مبدأ الحمامة

في الرياضيات ، ينص مبدأ الخانة على أنه إذا تم وضع n عنصرًا في m حاوية، مع n > m ، فيجب أن تحتوي حاوية واحدة على الأقل على أكثر من عنصر واحد. ^[1] على سبيل المثال، من بين ثلاثة قفازات، يجب أن يكون اثنان على الأقل لليد اليمنى أو اثنان على الأقل لليد اليسرى، لأنه يوجد ثلاثة أشياء ولكن فئتان فقط من اليد لوضعها فيها. يمكن استخدام هذا البيان الواضح على ما يبدو، وهو نوع من حجة العد ، لإثبات نتائج غير متوقعة ربما. على سبيل المثال، نظرًا لأن عدد سكان لندن أكبر بوحدة واحدة من الحد الأقصى لعدد الشعر الذي يمكن أن يكون على رأس الإنسان، فإن المبدأ يتطلب وجود شخصين على الأقل في لندن لديهما نفس عدد الشعر على رؤوسهم.

على الرغم من ظهور مبدأ الحمام في وقت مبكر يعود إلى عام 1624 في كتاب منسوب إلى جان لوريشون ، ^[2] إلا أنه يُطلق عليه عادةً مبدأ صندوق دي ريتشليه أو مبدأ درج دي ريتشليه بعد معالجة المبدأ عام 1834 بواسطة بيتر جوستاف لوجون دي ريتشليه تحت اسم Schubfachprinzip ("مبدأ الدرج" أو "مبدأ الرف"). ^[3]

يحتوي المبدأ على عدة تعميمات ويمكن صياغته بطرق مختلفة. في نسخة أكثر كمية: بالنسبة للأعداد الطبيعية k و m ، إذا تم توزيع n = km + 1 كائنات بين m مجموعات، فإن مبدأ Pigeonhole يؤكد أن مجموعة واحدة على الأقل ستحتوي على k + 1 كائنات على الأقل. ^[4] بالنسبة للأعداد n و m التعسفية ، فإن هذا يعمم إلى ، حيث و تشير إلى دالتي الأرضية والسقف ، على التوالي. ${\displaystyle k+1=\lfloor (n-1)/m\rfloor +1=\lceil n/m\rceil }$${\displaystyle \lfloor \cdots \rfloor }$${\displaystyle \lceil \cdots \rceil }$

على الرغم من أن التطبيق الأكثر وضوحًا للمبدأ هو المجموعات المحدودة (مثل الحمام والصناديق)، إلا أنه يُستخدم أيضًا مع المجموعات اللانهائية التي لا يمكن وضعها في تطابق واحد لواحد . يتطلب القيام بذلك البيان الرسمي لمبدأ الحمام: "لا توجد دالة حقن يكون مجالها المشترك أصغر من مجالها ". تعتمد البراهين الرياضية المتقدمة مثل مبرهنة سيجل على هذا المفهوم الأكثر عمومية.

نشر دي ريتشلي أعماله باللغتين الفرنسية والألمانية، مستخدمًا إما الكلمة الألمانية Schubfach أو الكلمة الفرنسية tiroir . يتوافق المعنى الأصلي الصارم لهذه المصطلحات مع الكلمة الإنجليزية drawer ، أي الصندوق المفتوح من الأعلى والذي يمكن إدخاله وإخراجه من الخزانة التي تحتوي عليه . (كتب دي ريتشلي عن توزيع اللآلئ بين الأدراج). تحولت هذه المصطلحات إلى pigeonhole بمعنى مساحة مفتوحة صغيرة في مكتب أو خزانة أو حائط لحفظ الرسائل أو الأوراق ، متجذرة مجازيًا في الهياكل التي تؤوي الحمام.

