متعدد الحدود أحادي

في الجبر ، متعددة الحدود أحادية المعامل هي متعددة حدود أحادية المتغير غير صفرية (أي متعددة حدود في متغير واحد) يكون فيها المعامل الرئيسي (معامل الحد غير الصفري ذي الدرجة الأعلى) مساوياً لـ 1. بمعنى آخر، متعددة الحدود أحادية المعامل هي التي يمكن كتابتها على الصورة ^{[ 1 ].}

${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},}$

مع${\displaystyle n\geq 0.}$

تُستخدم كثيرات الحدود أحادية القيمة على نطاق واسع في الجبر ونظرية الأعداد ، لأنها تُسهّل العديد من العمليات الحسابية وتتجنب القسمة والمقامات. إليك بعض الأمثلة.

ترتبط كل كثيرة حدود بكثيرة حدود أحادية فريدة. وعلى وجه الخصوص، يمكن التعبير عن خاصية التحليل الفريد لكثيرات الحدود كما يلي: يمكن تحليل كل كثيرة حدود بشكل فريد إلى حاصل ضرب معاملها الرئيسي في حاصل ضرب كثيرات حدود أحادية غير قابلة للاختزال .

تكون صيغ فييتا أبسط في حالة كثيرات الحدود أحادية المعامل: الدالة المتناظرة الأولية من الرتبة k لجذور كثيرة حدود أحادية المعامل من الدرجة n تساوي${\displaystyle (-1)^{k}c_{nk},}$أين${\displaystyle c_{nk}}$هو معامل القوة ( ن - ك ) للمتغير غير المحدد .

لا يؤدي القسمة الإقليدية لكثير الحدود على كثير حدود أحادي إلى قسمة المعاملات. لذلك، فهي معرفة لكثيرات الحدود ذات المعاملات في حلقة تبديلية .

تُعرَّف الأعداد الصحيحة الجبرية بأنها جذور كثيرات الحدود أحادية المعامل ذات المعاملات الصحيحة.

يمكن كتابة كل متعددة حدود أحادية المتغير غير صفرية ( متعددة حدود ذات متغير واحد غير محدد ) على النحو التالي

${\displaystyle c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots c_{1}x+c_{0},}$

أين${\displaystyle c_{n},\ldots ,c_{0}}$هي معاملات كثيرة الحدود، والمعامل الرئيسي${\displaystyle c_{n}}$غير صفري. بحسب التعريف، تكون هذه كثيرة الحدود أحادية إذا${\displaystyle c_{n}=1.}$

حاصل ضرب كثيرات الحدود أحادية المعامل يكون أحادي المعامل. ويكون حاصل ضرب كثيرات الحدود أحادي المعامل إذا وفقط إذا كان حاصل ضرب المعاملات الرئيسية للعوامل يساوي 1 .

وهذا يعني أن كثيرات الحدود الأحادية في حلقة كثيرات الحدود أحادية المتغير فوق حلقة تبديلية تشكل أحاديًا تحت ضرب كثيرات الحدود.

ترتبط كثيرتا الحدود أحاديتان إذا وفقط إذا كانتا متساويتين، لأن ضرب كثير الحدود بثابت غير صفري ينتج عنه كثير حدود يكون هذا الثابت هو معامله الرئيسي.

تؤدي قابلية القسمة إلى ترتيب جزئي على كثيرات الحدود الأحادية. وينتج هذا بشكل مباشر تقريباً من الخصائص السابقة.

يترك${\displaystyle P(x)=0}$لتكن معادلة متعددة الحدود ، حيث P متعددة حدود أحادية المتغير من الدرجة n . إذا قسمنا جميع معاملات P على معاملها الرئيسي.${\displaystyle c_{n},}$نحصل على معادلة متعددة الحدود جديدة لها نفس الحلول.

على سبيل المثال، المعادلة

${\displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}$

وهو ما يعادل المعادلة الأحادية

${\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0.}$

عندما تكون المعاملات غير محددة، أو تنتمي إلى حقل لا ينتج عن القسمة فيه كسور (مثل${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,}$أو حقل منتهٍ )، قد يُسهّل هذا الاختزال إلى معادلات أحادية الحل. من جهة أخرى، وكما هو موضح في المثال السابق، عندما تكون المعاملات أعدادًا صحيحة، تكون متعددة الحدود الأحادية المرتبطة بها أكثر تعقيدًا بشكل عام. لذلك، غالبًا ما تُستخدم متعددات الحدود الأولية بدلًا من متعددات الحدود الأحادية عند التعامل مع معاملات صحيحة.

