كثير الحدود ذو القيم الصحيحة

في الرياضيات ، متعددة الحدود ذات القيم الصحيحة (المعروفة أيضًا باسم متعددة الحدود العددية )${\displaystyle P(t)}$هي متعددة حدود قيمتها${\displaystyle P(n)}$عدد صحيح لكل عدد صحيح n . كل متعددة حدود ذات معاملات صحيحة هي متعددة حدود ذات قيم صحيحة، ولكن العكس غير صحيح. على سبيل المثال، متعددة الحدود

${\displaystyle P(t)={\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{2}}t={\frac {1}{2}}t(t+1)}$

تأخذ قيمًا صحيحة كلما كان t عددًا صحيحًا. وذلك لأن أحد t و${\displaystyle t+1}$يجب أن يكون عددًا زوجيًا . (القيم التي تأخذها هذه المعادلة متعددة الحدود هي الأعداد المثلثية .)

تعد كثيرات الحدود ذات القيم الصحيحة موضوعات للدراسة في حد ذاتها في الجبر، وتظهر بشكل متكرر في الطوبولوجيا الجبرية . ^{[ 1 ]}

وصف جورج بوليا ( 1915 ) فئة كثيرات الحدود ذات القيم الصحيحة وصفًا كاملاً . داخل حلقة كثيرات الحدود ${\displaystyle \mathbb {Q} [t]}$بالنسبة لكثيرات الحدود ذات المعاملات العددية النسبية ، فإن الحلقة الفرعية لكثيرات الحدود ذات القيم الصحيحة هي زمرة أبيلية حرة . وتتخذ من كثيرات الحدود أساسًا لها.

${\displaystyle P_{k}(t)=t(t-1)\cdots (t-k+1)/k!}$

ل${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$أي معاملات ذات الحدين . بعبارة أخرى، يمكن كتابة أي متعددة حدود ذات قيم صحيحة كتركيبة خطية صحيحة لمعاملات ذات الحدين بطريقة واحدة فقط. ويتم البرهان باستخدام طريقة متسلسلة تايلور المنفصلة : معاملات ذات الحدين هي متعددات حدود ذات قيم صحيحة، وبالعكس، فإن الفرق المنفصل لمتسلسلة صحيحة هو متسلسلة صحيحة، لذا فإن متسلسلة تايلور المنفصلة لمتسلسلة صحيحة مولدة بواسطة متعددة حدود لها معاملات صحيحة (وهي متسلسلة منتهية).

يمكن استخدام كثيرات الحدود ذات القيم الصحيحة بفعالية لحل مسائل تتعلق بقواسم كثيرات الحدود الثابتة. على سبيل المثال، كثيرات الحدود P ذات المعاملات الصحيحة التي تأخذ دائمًا قيمًا زوجية هي تلك التي تحقق الشرط التالي:${\displaystyle P/2}$هي ذات قيمة صحيحة. وهذه بدورها هي كثيرات الحدود التي يمكن التعبير عنها كتركيبة خطية بمعاملات زوجية صحيحة لمعاملات ذات الحدين.

في مسائل نظرية الأعداد الأولية، مثل فرضية شينزل H وتخمين بيتمان-هورن ، يُعدّ فهم الحالة التي لا يكون فيها للعدد P قاسم أولي ثابت (وهي خاصية بونياكوفسكي ، نسبةً إلى فيكتور بونياكوفسكي ) أمرًا بالغ الأهمية. بكتابة P بدلالة معاملات ذات الحدين، نلاحظ أن أكبر قاسم أولي ثابت هو أيضًا أكبر عامل مشترك أولي للمعاملات في هذا التمثيل. إذن، خاصية بونياكوفسكي تُكافئ المعاملات الأولية فيما بينها.

على سبيل المثال، زوج كثيرات الحدود${\displaystyle n}$و${\displaystyle n^{2}+2}$ينتهك هذا الشرط في${\displaystyle p=3}$لكل${\displaystyle n}$المنتج

${\displaystyle n(n^{2}+2)}$

يقبل القسمة على 3، وهو ما ينتج عن التمثيل

${\displaystyle n(n^{2}+2)=6{\binom {n}{3}}+6{\binom {n}{2}}+3{\binom {n}{1}}}$

بالنسبة للأساس ذي الحدين، حيث يكون العامل المشترك الأعلى للمعاملات هو - وبالتالي القاسم الثابت الأعلى لـ${\displaystyle n(n^{2}+2)}$— هو 3.

يمكن تعريف كثيرات الحدود العددية على حلقات وحقول أخرى، وفي هذه الحالة يشار إلى كثيرات الحدود ذات القيم الصحيحة المذكورة أعلاه باسم كثيرات الحدود العددية الكلاسيكية .

نظرية K لـ BU( n ) هي كثيرات حدود عددية (متناظرة).

متعددة حدود هيلبرت لحلقة متعددة الحدود في k  +  1 متغيرًا هي متعددة الحدود العددية${\displaystyle {\binom {t+k}{k}}}$.

• ناركيفيتش، فلاديسلاف (1995). تعيينات متعددة الحدود . ملاحظات محاضرة في الرياضيات. المجلد.  1600. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 3-540-59435-3. ISSN 0075-8434 . زبل 0829.11002 .