نظرًا لأن الأثاث الذي يحتوي على حُفر الحمام يستخدم عادةً لتخزين الأشياء أو فرزها إلى العديد من الفئات (مثل الرسائل في مكتب البريد أو مفاتيح الغرف في الفندق)، فقد تكون ترجمة " حُفرة الحمام " أفضل من "الدرج" الأصلي لديريتشليت. إن فهم مصطلح " حُفرة الحمام" الذي يشير إلى بعض ميزات الأثاث يتلاشى - وخاصة بين أولئك الذين لا يتحدثون الإنجليزية كلغة أصلية ولكن كلغة مشتركة في العالم العلمي - لصالح التفسير الأكثر تصويرًا، والذي ينطوي حرفيًا على الحمام والحُفر. لقد وجد التفسير الموحي (وإن لم يكن مضللاً) لـ "حُفرة الحمام" على أنها " برج الحمام " طريقه مؤخرًا إلى ترجمة عكسية ألمانية لـ "مبدأ حفرة الحمام" باسم " Taubenschlagprinzip ". ^[5]

إلى جانب المصطلحين الأصليين " Schubfachprinzip " باللغة الألمانية ^[6] و" Principe des tiroirs " بالفرنسية ، ^[7] لا تزال هناك ترجمات حرفية أخرى قيد الاستخدام باللغة العربية ( "مبدأ برج الحمام" )، والبلغارية (" принцип на чекмедбетата ")، الصينية ("抽屉原理")، الدنماركية (" Skuffeprincipet ")، الهولندية (" ladenprincipe ")، المجرية (" skatulyaelv ")، الإيطالية (" principio dei cassetti ")، اليابانية ("引き出し論法")، الفارسية (" اصل السجن کبوتری ")، البولندية (" zasada szufladkowa ")، البرتغالية (" Princípio das Gavetas ")، السويدية (" Lådprincipen ")، التركية (" çekmece إلكيسي ")، والفيتنامية (" " الطريقة الوحيدة للقيام بذلك ").

افترض أن أحد الأدراج يحتوي على مزيج من الجوارب السوداء والجوارب الزرقاء، ويمكن ارتداء كل منهما في أي من القدمين. تسحب عددًا من الجوارب من الدرج دون النظر. ما هو الحد الأدنى لعدد الجوارب المسحوبة المطلوبة لضمان الحصول على زوج من نفس اللون؟ وفقًا لمبدأ خانة الحمام ( م = 2 ، باستخدام خانة حمام واحدة لكل لون)، تكون الإجابة ثلاثة ( ن = 3 عناصر). إما أن يكون لديك ثلاثة من نفس اللون، أو لديك اثنان من نفس اللون وواحد من اللون الآخر.

إذا كان بإمكان n شخص مصافحة بعضهم البعض (حيث n > 1 )، فإن مبدأ خانة الحمام يوضح أنه يوجد دائمًا زوج من الأشخاص الذين سيصافحون نفس العدد من الأشخاص. في هذا التطبيق للمبدأ، فإن "الخانة" التي يتم تعيين الشخص لها هي عدد الأيدي التي يصافحها ​​هذا الشخص. نظرًا لأن كل شخص يصافح عددًا معينًا من الأشخاص من 0 إلى n − 1 ، فهناك n حفرة محتملة. من ناحية أخرى، يجب أن تكون الفتحة "0" أو الفتحة " n − 1" أو كليهما فارغة، لأنه من المستحيل (إذا n > 1 ) أن يصافح شخص ما كل شخص آخر بينما لا يصافح شخص ما أحدًا. وهذا يترك n شخصًا ليتم وضعهم في n − 1 حفرة غير فارغة على الأكثر، وبالتالي ينطبق المبدأ.

هذا المثال للمصافحة يعادل العبارة التي تقول أنه في أي رسم بياني يحتوي على أكثر من رأس ، يوجد زوج واحد على الأقل من الرؤوس التي تشترك في نفس الدرجة . ^[8] ويمكن ملاحظة ذلك من خلال ربط كل شخص برأس وكل حافة بمصافحة.

يمكن للمرء أن يثبت أنه يجب أن يكون هناك شخصان على الأقل في لندن بنفس عدد الشعر على رؤوسهم على النحو التالي. ^{[9] [10]} نظرًا لأن رأس الإنسان النموذجي يحتوي في المتوسط ​​على حوالي 150.000 شعرة، فمن المعقول أن نفترض (كحد أقصى) أنه لا يوجد أحد لديه أكثر من 1.000.000 شعرة على رأسه ( م = 1 مليون ثقب). يوجد أكثر من 1.000.000 شخص في لندن ( ن أكبر من مليون عنصر). بتعيين خانة لكل عدد من الشعر على رأس الشخص، وتعيين الأشخاص إلى خانات وفقًا لعدد الشعر على رؤوسهم، يجب أن يكون هناك شخصان على الأقل معينان في نفس خانة التصنيف بحلول التعيين رقم 1.000.001 (لأن لديهم نفس عدد الشعر على رؤوسهم؛ أو، ن > م ). بافتراض أن عدد سكان لندن يبلغ 9.002 مليون نسمة، ^[11] فمن الطبيعي أن يكون لدى عشرة من سكان لندن على الأقل نفس عدد الشعر، حيث أن وجود تسعة من سكان لندن في كل من المليون تصنيف يمثل 9 ملايين شخص فقط.