تعتبر المعادلات متعددة الحدود أحادية القيمة أساس نظرية الأعداد الصحيحة الجبرية ، وبشكل أعم أساس نظرية العناصر الصحيحة .

ليكن R حلقة جزئية من حقل F ؛ وهذا يعني أن R مجال تكاملي . يكون العنصر a من F تكامليًا على R إذا كان جذرًا لكثير حدود أحادي المعاملات في R.

يُطلق على العدد المركب الذي يكون صحيحًا على مجموعة الأعداد الصحيحة اسم العدد الجبري . يستند هذا المصطلح إلى حقيقة أن مجموعة الأعداد الصحيحة هي تحديدًا الأعداد النسبية التي هي أيضًا أعداد جبرية. وينتج هذا عن نظرية الجذر النسبي ، التي تنص على أنه إذا كان العدد النسبي${\textstyle {\frac {p}{q}}}$إذا كان (في أبسط صورة ) جذرًا لكثير حدود بمعاملات صحيحة، فإن q يكون قاسمًا للمعامل الرئيسي؛ لذا، إذا كان كثير الحدود أحاديًا، فإن${\displaystyle q=\pm 1,}$والعدد عدد صحيح. وعلى العكس، فإن العدد الصحيح p هو جذر لكثير الحدود أحادي المعامل${\displaystyle xp.}$

يمكن إثبات أنه إذا كان عنصران من حقل F صحيحين على حلقة جزئية R من F ، فإن مجموع هذين العنصرين وحاصل ضربهما صحيحان أيضًا على R. ويترتب على ذلك أن عناصر F الصحيحة على R تُشكل حلقة، تُسمى الإغلاق التكاملي لـ R في K. ويُطلق على المجال التكاملي الذي يساوي إغلاقه التكاملي في حقل الكسور الخاص به اسم المجال المغلق تكامليًا .

تُعدّ هذه المفاهيم أساسية في نظرية الأعداد الجبرية . فعلى سبيل المثال، كان العديد من البراهين الخاطئة لنظرية فيرما الأخيرة ، والتي كُتبت على مدار أكثر من ثلاثة قرون، خاطئة لأن مؤلفيها افترضوا خطأً أن للأعداد الصحيحة الجبرية في حقل الأعداد الجبرية تحليلاً فريداً .

عادةً، لا يُستخدم مصطلح "أحادي" لوصف كثيرات الحدود ذات المتغيرات المتعددة. مع ذلك، يمكن اعتبار كثيرة الحدود ذات المتغيرات المتعددة كثيرة حدود في متغير واحد بمعاملات هي كثيرات حدود في المتغيرات الأخرى. وبالتالي، فإن كونها أحادية يعتمد على اختيار متغير "رئيسي" واحد. على سبيل المثال، كثيرة الحدود

${\displaystyle p(x,y)=2xy^{2}+x^{2}-y^{2}+3x+5y-8}$

تكون أحادية، إذا اعتبرت متعددة حدود في x بمعاملات هي متعددات حدود في y :

${\displaystyle p(x,y)=x^{2}+(2y^{2}+3)\,x+(-y^{2}+5y-8);}$

لكنها ليست أحادية عند اعتبارها متعددة حدود في y بمعاملات هي متعددات حدود في x :

${\displaystyle p(x,y)=(2x-1)\,y^{2}+5y+(x^{2}+3x-8).}$

في سياق قواعد غروبنر ، يتم تحديد رتبة أحادية الحد بشكل عام. في هذه الحالة، يمكن القول إن كثير الحدود أحادي إذا كان معامله الرئيسي هو 1 (في رتبة أحادية الحد).

في كل تعريف، يكون حاصل ضرب كثيرات الحدود أحادية، وإذا كانت المعاملات تنتمي إلى حقل ، فإن كل كثيرة حدود ترتبط بكثيرة حدود أحادية واحدة فقط.