الزمكان المينكوفسكي

في الفيزياء ، يُعدّ فضاء مينكوفسكي ( أو فضاء مينكوفسكي ؛ / mɪŋˈkɔːfski , -ˈkɒf- / ) [ ¹ ] ^الوصف^{الرياضي} الرئيسي للزمكان في غياب الجاذبية . وهو يجمع بين فضاءات وزمنات القصور الذاتي في نموذج رباعي الأبعاد .

يساعد هذا النموذج في توضيح كيف أن الفاصل الزمني بين أي حدثين في الزمكان مستقل عن الإطار المرجعي العطالي الذي يتم تسجيلهما فيه. وقد طوره عالم الرياضيات هيرمان مينكوفسكي انطلاقاً من أعمال هندريك لورنتز وهنري بوانكاريه وغيرهما، وقال إنه "نُشئ على أسس فيزيائية تجريبية".

يرتبط فضاء مينكوفسكي ارتباطًا وثيقًا بنظريتي أينشتاين في النسبية الخاصة والنسبية العامة ، وهو البنية الرياضية الأكثر شيوعًا التي تُصاغ بها النسبية الخاصة. بينما قد تختلف المكونات الفردية في الفضاء والزمن الإقليديين نتيجةً لانكماش الطول وتمدد الزمن ، فإن جميع أطر الإسناد في فضاء مينكوفسكي تتفق على الفاصل الزمني الكلي في الزمكان بين الأحداث. ^{[ ملاحظة 1 ]} يختلف فضاء مينكوفسكي عن الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد في أنه يتعامل مع الزمن بشكل مختلف عن الأبعاد المكانية الثلاثة.

في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، تُعرف مجموعة التناظر (الخرائط التي تحافظ على المسافة الإقليدية المنتظمة ) باسم المجموعة الإقليدية . وتنشأ هذه المجموعة من الدوران والانعكاس والانتقال . وعند إضافة الزمن كبعد رابع، تُضاف تحويلات أخرى، كالانتقالات الزمنية وتحويلات لورنتز ، وتُسمى مجموعة هذه التحويلات مجتمعةً مجموعة بوانكاريه . ويتبع نموذج مينكوفسكي النسبية الخاصة، حيث تُسبب الحركة تمددًا زمنيًا يُغير المقياس المُطبق على الإطار المتحرك، ويُغير طور الضوء.

Minkowski spacetime is a pseudo-Euclidean space equipped with an isotropic quadratic form called the spacetime interval or the Minkowski norm squared. In Euclidean space, the distance between any two distinct points is greater than zero, but in Minkowski spacetime, the interval between two distinct events can be zero. This occurs when one event is on the light cone of the other. Using the polarization identity the quadratic form is converted to a symmetric bilinear form called the Minkowski inner product, though it is not a geometric inner product.

The group of transformations for Minkowski spacetime that preserves the spacetime interval (as opposed to the spatial Euclidean distance) is the Lorentz group (as opposed to the Galilean group).

History

Geometry of Lorentz transformations

In the 1890s, Hendrik Lorentz began to develop theories of electrodynamics based on a pervasive luminiferous aether uncoupled from matter. In a series of papers from 1892 to 1904 he used transformations which would come to bear his name as mathematical aids in analyzing these theories.^[2] Many other physicists were also involved in the development and understanding of these transformation. Minkowski was especially familiar with work of Henri Poincaré and especially his second relativity paper in 1905.^[3]^:94 In that paper Poincaré showed^[4] how, by taking time to be an imaginary fourth spacetime coordinate $ict$ , where $c$ is the speed of light and $i$ is the imaginary unit, Lorentz transformations can be visualized as ordinary rotations of the four-dimensional sphere,^[5]^:vi where the rotation axis corresponds to the direction of relative motion between the two observers and the rotation angle is related to their relative velocity.

As part of his analysis Poincaré described invariants under the rotation, like the quantity $x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},$ where the $x,y,z,t$ هي الفروق بين النقاط في الفضاء رباعي الأبعاد، على شكل مسافات. (مجموع الفروق الثلاثة الأولى يساوي مربع المسافة الإقليدية في الفضاء ثلاثي الأبعاد؛ وهذه المسافات ثابتة تحت الدوران في الفضاء ثلاثي الأبعاد). وقد فصّل مينكوفسكي مفهوم الدوران والثوابت كمسافات ^{[ 3 ]} في ورقة بحثية باللغة الألمانية نُشرت عام 1908 بعنوان "المعادلات الأساسية للعمليات الكهرومغناطيسية في الأجسام المتحركة". ^{[ 6 ]} أدخلت الورقة الموترات إلى التمثيل الرياضي للفيزياء، وأعادت صياغة معادلات ماكسويل كمجموعة متناظرة من المعادلات في المتغيرات الأربعة $(x ، y ، z ، ict)$ بالإضافة إلى متغيرات متجهة مُعاد تعريفها للكميات الكهرومغناطيسية. وقد تمكن من إثبات ثباتها تحت تحويل لورنتز. ^{[ 3 ]} ومن خلال إعادة صياغته، استنتج أنه ينبغي التعامل مع الزمان والمكان على قدم المساواة، ومن هنا نشأ مفهومه عن الأحداث التي تحدث في متصل زمكاني رباعي الأبعاد موحد .

محاضرة "المكان والزمان"

في عام 1908، قدّم مينكوفسكي أفكاره في محاضرة ألقاها في كولونيا بألمانيا أمام جمهور دولي ضمّ علماء فيزياء ورياضيات. ^{[ 7 ]} عُرفت المحاضرة باسم محاضرة "المكان والزمان" لعام 1908، ونُشرت لاحقًا في عدة صيغ. ^{[ 8 ]} بدأ مينكوفسكي محاضرته بما سيصبح أشهر تعليقاته: ^{[ 3 ]}^{: 97}

إنّ الرؤى التي أودّ عرضها عليكم حول المكان والزمان قد انبثقت من رحم الفيزياء التجريبية، وفي ذلك تكمن قوتها. إنها رؤى جذرية. من الآن فصاعدًا، سيؤول المكان والزمان، كلٌّ على حدة، إلى التلاشي ليصبحا مجرد ظلال، ولن يحافظ على وجودهما المستقل إلا نوع من الاتحاد بينهما.

— هيرمان مينكوفسكي، 1908، 1909 ^{[ 8 ]}

على الرغم من انطلاقه من الفيزياء التجريبية، ركز مينكوفسكي في بقية محاضرته على الرياضيات. فقد أكد على مزايا تمثيل الإحداثيات والسرعات باستخدام أربعة متجهات . ^{[ 3 ]}^{: 105} وقدّم مخطط مينكوفسكي واستخدمه لتعريف المفاهيم وتوضيح خصائص تحويلات لورنتز (مثل الزمن الخاص وانكماش الطول )، بالإضافة إلى تقديم تفسير هندسي لتعميم الميكانيكا النيوتونية على الميكانيكا النسبية . وكان الهدف من ذلك هو ترسيخ مكانة الرياضيات كأداة تكشف عن مفاهيم مهمة للواقع الفيزيائي، بدلاً من كونها مجرد أداة ملائمة. ^{[ 3 ]}

تأثير

من وجهة نظر مينكوفسكي، أرست ورقة أينشتاين عام 1905 فهمًا جديدًا للزمن كظاهرة محلية، نتيجة لنسبية التزامن . ورأى مينكوفسكي أن إسهامه يتمثل في تغيير المفهوم الأساسي للفضاء. ^{[ 9 ]}^{: 27} أصبح مفهوم مينكوفسكي للزمكان، الذي تطور من دراسات الديناميكا الكهربائية، أساسًا لتطوير الميكانيكا النسبية . ^{[ 10 ]}

أصبح منهج المتجهات الأربعة لهندسة الزمكان اللغة المعيارية لفهم النسبية. ^{[ 9 ]}^{: 37} وقد بيّن مينكوفسكي نفسه أن كثافة التيار في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، $j$ ، تتحد مع كثافة الشحنة ، $ρ$ ، لتشكيل متجه رباعي. ويتحد المجال الكهربائي في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، $E ، مع$ المجال المغناطيسي في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، $B$ ، لتكوين موتر في صيغة المتجهات الأربعة. ويوضح هذا المنهج أن المجالين $E$ و $B$ يتحولان إلى بعضهما البعض تبعًا للإطار المرجعي العطالي للمراقب. ^{[ 11 ]}^{: 75}

رغم أن مينكوفسكي شكّل خطوةً مهمةً في الفيزياء، إلا أن ألبرت أينشتاين لم يكن متحمساً لها في البداية. ^{[ 9 ]} فقد استبعد منهج مينكوفسكي الجاذبية ، وهي مشكلةٌ أدرك أينشتاين ضرورة إدراجها. ^{[ 12 ]}

البنية السببية

حيث $v$ هي السرعة، $و x$ و $y$ و $z$ هي الإحداثيات الديكارتية في الفضاء ثلاثي الأبعاد، $و$ $c$ هو الثابت الذي يمثل الحد الأقصى للسرعة، و $t$ هو الزمن، يُصنَّف المتجه رباعي الأبعاد $v = (ct, x, y, z) = (ct, r)$ وفقًا لإشارة $c²t² - r²$ $.$ يكون المتجه زمنيًا إذا كان $c²t²$ $>$ $r²$ $،$ $ومكانيًا$ إذا كان $c²t²$ $<$ $r²$ $،$ $وصفريًا$ أو ضوئيًا إذا كان $c²t²$ $=$ $r²$ $.$ $يمكن$ التعبير $عن$ $ذلك$ بدلالة إشارة η $($ $v$ $,$ $v$ $)$ $،$ $والتي$ $تُسمى$ أيضًا بالضرب القياسي $،$ $والتي تعتمد$ $على$ الإشارة $.$ سيكون تصنيف أي متجه هو نفسه في جميع أطر المرجعية المرتبطة بتحويل لورنتز (ولكن ليس بتحويل بوانكاريه العام لأن الأصل قد يتم إزاحته بعد ذلك) بسبب ثبات فاصل الزمكان تحت تحويل لورنتز.

تشكل مجموعة جميع المتجهات الصفرية عند حدث ما ^في^فضاء^{مينكوفسكي} مخروط الضوء لهذا الحدث. وبالنظر إلى متجه زمني $v$ ، يوجد خط عالمي ذو سرعة ثابتة مرتبط به، ممثل بخط مستقيم في مخطط مينكوفسكي.

بمجرد اختيار اتجاه زمني، ^يمكن^تقسيم المتجهات الزمنية والمتجهات الصفرية إلى فئات مختلفة. بالنسبة للمتجهات الزمنية، يكون ^لدينا

متجهات زمنية موجهة نحو المستقبل، يكون مكونها الأول موجبًا (يقع رأس المتجه في المستقبل السببي (ويسمى أيضًا المستقبل المطلق) في الشكل) و
متجهات زمنية موجهة نحو الماضي يكون مكونها الأول سالباً (الماضي السببي (يسمى أيضاً الماضي المطلق)).

تنقسم المتجهات الصفرية إلى ثلاث فئات:

المتجه الصفري، الذي تكون مكوناته في أي أساس هي $(0، 0، 0، 0)$ (الأصل)،
متجهات صفرية موجهة نحو المستقبل يكون مكونها الأول موجباً (مخروط الضوء العلوي)، و
متجهات صفرية موجهة نحو الماضي يكون مكونها الأول سالباً (مخروط الضوء السفلي).

بالإضافة إلى المتجهات الشبيهة بالفضاء، هناك 6 فئات في المجموع.