بالنسبة للحالة المتوسطة ( م = 150000 ) مع القيد: أقل عدد من التداخلات، سيكون هناك شخص واحد على الأكثر مخصص لكل خانة، وسيتم تعيين الشخص رقم 150001 في نفس الخانة مع شخص آخر. وفي غياب هذا القيد، قد تكون هناك خانات فارغة لأن "الاصطدام" يحدث قبل الشخص رقم 150001. يثبت المبدأ وجود تداخل فقط؛ ولا يقول شيئًا عن عدد التداخلات (الذي يقع ضمن موضوع توزيع الاحتمالات ).

هناك إشارة ساخرة عابرة باللغة الإنجليزية إلى هذه النسخة من المبدأ في تاريخ المجتمع الأثيني ، والتي سبقت ملحقًا بالعرافة الأثينية: مجموعة من الأسئلة والأجوبة المتبقية في عطارد الأثيني القديم (تم طباعته لأندرو بيل، لندن، 1710). ^[12] يبدو أن السؤال عما إذا كان هناك شخصان في العالم لديهما عدد متساوٍ من الشعر على رأسيهما؟ قد أثير في عطارد الأثيني قبل عام 1704. ^{[13] [14]}

ربما ظهر أول إشارة مكتوبة لمبدأ برج الحمام في جملة قصيرة من عمل اليسوعي الفرنسي جان لوريشون عام 1622 Selectæ Propositiones : ^[2] "من الضروري أن يكون لدى رجلين نفس عدد الشعر أو الأشياء الأخرى مثل بعضهما البعض." ^[15] تم توضيح المبدأ بالكامل بعد عامين، مع أمثلة إضافية، في كتاب آخر يُنسب غالبًا إلى لوريشون، ولكن ربما يكون من تأليف أحد طلابه. ^[2]

إن مسألة أعياد الميلاد تسأل، لمجموعة من الأشخاص الذين تم اختيارهم عشوائيًا، ما هو احتمال أن يكون لبعضهم عيد ميلاد متماثل؟ إن المسألة نفسها تتعلق بشكل أساسي بالاحتمالات غير البديهية، ولكن يمكننا أيضًا أن نستنتج من مبدأ الخانة أنه من بين 367 شخصًا، يوجد زوج واحد على الأقل من الأشخاص يشتركون في نفس عيد الميلاد بنسبة احتمال 100%، حيث لا يوجد سوى 366 عيد ميلاد محتمل للاختيار من بينها.

تخيل سبعة أشخاص يريدون اللعب في بطولة فرق ( عددها 7 عناصر)، مع وجود حد أقصى لأربعة فرق فقط ( عددها 4 فتحات) للاختيار من بينها. يخبرنا مبدأ "التصنيف" أنه لا يمكن لجميعهم اللعب لصالح فرق مختلفة؛ يجب أن يكون هناك فريق واحد على الأقل يضم لاعبين اثنين على الأقل من اللاعبين السبعة:

$${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1=\left\lfloor {\frac {7-1}{4}}\right\rfloor +1=\left\lfloor {\frac {6}{4}}\right\rfloor +1=1+1=2}$$

يجب أن تحتوي أي مجموعة فرعية بحجم ستة من المجموعة S = {1,2,3,...,9} على عنصرين مجموعهما 10. سيتم تسمية صناديق الحمام بواسطة مجموعتي العنصر الفرعيتين {1,9} و{2,8} و{3,7} و{4,6} والعنصر المفرد {5}، أي خمسة صناديق حمام في المجموع. عندما يتم وضع "الحمامات" الستة (عناصر المجموعة الفرعية بحجم ستة) في صناديق الحمام هذه، فإن كل حمامة تدخل صندوق الحمام الذي يحتوي عليها في تسميتها، سيكون على الأقل أحد صناديق الحمام التي تم تسميتها بمجموعة فرعية مكونة من عنصرين حمامتين بداخلها. ^[16]

