متغير (رياضيات)

في الرياضيات ، المتغير (من الكلمة اللاتينية variabilis ، "قابل للتغيير") هو رمز ، عادةً ما يكون حرفًا، يحمل مكانًا للثوابت ، غالبًا الأرقام. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]} يقال بشكل عام أن المتغير يمثل أو يدل على الكائن، وأن الكائن هو قيمة المتغير.

في الأصل، كان مصطلح "متغير" يستخدم في المقام الأول لحجة الدالة ، وفي هذه الحالة يمكن أن تختلف قيمته في نطاق الدالة . هذا هو الدافع وراء اختيار المصطلح. كما تُستخدم المتغيرات للإشارة إلى قيم الدوال، مثل y في${\displaystyle y=f(x).}$

قد يمثل المتغير عددًا غير محدد يظل ثابتًا أثناء حل مشكلة؛ وفي هذه الحالة، يُطلق عليه غالبًا اسم معلمة . قد يشير المتغير إلى عدد غير معروف يجب تحديده؛ وفي هذه الحالة، يُطلق عليه اسم غير معروف ؛ على سبيل المثال، في المعادلة التربيعية، المتغيرات هي معلمات، و هو المجهول. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$${\displaystyle أ،ب،ج}$${\displaystyle x}$

في بعض الأحيان يمكن استخدام نفس الرمز للإشارة إلى كل من المتغير والثابت ، أي كائن رياضي محدد جيدًا. على سبيل المثال، يمثل الحرف اليوناني π عمومًا الرقم π ، ولكن تم استخدامه أيضًا للإشارة إلى الإسقاط . وبالمثل، يشير الحرف e غالبًا إلى رقم أويلر ، ولكن تم استخدامه للإشارة إلى معامل غير معين للدالة الرباعية ومتعددات الحدود من الدرجة الأعلى . حتى الرمز ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ تم استخدامه للإشارة إلى عنصر هوية لحقل تعسفي . يتم استخدام هذين المفهومين بشكل متطابق تقريبًا، لذلك يجب عادةً إخبار المرء بما إذا كان الرمز المعطى يشير إلى متغير أم ثابت. ^[7]

تُستخدم المتغيرات غالبًا لتمثيل المصفوفات ، والوظائف ، وحججها، والمجموعات وعناصرها ، والمتجهات ، والمساحات ، وما إلى ذلك. [ ^8]

في المنطق الرياضي ، المتغير هو إما رمز يمثل ثابتًا غير محدد للنظرية، أو متغير يتم تحديد كميته. ^{[9] [10] [11]}

في الأعمال القديمة مثل كتاب العناصر لإقليدس ، تشير الحروف المفردة إلى النقاط والأشكال الهندسية. في القرن السابع، استخدم براهماجوبتا ألوانًا مختلفة لتمثيل المجهول في المعادلات الجبرية في كتاب براهماسفوتاسيدانتا . يُطلق على أحد أقسام هذا الكتاب اسم "معادلات الألوان المتعددة". ^[12]

في نهاية القرن السادس عشر، قدم فرانسوا فييت فكرة تمثيل الأرقام المعروفة وغير المعروفة بالحروف، والتي تسمى الآن بالمتغيرات، وفكرة الحساب بها كما لو كانت أرقامًا - من أجل الحصول على النتيجة عن طريق الاستبدال البسيط. كانت اتفاقية فييت هي استخدام الحروف الساكنة للقيم المعروفة، والحروف المتحركة للقيم غير المعروفة. ^[13]

في عام 1637، اخترع رينيه ديكارت "اتفاقية تمثيل المجهول في المعادلات بـ x و y و z ، والمعلوم بـ a و b و c ". ^[14] وعلى عكس اتفاقية فييت، لا تزال اتفاقية ديكارت مستخدمة على نطاق واسع. تمت مناقشة تاريخ الحرف x في الرياضيات في مقالة نشرت في مجلة ساينتفك أمريكان عام 1887. ^[15]