يتألف الأساس المتعامد لزمكان مينكوفسكي بالضرورة من متجه وحدة زمني واحد وثلاثة متجهات وحدة مكانية. إذا رغبنا في العمل مع أسس غير متعامدة، فمن الممكن الحصول على تركيبات أخرى من المتجهات. على سبيل المثال، يمكن بسهولة إنشاء أساس (غير متعامد) يتكون بالكامل من متجهات صفرية، ويُسمى أساسًا صفريًا .

تُسمى الحقول المتجهة بالزمنية أو المكانية أو الصفرية إذا كانت المتجهات المرتبطة بها زمنية أو مكانية أو صفرية عند كل نقطة يتم فيها تعريف الحقل.

خصائص المتجهات الزمنية

تكتسب المتجهات الزمنية أهمية خاصة في نظرية النسبية، إذ تُقابل أحداثًا يمكن للمراقب الوصول إليها عند النقطة (0، 0، 0، 0) بسرعة أقل من سرعة الضوء. وتُعدّ المتجهات الزمنية ذات الاتجاه المتشابه ، أي تلك التي تقع جميعها إما في المخروط الأمامي أو المخروطي الخلفي، الأكثر أهمية. تتميز هذه المتجهات بخصائص عديدة لا تشترك فيها المتجهات المكانية، ويعود ذلك إلى أن كلا المخروطين الأمامي والخلفي محدبان، بينما المنطقة المكانية ليست محدبة.

الضرب القياسي

حاصل الضرب $القياسي$ لمتجهين زمنيين $u1 =$ $($ $t1$ $,$ $x1$ $,$ $y1$ $,$ $z1$ $)$ و $u2 = (t2, x2, y2, z2) هو$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $\eta (u_{1},u_{2})=u_{1}\cdot u_{2}=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}.$

إيجابية الضرب القياسي : من الخصائص المهمة أن الضرب القياسي لمتجهين زمنيين متماثلين الاتجاه يكون دائمًا موجبًا. ويمكن ملاحظة ذلك من خلال متباينة كوشي-شفارتز المعكوسة الموضحة أدناه. ويترتب على ذلك أنه إذا كان الضرب القياسي لمتجهين يساوي صفرًا، فلا بد أن يكون أحدهما على الأقل متجهًا مكانيًا. ويمكن أن يكون الضرب القياسي لمتجهين مكانيين موجبًا أو سالبًا، كما يتضح من خلال النظر في حاصل ضرب متجهين مكانيين لهما مركبات مكانية متعامدة وأزمنة ذات إشارات مختلفة أو متماثلة.

باستخدام خاصية الإيجابية للمتجهات الشبيهة بالزمن، من السهل التحقق من أن المجموع الخطي ذو المعاملات الموجبة للمتجهات الشبيهة بالزمن ذات الاتجاه المماثل هو أيضًا متجه شبيه بالزمن ذو اتجاه مماثل (يبقى المجموع داخل مخروط الضوء بسبب التحدب).

متباينة كوشي المعيارية والمعكوسة

يُعرَّف معيار المتجه الزمني $u = (ct, x, y, z) على النحو التالي:$ $\left\|u\right\|={\sqrt {\eta (u,u)}}={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}$

تُعدّ متباينة كوشي المعكوسة نتيجة أخرى لتحدب أيٍّ من مخروطَي الضوء. ^{[ 13 ]} بالنسبة لمتجهين زمنيين متماثلين ومختلفين $u1$ و $u2$ $،$ تكون هذه المتباينة كما $يلي :$ $\eta (u_{1},u_{2})>\left\|u_{1}\right\|\left\|u_{2}\right\|$ أو جبريًا، $c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}>{\sqrt {\left(c^{2}t_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-z_{1}^{2}\right)\left(c^{2}t_{2}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}-z_{2}^{2}\right)}}$

ومن هذا يمكن ملاحظة الخاصية الإيجابية للضرب القياسي.

متباينة المثلث المعكوس

بالنسبة لمتجهين زمنيين متشابهين في الاتجاه $u$ و $w$ ، فإن المتباينة هي ^{[ 14 ]} $\left\|u+w\right\|\geq \left\|u\right\|+\left\|w\right\|,$ حيث تتحقق المساواة عندما تكون المتجهات مرتبطة خطيًا .

يستخدم البرهان التعريف الجبري مع متباينة كوشي المعكوسة: ^{[ 15 ]} $\displaystyle \begin{aligned}\left\|u+w\right\|^{2}&=\left\|u\right\|^{2}+2\left(u,w\right)+\left\|w\right\|^{2}\\[5mu]&\geq \left\|u\right\|^{2}+2\left\|u\right\|\left\|w\right\|+\left\|w\right\|^{2}=\left(\left\|u\right\|+\left\|w\right\|\right)^{2}.\end{aligned}}}$

والنتيجة الآن تتحقق بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين.

البنية الرياضية

يُفترض فيما يلي أن الزمكان مزود بنظام إحداثيات يُطابق إطارًا مرجعيًا قصوريًا . يوفر هذا النظام نقطة أصل ، وهي ضرورية لنمذجة الزمكان كفضاء متجهي. هذه الإضافة ليست إلزامية، ويمكن لمعالجات أكثر تعقيدًا، تُشابه الفضاء الأفيني، إزالة هذا الهيكل الإضافي. مع ذلك، لا يُعد هذا اصطلاحًا تمهيديًا، ولن يُغطى هنا.

للحصول على نظرة عامة، فإن فضاء مينكوفسكي هو فضاء متجهي حقيقي $رباعي$ الأبعاد مزود بصيغة ثنائية الخطية متناظرة وغير متدهورة على الفضاء المماسي عند كل نقطة في الزمكان، ويُطلق عليها هنا ببساطة اسم الجداء الداخلي لمينكوفسكي ، وله إشارة مترية إما $(+ - - -)$ أو $(- + + +)$ . الفضاء المماسي عند كل حدث هو فضاء متجهي له نفس بُعد الزمكان، أي $4$ .

متجهات المماس

عمليًا، لا داعي للقلق بشأن الفضاءات المماسية. يسمح هيكل الفضاء المتجهي لزمكان مينكوفسكي بالتحديد المتعارف عليه للمتجهات في الفضاءات المماسية عند النقاط (الأحداث) مع المتجهات (النقاط، الأحداث) في زمكان مينكوفسكي نفسه. انظر على سبيل المثال Lee (2003 ، الاقتراح 3.8) أو Lee (2012 ، الاقتراح 3.13). تُجرى هذه التحديدات بشكل روتيني في الرياضيات، ويمكن التعبير عنها رسميًا في الإحداثيات الديكارتية كما في ^{[ 16 ].} ${\begin{aligned}\left(x^{0},\,x^{1},\,x^{2},\,x^{3}\right)\ &\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{p}+\left.x^{1}\mathbf {e} _ {1}\right|_{p}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{p}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{p}\\&\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _ {0}\يمين|_{q}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{q}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{q}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{q}\end{aligned}}$ مع متجهات أساسية في الفضاءات المماسية المحددة بواسطة $\left.\mathbf {e} _{\mu }\right|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}{\text{ or }}\mathbf {e} _{0}|_{p}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}}\right){\text{, etc}}.$

هنا، يُمثل $p$ و $q$ أي حدثين، ويُشار إلى تعريف متجه الأساس الثاني بالنقل المتوازي . أما التعريف الأول فهو التعريف المتعارف عليه للمتجهات في الفضاء المماسي عند أي نقطة مع المتجهات في الفضاء نفسه. ويعود ظهور متجهات الأساس في الفضاءات المماسية كمؤثرات تفاضلية من الرتبة الأولى إلى هذا التعريف. ويستند هذا التعريف إلى ملاحظة إمكانية ربط متجه المماس الهندسي، بشكل أحادي، بمؤثر مشتق اتجاهي على مجموعة الدوال الملساء. ويُعمم هذا التعريف ليشمل متجهات المماس في المشعبات التي لا يشترط أن تكون مضمنة في $Rⁿ .$ ولا يُعد هذا التعريف الوحيد الممكن لمتجهات المماس، إذ يُمكن استخدام المجموعات المرتبة العادية من الرتبة n أيضًا.

تعريفات المتجهات المماسية كمتجهات عادية

يمكن تعريف متجه المماس عند النقطة $p$ ، هنا مُخصَّص للإحداثيات الديكارتية في إطارات لورنتز، على أنه متجه عمودي $v$ $مكون من 4 \times 1$ ، مرتبط بكل إطار لورنتز، ويرتبط هذا الإطار بتحويل لورنتز $Λ،$ بحيث يتحول المتجه $v$ في إطار مرتبط بإطار آخر بواسطة $Λ$ وفقًا للتحويل $v$ $\to Λ$ $v$ . وهذه هي نفس الطريقة التي تتحول بها الإحداثيات $x$ $μ$ . ${\begin{aligned}x'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu },\\v'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }v^{\nu }.\end{محاذاة}}$

هذا التعريف مكافئ للتعريف المذكور أعلاه في ظل التشاكل الكنسي.

لأغراضٍ مُعينة، يُستحسن مُطابقة متجهات المماس عند النقطة $p$ مع متجهات الإزاحة عند النقطة $p$ ، وهو أمرٌ مُمكنٌ بالطبع من خلال نفس المُطابقة الأساسية. ^{[ 17 ]} يُمكن إيجاد مُطابقات المتجهات المُشار إليها أعلاه في السياق الرياضي في سياقٍ فيزيائي وهندسي أكثر وضوحًا في كتاب ميسنر، ثورن ، وويلر (1973) . وتُقدم هذه المُطابقات درجاتٍ مُختلفة من التعقيد (والدقة) بحسب الجزء الذي يختاره القارئ من الكتاب.

التوقيع المتري

يشير التوقيع المتري إلى الإشارة التي ينتجها الضرب الداخلي لمينكوفسكي عند إدخال الفضاء ( الفضاء تحديدًا، كما هو موضح لاحقًا) ومتجهات أساس الزمن ( الزمنية ) كمعاملات. سيتم تأجيل المزيد من النقاش حول هذا الخيار، الذي قد يبدو غير مهم نظريًا ولكنه ضروري عمليًا لأغراض الاتساق الداخلي وسهولة الاستخدام، إلى المربع المخفي أدناه. انظر أيضًا الصفحة التي تتناول اصطلاح الإشارة في النسبية.

اختيار التوقيع المتري

بشكل عام، مع بعض الاستثناءات، يُفضّل علماء الرياضيات وأنصار النسبية العامة أن تُعطي المتجهات المكانية إشارة موجبة $(- + + +)$ ، بينما يميل علماء فيزياء الجسيمات إلى تفضيل المتجهات الزمنية التي تُعطي إشارة موجبة $(+ - - -)$ . يلتزم مؤلفون في مجالات فيزيائية متعددة، مثل ستيفن واينبرغ ولاندو وليفشيتز ( $- + + +$ و $(+ - - -)$ على التوالي ) ، بخيار واحد بغض النظر عن الموضوع. تشمل حجج الاصطلاح الأول "الاستمرارية" من الحالة الإقليدية التي تُقابل الحد غير النسبي $c \to \infty$ . أما حجج الاصطلاح الثاني فتشمل اختفاء الإشارات السالبة، الشائعة في فيزياء الجسيمات. مع ذلك، لا يختار مؤلفون آخرون، وخاصة مؤلفو النصوص التمهيدية، مثل كليبنر وكولينكو (1978) ، أي توقيع على الإطلاق، بل يختارون بدلاً من ذلك تنسيق الزمكان بحيث يكون إحداثي الزمن (وليس الزمن نفسه!) تخيليًا. هذا يُغني عن الحاجة إلى التعريف الصريح لموتر القياس (الذي قد يبدو عبئًا إضافيًا في دورة تمهيدية)، ولا داعي للقلق بشأن المتجهات المتغيرة والمتجهات المتغايرة (أو رفع وخفض المؤشرات) التي سيتم شرحها لاحقًا. يتم الحصول على الضرب الداخلي من خلال امتداد مباشر للضرب النقطي من $\mathbb {R} ^{3}$ إلى $\mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{3}.$ هذا صحيح في الزمكان المسطح للنسبية الخاصة، لكنه غير صحيح في الزمكان المنحني للنسبية العامة، انظر ميسنر، ثورن ، وويلر (1973 ، المربع 2.1، "وداعًا لـ $i c t$ ") ( الذين يستخدمون، بالمناسبة $، (- + + +)$ ) . ويجادل ميسنر وثورن وويلر أيضًا بأن هذا يخفي الطبيعة غير المحددة الحقيقية للمقياس والطبيعة الحقيقية لتعزيزات لورنتز، التي ليست دورانات. كما أنه يعقد استخدام أدوات الهندسة التفاضلية بلا داعٍ ، والتي تكون متاحة ومفيدة للوصف الهندسي والحساب - حتى في الزمكان المسطح للنسبية الخاصة، مثل المجال الكهرومغناطيسي.