التجزئة في علوم الكمبيوتر هي عملية تعيين مجموعة كبيرة من البيانات n إلى m من القيم ذات الحجم الثابت. وهذا له تطبيقات في التخزين المؤقت حيث يمكن تخزين مجموعات البيانات الكبيرة من خلال الرجوع إلى قيمها التمثيلية (رموز التجزئة الخاصة بها) في "جدول تجزئة" للتذكر السريع. عادةً، يكون عدد الكائنات الفريدة في مجموعة البيانات n أكبر من عدد رموز التجزئة الفريدة المتاحة m ، وينطبق مبدأ Pigeonhole في هذه الحالة على أن تجزئة هذه الكائنات لا تضمن التفرد، لأنه إذا قمت بتجزئة جميع الكائنات في مجموعة البيانات n ، فيجب أن تشترك بعض الكائنات بالضرورة في نفس رمز التجزئة.

يمكن استخدام المبدأ لإثبات أن أي خوارزمية ضغط بدون خسارة ، بشرط أن تجعل بعض المدخلات أصغر (كما يوحي "الضغط")، ستجعل أيضًا بعض المدخلات الأخرى أكبر. بخلاف ذلك، يمكن تعيين مجموعة جميع تسلسلات الإدخال حتى طول معين L إلى المجموعة الأصغر (كثيرًا) من جميع التسلسلات بطول أقل من L بدون تصادمات (لأن الضغط بدون خسارة)، وهو احتمال يستبعده مبدأ الحمام.

تتمثل إحدى المشكلات البارزة في التحليل الرياضي في إظهار أن مجموعة الأجزاء الكسرية كثيفة في [ 0، 1] بالنسبة لعدد غير نسبي ثابت a . يجد المرء أنه ليس من السهل إيجاد الأعداد الصحيحة n و m صراحةً بحيث يكون e > 0 عددًا موجبًا صغيرًا و a عددًا غير نسبي تعسفيًا. ولكن إذا أخذنا M بحيث يكون وفقًا لمبدأ Pigeonhole، فيجب أن يكون n 1 a _و n 2 a _في نفس التقسيم الصحيح للحجم ( لا يوجد سوى M من هذه التقسيمات بين الأعداد الصحيحة المتتالية). على وجه الخصوص، يمكن للمرء إيجاد n 1 _و n 2 _بحيث يكون ${\displaystyle \{[na]:n\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle |نا-م|<e,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{M}<e,}$${\displaystyle n_{1},n_{2}\in \{1,2,\ldots ,M+1\}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{M}}}$

${\displaystyle n_{1}a\in \left(p+{\frac {k}{M}},\p+{\frac {k+1}{M}}\right),\quad n_{2}a\in \left(q+{\frac {k}{M}},\q+{\frac {k+1}{M}}\right),}$

بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة p وq و k في {0، 1، ...، M − 1 }. ومن ثم يمكننا التحقق بسهولة من ذلك

${\displaystyle (n_{2}-n_{1})a\in \left(q-p-{\frac {1}{M}},q-p+{\frac {1}{M}}\right).}$

وهذا يعني أنه حيث n ${\displaystyle [na]<{\tfrac {1}{M}}<e,}$= n 2 − n 1 _أو n = n 1 ₋ n 2. _وهذا يوضح أن 0 هي نقطة نهاية {[ na ]}. ومن ثم يمكن للمرء استخدام هذه الحقيقة لإثبات حالة p في (0، 1] _: أوجد n بحيث إذا كان الإثبات كاملاً . وإلا ${\displaystyle [na]<{\tfrac {1}{M}}<e;}$${\displaystyle p\in {\bigl (}0,{\tfrac {1}{M}}{\bigr ]},}$

${\displaystyle p\in \left({\frac {j}{M}},{\frac {j+1}{M}}\right],}$

ومن خلال الإعداد

${\displaystyle k=\sup \left\{r\in N:r[na]<{\frac {j}{M}}\right\},}$

واحد يحصل

${\displaystyle {\Bigl |}{\bigl [}(k+1)na{\bigr ]}-p{\Bigr |}<{\frac {1}{M}}<e.}$

