مجموعة جانكو J 3

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 8 صور
الموسوعة الحرة

في مجال الجبر الحديث المعروف بنظرية الزمر ، تُعتبر زمرة جانكو J 3 أو زمرة هيغمان-جانكو-ماكاي HJM زمرة بسيطة متفرقة من الرتبة

   50,232,960 = 2 7 · 3 5 · 5 · 17 · 19.    

التاريخ والخصائص

J3 هي إحدى المجموعات المتفرقة الـ 26 ، وقد تنبأ بها زفونيمير جانكو عام 1969 كإحدى مجموعتين بسيطتين جديدتين تحتويان على 2 1 +4 :A 5 كمركز لعملية الالتفاف (الأخرى هي مجموعة جانكو J2 ) . وقد أثبت غراهام هيغمان وجون مكاي ( 1969 ) وجود J3 . 

في عام 1982، أثبت آر إل غريس أن J 3 لا يمكن أن يكون ناتج قسمة جزئية من مجموعة الوحش . [ 1 ] وبالتالي فهو واحد من المجموعات الست المتفرقة التي تسمى المنبوذين .

يمتلك J 3 زمرة تماثل خارجي من الرتبة 2 ومضاعف شور من الرتبة 3، وغطاؤه الثلاثي له تمثيل وحدوي ذو 9 أبعاد على الحقل المنتهي ذي 4 عناصر. وقد بناه فايس (1982) باستخدام هندسة أساسية. وله تمثيل نمطي ذو بُعد 18 على الحقل المنتهي ذي 9 عناصر. وله تمثيل إسقاطي معقد ذو بُعد 18.

درجات التمثيلات غير القابلة للاختزال لمجموعة جانكو J 3 هي 1، 85، 85، 323، 323، 324،  ... (التسلسل A003906 في OEIS ) .

الإنشاءات

استخدام المصفوفات

يمكن إنشاء J3 بواسطة العديد من المولدات المختلفة . [ 2 ] اثنان من قائمة ATLAS عبارة عن مصفوفات 18×18 على الحقل المنتهي من الرتبة 9، مع إجراء ضرب المصفوفات باستخدام حساب الحقل المنتهي :

(080000000000000000800000000000000000000800000000000000008000000000000000000008000000000000000080000000000000000000008000000000000000000800000000000000800000000000000000080000000000000000000000080000000000000000008000374848155120860000000000000080000000000000000008000000000000000000000008486248040845081185000000000000000800){\displaystyle \left({\begin{matrix}0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0\\3&7&4&8&4&8&1&5&5&1&2&0&8&6&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8\\4&8&6&2&4&8&0&4&0&8&4&5&0&8&1&1&8&5\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0\\\end{matrix}}\right)}

و

(480000000000000000008000000000000000448000000000000000000080000000000000000000800000000000000000080000000000000800000000000000000000000080000000000000000008000000000000000000800000000008000000000000000000000000000800000000000000000080274574856722880050475861165387508860000000008000000000000000000800000000825572815578600738){\displaystyle \left({\begin{matrix}4&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\4&4&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0\\2&7&4&5&7&4&8&5&6&7&2&2&8&8&0&0&5&0\\4&7&5&8&6&1&1&6&5&3&8&7&5&0&8&8&6&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0\\8&2&5&5&7&2&8&1&5&5&7&8&6&0&0&7&3&8\\\end{matrix}}\right)}

باستخدام المجموعة الفرعية PSL(2,16)

يمكن إنشاء زمرة التشاكل الذاتي J 3 :2 بالبدء بالزمرة الجزئية PSL(2,16):4 وإضافة 120 عملية انعكاسية، والتي تُعرف بزمر سيلو 17 الجزئية. لاحظ أن هذه العمليات الانعكاسية الـ 120 هي عناصر خارجية لـ J 3 :2. ثم تُعرّف العلاقة التالية:

(1110σت(ν،ν7))5=1{\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\sigma t_{(\nu ,\nu 7)}\right)^{5}=1}

أينσ{\displaystyle \sigma }هو التشاكل الذاتي لفروبينيوس من الرتبة 4، وت(ν،ν7){\displaystyle t_{(\nu ,\nu 7)}}هي الدورة الفريدة المكونة من 17 دورة التي ترسل

∞→0→1→7{\displaystyle \infty \rightarrow 0\rightarrow 1\rightarrow 7}

أظهر كورتيس، باستخدام جهاز كمبيوتر، أن هذه العلاقة كافية لتحديد J 3 :2. [ 3 ]