مصطلحات

يرتبط رياضيًا بالصيغة الثنائية الخطية موتر من النوع $(0,2)$ عند كل نقطة في الزمكان، يُسمى مقياس مينكوفسكي . ^{[ ملاحظة 4 ]} مقياس مينكوفسكي، والصيغة الثنائية الخطية، وجداء مينكوفسكي الداخلي، كلها تمثل نفس الشيء؛ إنها دالة ثنائية خطية تقبل متجهين (متغايرين) وتُرجع عددًا حقيقيًا. في الإحداثيات، تُمثل هذه الدالة مصفوفة $4\times4$ التي تُمثل الصيغة الثنائية الخطية.

للمقارنة، في النسبية العامة ، يُزوَّد مشعب لورنتزي $L$ بموتر متري $g$ ، وهو شكل ثنائي خطي متناظر غير منحل على الفضاء المماسي $T p L$ عند كل نقطة $p$ من $L.$ في الإحداثيات، يمكن تمثيله بمصفوفة 4 $\times4$ تعتمد على موضع الزمكان . وبالتالي، يُعد زمكان مينكوفسكي حالة خاصة بسيطة نسبيًا من مشعب لورنتزي . موتره المتري في الإحداثيات له نفس المصفوفة المتناظرة عند كل نقطة من $M$ ، ويمكن، كما ذُكر أعلاه، اعتبار وسائطه متجهات في الزمكان نفسه.

بإضافة المزيد من المصطلحات (دون إضافة المزيد من البنية)، فإن فضاء مينكوفسكي هو فضاء شبه إقليدي ذو بُعد كلي $n = 4$ وإشارة $(1, 3)$ أو $(3, 1)$ . تُسمى عناصر فضاء مينكوفسكي أحداثًا . يُرمز إلى فضاء مينكوفسكي غالبًا $بـ R$ $1,3$ أو $R$ $3,1$ للتأكيد على الإشارة المختارة، أو ببساطة $M.$ وهو مثال على مشعب شبه ريماني .

ومن الناحية الرياضية، فإن المقياس هو شكل ثنائي الخطية على فضاء متجهي حقيقي رباعي الأبعاد مجرد $V$ ، أي $\eta :V\times V\rightarrow \mathbf {R}$ حيث أن $η$ لها إشارة $(+, -, -, -)$ ، والإشارة خاصية ثابتة بالنسبة للإحداثيات لـ $η$ . يشكل فضاء الخرائط الثنائية الخطية فضاءً متجهيًا يمكن تحديده بـ $M^{*}\otimes M^{*}$ ويمكن اعتبار $η$ عنصرًا من هذا الفضاء. باختيار أساس متعامد معياري $\{e_{\mu }\}$ ، $M:=(V,\eta )$ يمكن تحديدها بالفضاء $\mathbf {R} ^{1,3}:=(\mathbf {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })$ تهدف هذه الرموز إلى التأكيد على حقيقة أن $M$ و $\mathbf {R} ^{1,3}$ ليست مجرد فضاءات متجهة، بل تحتوي على بنية إضافية. $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(+1,-1,-1,-1)$ .

من الأمثلة المثيرة للاهتمام على الإحداثيات غير العطالية لجزء من فضاء مينكوفسكي، إحداثيات بورن . وهناك مجموعة أخرى مفيدة من الإحداثيات، وهي إحداثيات المخروط الضوئي .

المقاييس شبه الإقليدية

إنّ الضرب الداخلي لمينكوفسكي ليس ضربًا داخليًا ، إذ يحتوي على متجهات صفرية غير صفرية . ولأنه ليس صيغة ثنائية خطية محددة، يُطلق عليه اسم غير محدد .

المقياس المينكوفسكي $η$ هو موتر المقياس في فضاء مينكوفسكي. وهو مقياس شبه إقليدي، أو بشكل أعم، مقياس شبه ريماني ثابت في الإحداثيات الديكارتية. وبذلك، فهو شكل ثنائي خطي متناظر غير منحل، موتر من النوع $(0، 2)$ . يقبل وسيطين $u و v ،$ وهما متجهان في $T p$ $M$ $،$ $حيث$ $p$ $\in$ $M$ ، وهو الفضاء المماسي عند $p$ في $M.$ ونظرًا للتطابق الكنسي المذكور أعلاه بين $T$ $p$ $M$ و $M$ نفسه، فإنه يقبل وسيطين $u و$ $v،$ $حيث$ $ينتمي$ كل من $u$ و $v$ إلى $M.$

كاصطلاح تدويني، تُكتب المتجهات $v$ في $M$ ، والتي تسمى المتجهات الرباعية ، بخط مائل، وليس بخط غامق كما هو شائع في الإطار الإقليدي $.$ ويُستخدم الخط الغامق عادةً للجزء $الثلاثي من المتجه$ $الرباعي$ (الذي سيتم تقديمه لاحقًا) .

التعريف ^{[ 18 ]} $u\cdot v=\eta (u,\,v)$ ينتج عنه بنية شبيهة بالضرب الداخلي على $M$ ، والتي تُسمى سابقًا، وستُسمى فيما بعد، بالضرب الداخلي لمينكوفسكي ، وهي مشابهة للضرب الداخلي الإقليدي ، لكنها تصف هندسة مختلفة. ويُطلق عليها أيضًا اسم الضرب النقطي النسبي . إذا كان الوسيطان متماثلين، $u\cdot u=\eta (u,u)\equiv \|u\|^{2}\equiv u^{2},$ ستُسمى الكمية الناتجة مربع معيار مينكوفسكي . ويحقق حاصل الضرب الداخلي لمينكوفسكي الخصائص التالية.

الخطية في الحجة الأولى: $\eta (au+v,\,w)=a\eta (u,\,w)+\eta (v,\,w),\quad \forall u,\,v\in M,\;\forall a\in \mathbb {R}$
التناظر: $\eta (u,\,v)=\eta (v,\,u)$
عدم الانحطاط: $\eta (u,\,v)=0,\;\forall v\in M\ \Rightarrow \ u=0$

الشرطان الأولان يستلزمان وجود علاقة ثنائية الخطية.

أهم ما يميز الضرب الداخلي ومربع المعيار هو أنهما كميتان لا تتأثران بتحويلات لورنتز . في الواقع، يمكن اعتبارهما الخاصية المميزة لتحويل لورنتز، إذ يحافظان على الضرب الداخلي (أي قيمة الصيغة الثنائية الخطية المناظرة على متجهين). يُعمم هذا النهج على جميع الزمر الكلاسيكية التي يمكن تعريفها بهذه الطريقة في الزمرة الكلاسيكية . في هذه الحالة، تكون المصفوفة $Φ$ مطابقة للمصفوفة $η$ التي سيتم عرضها لاحقًا، وذلك في حالة $O(3, 1) (زمرة لورنتز).$

التعامد

يُبنى فضاء مينكوفسكي بحيث تكون سرعة الضوء ثابتة بغض النظر عن الإطار المرجعي الذي تُقاس فيه. وتنتج هذه الخاصية عن علاقة محور الزمن بمحور المكان. يكون الحدثان u و v متعامدين عندما تكون الصيغة الثنائية الخطية لهما صفرًا: $η (v, w) = 0$ .

عندما يكون كل من u و v متجهين مكانيين، فإنهما متعامدان ، أما إذا كان أحدهما متجهًا زمنيًا والآخر مكانيًا، فإن العلاقة بينهما تُسمى تعامدًا زائديًا . تبقى هذه العلاقة ثابتة عند تغيير الإطار المرجعي، وبالتالي فإن حساب سرعة الضوء يُعطي نتيجة ثابتة. يُسمى تغيير الإطار المرجعي بتحويل لورنتز ، وهو في الرياضيات دوران زائدي . يرتبط كل إطار مرجعي بزاوية زائدية ، تساوي صفرًا في الإطار المرجعي الساكن في فضاء مينكوفسكي. تُسمى هذه الزاوية الزائدة بالسرعة النسبية لأنها مرتبطة بسرعة الإطار.

مقياس مينكوفسكي

انطلاقاً من الفرضية الثانية للنسبية الخاصة ، إلى جانب تجانس الزمكان وتماثل الفضاء، فإن الفاصل الزمني للزمكان بين حدثين عشوائيين يسمى $1$ و $2$ هو: ^{[ 19 ]} $c^{2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}-\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}-\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}.$ لا يُطلق على هذه الكمية اسمٌ موحد في المراجع. ويُشار إلى هذه الفترة أحيانًا باسم الجذر التربيعي للفترة كما هو مُعرَّف هنا. ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}

ينتج ثبات الفترة تحت تحويلات الإحداثيات بين الأطر المرجعية العطالية من ثبات $c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ بشرط أن تكون التحويلات خطية. يمكن استخدام هذا الشكل التربيعي لتعريف شكل ثنائي الخطية $u\cdot v=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}$ عن طريق متطابقة الاستقطاب . ويمكن كتابة هذا الشكل الثنائي الخطي بدوره على النحو التالي $u\cdot v=u^{\textsf {T}}\,[\eta ]\,v,$ حيث $[η]$ هو أ $4\times 4$ المصفوفة المرتبطة بـ $η$ . على الرغم من أن ذلك قد يكون مربكًا، إلا أنه من الشائع الإشارة إلى $[η]$ بالرمز $η$ فقط . تُقرأ المصفوفة من الصيغة الثنائية الخطية الصريحة كما يلي: $\eta =\left({\begin{array}{r}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}}\right)\!,$ والشكل الثنائي الخطي $u\cdot v=\eta (u,v),$ تم الآن تحديد القسم الذي بدأ به هذا القسم بافتراض وجوده.

للتوضيح والاختصار، يُعتمد التوقيع $(- + + +) أدناه. هذا الاختيار (أو أي اختيار آخر ممكن) ليس له أي آثار فيزيائية (معروفة). مجموعة التناظر التي تحافظ على الصيغة الثنائية الخطية مع أحد اختيارات التوقيع متماثلة (وفقًا للخريطة الموضحة$ هنا ) مع مجموعة التناظر التي تحافظ على اختيار التوقيع الآخر. هذا يعني أن كلا الاختيارين يتوافقان مع مسلمتي النسبية. التبديل بين الاصطلاحين سهل. إذا استُخدم موتر القياس $η$ في اشتقاق ما، فارجع إلى أول نقطة استُخدم فيها، واستبدل $η$ بـ $- η$ ، ثم تتبع إلى الصيغة المطلوبة مع توقيع القياس المطلوب.