توجد المتغيرات في عدد من البراهين. في إثبات مبرهنة الضخ للغات العادية ، يتم استخدام إصدار يمزج بين المجموعات المحدودة واللانهائية: إذا تم وضع عدد لا نهائي من الكائنات في عدد لا نهائي من الصناديق، فإن كائنين يشتركان في صندوق. ^[18] في حل فيسك لمشكلة معرض الفن، يتم استخدام نوع من العكس: إذا تم وضع n كائن في k صندوق، فسيكون هناك صندوق يحتوي على ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {n}{k}}}$ كائن على الأكثر . ^[19]

وفيما يلي صيغ بديلة لمبدأ تصنيف الحمام.

1. إذا تم توزيع n كائن على m مكان، وإذا كان n > m ، فإن بعض الأماكن تستقبل كائنين على الأقل. ^[1]
2. (صياغة مكافئة لـ 1) إذا تم توزيع n كائنات على n مكان بطريقة لا يستقبل فيها أي مكان أكثر من كائن واحد، فإن كل مكان يستقبل كائنًا واحدًا فقط. ^[1]
3. (تعميم 1) إذا كانت S و T مجموعات، وكانت عددية S أكبر من عددية T ، إذن لا توجد دالة حقن من S إلى T.
4. إذا تم توزيع n كائن على m مكان، وإذا كان n < m ، فلن يستقبل أي مكان أي كائن.
5. (صياغة مكافئة لـ 4) إذا تم توزيع n كائن على n مكان بطريقة لا يستقبل فيها أي مكان أي كائن، فإن كل مكان يستقبل كائنًا واحدًا فقط. ^[20]
6. (تعميم 4) إذا كانت S و T مجموعتين، وكانت عددية S أقل من عددية T ، إذن لا توجد دالة شاملة من S إلى T.

ليكن q ₁ و q ₂ و... و q _n أعدادًا صحيحة موجَّبة. إذا

${\displaystyle q_{1}+q_{2}+\cdots +q_{n}-n+1}$

يتم توزيع الكائنات في n مربعات، ثم إما أن يحتوي المربع الأول على q _{1 كائن على الأقل، أو أن يحتوي المربع الثاني على} q ₂ كائن على الأقل ، ...، أو أن يحتوي المربع n على q _n كائن على الأقل . ^[21]

يتم الحصول على الشكل البسيط من هذا عن طريق أخذ q ₁ = q ₂ = ... = q _n = 2 ، مما يعطي n + 1 كائنات. إن أخذ q ₁ = q ₂ = ... = q _n = r يعطي النسخة الأكثر كمية من المبدأ، وهي:

ليكن n و r عددين صحيحين موجبين. إذا تم توزيع n ( r - 1) + 1 من الكائنات في n صندوقًا، فإن أحد الصناديق على الأقل يحتوي على r أو أكثر من الكائنات. ^[22]

يمكن أيضًا صياغة ذلك على النحو التالي، إذا كان من المقرر تخصيص k كائنات منفصلة لـ n حاوية، فيجب أن تحتوي حاوية واحدة على الأقل على كائنات على الأقل، حيث تكون دالة السقف ، والتي تشير إلى أصغر عدد صحيح أكبر من أو يساوي x . وبالمثل، يجب ألا تحتوي حاوية واحدة على الأقل على أكثر من كائنات، حيث تكون دالة الأرضية ، والتي تشير إلى أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي x . ${\displaystyle \lceil k/n\rceil }$${\displaystyle \lceil x\rceil }$${\displaystyle \lfloor k/n\rfloor }$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

تنص التعميمات الاحتمالية لمبدأ الخانة على أنه إذا تم وضع n حمامة بشكل عشوائي في m خانة حمام باحتمالية موحدة 1/ م ، فإن خانة حمام واحدة على الأقل ستحتوي على أكثر من حمامة باحتمالية

