من الأعداد الصحيحةأ{\displaystyle a}وب≠0،{\displaystyle b\neq 0,}والتي يتم تعريف عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة لها على النحو التالي: [ 28 ]

(أ،ب)+(ج،د)=(أد+بج،بد){\displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,}
(أ،ب)-(ج،د)=(أد-بج،بد){\displaystyle (a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,}
(أ،ب)⋅(ج،د)=(أج،بد){\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)}
(أ،ب)÷(ج،د)=(أد،بج)(بالإضافة إلى ذلك، ج≠0){\displaystyle (a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{with, additionally, }}c\neq 0)}

تتفق هذه التعريفات في جميع الحالات مع التعريفات المذكورة أعلاه؛ والاختلاف الوحيد يكمن في طريقة التعبير. وبدلاً من تعريف الطرح والقسمة كعمليتين حسابيتين، يمكن تعريف الكسور العكسية بالنسبة للجمع والضرب على النحو التالي:

-(أ،ب)=(-أ،ب)الكسور العكسية الجمعية،مع (0،ب) كوحدات إضافية، و(أ،ب)-1=(ب،أ)الكسور العكسية الضربية، لـ أ≠0،مع (ب،ب) كوحدات ضربية.{\displaystyle {\begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{\text{additive inverse fractions,}}\\&&&{\text{with }}(0,b){\text{ as additive unities, and}}\\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{\text{multiplicative inverse fractions, for }}a\neq 0,\\&&&{\text{with }}(b,b){\text{ as multiplicative unities}}.\end{aligned}}}

علاوة على ذلك، فإن العلاقة المحددة على النحو التالي

(أ،ب)∼(ج،د)⟺أد=بج،{\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,}

هي علاقة تكافؤ بين الكسور. يمكن اعتبار كل كسر من فئة تكافؤ واحدة ممثلاً للفئة بأكملها، ويمكن اعتبار كل فئة بأكملها كسرًا مجردًا واحدًا. يُحفظ هذا التكافؤ من خلال العمليات المحددة أعلاه، أي أن نتائج العمليات على الكسور مستقلة عن اختيار الممثلين من فئة التكافؤ الخاصة بهم. رسميًا، لجمع الكسور

(أ،ب)∼(أ′،ب′){\displaystyle (a,b)\sim (a',b')\quad }و(ج،د)∼(ج′،د′){\displaystyle \quad (c,d)\sim (c',d')\quad }يعني
((أ،ب)+(ج،د))∼((أ′،ب′)+(ج′،د′)){\displaystyle ((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))}

وينطبق الأمر نفسه على العمليات الأخرى.

في حالة كسور الأعداد الصحيحة، تُعتبر الكسور a/b، حيث a و b أوليان فيما بينهما و b > 0، ممثلاً فريداً لكسورها المكافئة ، والتي تُعتبر جميعها أعداداً نسبية متماثلة . وبهذه الطريقة ، تُشكّل كسور الأعداد الصحيحة حقل الأعداد النسبية.

بشكل أعم، يمكن أن يكون a و b عنصرين من أي مجال تكاملي R ، وفي هذه الحالة يكون الكسر عنصرًا من حقل الكسور في R. على سبيل المثال، كثيرات الحدود في متغير واحد، بمعاملات من مجال تكاملي D ، هي نفسها مجال تكاملي، لنسميه P. لذا، بالنسبة لـ a و b عنصرين من P ، فإن حقل الكسور الناتج هو حقل الكسور النسبية (المعروف أيضًا باسم حقل الدوال النسبية ).

الكسور الجبرية

الكسر الجبري هو ناتج قسمة تعبيرين جبريين . وكما هو الحال مع كسور الأعداد الصحيحة، لا يمكن أن يكون مقام الكسر الجبري صفرًا. ومن أمثلة الكسور الجبرية:3xx2+2x-3{\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}و​x+2x2-3{\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}تخضع الكسور الجبرية لنفس خصائص المجال التي تخضع لها الكسور الحسابية.

إذا كان البسط والمقام كثيرتي حدود ، كما في3xx2+2x-3{\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}يُطلق على الكسر الجبري اسم الكسر النسبي (أو التعبير النسبي ). أما الكسر غير النسبي فهو الكسر الذي لا يكون نسبيًا، مثل الكسر الذي يحتوي على المتغير تحت أس كسري أو جذر كسري، كما فيx+2x2-3{\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}⁠ .