بدءًا من ستينيات القرن السابع عشر، طور إسحاق نيوتن وجوتفريد فيلهلم لايبنتز بشكل مستقل حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي في الصغر ، والذي يتكون أساسًا من دراسة كيف يؤدي التغير اللامتناهي في الصغر لكمية متغيرة إلى تغير مماثل لكمية أخرى تكون دالة للمتغير الأول. وبعد ما يقرب من قرن من الزمان، حدد ليونهارد أويلر مصطلحات حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي في الصغر، وقدم الترميز y = f ( x ) للدالة f ومتغيرها x وقيمتها y . وحتى نهاية القرن التاسع عشر، كانت كلمة متغير تشير حصريًا تقريبًا إلى حجج وقيم الدوال .

في النصف الثاني من القرن التاسع عشر، بدا أن أساس حساب التفاضل والتكامل اللانهائي لم يكن رسميًا بما يكفي للتعامل مع المفارقات الظاهرة مثل الدالة المستمرة غير القابلة للاشتقاق في أي مكان . لحل هذه المشكلة، قدم كارل ويرستراس صيغة جديدة تتكون من استبدال المفهوم البديهي للحد بتعريف رسمي. كان المفهوم الأقدم للحد هو "عندما يتغير المتغير x ويميل نحو a ، فإن f ( x ) يميل نحو L "، دون أي تعريف دقيق لـ "يميل". استبدل ويرستراس هذه الجملة بالصيغة

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \eta >0)(\forall x)\;|xa|<\eta }$${\displaystyle \Rightarrow |Lf(x)|<\epsilon ,}$

حيث لا يتم اعتبار أي من المتغيرات الخمسة متغيرًا.

أدت هذه الصيغة الثابتة إلى المفهوم الحديث للمتغير، وهو ببساطة رمز يمثل كائنًا رياضيًا إما غير معروف، أو يمكن استبداله بأي عنصر من مجموعة معينة (على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الحقيقية ).

يُشار إلى المتغيرات عمومًا بحرف واحد، غالبًا من الأبجدية اللاتينية وأقل شيوعًا من اليونانية ، والتي قد تكون بأحرف صغيرة أو كبيرة. قد يتبع الحرف رمز سفلي: رقم (كما في x ₂ )، أو متغير آخر ( x _i )، أو كلمة أو اختصار لكلمة ( x _total ) أو تعبير رياضي ( x _{2 i + 1} ). تحت تأثير علوم الكمبيوتر ، تتكون بعض أسماء المتغيرات في الرياضيات البحتة من عدة أحرف وأرقام. باتباع رينيه ديكارت (1596-1650)، تُستخدم الأحرف في بداية الأبجدية مثل a و b و c عادةً للقيم والمعلمات المعروفة، وتُستخدم الأحرف في نهاية الأبجدية مثل ( x و y و z ) عادةً للمجهول ومتغيرات الوظائف. ^[16] في الرياضيات المطبوعة، تكون القاعدة هي تعيين المتغيرات والثوابت بخط مائل. ^[17]

على سبيل المثال، تُكتب الدالة التربيعية العامة تقليديًا على النحو التالي ، حيث تكون a و b و c معلمات (وتسمى أيضًا ثوابت ، لأنها دوال ثابتة )، بينما x هو متغير الدالة. هناك طريقة أكثر وضوحًا للإشارة إلى هذه الدالة وهي ، والتي توضح حالة وسيطة الدالة لـ x والحالة الثابتة لـ a و b و c . نظرًا لأن c تحدث في حد هو دالة ثابتة لـ x ، فإنها تسمى الحد الثابت . ^[18]${\textstyle ax^{2}+bx+c\,}$${\textstyle x\mapsto ax^{2}+bx+c\,}$

