تدوين الفهرس

يتم التعامل مع المتجه كمصفوفة من الأرقام عن طريق كتابته كمتجه صف أو متجه عمود (أيهما يستخدم حسب السهولة أو السياق):

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}}$

تسمح طريقة الفهرسة بتحديد عناصر المصفوفة ببساطة عن طريق كتابة i _، حيث يُعرف أن الفهرس i يتراوح من 1 إلى n ، نظرًا لوجود n بُعد. ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، بالنظر إلى المتجه:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}10&8&9&6&3&5\\\end{pmatrix}}}$

ثم بعض الإدخالات هي

${\displaystyle a_{1}=10,\,a_{2}=8,\,\cdots ,\,a_{6}=5}$.

يمكن تطبيق هذا الترميز على المتجهات في الرياضيات والفيزياء . معادلة المتجهات التالية

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =\mathbf {c} }$

ويمكن أيضًا كتابتها بدلالة عناصر المتجه (أو مكوناته)، أي

${\displaystyle a_{i}+b_{i}=c_{i}}$

حيث تأخذ المؤشرات نطاقًا محددًا من القيم. يُمثل هذا التعبير مجموعة من المعادلات، معادلة لكل مؤشر. إذا كان لكل متجه n عنصرًا، أي i = 1, 2, ..., n ، فإن المعادلات تكون صريحة.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}+b_{1}&=c_{1}\\a_{2}+b_{2}&=c_{2}\\&\ \ \vdots \\a_{n}+b_{n}&=c_{n}\end{aligned}}}$

وبالتالي، فإن ترميز الفهرسة بمثابة اختصار فعال لـ

1. تمثيل البنية العامة للمعادلة،
2. بينما ينطبق ذلك على المكونات الفردية.

يتم استخدام أكثر من فهرس واحد لوصف مصفوفات الأرقام، في بعدين أو أكثر، مثل عناصر المصفوفة، (انظر أيضًا الصورة إلى اليمين)؛

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}}$

يُكتب عنصر المصفوفة A باستخدام مؤشرين، ولنقل i و j ، مع أو بدون فواصل للفصل بينهما: a _ij أو a _i,j ، حيث يُمثل المؤشر الأول رقم الصف والثاني رقم العمود. كما يُستخدم التجاور كرمز للضرب؛ وقد يُسبب هذا بعض الالتباس. على سبيل المثال، إذا

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}9&8&6\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{pmatrix}}}$

ثم بعض الإدخالات هي

${\displaystyle a_{11}=9,\,a_{12}=8,\,a_{21}=1,\,\cdots ,\,a_{23}=7,\,\cdots }$.

بالنسبة للمؤشرات الأكبر من 9، قد يكون التدوين القائم على الفاصلة مفضلاً (على سبيل المثال، _{3,12 بدلاً} من 312 ) .

تُكتب المعادلات المصفوفية بطريقة مشابهة للمعادلات المتجهة، مثل:

${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {C} }$

من حيث عناصر المصفوفات (المعروفة أيضًا بالمكونات)

${\displaystyle A_{ij}+B_{ij}=C_{ij}}$

لجميع قيم i و j . مرة أخرى، يُمثل هذا التعبير مجموعة من المعادلات، معادلة واحدة لكل فهرس. إذا كانت المصفوفات تحتوي على m صفًا و n عمودًا، أي i = 1، 2، ...، m و j = 1، 2، ...، n ، فسيكون هناك mn معادلة.

تتيح هذه الصيغة تعميمًا واضحًا للمصفوفات متعددة الأبعاد من العناصر: الموترات. على سبيل المثال،

${\displaystyle A_{i_{1}i_{2}\cdots }+B_{i_{1}i_{2}\cdots }=C_{i_{1}i_{2}\cdots }}$

يمثل مجموعة من المعادلات العديدة.

في تحليل الموترات، يتم استخدام الرموز العليا بدلاً من الرموز السفلى لتمييز الكيانات المتغيرة والمتغيرة عكسياً، انظر التغاير والتغاير العكسي للمتجهات ورفع وخفض المؤشرات .

تصبح الأمور أكثر إثارة للاهتمام عندما ننظر إلى المصفوفات التي تحتوي على أكثر من فهرس، على سبيل المثال، جدول ثنائي الأبعاد. لدينا ثلاثة احتمالات:

• اجعل المصفوفة ثنائية الأبعاد أحادية البعد عن طريق حساب فهرس واحد من اثنين
• لنفترض وجود مصفوفة أحادية البعد حيث يكون كل عنصر عبارة عن مصفوفة أحادية البعد أخرى، أي مصفوفة من المصفوفات
• استخدم مساحة تخزين إضافية لحفظ مصفوفة عناوين كل صف من صفوف المصفوفة الأصلية، وخزّن صفوف المصفوفة الأصلية كمصفوفات أحادية البعد منفصلة.

في لغة C، يمكن استخدام الطرق الثلاث جميعها. عند استخدام الطريقة الأولى، يُحدد المبرمج كيفية ترتيب عناصر المصفوفة في ذاكرة الحاسوب، ويُقدم الصيغ لحساب موقع كل عنصر. تُستخدم الطريقة الثانية عندما يكون عدد العناصر في كل صف متساويًا ومعروفًا وقت كتابة البرنامج. يُعلن المبرمج أن المصفوفة تحتوي على ثلاثة أعمدة، على سبيل المثال، بكتابة elementtype tablename[][3];. ثم يُشير إلى عنصر مُحدد من المصفوفة بكتابة tablename[first index][second index]. يحسب المُترجم إجمالي عدد خلايا الذاكرة التي يشغلها كل صف، ويستخدم الفهرس الأول للعثور على عنوان الصف المطلوب، ثم يستخدم الفهرس الثاني للعثور على عنوان العنصر المطلوب في ذلك الصف. عند استخدام الطريقة الثالثة، يُعلن المبرمج أن الجدول عبارة عن مصفوفة من المؤشرات، كما في elementtype *tablename[];. عندما يُحدد المبرمج لاحقًا عنصرًا مُعينًا tablename[first index][second index]، يُنشئ المُترجم تعليمات للبحث عن عنوان الصف المُحدد بالفهرس الأول، ويستخدم هذا العنوان كأساس عند حساب عنوان العنصر المُحدد بالفهرس الثاني.

void mult3x3f ( float result [][ 3 ], const float A [][ 3 ], const float B [][ 3 ]) { int i , j , k ; for ( i = 0 ; i < 3 ; ++ i ) { for ( j = 0 ; j < 3 ; ++ j ) { result [ i ][ j ] = 0 ; for ( k = 0 ; k < 3 ; ++ k ) result [ i ][ j ] += A [ i ][ k ] * B [ k ][ j ]; } } }