الأساس القياسي

الأساس القياسي أو المتعامد لزمكان مينكوفسكي هو مجموعة من أربعة متجهات متعامدة فيما بينها ${e 0, e 1, e 2, e 3}$ بحيث $\eta (e_{0},e_{0})=-\eta (e_{1},e_{1})=-\eta (e_{2},e_{2})=-\eta (e_{3},e_{3})=1$ ولأي غرض $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=0$ متى ${\textstyle \mu \neq \nu \,.}$

يمكن كتابة هذه الشروط بإيجاز على النحو التالي $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$

$بالنسبة إلى أساس قياسي$ ، تُكتب مركبات المتجه $v$ $على$ $الصورة$ $(v₀, v₁, v₂, v₃) ،$ حيث يُستخدم ترميز أينشتاين لكتابة $v = vμeμ$ . تُسمى المركبة $v₀$ بالمركبة الزمنية للمتجه $v،$ $بينما$ تُسمى المركبات الثلاث الأخرى بالمركبات المكانية $.$ $يمكن$ $تمثيل$ $المركبات$ $المكانية$ لمتجه $رباعي$ الأبعاد $v$ بمتجه $ثلاثي$ الأبعاد $v = (v₁, v₂$ $,$ $v₃$ $)$ .

من حيث المكونات، يُعطى الجداء الداخلي لمينكوفسكي بين متجهين $v$ و $w بالصيغة التالية:$

$\eta (v,w)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=v^{0}w_{0}+v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}+v^{3}w_{3}=v^{\mu }w_{\mu }=v_{\mu }w^{\mu },$ و $\eta (v,v)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }=v^{0}v_{0}+v^{1}v_{1}+v^{2}v_{2}+v^{3}v_{3}=v^{\mu }v_{\mu }.$

تم هنا استخدام خفض المؤشر باستخدام المقياس.

توجد العديد من الخيارات الممكنة للأساس القياسي الذي يفي بالشرط $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$ ترتبط أي قاعدتين من هذا القبيل بشكل ما عن طريق تحويل لورنتز، إما عن طريق مصفوفة تغيير الأساس $\Lambda _{\nu }^{\mu }$ ، مصفوفة حقيقية من الرتبة $4 \times 4$ تحقق $\Lambda _{\rho }^{\mu }\eta _{\mu \nu }\Lambda _{\sigma }^{\nu }=\eta _{\rho \sigma }.$ أو $Λ$ ، وهي دالة خطية على فضاء المتجهات المجرد تحقق الشرط التالي لأي زوج من المتجهات $u$ و $v$ ، $\eta (\Lambda u,\Lambda v)=\eta (u,v).$

ثم إذا وُجدت قاعدتان مختلفتان، ${e 0, e 1, e 2, e 3}$ و ${e' 0, e' 1, e' 2, e' 3}$ ، $e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }$ يمكن تمثيلها على النحو التالي $e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }$ أو $e_{\mu }'=\Lambda e_{\mu }$ قد يكون من المغري التفكير في $\Lambda _{\nu }^{\mu }$ و $Λ$ كشيء واحد، من الناحية الرياضية، فهما عنصران من فضاءات مختلفة، ويؤثران على فضاء القواعد القياسية من جوانب مختلفة.

ارتفاع وانخفاض المؤشرات

من الناحية التقنية، يوفر الشكل الثنائي الخطي غير المنحط دالة بين فضاء متجهي وفضاءه الثنائي؛ في هذا السياق، تكون الدالة بين الفضاءات المماسية للفضاء $M$ والفضاءات المماسية المرافقة له $.$ عند نقطة في $M$ ، يكون الفضاءان المماسي والمماس المرافق فضاءين متجهيين ثنائيين (وبالتالي يكون بُعد الفضاء المماس المرافق عند حدث ما هو $4$ أيضًا). وكما يمكن التعبير عن الجداء الداخلي الأصيل على فضاء متجهي ذي وسيط ثابت، وفقًا لنظرية تمثيل ريز ، كفعل دالة خطية على الفضاء المتجهي، ينطبق الأمر نفسه على الجداء الداخلي لمينكوفسكي في فضاء مينكوفسكي الزمني. ^{[ 23 ]}

بالتالي، إذا كانت $v و μ$ هما مركبتي متجه في الفضاء المماسي، فإن $η μν v μ = v ν$ هما مركبتي متجه في الفضاء المماسي المشترك (دالة خطية). ونظرًا لتطابق المتجهات في الفضاءات المماسية مع المتجهات في $M$ نفسها، يُتجاهل هذا الأمر في الغالب، وتُسمى المتجهات ذات المؤشرات الأدنى بالمتجهات المتغيرة . في هذا التفسير الأخير، تُطابق المتجهات المتغيرة (ضمنيًا في أغلب الأحيان) المتجهات (الدوال الخطية) في الفضاء الثنائي لزمكان مينكوفسكي. أما المتجهات ذات المؤشرات الأعلى فهي المتجهات المتغايرة . وبالمثل، يمكن استخدام معكوس الدالة من الفضاء المماسي إلى الفضاء المماسي المشترك، والمُعطى صراحةً بمعكوس $η$ في تمثيل المصفوفة، لتعريف رفع مؤشر . يُرمز إلى مركبتي هذا المعكوس $بـ η μν$ . ويحدث أن $η μν = η μν$ . يمكن الإشارة إلى هذه الخرائط بين فضاء متجهي وفضاءه الثنائي بالرمزين $η ♭$ (إيتا-فلات) و $η♯ ($ إيتا-شارب) بالقياس الموسيقي. ^{[ 24 ]}

تختلف المتجهات المتغايرة والمتغايرة هندسيًا اختلافًا كبيرًا. يمكن، بل ينبغي، اعتبار المتجهات المتغايرة أسهمًا. يمكن وصف الدالة الخطية بعنصرين: نواتها ، وهي مستوى فائق يمر بنقطة الأصل، ومعيارها. هندسيًا، ينبغي النظر إلى المتجهات المتغايرة على أنها مجموعة من المستويات الفائقة، تتباعد فيما بينها تبعًا للمعيار (كلما زاد المعيار، قل التباعد)، ويمر أحدها (النواة) بنقطة الأصل. يُطلق على المتجه المتغاير رياضيًا اسم المتجه المتغاير من الرتبة 1 أو الشكل التفاضلي من الرتبة 1 (مع أن المصطلح الأخير يُستخدم عادةً لحقول المتجهات المتغايرة ).

أحد التشبيهات الميكانيكية الكمومية التي تم استكشافها في الأدبيات هو تشبيه موجة دي برولي (مُقاسة بمعامل ثابت بلانك المُختزل) المرتبطة بمتجه زخم رباعي، وذلك لتوضيح كيفية تصور نسخة متغايرة من متجه متغاير. يمكن اعتبار الضرب الداخلي لمتجهين متغايرين بمثابة تأثير النسخة المتغايرة لأحدهما على النسخة المتغايرة للآخر. وبالتالي، فإن الضرب الداخلي هو عدد مرات اختراق السهم للمستويات. ^{[ 22 ]} يقدم المرجع الرياضي، لي (2003) ، نفس الرؤية الهندسية لهذه الأجسام (لكنه لا يذكر الاختراق).

موتر المجال الكهرومغناطيسي هو شكل تفاضلي من الدرجة الثانية ، والذي يمكن إيجاد وصفه الهندسي أيضًا في MTW.

يمكن للمرء، بطبيعة الحال، تجاهل المنظورات الهندسية تمامًا (كما هو الحال في أسلوب وينبرغ (2002) ولاندو وليفشيتز 2002 على سبيل المثال ) والمضي قدمًا جبريًا بطريقة شكلية بحتة. إن متانة الشكلية نفسها، التي أثبتت جدواها عبر الزمن، والتي يُشار إليها أحيانًا باسم " تلاعب المؤشرات" ، تضمن أن تحريك المتجهات وتغييرها من متجهات متغايرة إلى متجهات متغايرة والعكس (وكذلك الموترات ذات الرتب العليا) سليم رياضيًا. وعادةً ما تتضح التعبيرات غير الصحيحة بسرعة.

تنسيق الرفع والخفض الحر

بالنظر إلى شكل ثنائي الخطية $\ \eta :M\times M\rightarrow \mathbb {R} \ ,$ يمكن اعتبار النسخة المخفضة من المتجه بمثابة التقييم الجزئي لـ $\ \eta \ ,$ أي أن هناك خريطة تقييم جزئية مرتبطة بها $\eta (\cdot ,-):M\rightarrow M^{*}\ ~,\quad v\mapsto \eta (v,\cdot )~.$

المتجه المنخفض $\ \eta (v,\cdot )\in M^{*}\$ ثم تصبح الخريطة المزدوجة $\ u\mapsto \eta (v,u)~.$ لاحظ أنه لا يهم أي وسيط يتم تقييمه جزئيًا نظرًا لتناظر $\ \eta ~.$

إن عدم الانحلال يكافئ حقنية دالة التقييم الجزئي، أو بعبارة أخرى، يشير عدم الانحلال إلى أن نواة الدالة تافهة. في الأبعاد المحدودة، كما هو الحال هنا، ومع ملاحظة أن بُعد الفضاء المحدود الأبعاد يساوي بُعد الفضاء الثنائي، فإن هذا يكفي لاستنتاج أن دالة التقييم الجزئي هي تماثل خطي من $\ M\$ ل $\ M^{*}~.$ وهذا يسمح بتعريف خريطة التقييم الجزئي العكسي، $\eta ^{-1}:M^{*}\rightarrow M\ ,$ مما يسمح بتعريف المقياس العكسي على النحو التالي $\eta ^{-1}:M^{*}\times M^{*}\rightarrow \mathbb {R} \ ~,\quad \eta ^{-1}\!(\alpha ,\beta )\ =\ \eta {\bigl (}\ \eta ^{-1}\!(\alpha ),\ \eta ^{-1}\!(\beta )\ {\bigr )}\$ حيث الاستخدامان المختلفان لـ $\;\eta ^{-1}\$ يمكن التمييز بينهما من خلال الوسيط الذي يتم تقييم كل منهما عليه. ويمكن استخدام ذلك لرفع المؤشرات. إذا تم استخدام أساس إحداثي، فإن المقياس $η -1$ هو بالفعل معكوس المصفوفة لـ $η$ .

الشكلية في مقياس مينكوفسكي

يهدف هذا البحث إلى توضيح كيفية تطبيق مقياس مينكوفسكي على متجهين والحصول على عدد حقيقي، وذلك بطريقة شبه دقيقة ، أي إظهار دور التفاضلات وكيفية اختفائها في الحساب. ويتم ذلك في إطار نظرية التشعبات الملساء، حيث تُقدَّم مفاهيم مثل حقول الحمل والمشتقات الخارجية.

نهج رسمي لمقياس مينكوفسكي

يظهر الشكل الكامل لمقياس مينكوفسكي في الإحداثيات كحقل موتر على الزمكان على النحو التالي: $\eta _{\mu \nu }\operatorname {d} x^{\mu }\otimes \operatorname {d} x^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\operatorname {d} x^{\mu }\odot \operatorname {d} x^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\operatorname {d} x^{\mu }\operatorname {d} x^{\nu }~.$

شرح: تُعدّ مشتقات الإحداثيات حقولًا من النوع 1. وهي تُعرَّف على أنها المشتقة الخارجية لدوال الإحداثيات $x و μ$ . تُوفِّر هذه الكميات، عند حسابها عند نقطة $p،$ أساسًا للفضاء المماسي عند $p$ . يُنتج الضرب الموتري (المُشار إليه بالرمز $\otimes$ ) حقلًا موتريًا من النوع $(0, 2)$ ، أي النوع الذي يتوقع متجهين متغايرين كمعاملات. في الطرف الأيمن، تم حساب الضرب المتناظر (المُشار إليه بالرمز $⊙$ أو بالتجاور). تتحقق المساواة لأن مقياس مينكوفسكي، بحكم التعريف، متناظر. ^{[ 25 ]} يُستخدم الرمز الموجود في أقصى اليمين أحيانًا للدلالة على عنصر الخط ذي الصلة، ولكنه مختلف . وهو ليس موترًا. لمزيد من التفاصيل حول الاختلافات والتشابهات، انظر: ميسنر، ثورن ، وويلر (1973 ، المربع 3.2 والقسم 13.2).

