طول القوس

في أبسط صيغة لطول القوس لمنحنى بارامتري (يُعتبر مسار جسيم يتحرك في المستوى ذي الموضع${\displaystyle (x(t),y(t))}$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$يُحسب طول القوس بتكامل السرعة (مقدار متجه السرعة) على طول المنحنى بالنسبة للزمن. وبالتالي، فإن طول منحنى قابل للتفاضل باستمرار في المستوى الإقليدي ، مُعطى بالمعاملات التالية:${\displaystyle (x(t),y(t))}$، ل${\displaystyle a\leq t\leq b}$، يتم إعطاؤها على شكل التكامل ^{[ 1 ]}$${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,dt.}$$ هنا، يمثل الجزء المُكامل (الجذر التربيعي داخل التكامل) سرعة الجسيم. ولا يمتلك هذا التكامل الأساسي لطول القوس دائمًا صيغة مغلقة ، ويمكن استخدام التكامل العددي للحصول على قيم عددية لطول القوس.

وبشكل أعم، بالنسبة للمنحنيات التي لا تقع بالضرورة في المستوى، دع${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$يجب أن تكون الدالة قابلة للتفاضل باستمرار (أي أن مشتقتها دالة متصلة ). يُعطى طول المنحنى بالصيغة التالية: $${\displaystyle L(f)=\int _{a}^{b}|f'(t)|\,dt}$$ أين${\displaystyle |f'(t)|}$المعيار الإقليدي لمتجه المماس${\displaystyle f'(t)}$إلى المنحنى.

يمكن تمثيل المنحنى بعدد لا نهائي من الطرق. ويبقى طول قوس المنحنى ثابتًا بغض النظر عن طريقة تمثيله.

يمكن تقريب منحنى في المستوى عن طريق توصيل عدد محدود من النقاط على المنحنى ، بترتيب متتابع، باستخدام قطع مستقيمة لإنشاء سلسلة مضلعة . يمكن حساب طول كل قطعة مستقيمة باستخدام نظرية فيثاغورس ، وجمع هذه الأطوال للحصول على الطول الإجمالي للسلسلة؛يُعرف هذا التقريب باسم المسافة الوترية (التراكمية) . ^{[ 2 ]}

إذا أُضيفت نقاط أخرى على طول المنحنى، فلن تنقص المسافة الوترية. قد تزداد إلى حدٍّ نهائي، في النهاية، عندما يتناقص طول أطول قطعة في السلسلة إلى الصفر، أو قد تزداد بلا حدود. في حالة ازدياد طول السلسلة المضلعة المُحسَّنة إلى حدٍّ نهائي، فإن هذا الحد هو طول المنحنى. بالنسبة لمنحنى أملس ذي طول نهائي، فإن هذا الطول النهائي يساوي دائمًا الطول الناتج عن التكامل، ولكن هذا التعريف للطول القائم على الحد ينطبق أيضًا على بعض المنحنيات غير الملساء. يُطلق على المنحنى الذي يتميز بأن كل قوس بين نقطتين منه له طول نهائي، عند قياسه بهذه الطريقة، اسم المنحنى القابل للتقويم ، حتى لو كان طول المنحنى بأكمله لانهائيًا.

يمكن تعريف طول القوس الموجه للتعبير عن إحساس بالاتجاه أو "المسار" بالنسبة لنقطة مرجعية تُعتبر نقطة الأصل في المنحنى (انظر أيضًا: اتجاه المنحنى والمسافة الموجهة ). ^{[ 3 ]}

في معظم الحالات، بما في ذلك المنحنيات البسيطة، لا توجد حلول مغلقة لطول القوس، ويصبح التكامل العددي ضروريًا. نظرًا للتفاضل في صيغة طول القوس، تفقد متسلسلة تايلور للدالة المراد تكاملها رتبة واحدة من الدقة، مقارنةً بالقوس نفسه، مع فقدان مماثل في الدقة. ولكن بالنسبة للدوال الملساء تمامًا، يكون التكامل العددي لتكامل طول القوس فعالًا للغاية عادةً. على سبيل المثال، لننظر في مسألة إيجاد طول ربع دائرة الوحدة عن طريق التكامل العددي لتكامل طول القوس. يمكن تمثيل النصف العلوي من دائرة الوحدة بالمعاملات التالية:${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}.}$ الفاصل الزمني${\displaystyle x\in \left[-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right]}$يمثل ربع الدائرة.${\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$و${\textstyle 1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {1}{1-x^{2}}},}$طول ربع دائرة الوحدة هو

$${\displaystyle \int _{-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}^{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.}$$

بما أن الدالة التكاملية سلسة تمامًا على المجال محل الاهتمام ولها متسلسلة تايلور متقاربة، فإن تقدير قاعدة غاوس-كرونرود ذات 15 نقطة لهذا التكامل هو1.570 796 326 808 177 يختلف عن الطول الحقيقي لـ

$${\displaystyle \arcsin x{\bigg |}_{-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}^{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {\pi }{2}}}$$

بواسطة1.3 × 10⁻¹¹ وتقدير قاعدة التربيع الغاوسي ^ذات 16 نقطة لـ1.570 796 326 794 727 يختلف عن الطول الحقيقي بمقدار واحد فقط1.7 × 10 ⁻¹³ . وهذا يعني أنه من الممكن تقييم هذا التكامل بدقة تقارب دقة الآلة باستخدام 16 تقييمًا فقط للدالة المتكاملة.