إن فروع وتطبيقات الرياضيات المحددة لها اتفاقيات تسمية محددة للمتغيرات. غالبًا ما يتم تعيين أحرف متتالية أو نفس الحرف مع فهرس مختلف للمتغيرات ذات الأدوار أو المعاني المتشابهة. على سبيل المثال، يُطلق على المحاور الثلاثة في فضاء الإحداثيات ثلاثي الأبعاد اسم x و y و z . في الفيزياء، يتم تحديد أسماء المتغيرات إلى حد كبير من خلال الكمية الفيزيائية التي تصفها، ولكن توجد اتفاقيات تسمية مختلفة. غالبًا ما يتم اتباع اتفاقية في الاحتمالات والإحصاء وهي استخدام X و Y و Z لأسماء المتغيرات العشوائية ، مع الاحتفاظ بـ x و y و z للمتغيرات التي تمثل قيمًا محددة بشكل أفضل.

من الشائع أن تلعب المتغيرات أدوارًا مختلفة في نفس الصيغة الرياضية، وقد تم تقديم أسماء أو مؤهلات للتمييز بينها. على سبيل المثال، المعادلة التكعيبية العامة

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}$

يتم تفسيرها على أنها تحتوي على خمسة متغيرات: أربعة، أ ، ب ، ج ، د ، والتي يتم اعتبارها أرقامًا معينة والمتغير الخامس، س ، يُفهم على أنه عدد غير معروف . للتمييز بينهما، يُطلق على المتغير س اسم غير معروف ، وتُسمى المتغيرات الأخرى معلمات أو معاملات ، أو أحيانًا ثوابت ، على الرغم من أن هذا المصطلح الأخير غير صحيح للمعادلة، ويجب حجزه للدالة التي يحددها الجانب الأيسر من هذه المعادلة.

في سياق الدوال، يشير مصطلح المتغير عادةً إلى وسيطات الدوال. وهذا هو الحال عادةً في جمل مثل " دالة متغير حقيقي "، " x هو متغير الدالة f : x ↦ f ( x ) "، " f هي دالة للمتغير x " (بمعنى أن وسيطة الدالة يُشار إليها بالمتغير x ).

في نفس السياق، تحدد المتغيرات المستقلة عن x دوال ثابتة وبالتالي تسمى ثابتة . على سبيل المثال، ثابت التكامل هو دالة ثابتة عشوائية تُضاف إلى مشتقة عكسية معينة للحصول على المشتقات العكسية الأخرى. نظرًا للعلاقة القوية بين كثيرات الحدود والدوال كثيرة الحدود ، غالبًا ما يُستخدم مصطلح "ثابت" للإشارة إلى معاملات كثير الحدود، وهي دوال ثابتة للمتغيرات غير المحددة.

الأسماء المحددة الأخرى للمتغيرات هي:

• المجهول هو متغير في المعادلة التي يتعين حلها.
• غير المحدد هو رمز، يُطلق عليه عادةً متغير، يظهر في كثير الحدود أو سلسلة قوى رسمية . من الناحية الرسمية، غير المحدد ليس متغيرًا، بل هو ثابت في حلقة كثير الحدود أو حلقة سلسلة القوى الرسمية . ومع ذلك، نظرًا للعلاقة القوية بين كثيرات الحدود أو سلسلة القوى والدوال التي تحددها، يعتبر العديد من المؤلفين أن غير المحدد نوع خاص من المتغيرات.
• المعلمة هي كمية (عادةً ما تكون رقمًا) تشكل جزءًا من مدخلات مشكلة، وتظل ثابتة أثناء حل هذه المشكلة بالكامل. على سبيل المثال، في الميكانيكا، كتلة وحجم الجسم الصلب هما معلمتان لدراسة حركته. في علوم الكمبيوتر ، المعلمة لها معنى مختلف وتدل على وسيطة دالة.
• المتغيرات الحرة والمتغيرات المقيدة
• المتغير العشوائي هو نوع من المتغيرات المستخدمة في نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها.

كل هذه التسميات للمتغيرات هي ذات طبيعة دلالية ، وطريقة الحساب معها ( النحو ) هي نفسها بالنسبة للجميع.

