فضاء التصنيف لـ U( n )

في الرياضيات ، يُعرَّف فضاء التصنيف للمجموعة الوحدوية U( n ) بأنه فضاء BU( n ) مع حزمة شاملة EU( n ) بحيث تكون أي حزمة هيرميتية على فضاء شبه متراص X هي سحب عكسي لـ EU( n ) بواسطة دالة X → BU( n ) فريدة حتى التماثل. ومن التطبيقات الخاصة لهذه العملية الحزم الرئيسية U(1) .

يمكن بناء هذا الفضاء بتليفه الشامل إما

1. فضاء غراسمان للمستويات n في فضاء هيلبرت المركب اللانهائي الأبعاد ؛ أو،
2. الحد المباشر، مع الطوبولوجيا المستحثة، لـ Grassmannians من n مستويات.

كلا التصميمين موضحان بالتفصيل هنا.

الفضاء الكلي EU( n ) للحزمة الشاملة يُعطى بواسطة

${\displaystyle EU(n)=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\$ :\ (e_{i},e_{j})=\delta _{ij},e_{i}\in H\right\}.}

هنا، يرمز H إلى فضاء هيلبرت معقد لا نهائي الأبعاد، و e _i هي متجهات في H ، و${\displaystyle \delta _{ij}}$دلتا كرونكر هي الرمز.${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$هو الضرب الداخلي على H. وبالتالي، لدينا أن EU( n ) هو فضاء الإطارات المتعامدة ذات n إطارًا في H.

إن تأثير المجموعة U( n ) على هذا الفضاء هو التأثير الطبيعي. وبالتالي، يكون الفضاء الأساسي هو

${\displaystyle BU(n)=الاتحاد الأوروبي(n)/U(n)}$

وهي مجموعة الفضاءات الفرعية (أو المستويات ) ذات البعد n من نوع غراسمان في H. أي،

${\displaystyle BU(n)=\{V\subset H\$ :\ \dim V=n\}}

بحيث يكون V فضاءً متجهيًا ذا أبعاد n .

ليكن F n ( C k ) فضاء العائلات المتعامدة لـ n متجه في C k ، وليكن G n ( C k ) فضاء غراسمان للفضاءات المتجهة الجزئية ذات البعد n في C k . يمكن اعتبار الفضاء الكلي للحزمة الشاملة هو النهاية المباشرة لـ F n ( C k ) عندما k → ∞، بينما يُعتبر فضاء القاعدة هو النهاية المباشرة لـ G n ( C k ) عندما k → ∞.

الفرضية : حلقة التماثل لـ${\displaystyle \operatorname {BU} (n)}$بمعاملات في الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} }$يتم توليد الأعداد الصحيحة بواسطة فئات Chern : ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{1},\ldots ,c_{n}].}$

البرهان: لننظر أولًا في الحالة n = 1. في هذه الحالة، U(1) هي الدائرة S ¹ والحزمة الشاملة هي S ^∞ → CP ^∞ . من المعروف جيدًا ^{[ 3 ]} أن علم التماثل لـ CP ^k متماثل مع${\displaystyle \mathbb {Z} \lbrack c_{1}\rbrack /c_{1}^{k+1}}$حيث c₁ هي فئة أويلر للحزمة U(1) -S₂k₊₁ → CPₖ ^، وأنّ الحقن ^{CPₖ →} CPₖ₊₁ ، ^لـ k ∈ N ^* ، متوافقة ^{مع هذه} العروض لتماثل الفضاءات الإسقاطية. وهذا يثبت القضية لـ n = 1 _.

توجد متواليات ألياف متماثلة

${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}\to BU(n-1)\to BU(n)}$

بشكل ملموس، نقطة من الفضاء الكلي${\displaystyle BU(n-1)}$يتم تحديدها بواسطة نقطة من الفضاء الأساسي${\displaystyle BU(n)}$تصنيف فضاء متجهي معقد${\displaystyle V}$، بالإضافة إلى متجه وحدة${\displaystyle u}$في${\displaystyle V}$; معًا يصنفون${\displaystyle u^{\perp }<V}$أثناء الانقسام${\displaystyle V=(\mathbb {C} u)\oplus u^{\perp }}$، تم التقليل من شأنها بواسطة${\displaystyle u}$، يدرك الخريطة${\displaystyle BU(n-1)\to BU(n)}$يمثل المجموع المباشر مع${\displaystyle \mathbb {C} .}$

بتطبيق متتالية جيسين ، نحصل على متتالية طويلة ودقيقة

${\displaystyle H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1)){\overset {\partial }{\longrightarrow }}H^{p+1}(BU(n))\longrightarrow \cdots }$

أين${\displaystyle \eta }$هي الفئة الأساسية للألياف${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}}$بناءً على خصائص تسلسل الجيسين ،${\displaystyle j^{*}}$هو تشاكل ضربي؛ بالاستقراء،${\displaystyle H^{*}BU(n-1)}$يتم توليدها بواسطة عناصر ذات${\displaystyle p<-1}$، أين${\displaystyle \partial }$يجب أن تكون القيمة صفرًا، ومن ثم حيث${\displaystyle j^{*}}$يجب أن يكون شاملاً. ويترتب على ذلك أن${\displaystyle j^{*}}$يجب أن تكون شاملة دائمًا : فبحسب الخاصية العامة لحلقات كثيرات الحدود ، فإن اختيار الصورة العكسية لكل مولد يؤدي إلى انقسام ضربي. ومن ثم، بحسب الدقة،${\displaystyle \smile d_{2n}\eta }$يجب أن تكون دائمًا أحادية . لذلك لدينا متتابعات تامة قصيرة مقسمة بواسطة تماثل حلقي

${\displaystyle 0\to H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1))\to 0}$

وهكذا نخلص إلى${\displaystyle H^{*}(BU(n))=H^{*}(BU(n-1))[c_{2n}]}$أين${\displaystyle c_{2n}=d_{2n}\eta }$وبهذا يكتمل التمهيد.