يترك${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)}$كن رسمًا تخطيطيًا للسطح ودع${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))}$ليكن منحنى على هذا السطح. دالة التكامل لتكامل طول القوس هي${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$ يتطلب تقييم المشتقة قاعدة السلسلة لحقول المتجهات:

$${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {x} _{u}\ \mathbf {x} _{v}){\binom {u'}{v'}}=\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'.}$$

المعيار التربيعي لهذا المتجه هو

$${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'\right)\cdot (\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v')=g_{11}\left(u'\right)^{2}+2g_{12}u'v'+g_{22}\left(v'\right)^{2}}$$

(أين${\displaystyle g_{ij}}$(حيث يمثل معامل الشكل الأساسي الأول )، لذا يمكن كتابة دالة التكامل لطول القوس على النحو التالي:${\displaystyle {\sqrt {g_{ab}\left(u^{a}\right)'\left(u^{b}\right)'\,}}}$(أين${\displaystyle u^{1}=u}$و${\displaystyle u^{2}=v}$).

يترك${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))}$ليكن منحنى معبرًا عنه بالإحداثيات القطبية. التحويل الذي يحول من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية هو

$${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta ).}$$

دالة التكامل لتكامل طول القوس هي ${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$ تُظهر قاعدة السلسلة لحقول المتجهات أن${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '.}$ إذن، مربع دالة التكامل لطول القوس هو

$${\displaystyle \left(\mathbf {x_{r}} \cdot \mathbf {x_{r}} \right)\left(r'\right)^{2}+2\left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)r'\theta '+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}.}$$

لذا، بالنسبة لمنحنى معبر عنه بالإحداثيات القطبية، يكون طول القوس هو: $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\,}}dt=\int _{\theta (t_{1})}^{\theta (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+r^{2}\,}}d\theta .}$$

التعبير الثاني خاص بالرسم البياني القطبي${\displaystyle r=r(\theta )}$مُعَدَّل بواسطة${\displaystyle t=\theta }$.

والآن لنبدأ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t),\phi (t))}$ليكن منحنى معبر عنه بالإحداثيات الكروية حيث${\displaystyle \theta }$الزاوية القطبية مقاسة من الموجب${\displaystyle x}$المحور السيني و${\displaystyle \phi }$هي الزاوية السمتية. التحويل الذي يحول من الإحداثيات الكروية إلى الإحداثيات المستطيلة هو $${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta ).}$$

إن استخدام قاعدة السلسلة مرة أخرى يوضح أن${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '+\mathbf {x} _{\phi }\phi '.}$ جميع منتجات النقاط${\displaystyle \mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} _{j}}$أين${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$الفرق بينهما يساوي صفرًا، لذا فإن مربع معيار هذا المتجه هو $${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{r}\right)\left(r'^{2}\right)+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}+\left(\mathbf {x} _{\phi }\cdot \mathbf {x} _{\phi }\right)\left(\phi '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left(\phi '\right)^{2}.}$$

لذا، بالنسبة لمنحنى مُعبَّر عنه بالإحداثيات الكروية، يكون طول القوس هو $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

تُظهر حسابات مشابهة جدًا أن طول قوس منحنى مُعبَّر عنه بالإحداثيات الأسطوانية هو $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

يتم الإشارة إلى أطوال الأقواس بالرمز s ، لأن الكلمة اللاتينية للطول (أو الحجم) هي spatium .

في الأسطر التالية،${\displaystyle r}$يمثل نصف قطر الدائرة ،${\displaystyle d}$قطرها ،​${\displaystyle C}$محيطها ،​${\displaystyle s}$هو طول قوس الدائرة، و${\displaystyle \theta }$هي الزاوية التي يصنعها القوس عند مركز الدائرة . المسافات${\displaystyle r,d,C,}$و${\displaystyle s}$يتم التعبير عنها بنفس الوحدات.