في هذا الشكل، تُعطى متجهات المماس بدلالة أساس من المؤثرات التفاضلية من الرتبة الأولى. $\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}\ ,$ حيث $p$ حدث. يُعطي هذا المؤثر $،$ $عند تطبيقه على دالة f،$ المشتقة الاتجاهية لـ $f$ عند $p$ في اتجاه تزايد $xμ$ مع تثبيت $xν$ $،$ $حيث ν \neq μ$ . وتُشكّل هذه المشتقات أساسًا للفضاء المماسي عند $p$ .

المشتقة الخارجية $d f$ للدالة $f$ هي حقل متجه مشترك ، أي تعيين متجه مماس مشترك لكل نقطة $p$ ، بحسب التعريف بحيث $\operatorname {d} f(X)=X\ f,$ لكل حقل متجهي $X.$ الحقل المتجهي هو تعيين متجه مماس لكل نقطة $p$ . في الإحداثيات، يمكن توسيع $X عند كل نقطة$ $p$ في الأساس المعطى بواسطة $⁠ \partial / \partial x ν ⁠ | p$ . بتطبيق هذا مع $f = x μ$ ، وهي دالة الإحداثيات نفسها، و $X = ⁠ \partial / \partial x ν ⁠$ ، والذي يُسمى حقل متجهي إحداثي ، نحصل على $\operatorname {d} x^{\mu }\left({\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right)={\frac {\partial x^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}=\delta _{\nu }^{\mu }~.$

بما أن هذه العلاقة صحيحة عند كل نقطة $p$ ، فإن $d x μ | p$ توفر أساسًا للفضاء المماسي عند كل نقطة $p،$ والأساسان $d x μ | p$ و $⁠$ $\partial$ $/$ $\partial$ $x$ $ν$ $⁠$ $|$ $p$ متناظران مع بعضهما البعض. ${\Bigl .}\operatorname {d} x^{\mu }{\Bigr |}_{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right|_{p}\right)=\delta _{\nu }^{\mu }~.$ عند كل $نقطة p$ . علاوة على ذلك، يكون لدى المرء $\alpha \ \otimes \ \beta (a,b)\ =\ \alpha (a)\ \beta (b)\$ بالنسبة للأشكال التفاضلية العامة من الدرجة الأولى على فضاء مماس $α و β$ ومتجهات مماسة عامة $a و b$ . (يمكن اعتبار هذا تعريفًا، ولكن يمكن أيضًا إثباته في سياق أكثر عمومية.)

وبالتالي، عندما يتم تغذية موتر القياس بحقلين متجهين $a$ و $b$ ، وكلاهما مُوسّع بدلالة حقول متجهات الإحداثيات الأساسية، فإن النتيجة هي $\eta _{\mu \nu }\ \operatorname {d} x^{\mu }\otimes \operatorname {d} x^{\nu }(a,b)\ =\ \eta _{\mu \nu }\ a^{\mu }\ b^{\nu }\ ,$ حيث تمثل $a و μ$ و $b و ν$ الدوال المكونة للحقول المتجهة. المعادلة أعلاه صحيحة عند كل نقطة $p$ ، ويمكن تفسير العلاقة أيضًا على أنها مقياس مينكوفسكي عند $p$ مطبق على متجهين مماسين عند $p$ .

كما ذُكر، في فضاء متجهي، مثل نمذجة الزمكان في النسبية الخاصة، يمكن تحديد المتجهات المماسية بشكل معياري مع المتجهات في الفضاء نفسه، والعكس صحيح. هذا يعني أن الفضاءات المماسية عند كل نقطة تُحدد بشكل معياري مع بعضها البعض ومع الفضاء المتجهي نفسه. وهذا يُفسر كيف يمكن استخدام الطرف الأيمن من المعادلة أعلاه مباشرةً، دون النظر إلى نقطة الزمكان التي يُراد حساب المقياس عندها، أو من أي فضاء مماس تأتي المتجهات.

يتغير هذا الوضع في النسبية العامة . هناك يكون لدى المرء $g_{\mu \nu }\!(p)\ {\Bigl .}\operatorname {d} x^{\mu }{\Bigr |}_{p}\ \left.\operatorname {d} x^{\nu }\right|_{p}(a,b)\ =\ g_{\mu \nu }\!(p)\ a^{\mu }\ b^{\nu }\ ,$ حيث الآن $η \to g (p)$ ، أي أن $g$ لا يزال موترًا متريًا ولكنه يعتمد الآن على الزمكان وهو حل لمعادلات أينشتاين للمجال . علاوة على ذلك، يجب أن يكون $a و b$ متجهين مماسين عند نقطة الزمكان $p،$ ولا يمكن تحريكهما بحرية.

العلاقات الزمنية والسببية

ليكن $x و y عنصرين من المجموعة M.$ هنا،

يسبق $x الحدث$ $y$ زمنيًا إذا $كانت العلاقة y - x$ علاقة زمنية موجهة نحو المستقبل. تتمتع هذه العلاقة بخاصية التعدي ، وبالتالي يمكن كتابتها على النحو $التالي : x < y$ .
يسبق $x الحدث$ $y$ بشكل سببي إذا $كان y - x$ متجهًا نحو المستقبل، أو متجهًا نحو المستقبل، أو متجهًا نحو المستقبل، أو متجهًا نحو الزمن. وهذا يعطي ترتيبًا جزئيًا للزمكان، وبالتالي يمكن كتابته على النحو التالي: $x \leq y$ .

لنفترض أن $x \in M$ فضاء زمني. عندئذٍ يكون المستوى الفائق المتزامن لـ $x$ هو ${y : η (x, y) = 0 }$ . وبما أن هذا المستوى الفائق يتغير بتغير $x$ ، فإن هناك نسبية للتزامن في فضاء مينكوفسكي.

التعميمات

يُعدّ فضاء لورنتز تعميمًا لفضاء مينكوفسكي من ناحيتين: أولًا، لا يقتصر عدد أبعاد الزمكان على $4$ ( $بل 2$ أو أكثر)، وثانيًا، لا يشترط أن يكون فضاء لورنتز مسطحًا، أي أنه يسمح بالانحناء.

فضاء مينكوفسكي المعقد

يُعرَّف فضاء مينكوفسكي المُعقَّد على أنه $M c = M \oplus iM$ . ^{[ 26 ]} يتكون الجزء الحقيقي منه من فضاء مينكوفسكي ذي المتجهات الرباعية ، مثل السرعة الرباعية والزخم الرباعي ، وهي متجهات مستقلة عن اتجاه الفضاء. أما الجزء التخيلي، فقد يتألف من أربعة متجهات زائفة، مثل السرعة الزاوية والعزم المغناطيسي ، والتي يتغير اتجاهها بتغير الاتجاه. ويُضاف إليها كمية قياسية زائفة $i$ ، والتي يتغير إشارتها أيضًا بتغير الاتجاه. وبذلك، تكون عناصر $M c$ مستقلة عن اتجاه الفضاء.

يُعرَّف التركيب الشبيه بالضرب الداخلي على Mc على أنه u ⋅ v $= η$ (u, v) لأي u, v ∈ Mc. ويُوصَف الدوران النقي النسبي للإلكترون $أو أي جسيم نصف دوران بواسطة ρ \in M $ c $ على النحو التالي : ρ$ = u + is $،$ $حيث$ $u$ $هي$ السرعة $الرباعية$ $للجسيم$ $،$ $والتي$ $تحقق$ u $$ 2 $$ $=$ $1$ و $s$ هو متجه الدوران رباعي الأبعاد، ^[²⁷^] وهو أيضًا متجه باولي-لوبانسكي الزائف الذي يحقق $s$ $2$ $= -1$ و $u$ $\cdot$ $s$ $= 0$ .

الزمكان المعمم لمينكوفسكي

يشير فضاء مينكوفسكي إلى صياغة رياضية في أربعة أبعاد. مع ذلك، يمكن بسهولة توسيع أو تبسيط هذه الرياضيات لإنشاء فضاء مينكوفسكي معمّم مماثل في أي عدد من الأبعاد. إذا كان $n \geq 2$ ، فإن فضاء مينكوفسكي ذو $n$ بُعد هو فضاء متجهي ذو بُعد حقيقي $n،$ حيث توجد عليه متريّة مينكوفسكي ثابتة ذات إشارة $(n - 1, 1)$ أو $(1, n - 1)$ . تُستخدم هذه التعميمات في النظريات التي يُفترض فيها أن للفضاء الزمكاني أبعادًا أكثر أو أقل من $4. تُعدّ$ نظرية الأوتار ونظرية إم مثالين على ذلك حيث $n > 4.$ في نظرية الأوتار، تظهر نظريات الحقول المطابقة ذات أبعاد فضاء زمكاني $1 + 1$ .

يمكن صياغة فضاء دي سيتر على أنه فضاء فرعي من فضاء مينكوفسكي المعمم، وكذلك فضاءات النموذج للهندسة الزائدية (انظر أدناه).

انحناء

باعتباره فضاءً زمكانيًا مسطحًا ، تخضع مكوناته المكانية الثلاثة دائمًا لنظرية فيثاغورس . يُعدّ فضاء مينكوفسكي أساسًا مناسبًا للنسبية الخاصة، التي تُقدّم وصفًا دقيقًا للأنظمة الفيزيائية على مسافات محدودة في الأنظمة التي تفتقر إلى جاذبية كبيرة . مع ذلك، ولأخذ الجاذبية في الحسبان، يستخدم الفيزيائيون نظرية النسبية العامة ، المُصاغة في رياضيات الهندسة التفاضلية للمشعبات التفاضلية . عندما تُستخدم هذه الهندسة كنموذج للفضاء الزمكاني، يُعرف باسم الفضاء الزمكاني المنحني .

حتى في الزمكان المنحني، يظل زمكان مينكوفسكي وصفًا جيدًا في منطقة متناهية الصغر تحيط بأي نقطة (باستثناء حالات التفرد الجاذبي). ^{[ ملاحظة 5 ]} وبشكل أكثر تجريدًا، يمكن القول إنه في وجود الجاذبية، يُوصف الزمكان بمتشعب رباعي الأبعاد منحني ، حيث يكون الفضاء المماسي لأي نقطة فيه زمكان مينكوفسكي رباعي الأبعاد. وبالتالي، لا تزال بنية زمكان مينكوفسكي أساسية في وصف النسبية العامة.

الهندسة

يعتمد معنى مصطلح "الهندسة" في فضاء مينكوفسكي بشكل كبير على السياق. لا يمتلك فضاء مينكوفسكي هندسة إقليدية، ولا أيًا من هندسات ريمان المعممة ذات الانحناء الذاتي، ولا تلك التي تُظهرها فضاءات النموذج في الهندسة الزائدية (الانحناء السالب)، ولا الهندسة التي تُمثلها الكرة ( الانحناء الموجب). ويعود السبب في ذلك إلى عدم تحديد مقياس مينكوفسكي. فضاء مينكوفسكي، على وجه الخصوص، ليس فضاءً متريًا ولا متعدد شعب ريمانيًا بمقياس ريماني. ومع ذلك، يحتوي فضاء مينكوفسكي على متعددات شعب فرعية مزودة بمقياس ريماني تُنتج هندسة زائدية.

