نظرية K الطوبولوجية

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية K الطوبولوجية فرعًا من الطوبولوجيا الجبرية . وقد تأسست لدراسة حزم المتجهات على الفضاءات الطوبولوجية ، باستخدام أفكار تُعرف الآن بنظرية K (العامة) التي قدمها ألكسندر غروتينديك . ويعود الفضل في الأعمال المبكرة لنظرية K الطوبولوجية إلى مايكل عطية وفريدريش هيرزبروش .

ليكن X فضاء هاوسدورف متراصًا و${\displaystyle k=\mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} }$. ثم${\displaystyle K_{k}(X)}$تُعرَّف بأنها زمرة غروتينديك للزمرة التبادلية أحادية الزمرة لفئات التشاكل لحزم المتجهات k ذات الأبعاد المحدودة على X تحت مجموع ويتني . يُعطي الضرب الموتري للحزم نظرية K بنية حلقة تبادلية . بدون رموز سفلية،${\displaystyle K(X)}$يشير عادةً إلى نظرية K المعقدة، بينما تُكتب نظرية K الحقيقية أحيانًا على النحو التالي:${\displaystyle KO(X)}$. أما النقاش المتبقي فيركز على نظرية K المعقدة .

كمثال أولي، لاحظ أن نظرية K لنقطة ما هي مجموعة الأعداد الصحيحة. وذلك لأن حزم المتجهات فوق نقطة ما تكون تافهة، وبالتالي تُصنف حسب رتبتها، ومجموعة غروتينديك للأعداد الطبيعية هي مجموعة الأعداد الصحيحة.

يوجد أيضًا إصدار مُختصر من نظرية K ،${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$، مُعرَّفة لـ X فضاءً مضغوطًا مُدبَّبًا (انظر التماثل المُختزل ). هذه النظرية المُختزلة هي K ( X ) بشكل بديهي ، مُعاملة بالحزم التافهة . تُعرَّف بأنها مجموعة فئات التكافؤ المُستقرة للحزم. يُقال إن حزمتين E و F متماثلتان استقرارًا إذا وُجدت حزم تافهة .${\displaystyle \varepsilon _{1}}$و${\displaystyle \varepsilon _{2}}$، لهذا السبب${\displaystyle E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2}}$تؤدي علاقة التكافؤ هذه إلى تكوين مجموعة، حيث يمكن إكمال كل حزمة متجهة إلى حزمة تافهة عن طريق جمعها مع مكملها المتعامد. أو بدلاً من ذلك،${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$يمكن تعريفها بأنها نواة الخريطة${\displaystyle K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z} }$ناتج عن تضمين نقطة الأساس x ₀ في X.

تُشكّل نظرية K نظرية تماثل ضربية (معممة) على النحو التالي: المتتالية التامة القصيرة لزوج من الفضاءات المُشار إليها ( X ، A )

${\displaystyle {\widetilde {K}}(X/A)\إلى {\widetilde {K}}(X)\إلى {\widetilde {K}}(A)}$

يمتد إلى تسلسل دقيق طويل

${\displaystyle \cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\إلى {\widetilde {K}}(SA)\إلى {\widetilde {K}}(X/A)\إلى {\widetilde {K}}(X)\إلى {\widetilde {K}}(A).}$

ليكن S ⁿ هو التعليق المختزل من الرتبة n لفضاء، ثم عرّف

${\displaystyle {\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.}$

يتم اختيار المؤشرات السالبة بحيث تزيد خرائط الحدود المشتركة من الأبعاد.

من المفيد غالبًا الحصول على نسخة غير مختزلة من هذه المجموعات، وذلك ببساطة عن طريق تعريفها على النحو التالي:

${\displaystyle K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).}$

هنا${\displaystyle X_{+}}$يكون${\displaystyle X}$مع نقطة أساس منفصلة تحمل علامة '+' متصلة. ^{[ 1 ]}

وأخيرًا، فإن نظرية بوت الدورية كما هي مصاغة أدناه توسع النظريات لتشمل الأعداد الصحيحة الموجبة.