• ${\displaystyle C=2\pi r,}$وهو نفس${\displaystyle C=\pi d.}$ هذه المعادلة هي تعريف لـ${\displaystyle \pi .}$
• إذا كان القوس نصف دائرة ، فإن${\displaystyle s=\pi r.}$
• لقوس دائري عشوائي:
  • لو${\displaystyle \theta }$إذا كانت بالراديان${\displaystyle s=r\theta .}$هذا تعريف للراديان.
  • لو${\displaystyle \theta }$إذا كانت بالدرجات ،${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{180^{\circ }}},}$وهو نفس${\displaystyle s={\frac {C\theta }{360^{\circ }}}.}$
  • لو${\displaystyle \theta }$إذا كانت الزاوية قائمة بوحدة الدرجات (100 درجة، أو درجات، أو الدرجات الزاوية )، فإن${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{200{\text{ grad}}}},}$وهو نفس${\displaystyle s={\frac {C\theta }{400{\text{ grad}}}}.}$
  • لو${\displaystyle \theta }$يتم ذلك بالتناوب (الدوران الواحد هو دورة كاملة، أو 360 درجة، أو 400 درجة، أو${\displaystyle 2\pi }$ثم${\displaystyle s=C\theta /1{\text{ turn}}}$.

• اللولب الأرخميدسي §  طول القوس
• المنحنى الإكلويدي §  طول القوس
• القطع الناقص §  طول القوس
•  طول قوس الحلزون
• القطع المكافئ §  طول القوس
• الجيب وجيب التمام §  طول القوس
• موجة مثلثة §  طول القوس

على مدار تاريخ الرياضيات ، اعتبر حتى أعظم المفكرين أنه من المستحيل حساب طول قوس غير منتظم. ورغم أن أرخميدس كان رائدًا في إيجاد مساحة المنطقة أسفل المنحنى باستخدام " طريقة الاستنفاد "، إلا أن قلةً اعتقدت بإمكانية وجود أطوال محددة للمنحنيات، كما هو الحال مع الخطوط المستقيمة. وقد تم وضع حجر الأساس في هذا المجال، كما هو الحال غالبًا في حساب التفاضل والتكامل ، عن طريق التقريب . بدأ العلماء برسم مضلعات داخل المنحنيات وحساب أطوال أضلاعها للحصول على قياس دقيق إلى حد ما للطول. وباستخدام المزيد من القطع، وتقليل طول كل قطعة، تمكنوا من الحصول على تقريب أكثر دقة. وعلى وجه الخصوص، من خلال رسم مضلع متعدد الأضلاع داخل دائرة، تمكنوا من إيجاد قيم تقريبية لـ π . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

في القرن السابع عشر، أدت طريقة الاستنفاد إلى تصحيح العديد من المنحنيات المتعالية بواسطة الطرق الهندسية : اللولب اللوغاريتمي بواسطة إيفانجيليستا توريتشيلي في عام 1645 (تقول بعض المصادر جون واليس في خمسينيات القرن السابع عشر)، والدوائري بواسطة كريستوفر رين في عام 1658، والسلسلة بواسطة جوتفريد لايبنتز في عام 1691.

في عام 1659، نسب واليس الفضل إلى ويليام نيل في اكتشافه لأول تقويم لمنحنى جبري غير تافه ، وهو القطع المكافئ شبه المكعب . ^{[ 8 ]} تظهر الأشكال المصاحبة في الصفحة 145. وفي الصفحة 91، يُذكر ويليام نيل باسم جولييلموس نيليوس .

قبل التطور الرسمي الكامل لحساب التفاضل والتكامل، تم اكتشاف أساس الشكل التكاملي الحديث لطول القوس بشكل مستقل من قبل هندريك فان هورايت وبيير دي فيرما .

في عام 1659، نشر فان هورايت بناءً يُبين إمكانية تحويل مسألة تحديد طول القوس إلى مسألة تحديد المساحة تحت المنحنى (أي التكامل). وكمثال على طريقته، حدد طول قوس قطع مكافئ نصف مكعب، الأمر الذي استلزم إيجاد المساحة تحت القطع المكافئ . ^{[ 9 ]} وفي عام 1660، نشر فيرما نظرية أكثر عمومية تتضمن النتيجة نفسها في كتابه " De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica" ​​(رسالة هندسية حول الخطوط المنحنية مقارنةً بالخطوط المستقيمة). ^{[ 10 ]}

استنادًا إلى عمله السابق مع المماسات، استخدم فيرما المنحنى

${\displaystyle y=x^{\frac {3}{2}}\,}$

الذي كان لمماسه عند x = a ميل قدره

${\displaystyle {3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}}$

إذن، سيكون لخط المماس المعادلة التالية:

${\displaystyle y={3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}(x-a)+f(a).}$

بعد ذلك، زاد قيمة a بمقدار صغير إلى a + ε ، مما جعل القطعة المستقيمة AC تقريبًا جيدًا نسبيًا لطول المنحنى من A إلى D. ولإيجاد طول القطعة المستقيمة AC ، استخدم نظرية فيثاغورس .

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=AB^{2}+BC^{2}\\&=\varepsilon ^{2}+{9 \over 4}a\varepsilon ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}\left(1+{9 \over 4}a\right)\end{aligned}}}$

والذي، عند حله، ينتج

${\displaystyle AC=\varepsilon {\sqrt {1+{9 \over 4}a\,}}.}$

من أجل تقريب الطول، يقوم فيرما بجمع سلسلة من القطع القصيرة.