المصطلحات المستخدمة لوصف الكسور الجبرية مشابهة لتلك المستخدمة للكسور العادية. على سبيل المثال، يكون الكسر الجبري في أبسط صورة إذا كانت العوامل المشتركة الوحيدة بين البسط والمقام هي 1 و -1. الكسر الجبري الذي يحتوي بسطه أو مقامه، أو كلاهما، على كسر، مثل ⁠1+1x1-1x{\displaystyle {\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}}، ويسمى الكسر المركب .

حقل الأعداد النسبية هو حقل كسور الأعداد الصحيحة، بينما الأعداد الصحيحة نفسها ليست حقلاً بل مجال تكاملي . وبالمثل، فإن الكسور النسبية ذات المعاملات في حقل ما تُشكل حقل كسور كثيرات الحدود ذات المعاملات في ذلك الحقل. وبالنظر إلى الكسور النسبية ذات المعاملات الحقيقية، فإن التعبيرات الجذرية التي تُمثل أعدادًا، مثل2/2{\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}/2}، هي أيضًا كسور نسبية، وكذلك الأعداد المتسامية مثلπ/2،{\textstyle \pi /2,}منذ كل2،π،{\displaystyle {\sqrt {2}},\pi ,}و2{\displaystyle 2}هي أعداد حقيقية ، وبالتالي تُعتبر معاملات. ومع ذلك، فإن هذه الأعداد نفسها ليست كسورًا نسبية ذات معاملات صحيحة .

يُستخدم مصطلح الكسر الجزئي عند تحليل الكسور النسبية إلى مجموع كسور أبسط. على سبيل المثال، الكسر النسبي2xx2-1{\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}}يمكن تحليلها إلى مجموع كسرين :1x+1+1x-1{\displaystyle {\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}}. هذا مفيد لحساب الدوال الأصلية للدوال الكسرية (انظر تحليل الكسور الجزئية لمزيد من المعلومات).

التعبيرات الجذرية

قد يحتوي الكسر على جذور في البسط أو المقام. إذا احتوى المقام على جذور، فمن المفيد تبسيطه ( انظر: الصورة المبسطة للتعبير الجذري )، خاصةً إذا كانت هناك عمليات أخرى مطلوبة، مثل الجمع أو المقارنة بين هذا الكسر وكسر آخر. كما أنه أسهل في حالة القسمة اليدوية. عندما يكون المقام جذرًا تربيعيًا أحادي الحد ، يمكن تبسيطه بضرب كل من بسط ومقام الكسر في المقام.

37=37⋅77=377.{\displaystyle {\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}.}

تتضمن عملية ترشيد مقامات ذات الحدين ضرب بسط ومقام الكسر في مرافق المقام بحيث يصبح المقام عددًا نسبيًا. على سبيل المثال:

33-25=33-25⋅3+253+25=3(3+25)32-(25)2=3(3+25)9-20=-9+6511،{\displaystyle {\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}},}
33+25=33+25⋅3-253-25=3(3-25)32-(25)2=3(3-25)9-20=-9-6511.{\displaystyle {\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}.}

حتى لو نتج عن هذه العملية أن يكون البسط غير نسبي، كما هو الحال في الأمثلة أعلاه، فقد تسهل العملية عمليات التلاعب اللاحقة عن طريق تقليل عدد الأعداد غير النسبية التي يتعين على المرء التعامل معها في المقام.

الاختلافات الطباعية

في شاشات الحاسوب والطباعة ، تُطبع الكسور البسيطة أحيانًا كحرف واحد، مثل ½ ( نصف ). راجع مقالة " أشكال الأرقام" للاطلاع على معلومات حول كيفية القيام بذلك في يونيكود .