لا يمكن تضمين فضاءات نموذجية للهندسة الزائدية ذات بُعد منخفض، مثلاً 2 أو 3، بشكل متساوي القياس في فضاء إقليدي ذي بُعد إضافي، أي $\mathbb {R} ^{3}$ أو $\mathbb {R} ^{4}$ على التوالي، باستخدام المقياس الإقليدي ${\overline {g}}$ مما يعيق سهولة التصور. ^{[ ملاحظة 6 ]}^{[ 28 ]} بالمقارنة، فإن فضاءات النموذج ذات الانحناء الموجب هي مجرد كرات في فضاء إقليدي ذي بُعد أعلى. ^{[ 29 ]} يمكن تضمين الفضاءات الزائدية بشكل متساوي القياس في فضاءات ذات بُعد أعلى عندما يكون فضاء التضمين مزودًا بمقياس مينكوفسكي. $\eta$ .

يُعرِّف $\mathbf {H} _{R}^{1(n)}\subset \mathbf {M} ^{n+1}$ لتكون الورقة العلوية ( $ct>0$ ) من القطع الزائد $\mathbf {H} _{R}^{1(n)}=\left\{\left(ct,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {M} ^{n}:c^{2}t^{2}-\left(x^{1}\right)^{2}-\cdots -\left(x^{n}\right)^{2}=R^{2},ct>0\right\}$ في فضاء مينكوفسكي المعمم $\mathbf {M} ^{n+1}$ من بُعد الزمكان $n+1.$ هذا أحد أسطح التعدي لمجموعة لورنتز المعممة. المقياس المستحث على هذا الفضاء الفرعي، $h_{R}^{1(n)}=\iota ^{*}\eta ,$ تراجع مقياس مينكوفسكي $\eta$ تحت التضمين، هو مقياس ريماني . باستخدام هذا المقياس $\mathbf {H} _{R}^{1(n)}$ هو فضاء ريماني متعدد الشعب . وهو أحد فضاءات النموذج في الهندسة الريمانية، وهو نموذج القطع الزائد للفضاء الزائدي . وهو فضاء ذو انحناء سالب ثابت. $-1/R^{2}$ [ ³⁰^] يشير الرقم 1 في الفهرس العلوي إلى تعداد فضاءات النماذج المختلفة للهندسة الزائدية، بينما يشير ⁿ $إلى$ بُعدها. $2(2)$ يتوافق مع نموذج قرص بوانكاريه ، بينما $3(n)$ يتوافق مع نموذج نصف الفضاء لبوانكاريه ذي البعد $n.$

التصفيات

في التعريف أعلاه ${\displaystyle \iota$ يمثل $الرمز `\mathbf {H} _{R}^{1(n)}\rightarrow \mathbf {M} ^{n+1}}`$ خريطة التضمين ، ويشير النجم العلوي إلى عملية السحب العكسي . والهدف الحالي هو وصف هذه العملية والعمليات المشابهة كتمهيد للعرض الفعلي. $\mathbf {H} _{R}^{1(n)}$ في الواقع هو فضاء زائدي.

سلوك الموترات تحت التضمين، وسحب الموترات المتغيرة تحت الخرائط العامة، ودفع المتجهات تحت الخرائط العامة
سلوك الموترات تحت التضمين: بالنسبة لخرائط التضمين من فضاء فرعي $S$ إلى $M$ وموتر متغاير $α$ من الرتبة $k$ على $M،$ فإنه يتحقق ما يلي: $\iota ^{}\alpha \left(X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{k}\right)=\alpha \left(\iota _{}X_{1},\,\iota _{}X_{2},\,\ldots ,\,\iota _{}X_{k}\right)=\alpha \left(X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{k}\right),$ حيث $X₁, X₂, ..., Xₖ$ حقول متجهة على $S. يشير الرمز السفلي$ $$ $إلى عملية الدفع الأمامي (التي سيتم تقديمها لاحقًا)، وهي في هذه الحالة الخاصة ببساطة دالة التطابق (كما هو الحال مع$ دالة التضمين). تتحقق المساواة الأخيرة لأن الفضاء المماسي لمتشعب فرعي عند نقطة ما هو، بطريقة قياسية، فضاء فرعي من الفضاء المماسي للمتشعب نفسه عند تلك النقطة. يمكن ببساطة كتابة $\iota ^{}\alpha =\alpha \|_{S},$ بمعنى (مع إساءة طفيفة للترميز ) تقييد $α$ لقبول متجهات الإدخال المماسية لبعض $s \in S$ فقط. سحب الموترات تحت تأثير التحويلات العامة: سحب موتر $k-$ متغير $α$ (الذي يأخذ متجهات متغايرة فقط كمعاملات) تحت تأثير تحويل $F : M \to N$ هو تحويل خطي $F^{}\colon T_{F(p)}^{k}N\rightarrow T_{p}^{k}M,$ حيث بالنسبة لأي فضاء متجهي $V$ ، $T^{k}V=\underbrace {V^{}\otimes V^{}\otimes \cdots \otimes V^{}} _{k{\text{ times}}}.$ يتم تعريفها بواسطة $F^{}(\alpha )\left(X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{k}\right)=\alpha \left(F_{}X_{1},\,F_{}X_{2},\,\ldots ,\,F_{}X_{k}\right),$ حيث يشير الرمز السفلي * إلى الدفع الأمامي للخريطة $F$ ، و $X1 ، X2 ، ...، Xk$ $هي متجهات في TpM$ $.$ ( $يتوافق$ $هذا مع$ ما تم تفصيله حول السحب الخلفي لخريطة التضمين. في الحالة العامة هنا، لا يمكن المتابعة ببساطة لأن $F$ $$ $X1 \neq X1 بشكل عام$ .) الدفع الأمامي للمتجهات تحت الخرائط العامة:* بشكل استدلالي، فإن سحب موتر إلى $p \in M$ من $F (p) \in$ N $مع$ تغذيته بالمتجهات الموجودة في $p \in M$ هو بحكم التعريف نفس دفع المتجهات من $p \in M$ إلى $F (p) \in N$ مع تغذيتها إلى الموتر الموجود في $F (p) \in N.$ وبمواصلة تبسيط التعريفات، يُعرَّف الدفع الأمامي $F * : TM p \to TN F (p)$ لحقل متجهي تحت تطبيق $F : M \to N$ بين متعددات الشعب كما يلي: $F_{}(X)f=X(f\circ F),$ حيث $f$ دالة على $N.$ عندما $M = R<sub> m </sub> و N = R<sub> n</sub>،$ فإن عملية الدفع الأمامي للدالة $F$ تختزل إلى $DF : R <sub>m</sub> \to R<sub> n</sub>$ ، وهو التفاضل العادي ، والذي يُعطى بواسطة مصفوفة جاكوبي للمشتقات الجزئية للدوال المكونة. يُعد التفاضل أفضل تقريب خطي للدالة $F$ من $R<sub> m</sub>$ إلى $R<sub> n</sub>$ . أما عملية الدفع الأمامي فهي النسخة متعددة الشعب الملساء من هذا التفاضل. وهي تعمل بين الفضاءات المماسية، وتُمثل إحداثياتها بواسطة مصفوفة جاكوبي للتمثيل الإحداثي* للدالة. إن عملية السحب المقابلة هي الخريطة الثنائية من الفضاء المماسي للمدى إلى الفضاء المماسي للمجال، أي أنها خريطة خطية. $F^{}\colon T_{F(p)}^{}N\rightarrow T_{p}^{*}M.$

إسقاط مجسم زائدي

القوس الدائري الأحمر هو خط جيوديسي في نموذج قرص بوانكاريه ؛ وهو يسقط على الخط الجيوديسي البني على القطع الزائد الأخضر.

لإظهار المقياس، من الضروري استعادته عبر تمثيل وسيطي مناسب . التمثيل الوسيطي لمتشعب فرعي $S$ من متشعب $M$ هو دالة $U \subset R m \to M$ مداها مجموعة فرعية مفتوحة من $S.$ إذا كان لـ $S$ نفس بُعد $M$ ، فإن التمثيل الوسيطي هو ببساطة معكوس دالة الإحداثيات $φ : M \to U \subset R m$ . التمثيل الوسيطي المستخدم هو معكوس الإسقاط المجسم الزائدي . يوضح الشكل على اليمين ذلك عندما $n = 2.$ من المفيد مقارنته بالإسقاط المجسم للكرات.

يُعطى الإسقاط المجسم $σ : H n R \to R n$ ومعكوسه $σ -1 : R n \to H n R بالصيغة التالية:$ ${\begin{aligned}\sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} &={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }},\\\sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )&=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right),\end{aligned}}$ حيث، للتبسيط، $τ \equiv ct$ . $(τ ، x)$ هي إحداثيات على $M n +1$ و $u$ هي إحداثيات على $R n$ .

الاشتقاق المفصل

يترك $\mathbf {H} _{R}^{n}=\left\{\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\subset \mathbf {M$ ولتكن $S=(-R,0,\ldots ,0).$

لو $P=\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {H} _{R}^{n},$ ومن الواضح هندسياً أن المتجه ${\overrightarrow {PS}}$ يتقاطع مع المستوى الفائق $\left\{\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in M:\tau =0\right\}$ بمجرد الإشارة إلى النقطة $U=\left(0,u^{1}(P),\ldots ,u^{n}(P)\right)\equiv (0,\mathbf {u} ).$

يمتلك المرء ${\begin{aligned}S+{\overrightarrow {SU}}&=U\Rightarrow {\overrightarrow {SU}}=U-S,\\S+{\overrightarrow {SP}}&=P\Rightarrow {\overrightarrow {SP}}=P-S\end{aligned}}$ أو ${\begin{aligned}{\overrightarrow {SU}}&=(0,\mathbf {u} )-(-R,\mathbf {0} )=(R,\mathbf {u} ),\\{\overrightarrow {SP}}&=(\tau ,\mathbf {x} )-(-R,\mathbf {0} )=(\tau +R,\mathbf {x} ).\end{aligned}}.$

من خلال بناء الإسقاط المجسم، يكون المرء ${\overrightarrow {SU}}=\lambda (\tau ){\overrightarrow {SP}}.$

وهذا يؤدي إلى نظام المعادلات ${\begin{aligned}R&=\lambda (\tau +R),\\\mathbf {u} &=\lambda \mathbf {x} .\end{aligned}}$

يتم حل المعادلة الأولى لإيجاد قيمة $λ،$ ومن ثم نحصل على النتيجة الخاصة بالإسقاط المجسم. $\sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} ={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }}.$

بعد ذلك، يجب حساب معكوس $σ -1 (u) = (τ, x)$ . استخدم نفس الاعتبارات كما في السابق، ولكن الآن مع ${\begin{aligned}U&=(0,\mathbf {u} )\\P&=(\tau (\mathbf {u} ),\mathbf {x} (\mathbf {u} )).\end{aligned}},$ يحصل المرء ${\begin{aligned}\tau &={\frac {R(1-\lambda )}{\lambda }},\\\mathbf {x} &={\frac {\mathbf {u} }{\lambda }},\end{aligned}}$ لكن الآن مع اعتماد $λ$ على $u$ . الشرط لوقوع $P$ في القطع الزائد هو $-\tau ^{2}+|\mathbf {x} |^{2}=-R^{2},$ أو $-{\frac {R^{2}(1-\lambda )^{2}}{\lambda ^{2}}}+{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{\lambda ^{2}}}=-R^{2},$ مما يؤدي إلى $\lambda ={\frac {R^{2}-|u|^{2}}{2R^{2}}}.$