• ${\displaystyle K^{n}}$(على التوالى،${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n}}$) هو دالة متغايرة من فئة التماثل للفضاءات (المُشار إليها) إلى فئة الحلقات التبادلية. وبالتالي، على سبيل المثال، فإن نظرية K على الفضاءات القابلة للانكماش تكون دائمًا${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• طيف نظرية K هو​${\displaystyle BU\times \mathbb {Z} }$(مع الطوبولوجيا المنفصلة على${\displaystyle \mathbb {Z} }$)، أي${\displaystyle K(X)\cong [X_{+},\mathbb {Z} \times BU],}$حيث تشير [ , ] إلى فئات التماثل المدببة و BU هي النهاية المشتركة للفضاءات التصنيفية للمجموعات الوحدوية :${\displaystyle BU(n)\cong \operatorname {Gr} (n,\mathbb {C} ^{\infty }).}$بصورة مماثلة،$${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].}$$بالنسبة لنظرية K الحقيقية ، استخدم BO .
• يوجد تماثل حلقي طبيعي${\displaystyle K^{0}(X)\to H^{2*}(X,\mathbb {Q} ),}$شخصية تشيرن ، بحيث${\displaystyle K^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{2*}(X,\mathbb {Q} )}$هو تماثل.
• تُعتبر عمليات آدامز مكافئة لعمليات ستينرود في نظرية K. ويمكن استخدامها لتعريف الفئات المميزة في نظرية K الطوبولوجية .
• يسمح مبدأ التقسيم في نظرية K الطوبولوجية باختزال العبارات المتعلقة بحزم المتجهات العشوائية إلى عبارات تتعلق بمجموع حزم الخطوط.
• تنص نظرية ثوم للتماثل في نظرية K الطوبولوجية على ما يلي:$${\displaystyle K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),}$$حيث T ( E ) هو فضاء ثوم للحزمة المتجهة E فوق X. هذا صحيح كلما كانت E حزمة دورانية.
• يسمح التسلسل الطيفي Atiyah -Hirzebruch بحساب مجموعات K من مجموعات التماثل العادية.
• يمكن تعميم نظرية K الطوبولوجية بشكل كبير إلى دالة على جبر C* ، انظر نظرية K للمؤثر ونظرية KK .

يمكن صياغة ظاهرة الدورية التي سميت على اسم راؤول بوت (انظر نظرية بوت للدورية ) على النحو التالي:

• ${\displaystyle K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),}$و${\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}}$حيث H هي فئة الحزمة التكرارية على${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),}$أي كرة ريمان .
• ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).}$
• ${\displaystyle \Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .}$

في نظرية K الحقيقية توجد دورية مماثلة، ولكن بتردد 8.

تم تطبيق نظرية K الطوبولوجية في برهان جون فرانك آدامز لمسألة " ثابت هوبف الواحد" عبر عمليات آدامز . ^{[ 2 ]} كما أثبت آدامز حدًا أعلى لعدد حقول المتجهات المستقلة خطيًا على الكرات . ^{[ 3 ]}

أثبت مايكل عطية وفريدريش هيرزبروش نظرية تربط بين نظرية K الطوبولوجية لمركب CW محدود${\displaystyle X}$مع علم التماثل العقلاني الخاص به. وعلى وجه الخصوص، أظهروا وجود تماثل.

${\displaystyle ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$

بحيث

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

يوجد نظير جبري يربط بين مجموعة غروتينديك للحزم المتماسكة وحلقة تشاو لنوع إسقاطي أملس${\displaystyle X}$.

• متتالية أتياس-هيرزبروش الطيفية (أداة حسابية لإيجاد مجموعات نظرية K)
• نظرية KR
• نظرية مؤشر أتياس-سينجر
• نظرية سنايث
• نظرية K الجبرية

• عطية، مايكل فرانسيس (1989). نظرية كيه . سلسلة أدفانسد بوك كلاسيكس (  الطبعة الثانية). أديسون-ويسلي . رقم ISBN 978-0-201-09394-0MR 1043170 .​ 
• فريدلاندر، إريك ؛ غرايسون، دانيال، محرران. (2005). دليل نظرية K. برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . doi : 10.1007/978-3-540-27855-9 . ISBN 978-3-540-30436-4MR 2182598 .​ 
• كاروبي، ماكس (1978). نظرية K: مقدمة . كلاسيكيات في الرياضيات. سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-3-540-79890-3 . ISBN 0-387-08090-2.
• كاروبي، ماكس (2006). "نظرية K. مقدمة تمهيدية". arXiv : math/0602082 .
• هاتشر، ألين (2003). "حزم المتجهات ونظرية K" .
• ستيكو، ماكسيم (2013). "روابط نظرية K بالهندسة والطوبولوجيا" .