مربع مرسوم داخل مثلث

في الهندسة الابتدائية ، المربع المرسوم داخل مثلث هو مربع تقع رؤوسه الأربعة جميعها على مثلث معين . وبحسب مبدأ التوزيع ، يجب أن يقع رأسان من رؤوس المربع، والضلع الواصل بينهما، على أحد أضلاع المثلث. على سبيل المثال، في مثلث كالابي الموضح، المربع ذو الضلعين الأفقي والرأسي هو مربع مرسوم داخل المثلث؛ أما المربعان الآخران في الشكل فليسا مرسومين داخله.

هذه حالة خاصة من مسألة المربع المحاط، والتي تطلب إيجاد مربع تقع رؤوسه على منحنى مغلق بسيط . مع ذلك، ورغم أن مسألة المربع المحاط لا تزال غير محلولة بشكل عام، إلا أنه من المعروف أن لها حلاً لكل مضلع ولكل مجموعة محدبة ، ^{[ 1 ] [ 2 ]} وهما حالتان خاصتان تنطبقان على المثلثات. يحتوي كل مثلث حاد الزوايا على ثلاثة مربعات محاطة، واحد على كل ضلع من أضلاعه الثلاثة. في المثلث القائم الزاوية ، يوجد مربعان محاطان، أحدهما يلامس الزاوية القائمة للمثلث والآخر يقع على الضلع المقابل. أما المثلث المنفرج الزاوية ، فيحتوي على مربع واحد فقط محاط، يتطابق أحد أضلاعه مع جزء من أطول أضلاع المثلث. ^{[ 3 ]} يشترك مثلث كالابي ، وهو مثلث منفرج الزاوية، مع المثلث متساوي الأضلاع في خاصية وجود ثلاث طرق مختلفة لوضع أكبر مربع يناسبه، ولكن (لأنه منفرج الزاوية) يكون واحد فقط من هذه المربعات الثلاثة محاطًا به. ^{[ 4 ]}

يمكن للمربع المرسوم داخل المثلث أن يغطي نصف مساحة المثلث الذي يرسمه على الأكثر. ^{[ 3 ]} وتكون المساحة نصف المساحة بالضبط عندما يكون للمثلث ضلع ارتفاعه (المسافة العمودية من الضلع إلى الرأس المقابل) يساوي طول الضلع، وعندما يكون المربع مرسومًا بحيث يقع ضلعه على هذا الضلع من المثلث. في جميع الحالات الأخرى، يكون المربع المرسوم أصغر من نصف مساحة المثلث. بالنسبة لمربع يقع على ضلع مثلث طوله${\displaystyle s}$، مع الارتفاع${\displaystyle h}$، سيكون طول ضلع المربع ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {sh}{s+h}}.}$$يستنتج من هذه الصيغة أنه بالنسبة لأي مربعين مرسومين داخل مثلث، فإن المربع الواقع على الضلع الأطول للمثلث ستكون مساحته أصغر. ^{[ 5 ]} في المثلث الحاد الزوايا، تكون أطوال أضلاع المربعات الثلاثة المرسومة داخله ضمن عامل من$${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {2}}\approx 0.94}$$^{[ 7 ]}​