اعتبر نظرية K المعقدة الطوبولوجية بمثابة نظرية التماثل التي يمثلها الطيف${\displaystyle KU}$في هذه الحالة،${\displaystyle KU^{*}(BU(n))\cong \mathbb {Z} [t,t^{-1}][[c_{1},...,c_{n}]]}$، ^{[ 4 ]} و${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$هو مجاني${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$الوحدة قيد التشغيل${\displaystyle \beta _{0}}$و${\displaystyle \beta _{i_{1}}\ldots \beta _{i_{r}}}$ل${\displaystyle n\geq i_{j}>0}$و${\displaystyle r\leq n}$[ ^{5 ] في هذا الوصف ،} هيكل المنتج على${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$يستمد من بنية الفضاء H لـ${\displaystyle BU}$يُعطى بواسطة مجموع ويتني لحزم المتجهات. يُسمى هذا الناتج بضرب بونترياجين .

تُعرف نظرية K الطوبولوجية بشكل صريح من حيث كثيرات الحدود المتناظرة العددية .

تختزل نظرية K إلى حساب K ₀ ، لأن نظرية K دورية 2 وفقًا لنظرية بوت الدورية ، و BU( n ) هي حد للمشعبات المعقدة ، لذلك فهي تحتوي على بنية CW مع خلايا في الأبعاد الزوجية فقط ، لذلك تتلاشى نظرية K الفردية.

هكذا${\displaystyle K_{*}(X)=\pi _{*}(K)\otimes K_{0}(X)}$، أين${\displaystyle \pi _{*}(K)=\mathbf {Z} [t,t^{-1}]}$، حيث t هو مولد بوت.

K ₀ (BU(1)) هي حلقة كثيرات الحدود العددية في w ، وتعتبر حلقة فرعية من H _∗ (BU(1)؛ Q ) = Q [ w ]، حيث w هو عنصر مزدوج للحزمة التوتولوجية.

بالنسبة للطورس ذي البعد n ، _فإن K₀ ( BTₙ ⁾ عبارة عن كثيرات حدود عددية في n متغيرًا. التطبيق K₀ ₍ BTₙ ⁾ → K₀ (BU( n )) شامل، وفقًا لمبدأ التجزئة ، لأن Tₙ هو الطورس الأعظمي لـ U( ⁿ ) . هذا _{التطبيق} هو تطبيق التناظر .

${\displaystyle f(w_{1},\dots ,w_{n})\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})}$

ويمكن تحديد الصورة على أنها كثيرات الحدود المتناظرة التي تحقق شرط التكامل الذي

${\displaystyle {n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}}f(k_{1},\dots ,k_{n})\in \mathbf {Z} }$

أين

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

هو معامل متعدد الحدود و${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$يحتوي على r من الأعداد الصحيحة المميزة، مكررة${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r}}$مرات، على التوالي.

الإضافات الأساسية${\displaystyle \operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)}$تحفيز عمليات الإدراج المتعارف عليها${\displaystyle \operatorname {BU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BU} (n+1)}$في فضاءات التصنيف الخاصة بها. ويُشار إلى نهاياتها المشتركة على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {U}$ :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {U} (n);}

${\displaystyle \operatorname {BU}$ :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BU} (n).}

${\displaystyle \operatorname {BU} }$إنها بالفعل فضاء التصنيف لـ${\displaystyle \operatorname {U} }$.

• فضاء التصنيف لـ O( n )
• فضاء التصنيف لـ SO(n)
• تصنيف الفضاء لـ SU(n)
• نظرية K الطوبولوجية
• نظرية أتياس-يانيش

• جيه إف آدامز (1974)، التماثل المستقر والتماثل المعمم ، مطبعة جامعة شيكاغو، رقم ISBN 0-226-00524-0يتضمن حساب${\displaystyle KU^{*}(BU(n))}$و${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$.
• س. أوشانين؛ L. شوارتز (1985)، “Une remarque sur les générateurs du cobordisme complex”، الرياضيات. ز. ، 190 (4): 543-557 ، دوى : 10.1007 / BF01214753يحتوي على وصف لـ${\displaystyle K_{0}(BG)}$كـ${\displaystyle K_{0}(K)}$وحدة نمطية لأي مجموعة لي مدمجة ومتصلة.
• L. شوارتز (1983)، “K-théorie et Homotopie Stable”، أطروحة ، جامعة باريس – السابعةوصف صريح لـ${\displaystyle K_{0}(BU(n))}$
• أ. بيكر؛ ف. كلارك؛ ن. راي؛ ل. شوارتز (1989)، "حول تطابقات كومر والتماثل المستقر لـ BU "، معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 316 (2)، الجمعية الأمريكية للرياضيات: 385-432 ، doi : 10.2307/2001355 ، JSTOR 2001355 
• لوسون، إتش. بلين ؛ ميكلسون، ماري لويز (21 فبراير 1990). هندسة الدوران . مطبعة جامعة برينستون . ISBN 9780691085425.
• هاتشر، ألين (2002). الطوبولوجيا الجبرية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-79160-X.
• ميتشل، ستيفن (أغسطس 2001). الحزم الرئيسية الشاملة وفضاءات التصنيف (PDF) .

• تصنيف الفضاء على nLab
• BU(n) على nLab