يميز النشر العلمي أربع طرق لترتيب الكسور، بالإضافة إلى إرشادات حول الاستخدام: [ 29 ]

  • الكسور الخاصة: هي كسور تُكتب كحرف واحد بخط مائل، ويكون ارتفاعها وعرضها متقاربين مع ارتفاع وعرض باقي حروف النص. تُستخدم عادةً للكسور البسيطة، مثل: ½، ⅓، ⅔، ¼، و¾ . ونظرًا لصغر حجم الأرقام، قد يصعب قراءتها، خاصةً مع الخطوط الصغيرة. لا تُستخدم هذه الكسور في التدوين الرياضي الحديث، بل في سياقات أخرى.
  • الكسور العادية: على غرار الكسور الخاصة، تُكتب هذه الكسور كحرف واحد، ولكن مع خط أفقي، مما يجعلها عمودية. مثال على ذلك 1/2 ، ولكن يُكتب بنفس ارتفاع الأحرف الأخرى. تتضمن بعض المصادر كتابة جميع الكسور ككسور عادية إذا كانت تشغل مسافة واحدة فقط، بغض النظر عن اتجاه الخط. [ 30 ]
  • الكسور الشلنية، أو الكسور ذات الخط المائل: 1/2، سُميت كذلك لأن هذه الصيغة كانت تُستخدم في العملة البريطانية قبل النظام العشري ( £sd )، كما في "2/6" لنصف تاج ، أي شلنين وستة بنسات. مع أن صيغة شلنين وستة بنسات لم تكن تُمثل كسرًا، إلا أن الخط المائل يُستخدم الآن في الكسور، خاصةً للكسور المكتوبة بخط مائل (بدلًا من عرضها)، لتجنب عدم استواء الأسطر. كما يُستخدم أيضًا للكسور داخل الكسور ( الكسور المركبة ) أو داخل الأسس لزيادة وضوحها. الكسور المكتوبة بهذه الطريقة، والمعروفة أيضًا بالكسور الجزئية ، [ 31 ] تُكتب جميعها على سطر واحد ولكنها تشغل ثلاثة مسافات طباعية أو أكثر.
  • الكسور المركبة:12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}تستخدم هذه الصيغة سطرين أو أكثر من النص العادي، مما ينتج عنه اختلاف في المسافة بين الأسطر عند تضمينها ضمن نص آخر. ورغم أنها كبيرة وواضحة، إلا أنها قد تُشتت الانتباه، خاصةً عند كتابة الكسور البسيطة أو داخل الكسور المركبة.

تاريخ

كانت الكسور الأولى عبارة عن مقلوبات الأعداد الصحيحة : رموز قديمة تمثل جزءًا من اثنين، وجزءًا من ثلاثة، وجزءًا من أربعة، وهكذا. [ 32 ] استخدم المصريون الكسور المصرية حوالي عام 1000 قبل الميلاد. قبل حوالي 4000 عام، قسم المصريون الكسور باستخدام طرق مختلفة قليلاً. استخدموا المضاعف المشترك الأصغر مع كسور الوحدة . أعطت طرقهم نفس النتيجة التي تعطيها الطرق الحديثة. [ 33 ] كان لدى المصريين أيضًا تدوين مختلف للكسور الثنائية ، يُستخدم في بعض أنظمة الأوزان والمقاييس. [ 34 ] 

استخدم الإغريق الكسور الوحدوية، ثم الكسور المستمرة البسيطة . واكتشف أتباع الفيلسوف اليوناني فيثاغورس ( حوالي 530 قبل الميلاد) أن الجذر التربيعي للعدد اثنين لا يمكن التعبير عنه ككسر من الأعداد الصحيحة . (يُنسب هذا الاكتشاف عادةً، وإن كان على الأرجح خطأً، إلى هيباسوس الميتابونتي ، الذي يُقال إنه أُعدم لكشفه هذه الحقيقة). وفي عام 150 قبل الميلاد، كتب علماء الرياضيات الجينيون في الهند كتاب "ستانانغا سوترا" ، الذي يتضمن أعمالًا حول نظرية الأعداد والعمليات الحسابية والعمليات على الكسور. 