في حساب التفاضل والتكامل وتطبيقه على الفيزياء والعلوم الأخرى، من الشائع إلى حد ما النظر إلى متغير، لنقل y ، تعتمد قيمه المحتملة على قيمة متغير آخر، لنقل x . من الناحية الرياضية، يمثل المتغير التابع y قيمة دالة x . لتبسيط الصيغ، غالبًا ما يكون من المفيد استخدام نفس الرمز للمتغير التابع y والدالة التي تربط x بـ y . على سبيل المثال، تعتمد حالة النظام الفيزيائي على كميات قابلة للقياس مثل الضغط ودرجة الحرارة والموقع المكاني، ...، وكل هذه الكميات تتغير عندما يتطور النظام، أي أنها دالة للوقت. في الصيغ التي تصف النظام، يتم تمثيل هذه الكميات بمتغيرات تعتمد على الوقت، وبالتالي تعتبر ضمناً دوال للوقت.

لذلك، في الصيغة، المتغير التابع هو متغير يعتبر ضمنيًا دالة لمتغير آخر (أو عدة متغيرات أخرى). المتغير المستقل هو متغير غير تابع. ^[19]

تعتمد خاصية المتغير في كونه تابعًا أو مستقلًا غالبًا على وجهة النظر وليست جوهرية. على سبيل المثال، في الصيغة f ( x ، y ، z ) ، قد تكون المتغيرات الثلاثة مستقلة ويمثل الصيغة دالة لثلاثة متغيرات. من ناحية أخرى، إذا كان y و z يعتمدان على x ( متغيران تابعان )، فإن الصيغة تمثل دالة للمتغير المستقل الوحيد x . ^[20]

إذا تم تعريف دالة f من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الحقيقية بواسطة

${\displaystyle f(x)=x^{2}+\sin(x+4)}$

عندئذٍ يكون x متغيرًا يمثل وسيطة الدالة التي يتم تعريفها، والتي يمكن أن تكون أي عدد حقيقي.

في الهوية

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}}$

المتغير i هو متغير مجموع يشير بدوره إلى كل من الأعداد الصحيحة 1، 2، ...، n (ويسمى أيضًا مؤشرًا لأن تباينه يمتد على مجموعة منفصلة من القيم) بينما n هو معلمة (لا يتغير داخل الصيغة).

في نظرية كثيرات الحدود ، يشار إلى كثيرات الحدود من الدرجة 2 عمومًا بـ ax ² + bx + c ، حيث تسمى a و b و c معاملات (يُفترض أنها ثابتة، أي معلمات المشكلة قيد النظر) بينما يُطلق على x متغير. عند دراسة كثيرات الحدود هذه لدالتها كثيرات الحدود ، فإن x تمثل وسيطة الدالة. عند دراسة كثيرات الحدود ككائن في حد ذاته، يُعتبر x غير محدد، وغالبًا ما يُكتب بحرف كبير بدلاً من ذلك للإشارة إلى هذه الحالة.

فكر في المعادلة التي تصف قانون الغاز المثالي، والتي يمكن تفسيرها عمومًا على أنها تحتوي على أربعة متغيرات وثابت واحد. الثابت هو ، ثابت بولتزمان . أحد المتغيرات، ، عدد الجسيمات، هو عدد صحيح موجب (وبالتالي متغير منفصل)، في حين أن المتغيرات الثلاثة الأخرى، و ، للضغط والحجم ودرجة الحرارة، هي متغيرات متصلة. $${\displaystyle PV=Nk_{B}T.}$$${\displaystyle k_{B}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle P,V}$${\displaystyle T}$

يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة للحصول على دالة للمتغيرات الأخرى، إذن ، كدالة للمتغيرات الأخرى، هو المتغير التابع، في حين أن وسيطاته، و ، هي متغيرات مستقلة. يمكننا التعامل مع هذه الدالة بشكل أكثر رسمية والتفكير في مجالها ونطاقها: في تدوين الدالة، إليك دالة . ${\displaystyle P}$$${\displaystyle P(V,N,T)={\frac {Nk_{B}T}{V}}.}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle V,N}$${\displaystyle T}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {N} \times \mathbb {R} _{>0}\rightarrow \mathbb {R} }$