باستخدام هذه $القيمة λ$ ، نحصل على $\sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).$

التراجع عن المقياس

يمتلك المرء $h_{R}^{1(n)}=\eta |_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}\right)^{2}-d\tau ^{2}$ والخريطة $\sigma ^{-1}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {H} _{R}^{1(n)};\quad \sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau (\mathbf {u} ),\,\mathbf {x} (\mathbf {u} ))=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},\,{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).$

يمكن الحصول على المقياس المتراجع من خلال طرق حساب التفاضل والتكامل المباشرة؛ $\left.\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}\eta \right|_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}-\left(d\tau (\mathbf {u} )\right)^{2}.$

يتم الحساب وفقًا للقواعد القياسية لحساب التفاضلات (على الرغم من أن المرء يحسب في الواقع المشتقات الخارجية المحددة بدقة)، ${\begin{aligned}dx^{1}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}+\cdots +{\frac {\partial }{\partial u^{n}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{n}+{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}d\tau ,\\&\ \ \vdots \\dx^{n}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{n}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\\d\tau (\mathbf {u} )&=d\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\end{aligned}}$ ويستبدل النتائج في الجانب الأيمن. وهذا ينتج عنه $\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.$

مخطط تفصيلي للحسابات
يمتلك المرء ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-\|u\|^{2}}}du^{1}&={\frac {2\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)+4R^{2}\left(u^{1}\right)^{2}}{\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)^{2}}}du^{1},\\{\frac {\partial }{\partial u^{2}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-\|u\|^{2}}}du^{2}&={\frac {4R^{2}u^{1}u^{2}}{\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)^{2}}}du^{2},\end{aligned}}$ و ${\frac {\partial }{\partial \tau }}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-\|u\|^{2}}}d\tau ^{2}=0.$ بهذا يمكن للمرء أن يكتب $dx^{1}(\mathbf {u} )={\frac {2R^{2}\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)du^{1}+4R^{2}u^{1}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )}{\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)^{2}}},$ منها $\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}={\frac {4R^{2}\left(r^{2}-\|u\|^{2}\right)^{2}\left(du^{1}\right)^{2}+16R^{4}\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)\left(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \right)u^{1}du^{1}+16R^{4}\left(u^{1}\right)^{2}\left(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \right)^{2}}{\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)^{4}}}.$ بجمع هذه الصيغة نحصل على ${\begin{aligned}&\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}\\={}&{\frac {4R^{2}\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]+16R^{4}\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )+16R^{4}\|u\|^{2}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2}}{\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)^{4}}}\\={}&{\frac {4R^{2}\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)^{4}}}+R^{2}{\frac {16R^{4}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )}{\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)^{4}}}.\end{aligned}}$ وبالمثل، بالنسبة لـ $τ$ نحصل على $d\tau =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}R{\frac {R^{2}+\|u\|^{2}}{R^{2}+\|u\|^{2}}}du^{i}+{\frac {\partial }{\partial \tau }}R{\frac {R^{2}+\|u\|^{2}}{R^{2}+\|u\|^{2}}}d\tau =\sum _{i=1}^{n}R^{4}{\frac {4R^{2}u^{i}du^{i}}{\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)}},$ الاستسلام $-d\tau ^{2}=-\left(R{\frac {4R^{4}\left(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \right)}{\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)^{2}}}\right)^{2}=-R^{2}{\frac {16R^{4}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2}}{\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)^{4}}}.$ أضف الآن هذه المساهمة لتحصل في النهاية على $\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.$

تُظهر هذه المعادلة الأخيرة أن المقياس على الكرة مطابق للمقياس الريماني $h 2(n) R$ في نموذج كرة بوانكاريه ، وهو نموذج قياسي آخر للهندسة الزائدية.

حساب بديل باستخدام الدفع الأمامي
يمكن حساب التراجع بطريقة مختلفة. بحسب التعريف، $\left(\sigma ^{-1}\right)^{}h_{R}^{1(n)}(V,\,V)=h_{R}^{1(n)}\left(\left(\sigma ^{-1}\right)_{}V,\,\left(\sigma ^{-1}\right)_{}V\right)=\eta \|_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}\left(\left(\sigma ^{-1}\right)_{}V,\,\left(\sigma ^{-1}\right)_{}V\right).$ بالإحداثيات، $\left(\sigma ^{-1}\right)_{}V=\left(\sigma ^{-1}\right)_{}V^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}=V^{i}{\frac {\partial x^{j}}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+V^{i}{\frac {\partial \tau }{\partial u^{i}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}=V^{i}{\frac {\partial }{x}}^{j}{\partial u^{i}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+V^{i}{\frac {\partial }{\tau }}{\partial u^{i}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}=Vx^{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+V\tau {\frac {\partial }{\partial \tau }}.$ يمكن الحصول على ذلك من صيغة $σ -1$ ${\begin{aligned}Vx^{j}&=V^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}\left({\frac {2R^{2}u^{j}}{R^{2}-\|u\|^{2}}}\right)={\frac {2R^{2}V^{j}}{R^{2}-\|u\|^{2}}}-{\frac {4R^{2}u^{j}\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle }{\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)^{2}}},\quad \left({\text{here }}V\|u\|^{2}=2\sum _{k=1}^{n}V^{k}u^{k}\equiv 2\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle \right)\\V\tau &=V\left(R{\frac {R^{2}+\|u\|^{2}}{R^{2}-\|u\|^{2}}}\right)={\frac {4R^{3}\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle }{\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$ أخيرا، $\eta \left(\sigma _{}^{-1}V,\,\sigma _{*}^{-1}V\right)=\sum _{j=1}^{n}\left(Vx^{j}\right)^{2}-(V\tau )^{2}={\frac {4R^{4}\|V\|^{2}}{\left(R^{2}-\|u\|^{2}\right)^{2}}}=h_{R}^{2(n)}(V,z,V),$ ويتم التوصل إلى نفس النتيجة.

انظر أيضاً

ملاحظات

↑ هذا يجعل مسافة الزمكان ثابتة .
↑ قم بتحويل نظام الإحداثيات بحيث يصبح الحدث هو الأصل الجديد.
↑ يتوافق هذا مع زيادة أو نقصان إحداثية الزمن عندما يزداد الزمن الخاص بأي جسيم. تطبيق $T$ يعكس هذا الاتجاه.
↑ للمقارنة وتوضيح المصطلحات، خذ مقياس ريماني ، والذي يوفر شكلاً ثنائي الخطية متماثلاً موجباً، أي حاصل ضرب داخلي مناسب عند كل نقطة على مشعب.
↑ هذا التشابه بين الفضاء المسطح والفضاء المنحني على نطاقات مسافة صغيرة للغاية هو أساس تعريف المتشعب بشكل عام.
↑ يوجد تضمين متساوي القياس في $\mathbb {R} ^{n}$ وفقًا لنظرية تضمين ناش ( ناش (1956) )، ولكن بُعد التضمين أعلى بكثير، $n = (m /2)(m + 1)(3 m + 11)$ لمتشعب ريماني ذي بُعد $m$ .

ملحوظات

↑ "مينكوفسكي" مؤرشف بتاريخ 22-06-2019 في موقع Wayback Machine . قاموس راندوم هاوس ويبستر غير المختصر .
^ داريجول 2005 ، ص. 7 خطأ harvnb: لا يوجد هدف: CITEREFDarrigol2005 ( مساعدة )
1 2 3 4 5 6 جاليسون 1979
↑ بوانكاريه 1905-1906 ، الصفحات 129-176 ، ترجمة ويكي مصدر: في ديناميكيات الإلكترون
↑ بيتكوف، فيسلين، محرر (2010). زمكان مينكوفسكي: بعد مئة عام . دوردريخت: سبرينغر هولندا. doi : 10.1007/978-90-481-3475-5 . ISBN 978-90-481-3474-8.
↑ مينكوفسكي 1907-1908 ، الصفحات 53-111 *ترجمة ويكي مصدر: s:الترجمة:المعادلات الأساسية للعمليات الكهرومغناطيسية في الأجسام المتحركة
↑ والتر 1999
1 2 مينكوفسكي 1908–1909 ، الصفحات 75–88 . ترجمات إنجليزية متنوعة على ويكي مصدر: " الفضاء والزمان ".
1 2 3 كوري، ليو (2010)، "هيرمان مينكوفسكي، النسبية والمنهج البديهي في الفيزياء" ، في بيتكوف، فيسلين (محرر)، زمكان مينكوفسكي: بعد مئة عام ، دوردريخت: سبرينغر هولندا، ص 3-41 ، doi : 10.1007/978-90-481-3475-5_1 ، ISBN 978-90-481-3474-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 2026-06-01
↑ هيروسيغي، تيتو (1976). "مشكلة الأثير، والنظرة الميكانيكية للعالم، وأصول نظرية النسبية" . دراسات تاريخية في العلوم الفيزيائية . 7 : 3-82 . doi : 10.2307/27757354 . ISSN 0073-2672 .
↑ هول، غراهام (2010)، "هيرمان مينكوفسكي والنسبية الخاصة" ، في بيتكوف، فيسلين (محرر)، زمكان مينكوفسكي: بعد مئة عام ، دوردريخت: سبرينغر هولندا، ص 65-82 ، doi : 10.1007/978-90-481-3475-5_3 ، ISBN 978-90-481-3474-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 2026-06-01
↑ كورنيليوس لانكزوس (1972) "مسار أينشتاين من النسبية الخاصة إلى النسبية العامة"، الصفحات 5-19 من كتاب النسبية العامة: أوراق بحثية تكريمًا لجون لويس سينج ، تحرير ل. أورايفيرتايغ، مطبعة كلارندون ، انظر الصفحة 11
↑ انظر برهان شوتز، صفحة 148، وكذلك نابر، صفحة 48
^ شوتز ص. 148، النبر ص. 49
↑ شوتز، صفحة 148
↑ لي 1997 ، ص 15
↑ لي 2003 ، انظر مناقشة لي حول متجهات المماس الهندسي في وقت مبكر من الفصل 3.
↑ جيوليني 2008، الصفحات 5، 6
↑ كارول، شون م. (2019) [2003]. الزمكان والهندسة: مقدمة في النسبية العامة . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 7. ISBN 978-1-108-48839-6.
↑ سارد 1970 ، ص 71
↑ مينكوفسكي، لانداو وليفشيتز 2002 ، ص 4
1 2 ميسنر، ثورن وويلر 1973
↑ لي 2003. ثمة نقطة في برهان لي على وجود هذه الدالة تحتاج إلى تعديل (يتناول لي المقاييس الريمانية ). فبدلاً من الاستناد إلى عدم الانحلال، يشير لي إلى الإيجابية المحددة لإثبات حقنية الدالة.
↑ لي 2003 ، التشاكل المماسي-الظلامي التمام، ص 282
↑ لي 2003
↑ ي. فريدمان، وصف نسبي ذو دلالة فيزيائية لحالة دوران الإلكترون، التناظر 2021، 13(10)، 1853؛ https://doi.org/10.3390/sym13101853 مؤرشف في 13 أغسطس 2023 في أرشيف الإنترنت
↑ جاكسون، جيه دي، الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية، الطبعة الثالثة؛ جون وايلي وأولاده: هوبوكين، نيوجيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية، 1998
↑ لي 1997 ، ص 66
↑ لي 1997 ، ص 33
↑ لي 1997