استخدام العرض التقديمي

من حيث المولدات a و b و c و d، يمكن تمثيل مجموعة التشاكل الذاتي J 3 :2 على النحو التالي أ17=ب8=أبأ-2=ج2=بجب3=(أبج)4=(أج)17=د2=[د،أ]=[د،ب]=(أ3ب-3جد)5=1.{\displaystyle a^{17}=b^{8}=a^{b}a^{-2}=c^{2}=b^{c}b^{3}=(abc)^{4}=(ac)^{17}=d^{2}=[d,a]=[d,b]=(a^{3}b^{-3}cd)^{5}=1.}

عرض J 3 بدلالة المولدات (المختلفة) a و b و c و d هو أ19=ب9=أبأ2=ج2=د2=(بج)2=(بد)2=(أج)3=(أد)3=(أ2جأ-3د)3=1.{\displaystyle a^{19}=b^{9}=a^{b}a^{2}=c^{2}=d^{2}=(bc)^{2}=(bd)^{2}=(ac)^{3}=(ad)^{3}=(a^{2}ca^{-3}d)^{3}=1.}

المجموعات الفرعية القصوى

وجد فينكلشتاين ورودفاليس (1974) فئات الاقتران التسع للمجموعات الفرعية القصوى لـ J 3 على النحو التالي:

المجموعات الفرعية القصوى لـ J 3
لا.بناءطلبفِهرِستعليقات
1L 2 (16):28160 =  2 5 ·3·5·176156 =  2 2 ·3 4 ·19
2.3L 2 (19)3420 =  2 2 ·3 2 ·5·1914688 =  2 5 ·3 3 ·17فئتان، تم دمجهما بواسطة تماثل خارجي
42 4 : (3 × A 5 )2880 =  2 6 ·3 2 ·517442 =  2.3 3 17.19
5L 2 (17)2448 =  2 4 ·3 2 ·1720520 =  2 3 ·3 3 ·5·19مركزية التشاكل الخارجي من الرتبة 2
6(3 × A 6 ):2 22160 =  2 4 ·3 3 ·523256 =  2 3 ·3 2 ·17·19مُعَيِّر لمجموعة فرعية من الرتبة 3 (الفئة 3A)
73 2+1+2 :81944 =  2 3 ·3 525840 =  2 4 ·5·17·19مُعَيِّرٌ لمجموعة فرعية من نوع سيلو 3
82 1+4 –  :A 51920 =  2 7 ·3·526163 =  3 4 ·17·19مركزية الانكماش
92 2+4 : (3 × S 3 )1152 =  2 7 ·3 243605 =  3 3 ·5·17·19

مراجع

  1. ↑ غريس (1982): ص 93: دليل على أن J 3 منبوذ.
  2. ↑ صفحة أطلس على J3
  3. ↑ برادلي، جيه دي؛ كورتيس، آر تي (2006)، "التوليد المتناظر ووجود J 3 :2، مجموعة التشاكل الذاتي لمجموعة جانكو الثالثة"، مجلة الجبر ، 304 (1): 256-270 ، doi : 10.1016/j.jalgebra.2005.09.046
  • فينكلشتاين، ل.؛ رودفاليس، أ. (1974)، "المجموعات الفرعية القصوى لمجموعة جانكو البسيطة من الرتبة 50232960"، مجلة الجبر ، 30 ( 1-3 ): 122-143 ، doi : 10.1016/0021-8693(74)90196-3 ، ISSN 0021-8693 ، MR 0354846  
  • RL Griess , Jr., The Friendly Giant , Inventiones Mathematicae 69 (1982), 1-102. ص  93: دليل على أن J 3 منبوذ.
  • هيغمان، غراهام ؛ مكاي، جون (1969)، "حول زمرة جانكو البسيطة من الرتبة 50,232,960"، نشرة جمعية لندن الرياضية ، 1 : 89-94 ، تصحيح صفحة 219، doi : 10.1112/blms/1.1.89 ، MR 0246955 
  • ز. جانكو، بعض الزمر البسيطة المنتهية الجديدة ذات الرتبة المنتهية ، 1969 Symposia Mathematica (INDAM، روما، 1967/68)، المجلد 1، الصفحات  25-64، دار النشر الأكاديمية، لندن، وفي نظرية الزمر المنتهية (تحرير براور وساه)، الصفحات  63-64، بنجامين، 1969. MR 0244371 
  • فايس، ريتشارد (1982). “البناء الهندسي لمجموعة يانكو J 3 ”. الرياضيات Zeitschrift . 179 (179): 91– 95. دوى : 10.1007 / BF01173917 .