${\displaystyle 1-{\frac {(m)_{n}}{m^{n}}},}$

حيث ( m ) _n هو العامل الساقط m ( m − 1)( m − 2)...( m − n + 1) . بالنسبة إلى n = 0 وبالنسبة إلى n = 1 (و m > 0 )، فإن الاحتمال يساوي صفرًا؛ بمعنى آخر، إذا كان هناك حمامة واحدة فقط، فلا يمكن أن يكون هناك تعارض. بالنسبة إلى n > m (عدد الحمامات أكبر من عدد الخنادق) يكون الاحتمال واحدًا، وفي هذه الحالة يتطابق مع مبدأ الخنادق العادي. ولكن حتى إذا لم يتجاوز عدد الحمام عدد الخنادق ( n ≤ m )، فنظرًا للطبيعة العشوائية لتعيين الحمامات للخنادق، فغالبًا ما تكون هناك فرصة كبيرة لحدوث تعارضات. على سبيل المثال، إذا تم تعيين حمامتين عشوائيًا في 4 خنادق، فهناك فرصة بنسبة 25% أن يحتوي ثقب واحد على الأقل على أكثر من حمامة واحدة؛ وبالنسبة إلى 5 حمامات و10 حفر، فإن هذا الاحتمال هو 69.76%؛ وبالنسبة لعشرة حمامات وعشرين حفرة، فإن النسبة تبلغ نحو 93.45%. وإذا ظل عدد الحفر ثابتًا، فإن احتمالية وجود زوج تزداد دائمًا عند إضافة المزيد من الحمام. ويتم التعامل مع هذه المشكلة بمزيد من التفصيل في مفارقة عيد الميلاد .

هناك تعميم احتمالي آخر وهو أنه عندما يكون للمتغير العشوائي ذي القيمة الحقيقية X متوسط ​​منتهٍ E ( X ) ، فإن الاحتمال يكون غير صفري أن يكون X أكبر من أو يساوي E ( X ) ، وبالمثل فإن الاحتمال يكون غير صفري أن يكون X أقل من أو يساوي E ( X ) . ولرؤية أن هذا يعني مبدأ الخندق القياسي، خذ أي ترتيب ثابت من n حمامة في m حفرة ودع X يكون عدد الحمام في حفرة تم اختيارها عشوائيًا بشكل موحد. متوسط ​​X هو n / m ، لذلك إذا كان عدد الحمام أكثر من عدد الثقوب فإن المتوسط ​​يكون أكبر من واحد. لذلك، يكون X أحيانًا 2 على الأقل.

يمكن توسيع مبدأ الخانة ليشمل مجموعات لا نهائية من خلال صياغته من حيث الأعداد الأساسية : إذا كان عدد العناصر في المجموعة أ أكبر من عدد العناصر في المجموعة ب ، فلا يوجد حقن من أ إلى ب . ومع ذلك، في هذا الشكل يكون المبدأ مكررًا ، لأن معنى العبارة التي تقول إن عدد العناصر في المجموعة أ أكبر من عدد العناصر في المجموعة ب هو بالضبط أنه لا يوجد تطابق حقن من أ إلى ب . ومع ذلك، فإن إضافة عنصر واحد على الأقل إلى مجموعة منتهية يكفي لضمان زيادة عدد العناصر.

هناك طريقة أخرى لصياغة مبدأ برج الحمام للمجموعات المنتهية تشبه مبدأ أن المجموعات المنتهية هي مجموعات ديديكيند المنتهية : دع A و B تكونان مجموعات منتهية. إذا كان هناك إسقاط من A إلى B ليس إسقاطًا، فلا يوجد إسقاط من A إلى B. في الواقع، لا توجد دالة من أي نوع من A إلى B إسقاط. هذا ليس صحيحًا للمجموعات اللانهائية: ضع في اعتبارك الدالة على الأعداد الطبيعية التي ترسل 1 و 2 إلى 1، و 3 و 4 إلى 2، و 5 و 6 إلى 3، وهكذا.

هناك مبدأ مماثل للمجموعات اللانهائية: إذا تم حشر عدد لا يحصى من الحمام في عدد لا يحصى من صناديق الحمام، فسوف يوجد على الأقل صندوق حمام واحد يحتوي على عدد لا يحصى من الحمام محشورًا فيه.

هذا المبدأ ليس تعميمًا لمبدأ Pigeonhole للمجموعات المحدودة: فهو خاطئ بشكل عام بالنسبة للمجموعات المحدودة. من الناحية الفنية، ينص على أنه إذا كانت A و B مجموعات محدودة بحيث لا تكون أي دالة شاملة من A إلى B دالة مضروبة، فهناك عنصر b من B بحيث يوجد تطابق بين الصورة الأولية لـ b و A. هذا بيان مختلف تمامًا، وهو سخيف بالنسبة للكاردينالات المحدودة الكبيرة.