ومع ذلك، في التجربة، لتحديد اعتماد الضغط على متغير مستقل واحد، من الضروري تحديد جميع المتغيرات باستثناء واحد، على سبيل المثال . وهذا يعطي دالة حيث الآن و تعتبر أيضًا ثوابت. رياضيًا، يشكل هذا تطبيقًا جزئيًا للدالة السابقة . ${\displaystyle T}$$${\displaystyle P(T)={\frac {Nk_{B}T}{V}},}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle V}$${\displaystyle P}$

يوضح هذا كيف تعتمد المتغيرات والثوابت المستقلة إلى حد كبير على وجهة النظر التي يتم اتخاذها. يمكن للمرء حتى اعتبارها متغيرًا للحصول على دالة ${\displaystyle k_{B}}$$${\displaystyle P(V,N,T,k_{B})={\frac {Nk_{B}T}{V}}.}$$

إن النظر في الثوابت والمتغيرات يمكن أن يؤدي إلى مفهوم مساحات الوحدات. وللتوضيح، ضع في اعتبارك معادلة القطع المكافئ ، حيث و تعتبر جميعها حقيقية. مجموعة النقاط في المستوى ثنائي الأبعاد التي تلبي هذه المعادلة ترسم رسمًا بيانيًا للقطع المكافئ. هنا، و تعتبر ثوابت، والتي تحدد القطع المكافئ، في حين أن و متغيرات. $${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}$$${\displaystyle أ،ب،ج،س}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle أ،ب}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ثم بدلاً من اعتبار و كمتغيرات، نلاحظ أن كل مجموعة من الثنائيات الثلاثية تتوافق مع قطع مكافئ مختلف. أي أنها تحدد إحداثيات على "مساحة القطع المكافئة": وهذا ما يُعرف بمساحة وحدات القطع المكافئة . ${\displaystyle أ،ب}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (أ،ب،ج)}$

• أ ، ب ، ج ، د (يمتد أحيانًا إلى هـ ، و ) للمعلمات أو المعاملات
• أ ₀ ، أ ₁ ، أ ₂ ، ... للمواقف التي يكون فيها استخدام الأحرف المميزة غير ملائم
• a _i أو u _i للحد رقم i من المتتالية أو المعامل رقم i من المتتالية
• f ، g ، h للوظائف ( كما في )${\displaystyle f(x)}$
• i ، j ، k (أحيانًا l أو h ) للأعداد الصحيحة المتغيرة أو المؤشرات في عائلة مفهرسة أو متجهات الوحدة
• l و w لطول وعرض الشكل
• ل أيضًا بالنسبة للخط، أو في نظرية الأعداد بالنسبة لعدد أولي لا يساوي p
• n (مع m كاختيار ثانٍ) لعدد صحيح ثابت، مثل عدد الكائنات أو درجة المعادلة
• p لعدد أولي أو احتمال
• q للقوة الأولية أو القسمة
• r لنصف القطر أو الباقي أو معامل الارتباط
• ت للوقت​
• x و y و z لإحداثيات ديكارت الثلاثة لنقطة في الهندسة الإقليدية أو المحاور المقابلة
• z لعدد مركب ، أو في الإحصاء متغير عشوائي عادي
• α , β , γ , θ , φ لقياس الزوايا
• ε (مع δ كاختيار ثانٍ) لعدد موجب صغير تعسفيًا
• λ لقيمة ذاتية
• Σ (سيجما كبير) للمجموع، أو σ (سيجما صغير) في الإحصائيات للانحراف المعياري ^[21]
• μ للمتوسط​

• حساب لامدا
• متغير قابل للملاحظة
• ثابت فيزيائي
• متغير اقتراحي