يبدو أن التعبير الحديث عن الكسور المعروف باسم "بهينا" قد نشأ في الهند. وُصفت هذه الكسور لأول مرة في مخطوطة باخشالي ( حوالي 400 ميلادي )، [ 35 ] وبراهماغوبتا ( حوالي 628 ميلادي )، وبهاسكارا ( حوالي 1150 ميلادي ). [ 36 ] تُشكل أعمالهم الكسور بوضع البسط ( بالسنسكريتية : amsa ) فوق المقام ( cheda )، دون وضع خط فاصل بينهما. [ 36 ] يُكتب العدد الصحيح في سطر ، والكسر بجزأيه في السطر التالي. إذا كان الكسر مُشارًا إليه بدائرة صغيرة ⟨०⟩ أو علامة زائد ⟨ + ⟩ ، فإنه يُطرح من العدد الصحيح؛ وإذا لم تظهر أي علامة ، يُفهم أنه يُضاف. على سبيل المثال، كتب بهاسكارا الأول : [ 37 ]

٦ ١ ٢
١ ١ ١٠
٤ ٥ ٩

وهو ما يعادل

6 1 2
1 1 −1
4 5 9

وسيتم كتابتها في التدوين الحديث على النحو التالي : 6 1 / 4 , 1 1 / 5 , و 2 − 1 / 9 ( أي 1 8 / 9 ) .  

ورد ذكر خط الكسر الأفقي لأول مرة في كتابات الحسّار ( الذي ازدهر عام 1200 ميلادي )، [ 36 ] وهو عالم رياضيات مسلم من فاس بالمغرب ، متخصص في فقه الميراث الإسلامي . وقد كتب في مناقشته: "على سبيل المثال، إذا طُلب منك كتابة ثلاثة أخماس وثلث خُمس، فاكتبها على النحو التالي:3153{\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}}[ 38 ] يظهر نفس الترميز الكسري - مع إعطاء الكسر قبل العدد الصحيح [ 36 ] - بعد ذلك بوقت قصير في عمل ليوناردو فيبوناتشي في القرن الثالث عشر. [ 39 ]

في معرض مناقشة أصول الكسور العشرية ، يذكر ديرك جان ستريك ما يلي: [ 40 ]

يعود تاريخ استخدام الكسور العشرية كممارسة حسابية شائعة إلى الكتيب الفلمنكي "De Thiende" الذي نُشر في ليدن عام 1585، مصحوبًا بترجمة فرنسية بعنوان " La Disme " من قِبل عالم الرياضيات الفلمنكي سيمون ستيفن (1548-1620)، الذي كان آنذاك مقيمًا في شمال هولندا . صحيح أن الصينيين استخدموا الكسور العشرية قبل ستيفن بقرون عديدة، وأن الفلكي الفارسي الكاشي استخدم الكسور العشرية والستينية بسهولة بالغة في كتابه "مفتاح الحساب" ( سمرقند ، أوائل القرن الخامس عشر). [ 41 ]

بينما ادعى عالم الرياضيات الفارسي جمشيد الكاشي أنه اكتشف الكسور العشرية بنفسه في القرن الخامس عشر، يشير ج.  لينارت بيرغرين إلى أنه كان مخطئًا، حيث استُخدمت الكسور العشرية لأول مرة قبل خمسة قرون من ذلك على يد عالم الرياضيات البغدادي أبو الحسن الإقليدي في وقت مبكر من القرن العاشر. [ 42 ] [ حاشية 3 ]

في التعليم الرسمي

المدارس الابتدائية

في المدارس الابتدائية ، تم توضيح الكسور من خلال قضبان كويزنير ، وقضبان الكسور، وشرائط الكسور، ودوائر الكسور، والورق (للطي أو القص)، ومكعبات الأنماط ، وقطع على شكل فطيرة، ومستطيلات بلاستيكية، وورق مربعات، وورق منقط ، ولوحات هندسية ، وعدادات، وبرامج الكمبيوتر.

وثائق للمعلمين

تبنّت عدة ولايات في الولايات المتحدة مسارات تعليمية مستمدة من إرشادات مبادرة المعايير الأساسية المشتركة لتعليم الرياضيات. وبالإضافة إلى ترتيب تعلم الكسور والعمليات عليها، تُقدّم الوثيقة التعريف التالي للكسر: "عدد يُمكن التعبير عنه بالشكل التالي:أ{\displaystyle a}/ب{\displaystyle b}أينأ{\displaystyle a}هو عدد صحيح وب{\displaystyle b}هو عدد صحيح موجب. (كلمة " كسر" في هذه المعايير تشير دائمًا إلى عدد غير سالب.)" [ 44 ] كما تشير الوثيقة نفسها إلى الكسور السالبة.