مراجع

كوري، ل. (1997). "هيرمان مينكوفسكي ومبدأ النسبية". أرشيف التاريخ والعلوم الدقيقة ، 51 (4): 273-314 . doi : 10.1007/BF00518231 . ISSN 0003-9519 . S2CID 27016039 .
كاتوني، ف.؛ وآخرون (2008). رياضيات فضاء-زمن مينكوفسكي . سلسلة فرونتيرز إن ماثيماتيكس. بازل: دار نشر بيركهاوزر . doi : 10.1007/978-3-7643-8614-6 . ISBN 978-3-7643-8613-9ISSN 1660-8046
جاليسون، ب. ل. (1979). ر. ماكورماك وآخرون (محررون). فضاء-زمن مينكوفسكي: من التفكير البصري إلى العالم المطلق . دراسات تاريخية في العلوم الفيزيائية. المجلد 10. مطبعة جامعة جونز هوبكنز . الصفحات 85-121 . doi : 10.2307/27757388 . JSTOR 27757388 .
Giulini D البنية الغنية لفضاء مينكوفسكي، https://arxiv.org/abs/0802.4345v1 .
كليبنر، د.؛ كولينكو ، ر. ج. (1978) [1973]. مقدمة في الميكانيكا . لندن: ماكجرو هيل . ISBN 978-0-07-035048-9.
لاندو، إل دي ؛ ليفشيتز، إي إم (2002) [1939]. النظرية الكلاسيكية للحقول . سلسلة محاضرات في الفيزياء النظرية. المجلد 2 ( الطبعة الرابعة). باتروورث-هاينمان . ISBN 0-7506-2768-9.
لي، جيه إم (2003). مقدمة في المشعبات الملساء . سلسلة نصوص سبرينغر للدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 218. ISBN 978-0-387-95448-6.
لي، جيه إم (2012). مقدمة في المشعبات الملساء . نصوص سبرينغر للدراسات العليا في الرياضيات. ISBN 978-1-4419-9981-8.
لي، ج.م. (1997). مشعبات ريمان - مقدمة في الانحناء . نصوص سبرينغر للدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 176. نيويورك · برلين · هايدلبرغ: سبرينغر فيرلاغ. ISBN 978-0-387-98322-6.
مينكوفسكي ، هيرمان (1907–1908)، “Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern ” [ المعادلات الأساسية للعمليات الكهرومغناطيسية في الأجسام المتحركة ] ، Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen، الرياضيات الفيزيائية الطبقة : 53 – 111
- الترجمة المنشورة: كاروس، إدوارد هـ. (1918). "المكان والزمان" . مجلة المونست . 28 (288): 288-302 . doi : 10.5840/monist19182826 .
- ترجمة ويكي مصدر: المعادلات الأساسية للعمليات الكهرومغناطيسية في الأجسام المتحركة
مينكوفسكي ، هيرمان (1908–1909)، “Raum und Zeit” [ المكان والزمان ] ، Physikalische Zeitschrift ، 10 : 75–88ترجمات إنجليزية متنوعة على ويكي مصدر: المكان والزمان .
ميسنر، تشارلز دبليو .؛ ثورن، كيب إس.؛ ويلر ، جون أ. (1973)، الجاذبية ، دبليو إتش فريمان، رقم ISBN 978-0-7167-0344-0.
نابر، جي إل (1992). هندسة فضاء مينكوفسكي . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-97848-2.
ناش، ج. (1956). " مسألة التضمين للمشعبات الريمانية". حوليات الرياضيات . 63 (1): 20-63 . doi : 10.2307/1969989 . JSTOR 1969989. MR 0075639 .
بينروز، روجر (2005). "18 هندسة مينكوفسكي". الطريق إلى الواقع : دليل شامل لقوانين الكون . ألفريد أ. كنوبف . ISBN 9780679454434.
بوانكاريه ، هنري (1905–1906)، “Sur la dynamique de l’électron” [ في ديناميكيات الإلكترون ] ، Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo ، 21 : 129– 176، بيب كود : 1906RCMP...21..129P ، دوى : 10.1007/BF03013466 ، إتش دي إل : 2027/uiug.30112063899089 ، S2CID 120211823 ترجمة ويكي مصدر: حول ديناميكيات الإلكترون
روب، أ. أ.: الهندسة البصرية للحركة؛ رؤية جديدة لنظرية النسبية، كامبريدج 1911، (هيفيرز) . http://www.archive.org/details/opticalgeometryoOOrobbrich
روب إيه إيه: هندسة الزمان والمكان، 1936 مطبعة جامعة كامبريدج http://www.archive.org/details/geometryoftimean032218mbp .
سارد، آر دي (1970). الميكانيكا النسبية - النسبية الخاصة وديناميكا الجسيمات الكلاسيكية . نيويورك: دبليو إيه بنجامين. رقم ISBN 978-0805384918.
شو، ر. (1982). "§ 6.6 فضاء مينكوفسكي، § 6.7، 8 الأشكال القانونية، ص 221-242 " . الجبر الخطي وتمثيلات الزمر . دار النشر الأكاديمية . ISBN 978-0-12-639201-2.
والتر، سكوت أ. (1999). "مينكوفسكي، والرياضيون، والنظرية الرياضية للنسبية" . في: غونر، هوبرت؛ وآخرون (محررون). عوالم النسبية العامة المتوسعة . بوسطن: بيركهاوزر. ص 45-86 . ISBN 978-0-8176-4060-6.
واينبرغ، س. (2002)، نظرية الكم للحقول ، المجلد 1، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-55001-7.

روابط خارجية

الوسائط المتعلقة بمخططات مينكوفسكي على ويكيميديا كومنز

مقطع فيديو رسوم متحركة على موقع يوتيوب يصور فضاء مينكوفسكي في سياق النسبية الخاصة.
هندسة النسبية الخاصة: مخروط مينكوفسكي للزمكان والضوء
مساحة مينكوفسكي في فيل بيبرز

[2] هذا يجعل مسافة الزمكان ثابتة .

[14] قم بتحويل نظام الإحداثيات بحيث يصبح الحدث هو الأصل الجديد.

[15] يتوافق هذا مع زيادة أو نقصان إحداثية الزمن عندما يزداد الزمن الخاص بأي جسيم. تطبيق $T$ يعكس هذا الاتجاه.

[21] للمقارنة وتوضيح المصطلحات، خذ مقياس ريماني ، والذي يوفر شكلاً ثنائي الخطية متماثلاً موجباً، أي حاصل ضرب داخلي مناسب عند كل نقطة على مشعب.

[32] هذا التشابه بين الفضاء المسطح والفضاء المنحني على نطاقات مسافة صغيرة للغاية هو أساس تعريف المتشعب بشكل عام.

[33] يوجد تضمين متساوي القياس في $\mathbb {R} ^{n}$ وفقًا لنظرية تضمين ناش ( ناش (1956) )، ولكن بُعد التضمين أعلى بكثير، $n = (m /2)(m + 1)(3 m + 11)$ لمتشعب ريماني ذي بُعد $m$ .

[1] "مينكوفسكي" مؤرشف بتاريخ 22-06-2019 في موقع Wayback Machine . قاموس راندوم هاوس ويبستر غير المختصر .

[3] داريجول 2005 ، ص. 7 خطأ harvnb: لا يوجد هدف: CITEREFDarrigol2005 ( مساعدة )

[Galison-1979-4] 1 2 3 4 5 6 جاليسون 1979

[5] بوانكاريه 1905-1906 ، الصفحات 129-176 ، ترجمة ويكي مصدر: في ديناميكيات الإلكترون

[6] بيتكوف، فيسلين، محرر (2010). زمكان مينكوفسكي: بعد مئة عام . دوردريخت: سبرينغر هولندا. doi : 10.1007/978-90-481-3475-5 . ISBN 978-90-481-3474-8.

[7] مينكوفسكي 1907-1908 ، الصفحات 53-111 *ترجمة ويكي مصدر: s:الترجمة:المعادلات الأساسية للعمليات الكهرومغناطيسية في الأجسام المتحركة

[8] والتر 1999

[raumzeit-9] 1 2 مينكوفسكي 1908–1909 ، الصفحات 75–88 . ترجمات إنجليزية متنوعة على ويكي مصدر: " الفضاء والزمان ".

[Corry-2010-10] 1 2 3 كوري، ليو (2010)، "هيرمان مينكوفسكي، النسبية والمنهج البديهي في الفيزياء" ، في بيتكوف، فيسلين (محرر)، زمكان مينكوفسكي: بعد مئة عام ، دوردريخت: سبرينغر هولندا، ص 3-41 ، doi : 10.1007/978-90-481-3475-5_1 ، ISBN 978-90-481-3474-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 2026-06-01

[11] هيروسيغي، تيتو (1976). "مشكلة الأثير، والنظرة الميكانيكية للعالم، وأصول نظرية النسبية" . دراسات تاريخية في العلوم الفيزيائية . 7 : 3-82 . doi : 10.2307/27757354 . ISSN 0073-2672 .

[12] هول، غراهام (2010)، "هيرمان مينكوفسكي والنسبية الخاصة" ، في بيتكوف، فيسلين (محرر)، زمكان مينكوفسكي: بعد مئة عام ، دوردريخت: سبرينغر هولندا، ص 65-82 ، doi : 10.1007/978-90-481-3475-5_3 ، ISBN 978-90-481-3474-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 2026-06-01

[13] كورنيليوس لانكزوس (1972) "مسار أينشتاين من النسبية الخاصة إلى النسبية العامة"، الصفحات 5-19 من كتاب النسبية العامة: أوراق بحثية تكريمًا لجون لويس سينج ، تحرير ل. أورايفيرتايغ، مطبعة كلارندون ، انظر الصفحة 11

[16] انظر برهان شوتز، صفحة 148، وكذلك نابر، صفحة 48

[17] شوتز ص. 148، النبر ص. 49

[18] شوتز، صفحة 148

[19] لي 1997 ، ص 15

[20] لي 2003 ، انظر مناقشة لي حول متجهات المماس الهندسي في وقت مبكر من الفصل 3.

[22] جيوليني 2008، الصفحات 5، 6

[23] كارول، شون م. (2019) [2003]. الزمكان والهندسة: مقدمة في النسبية العامة . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 7. ISBN 978-1-108-48839-6.

[24] سارد 1970 ، ص 71

[25] مينكوفسكي، لانداو وليفشيتز 2002 ، ص 4

[:0-26] 1 2 ميسنر، ثورن وويلر 1973

[27] لي 2003. ثمة نقطة في برهان لي على وجود هذه الدالة تحتاج إلى تعديل (يتناول لي المقاييس الريمانية ). فبدلاً من الاستناد إلى عدم الانحلال، يشير لي إلى الإيجابية المحددة لإثبات حقنية الدالة.

[28] لي 2003 ، التشاكل المماسي-الظلامي التمام، ص 282

[29] لي 2003

[30] ي. فريدمان، وصف نسبي ذو دلالة فيزيائية لحالة دوران الإلكترون، التناظر 2021، 13(10)، 1853؛ https://doi.org/10.3390/sym13101853 مؤرشف في 13 أغسطس 2023 في أرشيف الإنترنت

[31] جاكسون، جيه دي، الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية، الطبعة الثالثة؛ جون وايلي وأولاده: هوبوكين، نيوجيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية، 1998

[34] لي 1997 ، ص 66

[35] لي 1997 ، ص 33

[36] لي 1997

1

[ ملاحظة 1 ]

[2]

[3]

[4]

[5]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

في

يمكن

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ].

[ 17 ]

[ ملاحظة 4 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[

[ ملاحظة 5 ]

[ ملاحظة 6 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

30

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