قدم ياكير أهارونوف وآخرون حججًا مفادها أن ميكانيكا الكم قد تنتهك مبدأ الحمام، واقترحوا تجارب تداخلية لاختبار مبدأ الحمام في ميكانيكا الكم. ^[23] وقد شككت الأبحاث اللاحقة في هذا الاستنتاج. ^{[24] [25] في طبعة مسبقة} لـ arXiv في يناير 2015 ، أجرى الباحثان أليستير راي وتيد فورجان في جامعة برمنغهام تحليلًا نظريًا لدالة الموجة ، باستخدام مبدأ الحمام القياسي، على طيران الإلكترونات عند طاقات مختلفة من خلال مقياس التداخل . إذا لم يكن للإلكترونات أي قوة تفاعل على الإطلاق، فسينتج كل منها ذروة واحدة دائرية تمامًا. عند قوة تفاعل عالية، ينتج كل إلكترون أربع قمم مميزة، بإجمالي 12 قمة على الكاشف؛ هذه القمم هي نتيجة للتفاعلات الأربعة المحتملة التي يمكن أن يختبرها كل إلكترون (وحده، مع الجسيم الأول الآخر فقط، مع الجسيم الثاني الآخر فقط، أو الثلاثة معًا). إذا كانت قوة التفاعل منخفضة إلى حد ما، كما هي الحال في العديد من التجارب الحقيقية، فإن الانحراف عن نمط التفاعل الصفري سيكون غير محسوس تقريبًا، وأصغر كثيرًا من المسافة بين الذرات في الشبكة في المواد الصلبة، مثل أجهزة الكشف المستخدمة لمراقبة هذه الأنماط. وهذا من شأنه أن يجعل من الصعب للغاية أو المستحيل التمييز بين قوة تفاعل ضعيفة ولكنها غير صفرية وعدم وجود تفاعل على الإطلاق، وبالتالي يعطي وهمًا بوجود ثلاثة إلكترونات لم تتفاعل على الرغم من مرور الثلاثة عبر مسارين.

• بديهية الاختيار
• نظرية بليشفيلدت
• المبادئ التوليفية
• دليل تركيبي
• ديدكيند-مجموعة لا نهائية
• نظرية التقريب لديريتشليت
• مفارقة هيلبرت في فندق جراند
• نظرية متعددة الحدود
• رمز المطرقة
• نظرية رامزي

• بروالدي، ريتشارد أ. (2010)، التركيبات التمهيدية (الطبعة الخامسة)، بينتيس هول، رقم ISBN 978-0-13-602040-0
• فليتشر، بيتر؛ باتي، سي واين (1987)، أسس الرياضيات العليا ، PWS-Kent، ISBN 978-0-87150-164-6
• جريمالدي، رالف ب. (1994)، الرياضيات المنفصلة والتركيبية: مقدمة تطبيقية (الطبعة الثالثة)، أديسون ويسلي، ISBN 978-0-201-54983-6
• هيرستين، إن (1964)، مواضيع في الجبر ، والتهام: شركة بلايسديل للنشر، رقم ISBN 978-1114541016

• "مبدأ صندوق دي ريتشليت"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• "الحالة الغريبة لمبدأ حفرة الحمام"؛ يدرس إيدجر ديكسترا التفسيرات وإعادة صياغة المبدأ.
• "مبدأ حفرة الحمام"؛ أمثلة أولية للمبدأ المستخدم بواسطة لاري كوسيك.
• "مبدأ Pigeonhole من مجموعة متنوعة من الألغاز والرياضيات التفاعلية" ؛ تحليل أساسي لمبدأ Pigeonhole وأمثلة بقلم ألكسندر بوغومولني .
• "16 تطبيقًا ممتعًا لمبدأ برج الحمام"؛ حقائق مثيرة للاهتمام مستمدة من المبدأ.
• "كم عدد البشر الذين لديهم نفس عدد شعر الجسم؟". سلسلة إنفينيت على قناة بي بي إس . 1 ديسمبر 2016. مؤرشف من الأصل في 2021-12-11 – عبر يوتيوب .