انظر أيضاً

ℕ ⊊ ℤ ⊊ ℚ ⊊ ℝ ⊊ ℂ
المجموعات المضمنة بين الأعداد الطبيعية (شمال{\displaystyle \mathbb {N} }), الأعداد الصحيحة (Z{\displaystyle \mathbb {Z} })، الأعداد النسبية (سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }), الأعداد الحقيقية (R{\displaystyle \mathbb {R} })، والأعداد المركبة (ج{\displaystyle \mathbb {C} })

ملحوظات

  1. ↑ يخطئبعض مصممي الخطوط، مثل برينغهيرست، في التمييز بين الشرطة المائلة ⟨ / ⟩ والشرطة الفاصلة ، وبين الشرطة المائلة الكسرية ⟨ ⁄ ⟩ والشرطة الصلبة ، [ 6 ] مع أن كليهما في الواقع مرادفان للشرطة المائلة القياسية. [ 7 ] [ 8 ]
  2. ↑ هناتعني كلمة "مبتذل" شائع أو شائع ، وليس مسيئاً .
  3. ↑ على الرغم من وجود بعض الخلاف بين علماء تاريخ الرياضيات حول أولوية إسهام الأقليديسي، إلا أنه لا شك في إسهامه الرئيسي في مفهوم الكسور العشرية. [ 43 ]

مراجع

وايسشتاين، إريك (2003). "موسوعة سي آر سي الموجزة للرياضيات، الطبعة الثانية". موسوعة سي آر سي الموجزة للرياضيات . تشابمان آند هول/سي آر سي. ص  1925. ISBN 1-58488-347-2.

