التواء المنحنى

في الهندسة وعلم الحركة ، يقيس التواء المنحنى مدى انحرافه عن المستوى المماس . وبشكل عام، يُشابه كل من انحناء والتواء المنحنى الفضائي انحناء المنحنى المستوي . فعلى سبيل المثال، هما معاملان في نظام المعادلات التفاضلية لإطار فرينيه، المُعطى بصيغ فرينيه-سيريه .

ليكن r منحنى فضائياً مُعطى بطول القوس s ومتجه المماس T. إذا كان انحناء r عند نقطة معينة لا يساوي صفرًا، فإن متجه العمودي الرئيسي ومتجه العمودي الثنائي عند تلك النقطة هما متجهان للوحدة .

$${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {\mathbf {T} '}{\kappa }}،\quad \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} }$$

على التوالي، حيث تشير الفتحة إلى مشتقة المتجه بالنسبة للمعامل s . يقيس الالتواء τ سرعة دوران المتجه العمودي الثنائي عند النقطة المعطاة. ويُحسب من المعادلة

$${\displaystyle \mathbf {B} '=-\tau \mathbf {N} .}$$

وهذا يعني

$${\displaystyle \tau =-\mathbf {N} \cdot \mathbf {B} '.}$$

مثل${\displaystyle \mathbf {N} \cdot \mathbf {B} =0}$وهذا يعادل${\displaystyle \tau =\mathbf {N} '\cdot \mathbf {B} }$.

ملاحظة : مشتقة المتجه العمودي الثنائي عمودية على كل من المتجه العمودي الثنائي والمماس، لذا يجب أن تكون متناسبة مع المتجه العمودي الرئيسي. الإشارة السالبة مجرد اصطلاح، وهي نتاج للتطور التاريخي لهذا المجال.

الأهمية الهندسية: يقيس الالتواء τ ( s ) مدى دوران متجه العمودي الثنائي. كلما زاد الالتواء، زادت سرعة دوران متجه العمودي الثنائي حول المحور المحدد بواسطة متجه المماس (انظر الرسوم التوضيحية ). في الشكل المتحرك، يظهر دوران متجه العمودي الثنائي بوضوح عند قمم دالة الالتواء.

• المنحنى المستوي ذو الانحناء غير الصفري يكون له التواء معدوم عند جميع نقاطه. وعلى العكس، إذا كان التواء منحنى منتظم ذي انحناء غير صفري يساوي صفرًا تمامًا، فإن هذا المنحنى ينتمي إلى مستوى ثابت.
• يكون انحناء الحلزون والتواءه ثابتين. وعلى العكس، فإن أي منحنى فضائي يكون انحناؤه والتواءه ثابتين وغير صفريين هو حلزون. يكون الالتواء موجبًا في الحلزون الأيمن ^{[ 1 ]} وسالبًا في الحلزون الأيسر.

لتكن r = r ( t ) المعادلة البارامترية لمنحنى فضائي. بافتراض أن هذه المعادلة بارامترية منتظمة وأن انحناء المنحنى لا يساوي صفرًا، فإن r ( t ) تحليليًا دالة قابلة للتفاضل ثلاث مرات بالنسبة إلى t، وقيمها تنتمي إلى R³ ^، والمتجهات هي

$${\displaystyle \mathbf {r'} (t),\mathbf {r''} (t)}$$

مستقلة خطيًا .

ثم يمكن حساب الالتواء من الصيغة التالية:

$$\displaystyle \tau ={\frac {\det \left({\mathbf {r} ',\mathbf {r} '',\mathbf {r} '''}\right)}{\left\|{\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right\|^{2}}}={\frac {\left({\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right)\cdot \mathbf {r} '''}{\left\|{\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right\|^{2}}}.}$$

هنا، تشير العلامات (') إلى المشتقات بالنسبة إلى t ، وتشير علامة الضرب (×) إلى الضرب الاتجاهي . بالنسبة لـ r = ( x , y , z ) ، تكون الصيغة في المركبات هي

$${\displaystyle \tau ={\frac {x'''\left(y'z''-y''z'\right)+y'''\left(x''z'-x'z''\right)+z'''\left(x'y''-x''y'\right)}{\left(y'z''-y''z'\right)^{2}+\left(x''z'-x'z''\right)^{2}+\left(x'y''-x''y'\right)^{2}}}.}$$