إحداثيات متساوية الخواص

في نظرية مشعبات لورنتز ، تسمح الزمكانات المتناظرة كرويًا بوجود مجموعة من الكرات المتداخلة . توجد عدة أنواع من مخططات الإحداثيات المُكيَّفة مع هذه المجموعة من الكرات المتداخلة؛ أشهرها مخطط شوارزشيلد ، ولكن المخطط المتساوي الخواص مفيد أيضًا في كثير من الأحيان. السمة المميزة للمخطط المتساوي الخواص هي أن إحداثياته ​​القطرية (المختلفة عن إحداثيات مخطط شوارزشيلد) تُعرَّف بحيث تظهر مخاريط الضوء دائرية . هذا يعني أنه (باستثناء الحالة البسيطة لمشعب مسطح محليًا)، لا تُمثِّل الإحداثيات الزاوية المتساوية الخواص المسافات داخل الكرات المتداخلة بدقة، كما أن الإحداثيات القطرية لا تُمثِّل المسافات القطرية بدقة. من ناحية أخرى، تُمثَّل الزوايا في الشرائح الفائقة ذات الزمن الثابت دون تشويه، ومن هنا جاء اسم المخطط.

تُستخدم المخططات المتساوية الخواص في أغلب الأحيان على الزمكانات الثابتة ذات التناظر الكروي في نظريات الجاذبية المترية ، مثل النسبية العامة ، ولكن يمكن استخدامها أيضًا في نمذجة كرة سائلة نابضة كرويًا، على سبيل المثال. بالنسبة للحلول المعزولة ذات التناظر الكروي لمعادلة أينشتاين للمجال ، عند المسافات الكبيرة، تصبح المخططات المتساوية الخواص ومخططات شوارزشيلد متشابهة بشكل متزايد مع المخطط الكروي القطبي المعتاد على زمكان مينكوفسكي .

في مخطط متساوي الخواص (على فضاء-زمن ثابت متناظر كرويًا)، يأخذ المقياس ( المعروف أيضًا باسم عنصر الخط ) الشكل التالي

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,\left(dr^{2}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right)\right),}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\varphi <\pi }$

بحسب السياق، قد يكون من المناسب اعتبار${\displaystyle a,\,b}$كدوال غير محددة للإحداثي القطري (على سبيل المثال، في اشتقاق حل دقيق ثابت متناظر كرويًا لمعادلة أينشتاين للمجال ). بدلاً من ذلك، يمكننا إدخال دوال محددة (قد تعتمد على بعض المعاملات) للحصول على مخطط إحداثيات متناحٍ على فضاء-زمن لورنتزي محدد.

تأخذ جبر لي لحقول متجهات كيلينغ في فضاء-زمن ساكن متناظر كرويًا نفس الشكل في المخطط المتناحي كما في مخطط شوارزشيلد. أي أن هذا الجبر يتولد بواسطة حقل متجهات كيلينغ غير الدوراني الزمني.

${\displaystyle \partial _{t}}$

وثلاثة حقول متجهة كيلينج فضائية

${\displaystyle \partial _{\varphi }}$

${\displaystyle \sin(\varphi )\,\partial _{\theta }+\cot(\theta )\,\cos(\varphi )\partial _{\varphi }}$

${\displaystyle \cos(\varphi )\,\partial _{\theta }-\cot(\theta )\,\sin(\varphi )\partial _{\varphi }}$

هنا، أقول ذلك${\displaystyle {\vec {X}}=\partial _{t}}$يعني كون الحقل غير دوراني أن موتر الدوامة للتوافق الزمني المقابل يتلاشى؛ وبالتالي، فإن حقل متجه كيلينغ هذا يكون متعامدًا مع السطح الفائق . إن حقيقة أن الزمكان يقبل حقل متجه كيلينغ زمنيًا غير دوراني هي في الواقع السمة المميزة للزمكان الساكن . إحدى النتائج المباشرة لذلك هي أن أسطح الإحداثيات ذات الزمن الثابت${\displaystyle t=t_{0}}$تشكل عائلة من الشرائح الفائقة المكانية (متساوية القياس) (أسطح فائقة شبيهة بالفضاء).

