المعادلة الجوهرية

في الهندسة ، تُعرَّف المعادلة الجوهرية للمنحنى بأنها معادلة تُحدد المنحنى باستخدام علاقة بين خصائصه الجوهرية، أي الخصائص التي لا تعتمد على موقع المنحنى أو اتجاهه. وبالتالي، تُحدد المعادلة الجوهرية شكل المنحنى دون تحديد موقعه بالنسبة لنظام إحداثيات مُحدد بشكل اعتباطي .

الكميات الجوهرية الأكثر استخدامًا هي طول القوس${\displaystyle s}$الزاوية المماسية${\displaystyle \theta }$، الانحناء${\displaystyle \kappa }$أو نصف قطر الانحناء ، وبالنسبة للمنحنيات ثلاثية الأبعاد، الالتواء${\displaystyle \tau }$. خاصة:

• المعادلة الطبيعية هي المنحنى المحدد بانحنائه والتواءه.
• يتم الحصول على معادلة ويويل كعلاقة بين طول القوس والزاوية المماسية.
• تُستنتج معادلة سيزارو كعلاقة بين طول القوس والانحناء.

على سبيل المثال، تُعطى معادلة الدائرة (بما في ذلك الخط) بالمعادلة التالية${\displaystyle \kappa (s)={\tfrac {1}{r}}}$أين${\displaystyle s}$هو طول القوس،${\displaystyle \kappa }$الانحناء و${\displaystyle r}$نصف قطر الدائرة.

تُبسط هذه الإحداثيات بعض المسائل الفيزيائية بشكل كبير. فعلى سبيل المثال، بالنسبة للقضبان المرنة، تُعطى طاقة الوضع بالعلاقة التالية:

${\displaystyle E=\int _{0}^{L}B\kappa ^{2}(s)ds}$

أين${\displaystyle B}$معامل الانحناء${\displaystyle EI}$علاوة على ذلك،${\displaystyle \kappa (s)=d\theta /ds}$يمكن إعطاء مرونة القضبان شكلاً تباينياً بسيطاً .

• آر سي ييتس (1952). دليل عن المنحنيات وخصائصها . آن أربور، ميشيغان: جي دبليو إدواردز. الصفحات 123-126 . 
• ج. دينيس لورانس (1972). فهرس المنحنيات المستوية الخاصة . منشورات دوفر. الصفحات 1-5 . ISBN  0-486-60288-5.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المعادلة الجوهرية" . عالم الرياضيات .