  1. ↑ هـ. وو، "سوء تعليم معلمي الرياضيات"، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، المجلد 58، العدد 03 (مارس 2011)، ص 374. مؤرشف في 20 أغسطس 2017 على موقع Wayback Machine .
  2. ↑ شوارتزمان، ستيفن (1994). كلمات الرياضيات: قاموس اشتقاقي للمصطلحات الرياضية المستخدمة في اللغة الإنجليزية . الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-88385-511-9.
  3. ↑ "الكسور" . www.mathsisfun.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27-08-2020 .
  4. 1 2 أمبروز، جافين؛ وآخرون . (2006). أساسيات الطباعة ( الطبعة الثانية). لوزان: دار نشر AVA. ص 74. ISBN    978-2-940411-76-4أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 4 مارس 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 فبراير 2016 ..
  5. ↑ كاجوري (1928) ، "275. الصلب"، ص 312-314
  6. ↑ برينغهيرست، روبرت (2002). "5.2.5: استخدم علامة الطرح مع الكلمات والتواريخ، وعلامة السوليدوس مع الكسور ذات المستويين". عناصر الأسلوب الطباعي ( الطبعة الثالثة). بوينت روبرتس : هارتلي آند ماركس. الصفحات 81-82 . ISBN   978-0-88179-206-5.
  7. ↑ "virgule, n. ". قاموس أكسفورد الإنجليزي ( الطبعة الأولى). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. 1917. 
  8. ↑ "solidus, n. 1 ". قاموس أكسفورد الإنجليزي ( الطبعة الأولى). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. 1913. 
  9. ↑ إيسترداي، كينيث إي. (شتاء 1982). "مائة وخمسون عامًا من الكسور المبتذلة". التعليم المعاصر . 53 (2): 83-88 . بروكويست 1291644250 . 
  10. 1 2 ديفيد إي. سميث (1 يونيو 1958). تاريخ الرياضيات . شركة كورير. ص 219. ISBN  978-0-486-20430-7.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  11. ↑ بيري، أوين؛ بيري، جويس (1981). "الفصل 2: ​​الكسور المشتركة". الرياضيات 1. بالغراف ماكميلان المملكة المتحدة. ص 13-25 . doi : 10.1007/978-1-349-05230-1_2 . 
  12. ↑ جاك ويليامز (19 نوفمبر 2011). روبرت ريكورد: عالم موسوعي من عصر تيودور، وباحث وممارس في مجال الحوسبة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 87 وما بعدها. ISBN  978-0-85729-862-1.
  13. ↑Record, Robert (1654). Record's Arithmetick: Or, the Ground of Arts: Teaching the Perfect Work and Practise of Arithmetick ... Made by Mr. Robert Record ... Afterward Augmented by Mr. John Dee. And Since Enlarged with a Third Part of Rules of Practise ... By John Mellis. And Now Diligently Perused, Corrected ... and Enlarged; with an Appendix of Figurative Numbers ... with Tables of Board and Timber Measure ... the First Calculated by R. C. But Corrected, and the Latter ... Calculated by Ro. Hartwell ... James Flesher, and are to be sold by Edward Dod. pp. 266–.
  14. ↑Laurel Brenner; Peterson (31 March 2004). "Ask Dr. Math: Can Negative Fractions Also Be Proper or Improper?". Math Forum. Archived from the original on 9 November 2014. Retrieved 2014-10-30.
  15. ↑"Proper Fraction". New England Compact Math Resources. Archived from the original on 2012-04-15. Retrieved 2011-12-31.
  16. ↑Greer, A. (1986). New comprehensive mathematics for 'O' level (2nd ed., reprinted ed.). Cheltenham: Thornes. p. 5. ISBN 978-0-85950-159-0. Archived from the original on 2019-01-19. Retrieved 2014-07-29.
  17. ↑Kelley, W. Michael (2004). The Complete Idiot's Guide to Algebra. Penguin. p. 25. ISBN 9781592571611.
  18. ↑Wingard-Nelson, Rebecca (2014). Ready for Fractions and Decimals. Enslow. p. 14. ISBN 978-0-7660-4247-6. When you read a mixed number out loud, you say the whole number, the word and, then the fraction. The mixed number ⁠2+1/4⁠ is read as two and one fourth.
  19. ↑Wu, Hung-Hsi (2011). Understanding Numbers in Elementary School Mathematics. American Mathematical Society. §14.3 Mixed Numbers, pp. 225–227. ISBN 978-0-8218-5260-6.
  20. ↑Gardiner, Tony (2016). Teaching Mathematics at Secondary Level. OBP Series in Mathematics. Vol. 2. Open Book Publishers. p. 89. doi:10.11647/OBP.0071. ISBN 9781783741373.
  21. ↑ لي، ماري أ؛ ميسنر، شيلي ج. (2000). "تحليل عمليات الربط وترتيب العمليات في الرياضيات المكتوبة". مجلة العلوم والرياضيات المدرسية . 100 (4): 173-180 . doi : 10.1111/j.1949-8594.2000.tb17254.x . ProQuest 195210281. يتمتع طلاب الجامعات بسنوات عديدة من الخبرة في المرحلة الثانوية، وربما الجامعية، حيث كانت عملية الضرب هي العملية الضمنية في عمليات الربط مثل 4 × ، مع خبرة صفية قليلة في الأعداد الكسرية. لذلك، عند عودتهم إلى دراسة الأعداد الكسرية، فإنهم يطبقون معرفتهم الحديثة بعملية الضرب كعملية ضمنية في عمليات الربط على الوضع "الجديد" للأعداد الكسرية. 
  22. 1 2 تروتر، جيمس (1853). نظام كامل للحساب . ص 65. 
  23. 1 2 بارلو، بيتر (1814). قاموس رياضي وفلسفي جديد .
  24. ↑ "الكسر المركب" . قاموس كولينز الإنجليزي . مؤرشف من الأصل بتاريخ 1 ديسمبر 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أغسطس 2022 .
  25. ↑ "تعريف ومعنى الكسر المركب" . قاموس كولينز الإنجليزي . 9 مارس 2018. مؤرشف من الأصل في 1 ديسمبر 2017. تم الاطلاع عليه في 13 مارس 2018 .
  26. ↑ "الكسور المركبة" . Sosmath.com. 5 فبراير 1996. مؤرشف من الأصل في 14 مارس 2018. تم الاطلاع عليه في 13 مارس 2018 .
  27. ↑ شونبورن، باري؛ سيمكينز، برادلي (2010). "8. متعة الكسور" . الرياضيات التقنية للمبتدئين . هوبوكين: وايلي للنشر. ص 120. ISBN  978-0-470-59874-0. OCLC 719886424 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 سبتمبر 2020 . 
  28. ↑ "الكسر" . موسوعة الرياضيات. 6 أبريل 2012. مؤرشف من الأصل في 21 أكتوبر 2014. تم الاطلاع عليه في 15 أغسطس 2012 .
  29. ↑ جالين، ليزلي بلاكويل (مارس 2004). "وضع الكسور في مكانها الصحيح" ( ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 111 (3): 238-242 . doi : 10.2307/4145131 . JSTOR 4145131. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 13 يوليو 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2010 . 
  30. ↑ "الكسر المبني" . معجم allbusiness.com. مؤرشف من الأصل بتاريخ 26-05-2013 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-06-2013 .
  31. ↑ "جزء من الكسر" . معجم allbusiness.com. مؤرشف من الأصل بتاريخ 21-05-2013 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-06-2013 .
  32. ↑ إيفز، هوارد (1990). مدخل إلى تاريخ الرياضيات ( الطبعة السادسة). فيلادلفيا: دار نشر ساوندرز كوليدج. رقم ISBN  978-0-03-029558-4.
  33. ↑ وينكلر، بيتر (2004). "استخدامات الصمامات". ألغاز رياضية: مجموعة للمُتذوقين . إيه كيه بيترز. ص 2، 6. ISBN  1-56881-201-9.
  34. ↑ كورتيس، لورينزو ج. (1978). "مفهوم القانون الأسي قبل عام 1900". المجلة الأمريكية للفيزياء . 46 (9): 896-906 . Bibcode : 1978AmJPh..46..896C . doi : 10.1119/1.11512 .
  35. ^ سيكوروفا، آي. (2010)، الكسور في الرياضيات الهندية القديمة (PDF) ، المجلد. 1، ص. 1  {{citation}}: CS1 maint: url-status ( link )
  36. ١ ٢ ٣ ٤ ميلر، جيف (٢٢ ديسمبر ٢٠١٤). "أقدم استخدامات الرموز الرياضية المختلفة" . مؤرشف من الأصل في ٢٠ فبراير ٢٠١٦. تم الاطلاع عليه في ١٥ فبراير ٢٠١٦ .
  37. ↑ فيليوزات، بيير سيلفان (2004). "الرياضيات السنسكريتية القديمة: تقليد شفوي وأدب مكتوب". في: شيملة، كارين ؛ كوهين، روبرت س.؛ رين، يورغن؛ وآخرون (محررون). تاريخ العلم، تاريخ النص . سلسلة بوسطن في فلسفة العلوم. المجلد 238. دوردريخت: سبرينغر هولندا . ص 152. doi : 10.1007/1-4020-2321-9_7 . ISBN    978-1-4020-2320-0.
  38. ↑ كاجوري، فلوريان (1928). تاريخ الرموز الرياضية . المجلد 1. لاسال، إلينوي: دار نشر أوبن كورت. ص 269. مؤرشف من الأصل بتاريخ 14 أبريل 2014. تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 أغسطس 2017 .  
  39. ↑ كاجوري (1928) ، ص 89
  40. ↑ كتاب مصادر في الرياضيات 1200-1800 . نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. 1986. ISBN 978-0-691-02397-7.
  41. ↑ Die Rechenkunst bei Ğamšīd ب. مسعود الكاسي . فيسبادن: شتاينر. 1951.
  42. ↑ بيرغرين، ج. لينارت (2007). "الرياضيات في الإسلام في العصور الوسطى". رياضيات مصر وبلاد ما بين النهرين والصين والهند والإسلام: كتاب مرجعي . مطبعة جامعة برينستون. ص 518. ISBN  978-0-691-11485-9.
  43. ↑ "سيرة ماك تيوتور عن القليديسي" . مؤرشفة بتاريخ 15 نوفمبر 2011 في أرشيف الإنترنت . تم الاطلاع عليها بتاريخ 22 نوفمبر 2011.
  44. ↑ "معايير التعليم الأساسية المشتركة للرياضيات" (ملف PDF) . مبادرة معايير التعليم الأساسية المشتركة. 2010. ص 85. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 19-10-2013 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10-10-2013 . 
  • "الكسور الحسابية" . الموسوعة الإلكترونية للرياضيات . مؤرشف من الأصل بتاريخ 21-10-2014 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28-12-2011 .
  • "الكسر" . الموسوعة البريطانية . 5 يناير 2024.