بخلاف مخطط شوارزشيلد، فإن المخطط المتساوي الخواص ليس مناسبًا جيدًا لإنشاء مخططات تضمين لهذه الشرائح الفائقة.

الأسطح${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0}}$تظهر على شكل كرات مستديرة (عندما نرسم المواضع بطريقة كروية قطبية)، ومن شكل عنصر الخط، نرى أن المقياس المقيد بأي من هذه الأسطح هو

${\displaystyle g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}g_{\Omega }=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,-\pi <\varphi <\pi }$

أين${\displaystyle \Omega =(\theta ,\varphi )}$هي إحداثيات و${\displaystyle g_{\Omega }}$هي المقياس الريماني على الكرة ذات نصف القطر الواحد. أي أن كرات الإحداثيات المتداخلة هذه تمثل في الواقع كرات هندسية، ولكن مظهرها${\displaystyle b(r_{0})\,r}$بدلاً من${\displaystyle r}$يُظهر ذلك أن الإحداثيات القطرية لا تتوافق مع المساحة بنفس طريقة توافقها مع الكرات في الفضاء الإقليدي العادي . قارن ذلك بإحداثيات شوارزشيلد، حيث يكون للإحداثيات القطرية تفسيرها الطبيعي من حيث الكرات المتداخلة.

المواضع${\displaystyle \varphi =-\pi ,\,\pi }$حدد حدود المخطط المتساوي الخواص، وكما هو الحال في مخطط شوارزشيلد، نفترض ضمنيًا أن هذين الموضعين محددين، بحيث تكون كراتنا المستديرة المفترضة هي بالفعل كرات طوبولوجية.

وكما هو الحال بالنسبة لمخطط شوارزشيلد، قد يكون نطاق الإحداثي القطري محدودًا إذا انفجر المقياس أو معكوسه لبعض قيم هذا الإحداثي.

غالبًا ما يتم استخدام عنصر الخط المذكور أعلاه، مع اعتبار f و g دوال غير محددة للإحداثي المتساوي الخواص r، كفرضية قياس في اشتقاق حلول ثابتة متناظرة كرويًا في النسبية العامة (أو نظريات قياس الجاذبية الأخرى ).

كمثال توضيحي، سنرسم كيفية حساب الاتصال والانحناء باستخدام طريقة حساب التفاضل والتكامل الخارجي لكارتان. أولاً، نقرأ من عنصر الخط حقل الإطار المشترك ،

${\displaystyle \sigma ^{0}=-a(r)\,dt}$

${\displaystyle \sigma ^{1}=b(r)\,dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=b(r)\,r\,d\theta }$

${\displaystyle \sigma ^{3}=b(r)\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi }$

حيث نعتبر${\displaystyle a,\,b}$كدوال سلسة غير محددة لـ${\displaystyle r}$(إن حقيقة أن الزمكان لدينا يقبل إطارًا له هذا الشكل المثلثي المحدد هي تعبير مكافئ آخر لمفهوم المخطط المتناحي في مشعب لورنتزي ثابت ومتناظر كرويًا). بأخذ المشتقات الخارجية واستخدام معادلة كارتان الهيكلية الأولى، نجد أشكال الاتصال الأحادية غير الصفرية.

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{1}={\frac {f'\,dt}{g}}}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,d\theta }$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{3}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,\sin(\theta )\,d\varphi }$

${\displaystyle {\أوميغا ^{2}}_{3}=-\cos(\theta )\,d\varphi }$

بأخذ المشتقات الخارجية مرة أخرى والتعويض في معادلة كارتان الهيكلية الثانية، نجد شكلي الانحناء .

• الزمكان الساكن
• الزمكان المتناظر كرويًا
• الموائع المثالية الساكنة ذات التناظر الكروي
• إحداثيات شوارزشيلد ، وهي مخطط شائع آخر للزمكانات الثابتة المتناظرة كرويًا.
• حقول الإطار في النسبية العامة ، لمزيد من المعلومات حول حقول الإطار وحقول الإطار المشترك

• ميسنر، ثورن، ويلر (1973). الجاذبية . دار دبليو إتش فريمان وشركاه. رقم ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )